Prüfungsklausur Mathematik II für Wirtschaftsingenieure,

Transkript

1 HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Mathematik II für Wirtschaftsingenieure, A Name, Vorname Matr. Nr. Sem. gr. Aufgabe gesamt erreichbare P (3) 7 30+(3) (3) 73+(9) erreichte P. Bemerkungen: Bitte für jede Aufgabe eine neue Seite anfangen und jeweils angeben zu welcher Aufgabe/Teilaufgabe die Lösung gehört. Die Bedeutung von Symbolen und Bezeichnungen sowie verwendete Formeln und Gleichungen sind anzugeben. Jeder Lösungsweg muß nachvollziehbar sein. Fragen sind jeweils mit einem Antwortsatz zu beantworten. Aufgabe 1 : Eine kleine Firma produziert Liegestühle, die zu 15e pro Stück verkauft werden. Die ertragsgesetzliche Kostenfunktion K(x) : [0, ) R berechnet sich folgendermaßen: { x2 + 20x 0 x 35 K(x) = 50x + 918, 75 x > 35. Dabei ist x der Output pro Tag in Stück. Die Kosten K(x) werden in Euro angegeben. (a) Erstellen Sie die Gewinnfunktion G(x) für den Tagesgewinn. (b) Ist die Funktion G(x) stetig für alle x (0, )? Begründen Sie Ihre Aussage rechnerisch. (c) Ist die Funktion G(x) differenzierbar für x = 35? Begründen Sie Ihre Antwort rechnerisch. (d) Für welches größtmögliche Intervall (welche größtmöglichen Intervalle) I [0, ) ist die Funktion G(x) monoton wachsend und für welche Intervalle monoton fallend? Begründen Sie Ihre Antwort rechnerisch. (e) Wieviele Liegestühle sollte die Firma pro Tag produzieren und verkaufen, um maximalen Gewinn zu erzielen und wie hoch ist dieser Tagesgewinn? Tipp: Verwenden Sie, dass Polynome für alle x R stetig und differenzierbar sind.

2 Aufgabe 2 : Sei b R, b > 0. Gegeben ist die Funktion f : (0, ) R mit f(x) = 3e b x. (a) Existiert der Grenzwert lim x f(x)? Falls ja, geben Sie ihn an. Falls nein, begründen Sie Ihre Antwort. (b) Bestimmen Sie die Elastizität ε f,x der Funktion f nach x. Für welche x D(f) (in Abhängigkeit von b) ist die Funktion f unelastisch bezüglich x, d.h. für welche x D(f) gilt 1 < ε f,x < 1? (Falls Sie die Aufgabe nicht allgemein lösen können, setzen Sie b = 7 ein.) Aufgabe 3 : Eine der Eisdielen von Milly Vanilly hat täglich von 10 bis 20 Uhr geöffnet. Pro Tag werden dabei 200 Liter Eis verkauft. Der Verkauf läuft erstaunlicherweise unabhängig von der Tageszeit sehr gleichmäßig. Die Kosten für die Kühlung des Eises veranschlagt Milly Vanilly mit 5 Cent pro Stunde und Liter. Sie besitzt eine Eismaschine, die kontinuierlich 0 Liter Eis pro Stunde produzieren kann. Jede Inbetriebnahme der Maschine verursacht dabei Fixkosten von 1,30e. Wie oft am Tag und in welchen Zeitabständen (in Minuten) müßte sie die Maschine anschalten um die Kosten (Kühlkosten + Fixkosten) zu minimieren? Wieviel Liter Eis sollten bei jedem Einschalten der Maschine produziert werden und wieviele Minuten dauert dieser Vorgang jeweils? Die kleinste zeitliche Planungseinheit ist die Minute. Zusatzaufgabe: Stellen Sie den Eis-Lagerbestand (für das Kostenminimum) in Abhängigkeit von der Zeit über einen Zeitraum von 5 Stunden graphisch dar! Aufgabe : Gegeben sei ein gerader Kreiskegel mit einem Radius von 1m und einer Höhe von 3m. Das Volumen eines solchen Körpers berechnet sich nach der Formel V (r, h) = 1 3 πr2 h. Bestimmen Sie näherungsweise die maximale absolute Abweichung dv (r, h) sowie die dv (r,h) maximale prozentuale Abweichung, die sich bei der Volumenberechnung ergeben, V (r,h) sofern die Meßwerte sowohl für den Radius als auch für die Höhe mit einem Meßfehler von 1% behaftet sind, d.h. r = 1m ± 1cm, h = 3m ± 3cm. Fassen Sie Ihre Ergebnisse in einem Antwortsatz zusammen. Es wird eine Näherungsrechnung erwartet!

3 Aufgabe 5 : Ein Drogeriegroßhandel in Norddeutschland handelt unter anderem mit Strandartikeln. Für den Schutz gegen Sonne und Wind werden Windschutze und Strandmuscheln verkauft. Für die Hauptsaison haben sich die folgenden Preis- Absatzfunktionen herausgestellt. p 1 (x 1, ) = x 1 1 2, p 2 (x 1, ) = x Die zugehörigen Umkehrfunktionen sind: x 1 = 12 p 1 + p 2, = p 1 p 2. Dabei gibt x 1 den monatlichen Absatz von Windschutzen in Mengeneinheiten (ME) und den monatlichen Absatz von Strandmuscheln in ME an. Eine ME sind jeweils 10 Stück. Die Preise p 1 und p 2 werden in Euro pro ME angegeben. Die Firma kauft die Windschutze für 60e pro ME und die Strandmuscheln für 50e pro ME ein. (a) Stellen Sie die Gewinnfunktion für den monatlichen Gewinn auf. (b) Zu welchen Preisen sollte die Firma die Windschutze beziehungsweise Strandmuscheln anbieten, um maximalen monatlichen Gewinn zu erwirtschaften? Welcher monatliche Absatz der beiden Artikel ist zu erwarten und wie hoch ist der maximale monatliche Gewinn? Weisen Sie nach, dass es sich wirklich um das Gewinnmaximum handelt. (c) Bestimmen Sie die monatlichen Absatzmengen x 1 und bei einem Preisniveau von p 1 = 90e und p 2 = 90e. Welche Absatzmengen ergeben sich näherungsweise, sofern der Preis p 2 auf 99e hochgesetzt wird? Verwenden Sie für die Beantwortung der Frage geeignete Elastizitäten. (d) Die Firma rechnet mit einer Hauptsaison von 3 Monaten. Zu Jahresbeginn stellt die Firmenchefin fest, dass für den Einkauf der beiden Artikel für diese drei Monate ingesamt nur e also monatlich 5 600e zur Verfügung stehen. Wieviele Windschutze und wieviele Strandmuscheln sollte sie insgesamt einkaufen, um unter dieser Bedingung maximalen Gewinn zu erzielen? Um wieviel würde der monatliche Gewinn näherungsweise steigen oder sinken, wenn sie insgesamt 17 00e zur Verfügung hätte? Lösen Sie das Problem mit Hilfe der Methode von Lagrange. Ein Nachweis der Maximalität ist nicht gefordert. Zusatzaufgabe: Sollte sich die Firmenchefin die obige Differenz von 600e zu einem Zinssatz von 5% p.a. (exponentiell verzinst) für 6 Monate leihen, um diese zusätzlich zum Einkauf von Windschutzen und Strandmuscheln zu verwenden? Begründen Sie Ihre Antwort rechnerisch. Aufgabe 6 : Zusatzaufgabe Gegeben ist die Differentialgleichung (DGL) y + 2y + y = x. Ist die Funktion y : R R; y(x) = 2e x + x Lösung dieser DGL? Begründen Sie Ihre Antwort rechnerisch.

4 Lösungen: (a) G(x) = E(x) K(x) = 15x K(x) = { 5x 0 x x 918, 75 x > 35 (b) Aufgrund des Tipps müssen nur die Funktionswerte von G 1 (x) := x2 5x und G 2 (x) := + 65x 918, 75 an der Stelle x = 35 verglichen werden. G 1 (35) = 131, 25 = G 2 (35)) Die Funktion G(x) ist stetig für alle x (0, ). (c) Aufgrund des Tipps müssen nur die Werte der ersten Ableitungen von G 1 (x) := 5x und G 2(x) := + 65x 918, 75 an der Stelle x = 35 verglichen werden. G 1(x) = 5, G 1(35) = 12, 5, G 2(x) = 2x + 65, G 2(35) = 5 Die Funktion G(x) ist an der Stelle x = 35 nicht differenzierbar. (d) G 1(x) = 5 = 0 x = 10 G 1(x) < 0 x (0, 10) und G 1(x) > 0 x > 10. G 2(x) = 2x + 65 = 0 x = 32, 5 G 2(x) < 0 x > 32, 5. G(x) ist monoton fallend für alle x [0, 10] und für alle x [35, ), G(x) ist monoton wachsend für alle x [10, 35]. (e) Die Firma sollte pro Tag 35 Liegestühle produzieren und verkaufen, um maximalen Gewinn von 131,25e zu erzielen. (a) lim x f(x) = 3 (b) ϵ f,x = b, 1 < b < 1. Da x > 0, b > 0 gilt, ist b x x x wir erhalten als Bedingung b < 1 x > b. x Die Funktion f ist unelastisch für x > b. > 0 > 1 automatisch erfüllt und 3. Gegeben: T = 10 Stunden, m = 200l, k l = 0, 5e/l/Tag, k 0 = 1, 30e, a = 20l/Stunde, z = 0l/Stunde x th = 2m k0 (1 a z )k l = ,3 (1 1/2) 0.5 = 5, 6; nth = 200 : 5, 6 =, 38 Variantenvergleich: n 1 =, x 1 = 50l, t 1 1 = 1, 25 Stunden = 75 Minuten, t 1 2 = 2, 5 Stunden = 150 Minuten, n 2 = 5, x 1 = 0l, t 2 1 = 1 Stunde = 60 Minuten, t 2 2 = 2 Stunden = 120 Minuten, K = 11, 5 e, K 5 = 11, 50 e Milly Vanilly sollte die Maschine mal am Tag, im Abstand von 2,5 Stunden starten. Die Maschine sollte jeweils 75 Minuten laufen und dabei 50l Eis produzieren.. V (1, 3) = 1π 1 3 = 3 πm3 dv (r, h) S mit S V V (1, 3) d r + (1, 3) d h r h V (r, h) = 2 V πrh, (1, 3) = r 3 r 2πm2, V (r, h) = 1 h 3 πr2, V (1, 3) = 1 r 3 πm2 S 2πm m πm2 0.03m = 0.03πm m 3 dv (r,h) S 0.03π = 0.03 = 3%. V (r,h) V (r,h) π

5 Die maximale absolute Abweichung beträgt geschätzt höchstens 0.09 m 3. Dies entspricht einer prozentualen Abweichung von 3%. 5. (a) G(x 1, ) = E(x 1, ) K(x 1, ) = 98x x x2 2 3 x 1 (b) G x1 = 98 x 1 3 = 0, G x2 = x 1 = 0 x 1 =, = 72, p 1 = 100e, p 2 = 108 e, G(, 72) = 5 936e G x1 x 1 = 1, G x1 = 3 = G x 1, G x2 = 1, det(h G ) = > 0, G x 1 x 1 < 0 (x 1, ) = (, 72) ist eine lokale Maximalstelle von G(x 1, ). Die Firma sollte die Windschutze zu 100e pro ME und die Strandmuscheln zu 108e pro Mengeneinheit verkaufen, um einen monatlichen Absatz von ME = 0 Windschutzen und 72 ME = 720 Strandmuscheln zu realisieren und dabei einen monatlichen Gewinn von e zu erzielen. (c) Geg.: p 1 = 90e/ME, p 2 = 90e/ME, p 2 = 9e/ME 10% x 1 = 12, = 12. ε x1,p 2 = x 1 p 2 p2 x 1 = 30, ε x2,p 2 = p 2 p2 = 2, 9 x 1 steigt um = 300% auf 8 ME = 80 Stück, sinkt um 10 2, 9 = 29% auf 88, 0, also gerundet auf 88 ME = 880 Stück. (d) NB: 60x = x 1 50 = 0 L(x 1,, λ) = 98x x x2 2 3 x 1 + λ( x 1 50 ) L x1 = 98 x λ = 0, L x2 = x 1 50λ = 0, L λ = x 1 50 = 0 x 1 = 35, = 70, λ = Die Chefin sollte insgesamt 105 ME= Windschutze und 210 ME=2 100 Strandmuscheln einkaufen, um unter diesen Voraussetzungen maximalen Gewinn zu erzielen K = = 200 e /Monat G = 35e/Monat 3 Der monatliche Gewinn würde um etwa 35e steigen, wenn sie zum Einkauf 600e mehr zur Verfügung hätte. Zusatzaufgabe: zu zahlender Zins: Z = = 1, 82e Da die anfallenden Zinsen deutlich niedriger als der zu erwartende Zusatzgewinn von 3 35 = 105 sind, sollte sie sich das Geld leihen.