Die natürliche Basis {1, i} gibt uns eine Identifizierung

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1 J.M. Sullivan, TU Berlin C: Die komplexen Zahlen Analysis II, WS 28/9 C. DIE KOMPLEXEN ZAHLEN C. Definition Sei K ein Körper. Jede lineare Gleichung bx = c (mit b K) hat die eindeutige Lösung x = c / b. Hingegen hat nicht jede quadratrische Gleichung ax 2 + bx = c eine Lösung. In den rationalen Zahlen Q z.b. hat x 2 = 2 keine Lösung. Letztes Semester behoben wir diese Problem, in dem wir die reellen Zahlen R als Vervollständigung von Q konstruierten. In R hat x 2 = c genau dann eine Lösung x = ± c, wenn c. Wollen wir alle quadratische Gleichungen lösen können, müssen wir die reellen Zahlen ergänzen und einen größeren Körper C konstruieren. Dabei wird C kein angordneter Körper. Bemerkung C.. Jeder Körper K R ist ein reeller Vektorraum. Die Vektoraddition ist die Körperaddition und die Skalarmultipliktion ist ein Spezialfall der Körpermultiplikation. Sei nun K R ein Körper, der eine Lösung i zur Gleichung x 2 = enthält. Hier ist i einfach ein Name für ein neues Element i K R mit der Eigenschaft i 2 =. Als Vektorraum enthält K die lineare Hülle C := span(, i) := {x + yi : x, y R} K als 2-dimensionalen Unterraum. Um C als Körper zu sehen, müssen wir noch die Multiplikation erklären. Wollen wir tatsächlich, dass i 2 =, gibt es keine Wahl: aus den Körperaxiomen (insbes. dem Distributivgesetz) muss gelten (x + yi)(a + bi) = xa + yai + xbi + ybi 2 = (xa yb) + (ya + xb)i. Es ist dann einfach zu verifizieren, dass C mit dieser Multiplikation (und der Vektoraddition) tatsächlich ein Körper ist. Das heißt, wir haben einen Körper C R gefunden, in dem x 2 = eine Lösung (genauer gesagt, die zwei Lösungen ±i) hat. Definition C.2. Die R-lineare Abbildung z = x + yi z := x yi heißt (komplexe) Konjugation und ist ein Körperautomorphismus. Das heißt, neben z + w = z + w gelten auch zw = z w und z / w = z / w. Wir definieren den Realteil und den Imaginärteil einer komplexen Zahl: Re z := (z + z) R, Re(x + yi) = x, 2 Im z := (z z) R, Im(x + yi) = y. 2i Damit gilt z = (Re z) + (Im z)i. Eine komplexe Zahl z C ist natürlich genau dann reell, wenn Im z = ; wir sagen, z ist (rein) imaginär, falls Re z =. Die Zahl i = heißt imaginäre Einheit. Ende der Vorlesung 28 Dezember Bemerkung C.3. Über mehrere Jahrhunderte wurden komplexen Zahlen benutzt aber nur als Hilfsmittel, reellen Lösungen zu finden. Man glaubte, die imaginären Zahlen auch wenn nützlich seien nur Hirngespinste, die reellen Zahlen hingegen existieren in der realen Welt. Als Beispiel hat jede kubische Gleichung mit reellen Koeffizienten mindestens eine reelle Lösung; es gibt sogar eine (allerdings komplizierte) Formel dazu, die 545 von Cardano veröffentlicht wurde. Mit einer linearen Substitution kann man die Gleichung in die reduzierte Form x 3 + 3bx = 2c bringen. Definieren wir die Diskriminante D := b 3 + c 2, ist 3 c + D + 3 c D eine reelle Lösung. Für D ist alles reell; für D < hingegen arbeiten wir vorübergehend mit komplexen Zahlen, auch wenn die Endergebnis wieder reell ist. Spätestens seit dem Versuch (etwa vor Jahren), die reellen Zahlen rigoros zu definieren, verstehen Mathematiker das alles ganz anders. Schon die reellen Zahlen sind imaginär im Sinne, dass sie ein menschliches Hirngespinst sind. Hingegen sind die komplexen Zahlen auch reell sind im Sinne, dass sie eine sehr vernünftige mathematische Struktur bilden. Sie spielen z.b. bei der von Eugene Wigner benannten unverschämten Effektivität der Mathematik in den Naturwissenschaften eine entscheidende Rolle. Wir haben C gebaut, damit jede reelle Zahl eine Wurzel hat. Es stellt sich heraus, dass sogar jede komplexe Zahl z C eine Wurzel w C hat: ( ) ( ) w = / 2 z + Re z + / 2 z Re z i. Mit der aus der Schule bekannten Lösungsformel hat dann jede quadratische Gleichung eine expliziete Lösung in C. Der Fundamentalsatz der Algebra, den wir später beweisen, sagt, dass jedes Polynom P(z) mit komplexen Koeffizienten eine Nullstelle P(z) = in C hat. (Es folgt, dass die Anzahl der Nullstellen gleich dem Grad des Polynoms ist, wenn diese mit einer angemessenen Vielfachheit gezählt werden.) C2. Metrik und Topologie Die natürliche Basis {, i} gibt uns eine Identifizierung C R 2, x + yi (x, y), z (Re z, Im z). Es ist oft sehr hilfreich, wenn man sich komplexe Zahlen bildlich als Punkte in dieser sogenannten Gauß schen Zahlenebene vorstellt. Definition C2.. Auf C benutzen wir die euklidische Norm auf R 2, die sich auch komplex ausdrücken lässt: x + yi = z := zz = x 2 + y 2 = (x, y) 2. Wir nennen z den Betrag von z. Bemerkung C2.2. Natürlich gilt die Dreiecksungleichung z + w z + w. Ähnlich zum Betrag auf R gilt aber auch zw = z w und (für w ) z/ w = z / w. 2

2 J.M. Sullivan, TU Berlin C: Die komplexen Zahlen Analysis II, WS 28/9 Bemerkung C2.3. Als metrischer Raum ist C deshalb isometrisch zu E 2. Damit sind alle topologischen Fragen (Konvergenz, Stetigkeit, Kompaktheit usw.) geklärt. Auch für C n gilt C n E 2n. Beispiele C2.4. Es gelten z.b.:. Eine Folge (z n ) in C konvergiert genau dann gegen w C, wenn Re z n Re w und Im z n Im w. 2. Eine komplexe Funktion f : X C ist genau dann stetig, wenn Re f und Im f stetige Funktionen X R sind. 3. Der Raum C n ist vollständig und wegzusammenhängend. 4. Eine Teilmenge T C n ist genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen in C n ist. Beispiel C2.5. Komplexe Multiplikation (z, w) zw ist eine stetige Abbildung C 2 C. (Weil (x, y, a, b) (xa yb, xb + ya) eine stetige Abbildung R 4 R 2 ist.) Es folgt, dass die Rechenregeln für reelle Folgen (I.B5.2) auch für komplexe Folgen gelten, insbes., dass lim(z n w n ) = (lim z n )(lim w n ), falls die beiden Grenzwerte auf der rechten Seite existieren. Bemerkung C2.6. Hingegen machen viele Sachen, die wir in R bzw. für reelle Funktionen definiert haben, in C bzw. für komplexe Funktionen deswegen keinen Sinn mehr, weil C nicht angeordnet ist: Eine Teilmenge in C hat kein Supremum bzw. Infimum. Eine Abbildung f : C Y hat keine einseitigen Grenzwerte. Monotonie macht keinen Sinn für komplexe Funktionen C C (bzw. R C bzw. C R). Bemerkung C2.7. Es gibt in C keine Intervalle und deshalb keinen Zwischenwertsatz. (Um komplexe Nullstellen topologisch zu finden, braucht man den komplizierteren Begriff eines einfach zusammenhängenden Raumes.) Bemerkung C2.8. In der komplexen Analysis lernt man die erweiterten komplexen Zahlen (die Riemann sche Sphäre) C = C { } kennen. Hier gibt es nur das eine unendliche Element und die Rechenregeln sind ein bisschen anders als in R. In diesem Semester betrachten wir C nicht weiter. Bemerkung C2.9. Später definieren wir Ableitungen für Funktionen R 2 R 2. Die komplexe Ableitung einer Funktion C C ist aber etwas Strengeres, die wir hier nicht betrachten. C3. Komplexe Reihen a. Reihen in Banachräumen Bezeichne V in diesem Abschnitt einen Banachraum, d.h. ein vollständiger normierter Vektorraum. Im letzten Semester (I.C) betrachteten wir Reihen in R. Die meisten Ergebnisse können wir leicht auf Reihen in V übertragen. Definition C3.. [Vgl. I.C..] Sei (a n ) n eine Folge in V. Wir definieren dazu die Folge (s n ) der Partialsummen: s n := n a k := a + a a n. Diese neue Folge nennen wir die zu (a n ) gehörige (unendliche) Reihe. Falls sie konvergiert, nennen wir den Grenzwert die Reihensumme: lim n n a k =: a k =: a k =: a + a 2 +. Wir benutzen a k als Name sowohl für die Reihe selbst als auch für deren Grenzwert (falls dieser existiert). Satz C3.2 (Rechenregeln). [Vgl. I.C.4.] Seien b n und cn konvergente Reihen in V, und sei a R. Die Reihe (abn + c n ) konvergiert auch. Es gilt (ab n + c n ) = a b n + c n. n= Weil V vollständig ist, konvergiert eine Folge genau dann, wenn sie eine Cauchyfolge ist. Das heißt: Satz C3.3 (Cauchykriterium). [Vgl. I.C.7.] Die Reihe ak in V konvergiert genau dann, wenn es zu jedem ε > ein N N gibt, so dass für alle n m N gilt n= n a k < ε. k=m Korollar C3.4. [Vgl. I.C.8.] Ist ( a k ) keine Nullfolge, dann konvergiert a k nicht. Definition C3.5. [Vgl. I.C2.3.] Eine Reihe a k in V heißt absolut konvergent, wenn die Reihe a k in R konvergent ist. Lemma C3.6. [Vgl. I.C2.7.] Eine absolut konvergente Reihe in V ist konvergent und es gilt a k a. k Bemerkung C3.7. In jedem unvollständigen normierten Vektorraum gibt es hingegen eine absolut konvergente Reihe, die nicht konvergiert. Satz C3.8 (Wurzelkriterium). [Vgl. I.C2..] Sei a k eine Reihe in V. Falls es q < gibt, so dass k ak q für fast alle k N, dann ist die Reihe a k absolut konvergent. Falls hingegen k ak für unendlich viele k, dann ist a k divergent. Bemerkung C3.9. Man kann den Satz auch wie folgt formulieren: Sei a := lim k ak. Falls a <, konvergiert a k absolut; falls a > divergiert a k. n= 22

3 J.M. Sullivan, TU Berlin C: Die komplexen Zahlen Analysis II, WS 28/9 Bemerkung C3.. Der Satz hat fast nichts mit V zu tun. Alle Aussagen beziehen sich auf die reelle Folge a k mit nur einer Ausnahme. Für a > schließen wir nicht nur, dass a k nicht absolut konvergiert, sondern (aus Korollar C3.4), dass ak divergiert. Korollar C3. (Quotientenkriterium). [Vgl. I.C2.2.] Sei ak eine Reihe in V, wobei a k für fast alle k. Falls es q < gibt, so dass a k+ / ak q für fast alle k, dann ist ak absolut konvergent. Falls hingegen a k+ / ak für fast alle k, dann ist a k divergent. b. Komplexe Potenzreihen Weil C E 2 ein Banachraum ist, gelten alle obigen Sätze für komplexe Reihen. Beispiel C3.2. [Vgl. I.C..] Sei z C. Wir betrachten die geometrische Reihe z n. Für z ist sie divergent; für z < konvergiert sie absolut: n= z n = z. Ende der Vorlesung 28 December 4 Definition C3.3. [Vgl. I.F.] Sei (a n ) eine Folge in C. Für jedes z C betrachten wir die Potenzreihe a k z k. k= Ist T C die Menge aller z, für die die Reihe konvergiert, dann definiert die Potenzreihe eine Funktion f : T C durch f (z) := a k z k. Definition C3.4. Sei a k z k eine Potenzreihe. Wir setzen a := lim k ak [, + ]. Wir definieren wie folgt den Konvergenzradius R [, + ] der Potenzreihe: +, a =, R := / a, < a < +,, a = +. Beispiele C3.5. Aus der Regel von l Hôpital (I.E3) gilt log k lim =. k + k Für jedes b R gilt daher lim k kb = e b =. Hingegen wissen wir schon (I.F.8), dass lim k k! = +. Deshalb gelten z.b.: z k hat Konvergenzradius R =, k b z k hat ebenfalls R =, z k / k! hat R = +, k!z k hat R =. Satz C3.6. Sei R der Konvergenzradius der Potenzreihe ak z k. Für z < R (d.h., für z B R ()) ist die Reihe absolut konvergent. Für z > R ist sie divergent. Beweis. Wegen k ak z k = z k ak folgt dieser Satz direkt aus dem Wurzelkriterium. Bemerkung C3.7. Man kann auch Potenzreihen um ein Zentrum z C betrachten. Falls f (z) = a k z k Konvergenzradius R hat, dann ist g(z) := a k (z z ) k = f (z z ) absolut konvergent für z B R (z ) und divergent für z z > R. Bemerkung C3.8. Sei f (z) = a k z k eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R. Die Partialsummen n a k z k sind Polynome und haben Ableitungen n ka k z k. (Dies wissen wir im Falle z, a k R. Es gilt aber auch im komplexen Falle, sobald man komplexe Ableitungen kennt.) Wir definieren g(z) := a k kz k = (k + )a k+ z k. k Weil k, hat auch diese Potenzreihe Konvergenzradius R. Auf B R () ist g die Ableitung von f. Wir haben einen Spezialfall (etwa R = und natürlich alles reell) im letzten Semester bewiesen (I.F.). Der Beweis im allgemeinen Fall ist sehr ähnlich. Es folgt natürlich, dass f auf B R () stetig ist; einen einfacheren Beweis der Stetigkeit wird in der Übung gemacht. Bemerkung C3.9. Sei T die Menge aller z C, für die f (z) = ak z k konvergiert. Dann gilt B R () T B R () aber viel mehr können wir nicht sagen, weil Satz C3.6 im Falle z = R gar nichts sagt. Obwohl f auf B R () stetig ist, kann es sein, dass f auf T unstetig ist. (Der Abel sche Grenzwertsatz sagt, im reellen Fall ist f stetig. Das heißt, falls a k R, dann ist f stetig auf T R [ R, R].) Beispiel C3.2. Nehmen wir z.b. a k = / k ; die Potenzreihe z k / k hat R =. Für z = ist die Reihe divergent; für z = ist sie konvergent (aber nicht absolut). Der Abel sche Grenzwertsatz ist hier anwendbar und garantiert (vgl. I.F6.8), dass / 2 + / 3 = log 2. c. Elementare komplexe Funktionen Im letzten Semester konstruierten wir die Exponentialfunktion exp: R R und die trigonometrischen Funktionen sin, cos: R R durch Potenzreihen mit unendlichem Konvergenzradius. Diese Potenzreihen können wir auch komplex betrachten. Definition C3.2. Wir definieren die komplexe Exponentialfunktion exp: C C und die komplexen trigonometrischen 23

4 J.M. Sullivan, TU Berlin C: Die komplexen Zahlen Analysis II, WS 28/9 Funktionen cos, sin: C C durch exp z := cos z := sin z := z k k! = + z + z2 2 + z3 3! + z4 4! +, ( ) j z 2 j (2 j)! = z2 2 + z4 4!, k= j= ( ) j z 2 j+ (2 j + )! = z z3 3! + z5 5!. j= Aus diesen drei, definieren wir die weiteren Funktionen cosh, sinh, tanh, tan (usw.) genau wie im reellen Fall: cosh z := 2( exp z + exp( z) ), tanh z := sinh z/ cosh z, sinh z := 2( exp z exp( z) ), tan z := sin z/ cos z. Satz C3.22 (Euler sche Identität). Für z C gilt exp iz = cos z + i sin z. Beweis. Wir bekommen eine Teilfolge der Partialsummen (die ebenfalls gegen exp iz konvergiert), indem wir Klammern in die Reihe setzen (I.C.5): exp iz := k= i k z k k! = ( + iz ) ( i 2 z i3 z 3 ) + 3! ( z = i 2 j 2 j (2 j)! + i z 2 j+ ). (2 j + )! j= Weil die Reihen für cos z und sin z beide konvergieren, können wir die Rechenregeln anwenden, um eine lineare Kombination zu summieren: cos z + i sin z = = ( ) j z 2 j (2 j)! + i ( ) j z 2 j+ (2 j + )! j= j= j= ( z ( ) j 2 j (2 j)! + i z 2 j+ ). (2 j + )! Bemerkung C3.23. Weil auch im komplexen Fall cos gerade ist und sin ungerade, gilt Damit gelten auch exp( iz) = cos z i sin z. cos z = cosh iz, sin z = i sinh iz. Meistens betrachtet man die Euler sche Identität für z = θ R. Dann gelten Re exp(iθ) = cos θ, Im exp(iθ) = sin θ und mit exp iθ = liegt exp iθ auf dem Einheitskreis in der Gauß schen Zahlenebene. Satz C3.24 (Cauchyproduktformel). Seien a k und b k zwei absolut konvergente Reihen. Definieren wir c k := a i b j = i+ j=k k a i b k i = a b k + + a k b, i= dann konvergiert c k mit Reihensumme ( a k )( bk ). Bemerkung C3.25. Allgemeiner könnten wir die sogenannte Doppelreihe a i b j i, j N betrachten. Weil sie absolut konvergent ist, konvergiert sie in jeder Umordnung, d.h. für jede Abzählung von N N. Hier betrachten wir nur die diagonale Abzählung (vgl. I.G.7), die in der Definition von c k eingebaut ist. Beweis. Wir betrachten die Partialsummen n n s n := a k, t n := b k, u n := n c k. Wir müssen zeigen, lim s n t n u n =. Dazu betrachten wir ein Quadrat und ein Dreieck in N 2 : := { (i, j) N 2 : i, j n } n := { (i, j) N 2 : i + j n }. Dann gelten Damit gilt s n t n = (i, j) a i b j, u n = (i, j) n a i b j. s n t n u n = a i b j a i b j n n = a i b j a i b j n a i b j a i b j, n/2 wo im letzten Schritt wir n/2 n benutzen. Wir wissen aber auch, dass a k und b k absolut konvergieren. Seien A n := n a k, B n := die Partialsummen. Es gilt A n B n = a i b j. n b k Weil (A n ) und (B n ) konvergieren, konvergiert auch die Produktfolge (A n B n ) und sie ist deshalb Cauchyfolge. Es folgt, a i b j a i b j = A n B n A n/2 B n/2. n/2 Damit gilt lim s n t n u n =, wie gewünscht. 24

5 J.M. Sullivan, TU Berlin C: Die komplexen Zahlen Analysis II, WS 28/9 Ende der Vorlesung 28 Dezember 9 Korollar C3.26. Für alle z, w C gilt exp(z + w) = exp z exp w. Beweis. Seien a k := zk / k! und b k := wk / k!. Wir wenden die Cauchyproduktformel an. Es gilt aus dem binomischen Lehrsatz, c k := Damit gilt a i b j = k! i+ j=k exp(z + w) = k i= ( ) k z i w k i = i k! (z + w)k. ( ) ( ) c k = a k b k = exp z exp w. Bemerkung C3.27. Im letzten Semester haben wir diese Gleichung (für z, w R) aus der Differentialgleichung exp = exp bewiesen. (Eigentlich geht dies auch komplex, sobald man komplexe Differentiation kennt.) Der Beweis hier aus der Potenzreihe ist unabhängig. Definition C3.28. Für < a R und z C definieren wir a z := exp(z log a). Insbesondere gilt e z = exp z. Bemerkung C3.29. Diese Definition ist deshalb vernünftig, weil mit Korollar C3.26 die normalen Rechenregeln für Potenzen gelten: a z+w = a z a w, (ab) z = a z b z (, a x )z = a xz für alle a, b, x R und z C. Es gilt auch a z = a z. Definition C3.3. Betrachten wir nochmal die Euler sche Identität. Sei z := e ρ+iθ = e ρ e iθ = e ρ (cos θ + i sin θ) =: r(cos θ + i sin θ) für ρ, θ R. Diese Darstellung der komplexen Zahl z heißt Polarform. Der Radius r ist der Betrag z = r = e ρ. Der Winkel θ heißt Argument von z. Natürlich gilt re iθ = re i(θ+2π). Das heißt, die Polarform ist nicht eindeutig. Um das Argument einer komplexen Zahl eindeutig zu definieren, wählen wir immer θ = arg z ( π, π]. Dann ist aber arg: C {} R entlang der negativen reellen Achse unstetig. Bemerkung C3.3. In Polarform gelten Re re iθ = r cos θ, Im re iθ = r sin θ, re iθ = re iθ. Bemerkung C3.32. Sonderfälle der Euler schen Identität liefern schöne Formeln für bestimmten komplexen Zahlen auf dem Einheitskreis: e 2πi =, e πi =. e πi/2 = i. Es wird gesagt, e πi + = sei die schönste Formel in der Mathematik, weil sie die fünf wichtigsten Zahlen verbindet. Bemerkung C3.33. Jetzt können wir das Additionstheorem (I.F3.8) für cos bzw. sin neu herleiten als Realteil bzw. Imaginärteil der Gleichung cos(x + y) + i sin(x + y) = e i(x+y) = e ix e iy = (cos x + i sin x)(cos y + i sin y) = (cos x cos y sin x sin y) + i(sin x cos y + sin y cos x) für x, y R. (Die Formeln gelten auch für nichtreelle x, y.) Im reellen Fall wurde Logarithmus als Umkehrfunktion der injektiven Exponentialfunktion definiert. Die komplexe Exponentialfunktion ist nicht mehr injektiv (e = = e 2πi ). Definition C3.34. Der komplexe Logarithmus C {} C wird durch log z := log z + i arg z definiert; diese Funktion ist auf der negativen reellen Achse unstetig, sonst stetig. Bemerkung C3.35. Es gilt e log z = z. Umgekehrt gilt log e z = z nur dann, wenn z nah an der reellen Achse liegt. Im Allgemeinen gilt log e z = z + 2πin mit n Z so gewählt, dass Im z + 2πn ( π, π]. (D.h., n = Im z/ 2πi + / 2.) Definition C3.36. Sei n N + und sei ω := e 2πi/n. Dann gilt ω n =. Für jedes k Z gilt ( ω k)n =. Die n Nullstellen von z n =, die n-ten Einheitswurzeln, sind ω k = e 2πik/n für k =,,..., n. Bemerkung C3.37. Sei z C. Setzen wir w := e (log z)/n, dann gilt w n = z. Die anderen n-ten Wurzeln aus z sind w mal die Einheitswurzeln: ω k w. C4. Polynome Bezeichne K in diesem Abschnitt entweder den Körper R oder den Körper C. Definition C4.. Ein Polynom (über K) ist eine Abbildung P: K K, die sich entweder als P(z) oder wie folgt darstellen lässt: P(z) = n c j z j, wobei n N und die Koeffizienten c j Zahlen aus K sind mit c n. Hier heißt n N der Grad deg(p) von P; wir definieren deg() =. Eine Zahl z K mit P(z) = heißt Nullstelle von P. Bemerkung C4.2. Summe und Produkt zweier Polynome sind Polynome. Die Vereinbarung deg = ist sinnvoll: Nur deshalb gelten die Regeln deg( f g) = deg f + deg g, deg( f + g) max(deg f, deg g) j= auch dann, wenn f = bzw. g =. 25

6 J.M. Sullivan, TU Berlin C: Die komplexen Zahlen Analysis II, WS 28/9 Lemma C4.3. Sei P(z) = n c j z j ein Polynom mit c n = und sei C := c j. Dann hat P keine Nullstellen außerhalb B C (). Beweis. Sei z C. Für j < n gilt z j z n weil z. Deshalb gilt nach der Dreiecksungleichung P(z) z n n c j z j < C z n. Daher gilt P(z) > z n C z n = ( z C ) z n. j= Korollar C4.4. Die Darstellung eines Polynoms ist eindeutig. (Damit ist der Grad wohldefiniert). Beweis. Die Differenz zweier unterschiedlicher Darstellungen ergäbe eine Darstellung c j z j (mit c n ) für das Nullpolynom, was dem Lemma widerspricht, sobald man durch c n teilt. Ende der Vorlesung 28 Dezember 4 Bemerkung C4.5. Tatsächlich ist ein Polynom von Grad n schon durch seine Werte P(z j ) in je n + Punkten z j K bestimmt. Bemerkung C4.6. Wenn man in der abstrakten Algebra Polynome über einem beliebigen Ring betrachtet, stimmt das Korollar nicht mehr. Deswegen muss man zwischen Polynomfunktionen (unsere Polynome) und Polynomen (etwa unsere Darstellungen) unterscheiden. Wir haben C konstruiert, um Wurzeln ziehen zu können, und haben gesehen, dass jedes quadratische Polynom über C eine Nullstelle hat. Tatsächlich sagt der Fundamentalsatz der Algebra, jedes komplexe Polynom hat eine Nullstelle. Lemma C4.7. Sei P ein Polynom über C und sei w C mit P(w). Dann gibt es ein z C so, dass P(z) < P(w). Beweis. Wir dürfen annehmen, w =, indem wir P(z) mit Q(z) := P(z + w) ersetzen. Nun sei a := P(). Es gibt b C und k N + so, dass wir P in der Form P(z) = a + bz k ( + c z + + c n z n ) (mit c,..., c n C) schreiben können. Für die stetige reelle Funktion g(r) := n c j r j gilt g() >. Dann gibt es ε > so, dass für r < ε gilt g(r) >. Sei nun w C eine k-te Wurzel aus a / b und wähle λ (, ) R klein genug, dass z := λw den Betrag r := z = λ w < ε hat. Dann gilt und damit a + bz k = a + bλ k w k = a( λ k ) P(z) a + bz k + b r k n c j r j n = a λ k a + b r k c j r j = a + b r k ( + n ) c j r j = a b r k g(r) < a. Satz C4.8 (Fundamentalsatz der Algebra). Jedes nichtkonstante Polynom über C hat eine Nullstelle. Beweis. Sei P ein Polynom. Wir setzen a := P() und dürfen annehmen, a > (weil sonst eine Nullstelle ist). Weil P : C R stetig ist, ist das Urbild A := { z C : P(z) } a von [, a] kompakt. Auf A nimmt die stetige Funktion P deshalb ihre Minimum an: es gibt w A mit P(w) P(z) für alle z A. Aus der Definition von A ist w dann ein globales Minimum für P auf C. Aus dem Lemma folgt P(w) =. Aus der Schule kennen wir den Divisionsalgorithmus für Polynome: Satz C4.9. Seien F und G Polynome über K mit deg G >. Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome Q (Quotient) und R (Rest) über K mit F = QG + R und deg R < deg G. Korollar C4.. Ist P ein Polynom über K und ist a K eine Nullstelle, dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom Q mit P(z) = (z a)q(z). Korollar C4.. Jedes komplexe Polynom von Grad n hat n Nullstellen im Sinne, dass es a,..., a n C und c C gibt mit P(z) = c n (z a j ). j= Beweis. Wir benutzen Induktion über n. Für n = ist P c eine Konstante. Für n > hat P aus dem Fundamentalsatz eine Nullstelle a n. Mit dem letzten Korollar können wir P(z) = (z a n )Q(z) schreiben, wobei deg Q = n. Aus der Induktionsvoraussetzung folgt dann n Q(z) = c (z a j ). j= Bemerkung C4.2. Sei P(z) = c j z j ein komplexes Polynom. Sei P das konjugierte Polynom P(z) = c j z j. Dann gilt P(z) = P(z). Ist a eine Nullstelle von P, dann ist a eine Nullstelle von P. Im Falle, dass die Koeffizienten reell sind (c j R), gilt P = P. Für jede nichtreelle Nullstelle a C ist a auch eine Nullstelle. Das heißt (z a)(z a) = z 2 2 Re a + a 2 teilt P. Sind a j, a j die nichtreellen und b k die reellen Nullstellen, dann gilt ( P(z) = c (z b k ) z 2 2 Re a j + a j 2). 26