Reelle/komplexe Zahlen und Vollständigkeit

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1 Die folgenden Fragen/Aussagen sind mit ja / wahr oder nein / falsch zu beantworten. Da wir den Stoff der Analysis 1 behandeln, ist im weiteren davon auszugehen dass die Folgen, Reihen, Definitionsbereiche usw. in N, Z, Q, R oder C bzw. Teilmengen sind, es sei denn es ist etwas anderes vermerkt. Zudem betrachten wir auf diesen Mengen immer die beiden in Kapitel 1&2 eingeführten Absolutbeträge als Norm. Reelle/komplexe Zahlen und Vollständigkeit Ja/Wahr Nein/Falsch 1 Jede Menge M R besitzt zumindest eine größte untere Schranke. 2 Jede endliche Menge M R besitzt sowohl eine kleinste obere als auch eine größte untere Schranke 3 Gilt für alle A, B R die Gleichung sup(a B) = sup A sup B? 4 In jedem offenen Intervall liegen unendlich viele rationale Zahlen 5 In jedem abgeschlossenen Intervall liegen unendlich viele irrationale Zahlen 6 Wenn a und b rational sind, so ist auch a b rational. 7 Wenn a und b ganze Zahlen sind, so ist a b eine ganze Zahl 8 Besitzt jede beschränkte Menge M C ein Supremum? 9 Der Ausdruck z z mit z C ist genau dann nicht reell, wenn Im(z) > 0 ist. 10 Der Quotient w z mit w, z C ist genau dann reell wenn ein a R existiert mit w = az. 11 Jede (unendlich feine) Intervallschachtelung in R besitzt genau eine reelle Zahl die in all ihren Intervallen liegt. 12 Zu jedem a R gibt es genau eine (unendlich feine) Intervallschachtelung, so dass a in all ihren Intervallen liegt. 13 Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen liegt immer noch eine rationale Zahl. 14 R da R ja vollständig ist. 15 Für alle komplexen Zahlen w, z gilt wz = w z

2 LÖSUNGEN: Reelle/komplexe Zahlen und Vollständigkeit 1 [FALSCH] Die Menge ], 0] R hat beispielsweise keine untere Schranke und damit natürlich auch keine größte. 2 [WAHR] Jede endliche Teilmenge des R ist beschränkt und jede beschränkte Teilmenge des R besitzt ein Supremum (kleinste obere Schranke) und ein Infimum (größte untere Schranke). 3 [NEIN] Dies gilt z.b. nicht für A = [ 2, 1], B = [1, 2] denn sup(ab) = sup([ 4, 1]) = 1 2 = 1 2 = sup(a) sup(b) 4 [FALSCH] Für a = b und a, b R ist ]a, b[= und enthält somit auch keine rationale Zahl. Für a < b ist diese Aussage allerdings wahr. 5 [FALSCH] Da z.b. [1, 1] = {1} ebenfalls ein abgeschlossenes Intervall ist aber nur genau eine rationale Zahl enthält. Wiederum ist diese Aussage für [a, b] mit a < b und a, b R wahr. 6 [FALSCH] Gegenbeispiel liefert unter anderem die irrationale Zahl 2 = 2 1/2 / Q. 7 [FALSCH] Gegenbeispiel wäre unter anderem 2 1 = 1 2 / Z. 8 [NEIN] Genau genommen ist Supremum (und auch Infimum ) im Komplexen überhaupt nicht definiert, da die Definition eine Ordnungsrelation voraussetzt. 9 [FALSCH] Für diesen Ausdruck haben wir gezeigt zz = z und damit ist er immer reell. 10 [FALSCH] Aber es fehlt nicht viel: Wir müssen nur z = 0 aussschließen und die Aussage ist wahr. 11 [WAHR] So wurde R in der Vorlesung eingeführt wenn die Intervallgrenzen in Q sind. Da zwischen allen reellen Zahlen (die nicht gleich sind) noch eine rationale liegt, gilt das auch für alle reellen Intervallschachtelungen. 12 [FALSCH] Es gibt zum Beispiel für 0 R die beiden Invervallschachtelungen I n := [ 1 n, 1 n ] und J n := [ 1 n 2, 1 n 2 ] jeweils für n = 1, 2, 3, [WAHR] Diese Aussage gilt für zwei beliebige verschiedene reelle Zahlen und damit insbesondere auch für zwei verschiedene rationale Zahlen. Ausserdem können wir ebenfalls direkt eine angeben: a+b [FALSCH] Da es keine Intervallschachtelung (ja noch nicht einmal ein einziges Intervall) gibt das beinhaltet, ist trotz Vollständigkeit nicht in R. 15 [FALSCH] Als Gegenbeispiel dient das (mehr oder weniger bekannte) 1 = 1 = ( 1)( 1) = 1 1 = i i = 1 Hier sieht man auch warum es eine gute Idee ist, bei negativen oder komplexen Zahlen auf das Wurzel-Symbol zu verzichten. 2

3 Folgen Ja/Wahr Nein/Falsch 1 Jede konvergente Folge hat einen Grenzwert. 2 Es gibt Folgen mit mehr als einem Grenzwert. 3 Aus lim sup n a n = lim inf n a n = c R folgt die Konvergenz der Folge (a n ) n N gegen c. 4 Das N in der Definition von Konvergenz darf von ε abhängen. 5 Kann man den Grenzwert einer Folge ändern indem man endlich viele ihrer Folgeglieder ändert? 6 Ist die Teilfolge einer Teilfolge auch Teilfolge der ursprünglichen Folge? 7 Wenn eine Folge konvergiert, konvergieren dann auch alle ihre Teilfolgen gegen den gleichen Grenzwert? 8 Es gibt eine unbeschränkte konvergente Folge. 9 Es gibt Cauchy-Folgen die nicht konvergent sind. 10 Es gibt Cauchy-Folgen in C die nicht konvergent sind. 11 Gibt es Folgen mit unendlich vielen Häufungswerten? 12 Jede Folge hat zumindest einen Häufungswert. 13 Jede konvergente Folge hat genau einen Häufungswert. 14 Sei (a n ) n N eine reelle und (b n ) n N eine komplexe Folge, so folgt lim n (a n b n ) = lim n (a n ) lim n (b n ) 15 Wenn (a n ) n N und (b n ) n N reelle Folgen sind von denen (a n ) n N bestimmt gegen divergiert, so divergiert auch a n + b n. 16 Jede beschränkte Folge in R konvergiert. 17 Eine komplexe Folge konvergiert genau dann wenn ihr Real- und Imaginärteil konvergiert. 18 Gilt für a, b [0, [ die Konvergenz n a n + b n n b? 3

4 LÖSUNGEN: Folgen 1 [WAHR] Das geht direkt aus der Definition von konvergent hervor. 2 [FALSCH] Solange wir uns in einem metrischen Raum bewegen ist der Grenzwert (falls er existiert) eindeutig. 3 [WAHR] Zum Beispiel mit dem Einschlußkriterium beweisbar. 4 [WAHR] Das N unabhängig von ε zu wählen ist nur bei Folgen möglich die ab einem Index konstant auf ihrem Grenzwert liegen. 5 [NEIN] Angenommen alle veränderten Folgeglieder liegen vor dem Index M N (es sind endlich viele, also existiert M), so wählen wir das N aus der Definition von Konvergenz einfach immer größer als M. 6 [JA] Zwei streng monotone Abbildungen τ, µ : N N bilden verkettet wieder eine streng monotone Abbildung (τ µ) : N N. 7 [JA] Die Annahme es gäbe eine Teilfolge die nicht gegen den GW der Folge konvergiert, führt dazu dass die Folge nicht gegen ihren GW konvergieren kann. 8 [FALSCH] Wir wissen aus Satz 3.2 dass jede konvergente Folge beschränkt ist. 9 [WAHR] Zum Beispiel ist die Folge mit den Folgegliedern a n := (1 + 1 n )n in Q eine Cauchy- Folge aber nicht in Q konvergent da ihr Grenzwert nicht in Q liegt. (aus Z17: e / Q) 10 [FALSCH] Da C vollständig ist, konvergiert dort jede Cauchy-Folge. 11 [JA] Ein Beispiel ist die Folge (0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 5,... ), ein anderes lernten wir in H21 kennen. 12 [FALSCH] Die Folge mit den Folgegliedern a n := n für n N besitzt keinen Häufungswert. 13 [WAHR] Dieser Häufungswert ist der Grenzwert. Angenommen es gäbe einen weiteren, dann gäbe es eine Teilfolge die gegen diesen und nicht den ursprünglichen GW konvergieren würde. Dies ist ein Wiederspruch zur vorhergehenden Frage [FALSCH] Da wir nicht wissen ob die beiden Folgen überhaupt konvergieren. 15 [FALSCH] Angenommen a n = n und b n = n für n N, so ist a n + b n = 0 für alle n N. 16 [FALSCH] Gegenbeispiel: a n = ( 1) n für n N. 17 [WAHR] Wurde in H12 gezeigt. 18 [FALSCH] Wir haben gezeigt, dass das nur gilt falls b a ist (H14). 4

5 Nicht vergessen: wir betrachten hier nur Potenzreihen der Form n=0 a nz n (d.h. der Entwicklungspunkt ist die Null). Reihen Ja/Wahr Nein/Falsch 1 Wenn (a n ) n N Cauchy-Folge ist, so ist n=0 a n konvergent. 2 Wenn n=0 a n konvergent ist, so ist (a n ) n N Nullfolge. 3 Gibt es Reihen die absolut konvergent aber nicht konvergent sind? 4 Wenn p(z) Potenzreihe mit Konvergenzradius R ist, so konvergiert p für z R. 5 Es gibt eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R = 0. 6 Jede Potenzreihe p(z) konvergiert für z = 0. 7 Man kann den Wert einer Reihe verändern, wenn man endlich viele Summanden ändert. 8 Wenn ( ) an+1 n a n q mit q 1 gilt, dann konvergiert n=0 a n. 9 Der Konvergenzradius einer Potenzreihe mit reellen Koeffizienten ist in R und in C gleich, wenn er existiert. 10 Der mit dem Quotientenkriterium errechnete Konvergenzradius einer Potenzreihe stimmt immer mit dem Konvergenzradius des Wurzelkriteriums überein, falls beide Kriterien ein Ergebnis liefern. 11 Wenn n=0 a n konvergent ist, so auch n=n a n für jedes N N. 12 Ist das Cauchy-Produkt zweier konvergenter Reihen konvergent? 13 Jede Reihe auf die das Leibniz-Kriterium anwendbar ist liefert zugleich eine Intervallschachtelung für ihren Grenzwert. 14 Konvergiert jede Potenzreihe innerhalb ihres Konvergenzradius (d.h. für z < R)absolut? 15 Jede reelle oder komplexe Potenzreihe hat mindestens den Konvergenzradius 0. 5

6 LÖSUNGEN: Reihen 1 [FALSCH] Für die Konvergenz einer Reihe muss über eine Nullfolge summiert werden. a n = 1 für alle n N ist eine Cauchy-Folge aber keine Nullfolge und damit konvergiert n=0 a n nicht. 2 [WAHR] Das wurde in Korollar 5.2 gezeigt. 3 [NEIN] Aus der absoluten Konvergenz folgt die Konvergenz (Korollar 5.3) 4 [FALSCH] Wie z.b. in T24 gesehen, liefert der Konvergenzradius keinerlei Hinweise zum Verhalten der Potenzreihe auf seinem Rand. 5 [WAHR] Betrachte beispielsweise n=0 nn z n so ist n n n = n n und damit R = 0. 6 [WAHR] Setzen wir z = 0 so erhalten wir die Reihe p(0) = a 0 + n=1 a n0 n = a 0. 7 [WAHR] Das kann man zum Beispiel schön an der Exponentialfunktion sehen: 1 + n=1 1 n! 1n = exp(1) = e und 2 + n=1 1 n! 1n = 1 + exp(1) = 1 + e. 8 [FALSCH] Wir betrachten die harmonische Reihe und sehen dass ihr Quotient q = 1 konvergiert. Aber die harmonische Reihe konvergiert nicht. 9 [WAHR] Das ist insbesondere klar wenn man sich R C in Erinnerung ruft. 1 n+1 1 n gegen 10 [WAHR] Das muss so sein, da es sonst Reihen und ein R q < x < R w zwischen den Konvergenzradien R q, R w gibt für das das Wurzelkriterium divergenz aber das Quotientenkriterium konvergenz liefern würden. 11 [WAHR] Das wird besonderst deutlich wenn man die Folgen der Partialsummen betrachtet. 12 [NEIN] Wie wir aus Z21 wissen benötigen wir dazu noch die absolute Konvergenz von mindestens einer der Reihen. In H35 haben wir dazu auch ein Gegenbeispiel kennengelernt. 13 [WAHR] Das wurde in H36 behandelt. 14 [JA] Diese Aussage basiert darauf, dass für z < R das Wurzel-/Quotientenkriterium (für Reihen, nicht Potenzreihen) anwendbar ist und damit die Reihe absolut konvergiert (z.b. Korollar 5.8 und 5.10). 15 [WAHR] Da in beiden Fällen nur mit Beträgen gearbeitet wird und die Wurzel als nicht negativ definiert ist folgt ja bereits R 0. Mit n=1 nn z n haben wir dann ebenfalls ein Beispiel für den Konvergenzradius R = 0. (Wurzelkriterium anwenden) 6

7 Stetigkeit Ja/Wahr Nein/Falsch 1 Wenn f : D R stetig ist und (a n ) n N eine Folge, so gilt lim n f(a n ) = f (lim n a n ). 2 Das δ in der ε-δ-definition von Stetigkeit darf von der Stelle p abhängen. 3 Kann f g oder g f (beide wohldefiniert) stetig sein, falls f stetig ist, g aber nicht? 4 Hat jede Funktion f :]0, 1[ R die mindestens eine Nullstelle besitzt, auch eine kleinste Nullstelle? 5 Können unbeschränkte Funktionen gleichmäßig stetig sein? 6 Jede stetige, monoton wachsende Funktion besitzt eine Umkehrfunktion. 7 Jede Lipschitz-stetige Funktion ist auch gleichmäßig stetig. 8 Eine komplexe Potenzreihe p(z) mit Konvergenzradius R ]0, [ ist für alle z C mit z R stetig. 9 In R oder C folgt aus der Folgenstetigkeit einer Funktion auch ihre ε-δ-stetigkeit, aber nicht unbedingt umgekehrt. 10 Ob f : K K stetig in x K ist, hängt nur von einer beliebig kleinen Umgebung von x ab. 11 Beschränkte stetige Funktionen nehmen ihr Maximum/Minimum an. 12 Ob f : D f(d) surjektiv ist hängt davon ab ob f stetig ist. 13 Wenn eine Funktion Lipschitz-stetig ist, so ist die Lipschitzkonstante L eindeutig bestimmt. 14 Es seien f, g : [a, b] R stetig mit f(a) > g(a) und f(b) < g(b), dann folgt x [a, b] : f(x) = g(x). 15 f :]0, [ R mit x x x kann stetig in den Punkt x = 0 fortgesetzt werden. 16 Jedes Polynom p : R R ungeraden Grades ist surjektiv. 7

8 LÖSUNGEN: Stetigkeit 1 [FALSCH] Eine fehlende Voraussetzung hierfür ist, dass (a n ) n N auch konvergiert. Falls das nicht der Fall ist, kann man dem Ausdruck auf der rechten Seite der Gleichung eventuell keinen sinnvollen Wert in R zuordnen. Zudem muss noch sichergestellt sein, dass alle a n in D liegen. 2 [WAHR] Das δ darf für jede Stelle und für jedes ε neu gewählt werden (darf also von beidem abhängen). { 3 [JA] Für den Fall (f g) wäre x f x 2 und x g 1 falls x 0 1 falls x < 0 ein Beispiel und für den Fall (g f) ebenso. Ein triviales Bsp. wäre ausserdem x f 0 und g : R R nicht stetig. 4 [NEIN] Gegenbeispiel ist x sin( 1 x ) eingeschränkt auf ]0, 1[. Diese hat für alle k = 1, 2, 3,... in x = 1 kπ Nullstellen. Diese Menge hat das Infimum 0, ist dort aber gar nicht definiert, hat also auch keine kleinste Nullstelle. Ein weiteres (langweiligeres) Gegenbeispiel wäre x 0. 5 [JA] Hier genügt uns ein Beispiel: x x ist auf R unbeschränkt aber z.b. mit δ = ε/2 gleichmäßig Stetig. 6 [FALSCH] x c für ein c R ist stetig und monoton wachsend aber offensichtlich nicht umkehrbar (da nicht injektiv). 7 [WAHR] Das haben wir in T27 gezeigt. Es wurde dabei δ = ε L gewählt. 8 [FALSCH] Aber das liegt nur daran dass wir noch z = R ausschließen müssen ( auf dem Rand des Konvergenzradius kann alles passieren ). Für z < R ist diese Aussage korrekt. 9 [FALSCH] Sowohl in R als auch in C ist Folgenstetigkeit und ε-δ-stetigkeit äquivalent. 10 [WAHR] Stetigkeit ist eine lokale Eigenschaft (im Gegensatz zu beispielsweise gleichmäßiger Stetigkeit oder Lipschitz-Stetigkeit). Das ist z.b. daran erkennbar dass wir das δ in der Definition beliebig klein wählen können und damit eben nur diese beliebig kleine Umgebung von x betrachten. 11 [FALSCH] Gegenbeispiele wäre unter anderem f : [1, [ R mit x 1 x oder der arctan. 12 [FALSCH] Durch diese Definition der Wertemenge ist sichergestellt dass f surjektiv ist, unabhängig von seiner Stetigkeit. 13 [FALSCH] Gilt zum Beispiel für eine Funktion f : D R und ein L > 0 x, y D : f(x) f(y) L x y so gilt dies ebenso wenn wir L durch ein M > L ersetzen. 14 [WAHR] Nullstellensatz auf f g anwenden. (Satz 6.7) 15 [WAHR] Der Grenzwert lässt sich leichter durch x x = e x ln(x) berechnen. 16 [WAHR] Für ein Polynom p(x) = a n x n + + a 0 mit n N ungerade, gilt lim x ± p(x) = ±sgn(a n ) und zusammen mit dem Zwischenwertsatz erhalten wir die Aussage. 8

9 Differentiation Ja/Wahr Nein/Falsch 1 Ist jede differenzierbare Funktion stetig? 2 Jede streng monotone, differenzierbare Funktion f : R R besitzt eine differenzierbare Umkehrfunktion. 3 Folgt aus f : R R streng monoton wachsend und differenzierbar bereits f (x) > 0 für alle x R? 4 Sei I R ein Intervall und f : I R stetig differenzierbar. Folgt aus x ist Minimum von f bereits f (x) = 0? 5 Ist f : [1, 2] {3} [4, 5] R, so kann f bei x = 3 nie differenzierbar sein. 6 Differenzierbare Funktionen sind gleichmäßig stetig. 7 Stetig differenzierbare Funktionen f : R R mit beschränkter Ableitung sind Lipschitz-stetig. 8 Polynome vom Grad n sind genau n + 1-Mal stetig differenzierbar. 9 Sind f, g : R R differenzierbar so ist f g und g f differenzierbar. 10 Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion ist stetig. 11 Ist f : R R mit f n (x) := { 0 falls x < 0 x n und n = 1, 2, 3,... falls x 0 öfter als n-mal stetig differenzierbar? 12 Ist der Satz von Rolle ein Spezialfall des Mittelwertsatzes? 13 Ist jede rationale Funktion auf ihrem Definitionsbereich stetig differenzierbar? 14 Jede reelle Funktion f die beliebig oft stetig differenzierbar ist, besitzt ein n N so dass f (n) konstant ist. 15 Es gibt Funktionen die auf ihrem gesamten Definitionsbereich sowohl monoton wachsen als auch monoton fallen. 16 Seien f, g :]a, b[ R R zwei reelle stetig differenzierbare Funktionen mit lim x a f(x) = und lim x a g(x) = 0 dann ist L Hospital auf lim x a f(x)g(x) anwendbar. 9

10 LÖSUNGEN: Differentiation 1 [JA] Das ist gerade die Aussage des Satz [FALSCH] Als Gegenbeispiel wurde bereits die Funktion x x 3 vorgestellt. 3 [NEIN] Auch hier ist x x 3 ein Gegenbeispiel 4 [NEIN] Das Minimum kann durchaus auf dem Rand angenommen werden mit f (x) 0 an dieser Stelle. Falls das Minimum allerdings innerhalb von I, d.h. nicht am Rand angenommen wird, so hat diese Aussage Gültigkeit. 5 [WAHR] Betrachten wir den Grenzwert des Differenzenquotienten lim a x x a f(x) f(a) x a so bemerken wir dass es keine Folge a n x = 3 in [1, 2] {3} [4, 5] geben kann deren Folgeglieder alle von x = 3 verschieden sind. 6 [FALSCH] Gegenbeispiel ist f : R R mit x x 2. Diese Funktion ist nicht gleichmäßig stetig aber differenzierbar. 7 [WAHR] Sei f : D R die betrachtete Funktion. Die Lipschitz-Konstante L wird größer als sup x D f (x) gewählt und die Ungleichung wird dann zusammen mit dem Mittelwertsatz gezeigt (Satz 7.11). 8 [FALSCH] Polynome in R und in C sind immer beliebig oft stetig differenzierbar. 9 [WAHR] Diese Aussage beinhaltet der Satz 7.4 (Kettenregel). 10 [FALSCH] Ein Gegenbeispiel lernten wir in Z32 kennengelernt x 2 sin( 1 x ). 11 [NEIN] Nach n-maliger Differentiation bekommen wir f (n) n (x) = nicht stetig ergänzt werden kann. { 0 falls x < 0 was auch n! falls x 0 12 [JA] Der Satz von Rolle ist der Mittelwertsatz mit der Zusatzbedingung f(a) = f(b). 13 [JA] Dieses Ergebnis liefert uns Satz 7.3 (iii). 14 [FALSCH] Ein wohlbekanntes Gegenbeispiel ist die Exponentialfunktion, für die für alle n = 1, 2, 3... gilt (e x ) (n) = e x. 15 [WAHR] Erstaunlicherweise kann eine Funktion beide Eigenschaften zugleich haben. Das ist genau dann der Fall wenn sie konstant ist. 16 [WAHR] Dieser kleine Trick ist sehr nützlich: Wir schreiben eine der beiden Funktionen unter den Bruch, wobei egal ist mit welcher wir das machen: f(x)g(x) = g(x) 1 oder f(x)g(x) = f(x) 1. f(x) g(x) Auf diese Ausdrücke lässt sich dann l Hospital anwenden und der Grenzwert wie gewohnt damit berechnen. 10

11 Integralrechnung Ja/Wahr Nein/Falsch 1 Jede stetige Funktion besitzt eine Stammfunktion. 2 Es gibt Funktionen die genau eine Stammfunktion besitzen. 3 Jedes Polynom p : R R besitzt eine Stammfunktion und diese ist wiederum ein Polynom. 4 f : R \ {0} R mit x 1 x besitzt auf ], 0[ keine Stammfunktion, da der Logarithmus nicht für negative Zahlen definiert ist. 5 Es gibt stetige Funktionen deren Stammfunktion nicht stetig ist. 6 Sei f : R R mit Stammfunktion F : R R, so gilt F (x) = x 0 f(t)dt. 7 Sei a < b und f : [a, b] R stetig, dann folgt aus b a f(x) dx = 0 auch f(x) = 0 für alle x I. 8 Sei a < b. Wenn f auf [a, b] eine Regelfunktion ist und f(x) > 0 für alle x [a, b] gilt, dann gilt auch b a f(x)dx > 0. 9 Wenn f : R R auf [a, b] R Regelfunktion ist, so gilt immer b a f(x + c)dx = b+c a+c f(x)dx. 10 Jede Stammfunktion einer nach unten durch die 1 beschränkten Funktion ist, wenn sie existiert, streng monoton steigend. 0 für x [0, 1[ 11 f : [0, 2] R mit f(x) := 10 für x = 1 ist eine Treppenfunktion. 1 für x ]1, 2] 11

12 LÖSUNGEN: Integralrechnung 1 [WAHR] Aus Korollar 8.6 wissen wir: C([a, b]) R([a, b]) für a < b und damit dass jede stetige Funktion Regelfunktion ist und damit eine Stammfunktion besitzt. 2 [FALSCH] Wenn F eine Stammfunktion von f ist, so ist für jedes c R auch F + c eine Stammfunktion von f. (Dies wurde bereits in Definition 7.13 behandelt) 3 [WAHR] Dass c + n überprüfen. k=1 a k k x k mit c R Stammfunktion von n k=1 a kx k 1 ist lässt sich leicht 4 [FALSCH] Eine Stammfunktion von 1 x auf R\{0} ist ln( x ) welche ebendort definiert ist und abgeleitet auf R \ {0} mit 1 x übereinstimmt. 5 [FALSCH] Da die Stammfunktion einer stetigen Funktion stetig differenzierbar ist, ist sie insbesondere stetig. 6 [FALSCH] x 0 f(t)dt ist eine Stammfunktion, kann sich aber von unserem F noch durch eine Konstante unterscheiden. 7 [WAHR] Angenommen wir haben einen Punkt x [a, b] mit f( x) > 0 dann gibt es aufgrund der Stetigkeit ein δ > 0 mit z [ δ + x, δ + x] : f(z) > f( x) 2 und damit b a f(t) dt = δ+ x f(t) dt a } {{ } 0 δ+ x + δ+ x f(t) dt + } {{ } 2δ f( x) >0 2 b δ+ x f(t) dt > 0 } {{ } 0 wobei die beiden aus Satz 8.3 (c) stammen und in der Mitte über eine konstante Funktion (f( x) nicht von t abhängig!) auf einem Intervall mit Länge 2δ integriert wurde. 8 [WAHR] In Kürze: Wir können auch in diesem Fall zeigen, dass es ein δ > 0 und ein x [a, b] c > 0 gibt so dass f auf ] δ + x, δ + x[ größer als c ist (ansonsten Wiederspruch zur Existenz des beidseitigen Grenzwertes). Der Rest des Beweises verläuft analog zu Aussage 7 zuvor. 9 [FALSCH] Auch wenn f auf [a, b] Regelfunktion ist, so wird hier doch nicht unbedingt über [a, b] sondern über [a + c, b + c] integriert. Gegenbeispiel: a = 0, b = 1, c = 1 und f : [0, 2] R mit 0 falls x [0, 1[ f(x) := 1 falls x Q [1, 2]. Diese ist auf [0, 1] Regelfunktion aber nach Satz 8.5 auf 0 falls x (R \ Q) [1, 2] ]1, 2] keine Regelfunktion. Mit dieser Wahl des a, b, c wird aber genau über [1, 2] integriert. 10 [WAHR] Wenn f nach unten durch 1 beschränkt ist und die Stammfunktion F besitzt, so ist F = f > 0 und damit ist F nach Korollar Bemerkung (1) streng monoton steigend. 11 [WAHR] Wer Wert an der Stelle x = 1 ist dafür ob es eine Treppenfunktion ist per Definition irrelevant. 12

13 Trigonometrische Funktionen Ja/Wahr Nein/Falsch 1 Es gibt genau ein z C mit exp(z) = 0. 2 Ist die Funktion exp : C C mit x exp(x) injektiv? 3 Gilt lim x arctan(x) = π 2? 4 Sinus und Cosinus sind auf ganz C definiert und dort überall stetig. 5 Der Arcuscosinus ist auf [ 1, 1] streng monoton steigend. 6 Es gilt mit f = exp und g = ln: x R : (f g)(x) = x = (g f)(x). 13

14 LÖSUNGEN: Trigonometrische Funktionen 1 [FALSCH] Wir nehmen an das sei Wahr für ein z C und sehen dann dass für alle w C folgen würde exp(w) = exp(w z + z) = exp(w z) exp(z) = 0 was ganz klar ein Wiederspruch ist. 2 [NEIN] Direkt an der Regel x R : exp(ix) = exp(i(2π + x)) zu sehen. 3 [JA] Wir wissen arctan : R ] π 2, π 2 [ ist als Umkehrfunktion von tan :] π 2, π 2 [ R surjektiv und ausserdem mit (arctan(x)) = 1 > 0 streng monoton steigend. Das liefert bereits die Aussage. 1+x 2 4 [WAHR] Die Stetigkeit ist an ihrem Konvergenzradius zu erkennen. Definiert sind sie über die Exponentialfunktion mit den Gleichungen welche leicht nachzurechnen sind. sin(z) = eiz e iz 2i cos(z) = eiz + e iz 2 5 [FALSCH] Als Umkehrfunktion des Cosinus der auf ]0, π[ eine Ableitung ungleich Null hat, ist arccos dort differenzierbar mit x ] 1, 1[: (arccos(x)) = 1 1 x < 0 ist arccos auf ] 1, 1[ 2 streng monoton fallend womit die Aussage wiederlegt ist. Prüft man die Randpunkte erhält man, dass arccos auf [ 1, 1] streng monoton fallend ist. 6 [FALSCH] Zwar ist für alle x R die Gleichung ln(exp(x)) = x korrekt, aber da ln :]0, [ R ist der Ausdruck exp(ln(x)) für kein x ], 0] definiert. 14

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