Definition: Variablentransformation d. Form (2) heisst "kanonisch", wenn sie d. Form der kanonischen Bewegungsgleichungen erhält, d.h.
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- Fabian Holzmann
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1 Zusammenfassung: kanonische Transformationen Definition: Variablentransformation d. Form (2) heisst "kanonisch", wenn sie d. Form der kanonischen Bewegungsgleichungen erhält, d.h., wenn ein existiert, für das gilt: Allgemeines Konstruktionsprinzip einer kanonischen Transformation: wähle "erzeugende F" und konstruiere neue Hamilton-Funktion gemäß: Bemerkung: Da nur zwei der vier Variablensätze q, p, Q, P unabhängig sind, gibt es vier verschiedene Klassen von "Erzeugenden" F. (Je nach Problemstellung ist eine nützlicher als die anderen.) Beispiel: F1 (1) ist identisch erfüllt, falls: Grundidee hinter dieser Konstruktion: Wenn F1 von q,q,t abhängt, brauchen wir Gleichungen, für p und P [siehe (2) und (3)]. Diese bekommen wir, durch Vergleich der Koeffizienten von und in (3). Analog für F2(q,P,t), F3(p,Q,t), F4(p,P,t).
2 Analog für andere Tr.-Klassen: (33.2), mit Einsteinscher Summenkonvention: gilt für alle Klassen von F Erzeugende F (1a) Gleichungen Koeff.- benötigt für Vergleich Bemerkung: Die Definitionen F2, F3 und F4 können als Legendre-Transformationen von F1 aufgefasst werden, und umgekehrt. Beispiel in Klasse F2: Betrachte erzeugende der Form: (3) umfasst alle bekannte Koordinatentransformationen der Lagrangeschen Mechanik (sogenannte Punkttransformationen) Spezielle Wahl von f:
3 Satz: Eine gegebene Transformation ist genau dann kanonisch, wenn folgende Poisson-Klammer-Relationen erfüllt sind, wobei die Poisson-Klammern bezüglich q,p zu berechnen sind: Beweis: Übungsaufgabe Bemerkung: dieser Satz hat wichtige Anwendungen in der Quantenmechanik, wegen Hamilton-Jacobi-Theorie Bewegungsgleichungen werden einfacher, wenn die neuen Koordinaten zyklisch sind. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn eine zeitabhängige kanonische Transformation existiert, so dass die neue Hamilton-Funktion verschwindet: Invertieren von (3) liefert gesuchte Lösung der Bewegungsgl.: spielen die Rolle von Intergrationskonstanten, lassen sich durch Angabe v, Anfangsbedingungen bestimmen:
4 Satz: (1) Die Lösung der kanonischen Bewegungsgl. ist äquivalent dazu, eine allgemeine Lösung der partiellen Differentialgleichung (DGL) ("Hamilton-Jacobi-Gleichung") zu finden, mit f unabhängigen "Integrationskonstanten" (alle zeitunabhängig) (2) Insbesondere gilt dann: und durch Auflösen nach q folgt: Beweis (1): Eine solche Lösung sei gegeben; betrachte sie als Erzeugende vom Typ F2: Die neue Hamilton- Funktion ist dann Beweis (2): folgt trivial, analog zu (38.3-5), mit Bemerkung: Da in der Hamilton-Jacobi-Theorie [Gl. (39.1,2)] nur Ableitungen der Erzeugenden vorkommen, ist sie nur bis auf eine Additive Konstante bestimmt. Per Konvention wird diese so gewählt, dass Satz: Wenn die Hamilton-Funktion nicht explizit von der Zeit abhängt, vereinfacht die Wahl für die Erzeugende die Hamilton-Jacobi-Gl. zu "verkürzte Wirkung" "verkürzte Hamilton- Jacobi-Gl." Beweis: Bemerkung: Der Ansatz (1) funktioniert nur, weil H NICHT explizit zeitabhängig ist. Wäre bräuchten wir eine Zeitabhängigkeit in zeitunabhängig
5 Beispiel: Harmonischer Oszillator Hamilton-Funktion: Erzeugende: Verkürzte Hamilton-Jacobi-Gleichung (40.2) für Diff.Gl. für Integriert: Explizite Lösung des Integrals nicht nötig, denn Auflösen nach q(t) und p(t) liefert bekannte Lösung: Anfangsbedingungen bei t=0 legen fest:
6 Physikalische Interpretation der Erzeugenden: Satz: Die Lösung der Hamilton-Jacobi-Gl. ist gerade die Wirkung entlang der physikalischen Trajektorie. Beweis: Betrachte Hamilton-Jacobi-Gl: (2) = Legendre-Transf. der Hamilton-Funktion: (1) integriert: Folgerung: Das Wirkungsintegral läßt sich als Erzeugende für gerade die kanonische Transf. interpretieren, die die Hamilton-Funktion "trivial" macht. Bemerkung: Um (4) zu verifizieren, muss Lösung der Bewegengsgleichung bereits bekannt sein. Beispiel: (43.4) für Harmonischen Oszillator: Transformation der Integrationsvariablen: Lagrange-Funktion: = Integrand v. (4), konsistent mit (43.4)
Definition: Variablentransformation d. Form (2) heisst "kanonisch", wenn sie d. Form der kanonischen Bewegungsgleichungen erhält, d.h.
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