Definition Sei R ein kommutativer Ring mit multiplikativ neutralem Element 1. Eine Abbildung D : R (n,n) R heißt n-linear, wenn gilt

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1 Kapitel 5 Determinanten 51 Definition und Existenz Definition 511 Sei R ein kommutativer Ring mit multiplikativ neutralem Element 1 Eine Abbildung D : R (n,n) R heißt n-linear, wenn gilt [D1] D ist linear in den Zeilen, dh D( a i ) + D( a i )λ = D( a i + a i λ ) wobei die Zeilen a 1,, a i 1, a i+1,,a n festbleiben Wir nennen D alternierend, wenn gilt: [D21] D(A) = 0 falls zwei Zeilen von A gleich sind [D22] Wenn A aus A durch Vertauschung zweier Zeilen entsteht, so gilt D(A ) = D(A) Wir nennen D normiert, falls [D3] D(I n ) = 1 Eine Abbildung, die [D1], [D21], [D22] und [D3] erfüllt heißt Determinantenfunktion 74

2 Lemma 512 Sei R ein kommutativer Ring mit 1 Für n-lineare Abbildungen D : R (n,n) R gilt: (a) D(Aλ) = D(A)λ n (b) Ist eine Zeile von A die Nullzeile, so gilt D(A) = 0 (c) Ist D alternierend, so ändern elementare Zeilenumformungen vom Typ E r,s (γ) den Wert D(A) nicht, dh D(A) = D(E r,s (γ) A) Beweis Einfach, bzw Vorlesung Beispiel 513 Wir wollen alle 2-linearen Abbildungen bestimmen Sei A eine beliebige Matrix in R (2,2) Mit f 1 bezeichnen wir die erste, und mit f 2 die zweite Zeile von A Dann gilt ( ) ( ) ( ) γ1,1 f D( 1 + γ 1,2 f 2 f ) = γ γ 2,1 f 1 + γ 2,2 f 1,1 D( 1 f ) + γ 2 γ 2,1 f 1 + γ 2,2 f 1,2 D( 2 ) 2 γ 2,1 f 1 + γ 2,2 f 2 ( ) ( ) f1 f1 = γ 1,1 γ 2,1 D( ) + γ f 1,1 γ 2,2 D( ) + 1 f 2 ( ) ( ) f2 f2 +γ 1,2 γ 2,1 D( ) + γ 1,2 γ 2,2 D( ) ( ) f1 Wenn D alternierend ist, so gilt D( ) = D( f 1 D( ( f1 der Gestalt f 1 ( f2 f 2 f 2 ) ) = 0 und D( ( f2 f 1 ) ) = f 2 ) ) Also muss eine Abbildung, die 2-linear und alternierend ist, von ( ) f1 (γ 1,1 γ 2,2 γ 1,2 γ 2,1 )D( ) f 2 sein Ist f 1 = (1 0) und f 2 = (0 1), und ist D eine Determinantenform, so muss ( ) γ1,1 γ D( 1,2 ) = γ γ 2,1 γ 1,1 γ 2,2 γ 1,2 γ 2,1 2,2 gelten Man rechnet leicht nach, dass diese Abbildung wirklich eine Determinantenfunktion ist Es ist jetzt relativ einfach, die Existenz einer Determinantenfunktion zu beweisen Dazu zunächst ein Lemma: Lemma 514 Ist D n-linear und gilt D(A) = 0, falls A zwei gleiche benachbarte Zeilen hat, so ist D alternierend 75

3 Beweis Wir zeigen, dass durch das Vertauschen beliebiger Zeilen von A das Vorzeichen von D(A) geändert wird Angenommen, A entsteht aus A durch Vertauschen zweier benachbarter Zeilen, zb Zeile a 1 und Zeile a 2 Dann gilt D( a 1 a 2 ) + D( a 1 a 1 ) + D( a 2 a 2 ) + D( a 2 a 1 ) = = D( a 1 + a 2 a 2 ) + D( a 1 + a 2 a 1 ) = D( a 1 + a 2 a 1 + a 2 ) = 0, also muss D(A) + D(A ) = 0 gelten, also D(A) = D(A ) Auch das Vertauschen beliebiger Zeilen ändert das Vorzeichen Angenommen, wir wollen Zeile i und j (mit i < j) vertauschen Zeile i wandert durch j i =: k Vertauschungen benachbarter Zeilen in Zeile j Danach steht die ursprüngliche Zeile j in der Zeile j 1 Nun sind k 1 Vertauschungen benachbarter Zeilen notwendig, um Zeile j 1 (die ursprüngliche Zeile j) in die i-te Zeile zu transportieren Danach steht jede Zeile (ausser Zeile i und j) wieder an ihrer ursprünglichen Position Ist B die Matrix, die wir durch Vertauschen von Zeile i und j erhalten, so gilt also D(B) = ( 1) 2k 1 D(A) = D(A) Hat A zwei gleiche Zeilen, so sind diese benachbart (also D(A) = 0), oder sie können durch eine Zeilenvertauschung benachbart werden Also gilt auch in diesem Fall D(A) = 0, weil Zeilenvertauschung nur das Vorzeichen von D(A) ändert Um nun die Existenz einer Determinantenfunktion ganz explizit nachweisen zu können, benötigen wir noch eine Definition: Ist A = (α i,j ) R (n,n), so bezeichnen wir mit A(i j) die Matrix in R (n 1,n 1), die wir aus A durch Streichen von Zeile i und Spalte j erhalten Satz 515 Sei D (n 1)-linear und alternierend, n > 1 Dann ist E j : R (n,n) R mit E j (A) = ( 1) i+j α i,j D(A(i j)) (51) i=1 (wobei A = (α i,j )) n-linear und alternierend Ist D eine Determinantenfunktion, so ist auch E j eine Determinantenfunktion Beweis Sei A = (α i,j ) R (n,n) Dann ist D(A(i j)) unabhängig von Zeile i (weil die ja in A(i j) gerade gestrichen wird), aber linear als Funktion der übrigen Zeilen Wenn wir nun F(A) = α i,j D(A(i j)) betrachten, so ist diese Funktion immer noch linear in allen Zeilen verschieden von der i-ten, aber nun ist die Abbildung auch linear in der i-ten Zeile (die Funktion F ist, als Funktion der i-ten Zeile, einfach α i,j γ für eine Konstante γ) Das zeigt, dass E j n-linear ist Um zu zeigen, dass E j alternierend ist, genügt es wegen Lemma 514 zu zeigen, dass E j (A) = 0 ist, falls A zwei gleiche 76

4 benachbarte Zeilen hat Nehmen wir an, die beiden gleichen Zeilen seien Zeile k und k + 1 Wenn i k und i k + 1, so haben die Matrizen A(i j) zwei gleiche Zeilen, also gilt dann D(A(i j)) = 0 Deshalb reduziert sich die Berechnung von E j auf E j (A) = ( 1) k+j α k,j D(A(k j)) + ( 1) k+j+1 α k+1,j D(A(k + 1 j)) Wegen α k,j = α k+1,j sowie A(k j) = A(k+1 j) folgt E j (A) = 0 (aber natürlich immer nur unter der Voraussetzung, dass A zwei gleiche Zeilen hat) Es bleibt zu zeigen, dass E j eine Determinantenfunktion ist, sofern D eine Determinante ist Das folgt aber unmittelbar: E j (I n ) = D(I(j j)) = 1 Korollar 516 Es gibt mindestens eine Determinantenfunktion auf R (n,n) Der Satz 515 liefert uns auch sofort ein Verfahren, die (wobei wir natürlich noch nicht wissen, ob die Determinante eindeutig bestimmt ist) Determinante rekursiv zu berechnen Ein Beispiel wird in der Vorlesung vorgerechnet Die Formel (51) heißt der Laplace sche Entwicklungssatz Zunächst ist die Berechnung abhängig von der Spaltenauswahl j Im nächsten Abschnitt werden wir aber zeigen, dass es genau eine Determinante gibt, also ist (51) in Wirklichkeit unabhängig von j 52 Eindeutigkeit der Determinante Wir wollen uns in diesem Abschnitt überlegen, dass es genau eine Determinantenfunktion gibt Sei dazu A R (n,n), und die Zeilen von A wollen wir mit a 1,, a n bezeichnen Die Zeilen der Einheitsmatrix seien e 1,, e n Sind b 1,,b n Zeilenvektoren der Länge n, so bezeichen wir mit (b 1,, b n ) die Matrix, deren Zeilen die b i sind (wir dürfen formal nicht von Vektoren sprechen, weil die Einträge ja Ringelemente und keine Körperelemente sind) Es gilt also a i = Wenn D n-linear ist, erhalten wir D(A) = D( e j α i,j j=1 e j α 1,j, a 2,, a n ) = j=1 α 1,j D(e j, a 2,,a n ) j=1 Wenn wir das mit der zweiten Zeile wiederholen, erhalten wir D(A) = j=1 k=1 α 1,j α 2,k D(e j, e k, a 3,,a n ) 77

5 und allgemein D(A) = k 1=1 k 2=1 (α 1,k1 α 2,k2 α n,kn ) D(e k1, e k2, e kn ) (52) k n=1 Das deutet darauf hin, dass die Matrizen der Form (e k1, e k2, e kn ) =: P(k 1,,k n ) in den nun folgenden Überlegungen eine gewisse Bedeutung haben werden Wir haben bislang nur benutzt, dass D n-linear ist Wenn wir jetzt zusätzlich annehmen, dass D alternierend ist, erhalten wir D(P(k 1,,k n )) = 0 wenn k i = k j für irgendwelche i j gilt Interessant sind für uns also nur die Werte D(P(k 1,,k n )) mit {k 1,, k n } = {1,,n} In diesem Fall wird durch P(k 1,, k n ) eine bijektive Abbildung σ : {1,,n} {1,,n} i k i beschrieben Umgekehrt gehört zu σ S n (Erinnerung: S n ist die Menge der bijektiven Abbildungen {1,,n} {1,,n}) genau eine Matrix P(σ(1),, σ(n))) Wir nennen P(σ(1),, σ(n)) =: P(σ) die zur Permutation σ gehörende Permutationsmatrix Die Formel (52) vereinfacht sich dann zu D(A) = α 1,σ(1) α 2,σ(2) α n,σ(n) D(P(σ)) (53) Satz 521 Es seien σ, τ S n Dann gilt (1) P(τ σ) = P(σ) P(τ) (2) P(σ 1 ) = (P(σ)) 1 Beweis Ist A eine Matrix mit Zeilen a 1, a n, so ist P(σ) A eine Matrix, deren Zeilen a σ(1),,a σ(n) sind Mit anderen Worten: Zeile i von P(σ) A ist Zeile σ(i) von A Zeile j von P(τ) ist e τ(j), also ist Zeile i von P(σ) P(τ) die Zeile e τ(σ(i)), also ist P(σ) P(τ) die zu τ σ gehörende Permutationsmatrix Das zeigt (1); die Aussage (2) folgt daraus unmittelbar Definition 522 Eine Permutation σ S n, für die σ(i) = j, σ(j) = i und σ(k) = k für alle k i, j gilt, heißt Transposition 78

6 Lemma 523 Jede Permutation in S n kann als Produkt (Hintereinanderausführung) von Transpositionen geschrieben werden Beweis Induktion nach n: Die Fälle n = 1 und n = 2 sind klar Sei nun σ S n+1 Dann ist σ = id oder es gibt i mit σ(i) = j und j i Sei τ die Transposition, die i und j vertauscht, also τ(i) = j, τ(j) = i und τ(k) = k für k i, j Dann gilt σ τ(j) = j Damit ist σ τ {1,,n+1}\{j} eine Abbildung {1,, n + 1} \ {j} {1,,n + 1} \ {j} Mit Induktion ist das ein Produkt von Transpositionen Bemerkung 524 Der Beweis zeigt sogar noch etwas mehr, dass wir nämlich mit höchstens n 1 Transpositionen auskommen Die Darstellung als Produkt von Transpositionen ist aber überhaupt nicht eindeutig! Wir können folgendes festhalten: Wenn wir σ als Produkt von t Transpositionen schreiben können, so muss D(P(σ)) = ( 1) t D(I n ) sein, falls D n-linear und alternierend auf R (n,n) ist Wenn wir R = Z wählen und für D die bereits konstruierte Determinantenform, so ist D(P(σ)) eindeutig bestimmt, also muss D(P(σ)) = ( 1) t D(I n ) unabhängig davon sein, wie man σ als Produkt von Transpositionen schreibt, also D(P(σ)) = ( 1) t D(I n ) = ( 1) s D(I n ), wenn σ sowohl als Produkt von s als auch von t Transpositionen geschrieben werden kann Das bedeutet, dass die Anzahl der Transpositionen stets entweder gerade oder stets ungerade ist!! Satz 525 Sei σ S n Wenn σ als Produkt von t und als Produkt von s Transpositionen geschrieben werden kann, so gilt t s mod 2 Wir nennen σ eine gerade Permutation, wenn es als Produkt einer geraden Anzahl von Transpositionen geschrieben werden kann, andernfalls heißt σ ungerade Definition 526 Wir definieren die Funktion signum : S n Z durch { 1 wenn σ gerade ist signum(σ) = 1 wenn σ ungerade ist Statt signum schreiben wir auch sgn Wir sprechen auch vom Vorzeichen der Perumtation σ Bemerkung 527 sgn(στ) = sgn(σ)sgn(τ) Als Hauptergebnis halten wir fest: Satz 528 Sei R ein kommutativer Ring mit 1 Dann gibt es auf R (n,n) genau eine Determinantenform det Ist D eine beliebige n-lineare und alternierende Abbildung, so gilt D(A) = det(a) D(I n ) 79

7 Beweis Wir müssen uns nur noch den Zusatz über n-lineare und alternierende Funktionen anschauen Das folgt aber leicht, weil D(A)/D(I n ) eine Determinante ist! Die Diskussion in diesem Kapitel liefert eine weitere Formel zur Berechnung der Determinante, die sogenannte Leibnitz-Formel: det(a) = sgn(σ) α 1,σ(1) α 2,σ(2) α n,σ(n) (54) Diese Formel hat eigentlich nur theoretische Bedeutung, in der Praxis ist die Berechnung einer Determinante auf diese Weise zu aufwändig Die Diskussion über das Vorzeichen von Permutationen zeigt, dass es in S n eine Untergruppe gibt mit n!/2 vielen Elementen, nämlich alle geraden Permutationen Um sich zu überlegen, dass wirklich die Hälfte aller Permutationen gerade und die andere Hälfte ungerade ist, kann man wie folgt verfahren: Sei τ eine beliebige Transposition Die Abbildung mult : S n S n mit mult(σ) = σ τ ist offenbar bijektiv Ferner werden die geraden Permutationen auf ungerade abgebildet und umgekehrt Deshalb gibt es gleich viele gerade wie ungerade Permutationen Die Untergruppe der geraden Permutationen heißt die alternierende Gruppe 53 Eigenschaften der Determinantenfunktion Einer der wichtigsten Sätze ist der Determinantenproduktsatz: Satz 531 Sei R ein kommutativer Ring mit 1 Ist A,B R (n,n), so gilt Beweis Betrachte die durch det(ab) = det(a) det(b) D(X) = det(xb) auf R (n,n) erklärte Abbildung Man rechnet nach, dass diese Abbildung n-linear und alternierend ist, also muss wegen Satz 528 D(X) = det(xb) = det(x) D(I n ) = det(x)det(b) gelten Korollar 532 Ist A K (n,n) invertierbar, so gilt det(a 1 ) = det(a) 1 Beweis 1 = det(i) = det(a A 1 ) = det(a)det(a 1 ) Korollar 533 Ähnliche Matrizen in K (n,n) haben dieselbe Determinante 80

8 Beweis det(a) = det(p) 1 det(b) det(p) = det(p 1 BP) Nützlich und wichtig ist auch der folgende Satz Der Beweis macht deutlich, dass die Leibnitz-Formel in theoretischen Überlegungen (Beweisen) durchaus zu etwas gebrauchen ist Satz 534 Sei R ein kommutativer Ring mit 1 und sei A = (α i,j ) R (n,n) Dann gilt det(a) = det(a ) Beweis Es gilt det(a) = sgn(σ) α 1,σ(1) α n,σ(n) = sgn(σ) α σ 1 (1),1 α σ 1 (n),n = sgn(σ 1 ) α σ 1 (1),1 α σ 1 (n),n = sgn(σ) α σ(1),1 α σ(n),n = det(a ) Die beiden folgenden Sätze sind sehr hilfreich, wenn man Determinanten konkret ausrechnen möchte: Satz 535 Sei R ein kommutativer Ring mit 1 und sei A = (α i,j ) R (n,n) eine untere Dreiecksmatrix, dh α i,j = 0 falls j < i Dann gilt det(a) = α 1,1 α n,n Beweis Wir nutzen wieder die Leibnitz-Formel: Gilt σ id, so gibt es i mit σ(i) < i Deshalb ist das Produkt α 1,σ(1) α n,σ(n) gleich 0 falls σ id ( ) A B Satz 536 Sei R ein kommutativer Ring mit 1 und sei X = eine 0 C Blockmatrix in R (n,n), dh A R (r,r), B R (r,s) und C R (s,s) Dann gilt det(x) = det(a) det(c) Beweis Wir definieren D(A,B,C) = det ( ) A B, 0 C wobei A und B fest gewählt seien Dann ist D n-linear und alternierend, also D(A,B,C) = det(c) D(A,B,I) 81

9 Nun können wir aber die s s-matrix I nutzen, um B durch elementare Zeilenumformungen der Form E r,s (γ), die den Wert von D(A,B,C) nicht ändern, zu eliminieren, dh zur Nullmatrix 0 zu machen Das zeigt D(A,B,I) = D(A,0,I) Nun interpretieren wir D(A,0,I) als Abbildung von R (n,n) R, in Abhängigkeit von A Diese Abbildung ist n-linear und alternierend, also gilt Nun ist aber D(I,0,I) = 1, also D(A,0,I) = D(I,0,I) det(a) D(A,B,C) = det(c) D(A,B,I) = det(c) D(A,0,I) = = det(c)det(a)d(i,0,i) = det(c)det(a) Wir wollen jetzt einen wichtigen Zusammenhang zwischen der Determinante einer Matrix und deren Invertierbarkeit herstellen Dazu definieren wir: Definition 537 Sei A R (n,n), wobei R ein kommutativer Ring mit 1 ist Die Zahlen γ i,j = ( 1) i+j det(a(i j)) heissen Kofaktoren von A Die Matrix C = (γ j,i ) heißt die Adjunkte von A, geschrieben adj(a) Satz 538 Es gilt adj(a) A = A adj(a) = det(a) I Beweis Aus dem Laplaceschen Entwicklungssatz folgt det(a) = ( 1) i+j α i,j D(A(i j)) i=1 γ i,j α i,j i=1 Weil der (i, j)-eintrag der Adjunkten der Kofaktor γ j,i ist, folgt, das die Diagonaleinträge von adj(a)a genau det(a) sind Betrachten wir nun die Nichtdiagonaleinträge γ i,j α i,k (55) i=1 mit k j Wir ersetzen dazu die j-te Spalte von A durch ihre k-te Spalte Nenne diese neue Matrix B Die Kofaktoren γ i,j von A und B sind dieselben, ferner 82

10 sind die (i, k)-einträge von B und von A identisch Es gilt aber det(b) = 0 Wenn wir die Determinante von B mit Laplace ausrechnen und nach Spalte j entwickeln, erhalten wir genau die Summe (55), die also gleich 0 sein muss Das zeigt adj(a) A = det(a) I (56) Um auch A adj(a) = det(a) I zu zeigen, wenden wir (56) auf A an: adj((a) ) A = det(a ) I = det(a) I Man überlegt sich leicht adj(a ) = (adj(a)) Das liefert (adj(a)) A = det(a) I Wenn wir diese Gleichung transponieren erhalten wir A adj(a) = det(a) I Das liefert ein zweites Verfahren zur Inversenbestimmung Dies hat den Vorteil, auch über Ringen zu funktionieren: Ist A R (n,n) und ist det(a) in R ein invertierbares Element, so ist auch die Matrix A invertierbar und es gilt A 1 = 1 adj(a) (57) det(a) Es bleibt die Frage, ob die Determinante invertierbar sein muss, wenn A als Matrix invertierbar ist Das folgt aber sofort aus dem Determinantenproduktsatz: Ist A invertierbar, so gibt es B mit A B = I, also det(a) det(b) = 1 also muss det(a) invertierbar sein Wir fassen dies noch einmal im folgenden Satz zusammen: Satz 539 Sei R ein kommutativer Ring mit 1 Eine Matrix A R (n,n) ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante in R invertierbar ist In dem Fall gilt (57) Korollar 5310 Eine Matrix A K (n,n) ist genau dann invertierbar wenn det(a) 0 gilt Beachten Sie, dass unsere Diskussion hier deutlich mehr gebracht hat als nur Korollar 5310 Wir wissen jetzt beispielsweise auch, wie man enstcheidet, ob ganzzahlige Matrizen über den ganzen Zahlen invertierbar sind Und selbst, wenn sie es nicht sind, wissen wir, wie groß die Nenner höchstens werden können Zum Abschluss wollen wir ein zweites Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme kennenlernen Das Verfahren benutzt Determinanten, und die Determinantenberechnung ist im allgemeinen sehr schwierig, viel schwieriger auf jeden Fall, als Gleichungssysteme zu lösen Das folgende Verfahren ist aber aus theoretischen Gründen interessant: 83

11 Satz 5311 (Cramer sche Regel) Sei A K (n,n) eine invertierbare Matrix Sei B j die Matrix, die man aus A durch ersetzen von Spalte j durch b erhält Dann gilt für die eindeutige Lösung x = x 1 x n x j = det(b j) det(a) von Ax = b: Beweis Multiplikation von A x = b mit der Adjunkten liefert adj(a) A x = det(a) x = adj(a) b Wenn wir hier den j-eintrag anschauen erhalten wir deta x j = ( 1) i+j b i deta(i j) i=1 Nun zeigt der Laplace sche Entwicklungssatz aber, dass der Ausdruck rechts vom Gleichheitszeichen genau detb j ist 54 Zusammenfassung Die Determinante ist eine Abbildung, die jeder Matrix über einem kommutativen Ring mit neutralem Element ein Ringelement zuordnet Wir haben den Begriff der Determinante durch gewisse Eigenschaften definiert, die die Determinante haben soll Die Existenz einer Determinante konnten wir explizit nachweisen Die Eindeutigkeit der Determinante liegt ua daran, dass jede Permutation als Produkt entweder stets einer geraden oder stets einer ungeraden Anzahl Transpositionen geschrieben werden kann Zum Beweis dieser Eigenschaft haben wir die Existenz der Determinante benutzt Sie haben zwei Formeln zur Determinantenbestimmung kennengelernt (Leibnitz und Laplace) In der Praxis wird stets Leibnitz benutzt Wir haben jeder Permutation eine Permutationsmatrix zugeordnet Wir haben einige einfache Eigenschaften der Determinante bestimmt, insbesondere den Determinantenproduktsatz Sie haben die Adjunkte kennengelernt (Matrix der Kofaktoren) und den Zusammenhang mit dem Invertieren von Matrizen (über Ringen) Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante invertierbar ist Sie haben die Cramer sche Regel kennengelernt 84

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