a Z1 a 1 a 1,2 Diese Matrix hat genau dann Rang 2, ist also genau dann invertierbar, wenn a 2,2 a 1,2a 2,1

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1 18 Determinnten Determinnten Nchdem wir nun schon recht usführlich Mtrizen und linere Gleichungssysteme studiert hben, wollen wir jetzt die sogennnten Determinnten einführen, die beim Rechnen mit Mtrizen ein unverzichtbres Hilfsmittel drstellen Determinnten hben sehr viele schöne Eigenschften und können demzufolge uch uf viele verschiedene Arten motiviert werden Eine mögliche Herngehensweise ist, dss mn nch einem einfchen Kriterium für die Invertierbrkeit qudrtischer Mtrizen sucht, so wie in dem folgenden einfchen Lemm für 2 2-Mtrizen: Lemm 181 Eine 2 2-Mtrix 1,1 A = 2,1 2,2 über einem Körper K ist genu dnn invertierbr, wenn 1,1 2,2 2,1 0 Beweis Wir unterscheiden zwei Fälle: 1 Fll: Ist 1,1 = 0, so ist A genu dnn invertierbr, wenn 0 und 2,1 0 gilt denn wenn diese beiden Einträge ungleich Null sind, sind die beiden Splten von A offensichtlich liner unbhängig (so dss dnn rka = 2 gilt), während A ndernflls eine Nullzeile oder Nullsplte enthält und dmit höchstens Rng 1 hben knn Nch Bemerkung 1635 (b) ist A lso genu dnn invertierbr, wenn 0 und 2,1 0, lso wenn 1,1 2,2 2,1 0 2 Fll: Ist 1,1 0, so wenden wir Algorithmus 1710 n, um rka zu berechnen: Z1 1 ( 1,1 Z1 A = 1,1 1 ) Z2 Z2 2,1 Z1 1,1 2,1 2,2 2,1 2,2 1 1,1 0 2,2 2,1 1,1 Diese Mtrix ht genu dnn Rng 2, ist lso genu dnn invertierbr, wenn 2,2 2,1 1,1 0, d h wenn 1,1 2,2 2,1 0 gilt Die Zhl 1,1 2,2 2,1 werden wir später die Determinnte A von A nennen (weil sie erminiert, ob A invertierbr ist oder nicht) Unser Ziel in diesem Kpitel ist es, Lemm 181 uf größere qudrtische Mtrizen zu verllgemeinern, lso zu jeder Mtrix A Mt(n n,k) eine Zhl A K zu definieren, die ein Polynom in den Einträgen von A ist und (neben vielen nderen schönen Eigenschften) genu dnn ungleich Null ist, wenn A invertierbr ist 40 18A Konstruktion der Determinnte Leider ist eine direkte Angbe der Determinnte einer qudrtischen Mtrix A Mt(n n, K) ls polynomiler Ausdruck in den Einträgen von A so wie in Lemm 181 für llgemeines n zwr möglich (siehe Bemerkung 1814), ber uch recht kompliziert Wir wollen dher hier den für euch whrscheinlich etws ungewohnten Zugng wählen, die Determinnte über ihre Eigenschften zu definieren, d h ls eine Funktion A A uf den n n-mtrizen, die eine gewisse Wunschliste elementrer Eigenschften erfüllt Im Anschluss werden wir dnn zeigen, dss unsere Wunschliste wirklich erfüllbr ist und die Determinnte in der Tt uch eindeutig bestimmt Hier ist nun unsere Wunschliste: Definition 182 (Determinnte) Es seien K ein Körper und n N >0 gegeben Eine Abbildung : Mt(n n, K) K heißt Determinnte (von n n-mtrizen), wenn gilt:

2 208 Andres Gthmnn () ( ist multiliner ) Die Funktion ist liner in jeder Zeile, d h für lle k {1,,n} und λ K gilt 1 k + k = k + k n n n 1 1 und 1 1 λ k = λ k, n n wobei 1,, k, k,, n Mt(1 n,k) die Zeilen der jeweiligen (qudrtischen) Mtrizen bezeichnen (Hlten wir lso lle Zeilen bis uf die k-te fest, so hben wir genu eine linere Abbildung in der k-ten Zeile im Sinne von Definition 141) (b) ( ist lternierend ) Stimmen zwei Zeilen von A Mt(n n,k) überein, so ist A = 0 (c) ( ist normiert ) Es gilt (E n ) = 1 Beispiel 183 Die Funktion 1,1 : Mt(2 2,K) K, 2,1 1,1 2,2 2,1 2,2 us Lemm 181 ist eine Determinnte: () ist multiliner: Die Additivität in der ersten Zeile ergibt sich z B us der Rechnung 1,1 + ( 1,1 + ) = ( 2,1 1,1 + 1,1) 2,2 ( + ) 2,1 2,2 = 1,1 2,2 2,1 + 1,1 2,2 2,1 1,1 = + ( 1,1 ) ; 2,1 2,2 2,1 2,2 die nderen Lineritätseigenschften folgen ntürlich genuso (b) ist lternierend: Sind die beiden Zeilen der Mtrix gleich, so ist 1,1 = 1,1 1,1 1,1 = 0 (c) ist normiert, denn ntürlich ist (E 2 ) = 1 Bemerkung 184 () Wir werden in Folgerung 188 und Stz 1812 sehen, dss es zu jedem Körper K und jedem n N >0 in der Tt genu eine Determinnte : Mt(n n,k) K gibt, dss Definition 182 die Determinnte lso widerspruchsfrei und eindeutig festlegt Solnge wir dies noch nicht gezeigt hben, sollten wir ber korrekterweise immer von einer Determinnte (und nicht von der Determinnte) sprechen (b) Enthält A eine Nullzeile, so können wir us dieser Zeile den Fktor 0 herusziehen und erhlten us der Lineritätseigenschft in dieser Zeile sofort, dss dnn A = 0 sein muss (c) Aus Eigenschft (b) der Definition 182 einer Determinnte folgt, dss sich A beim Vertuschen zweier Zeilen mit 1 multipliziert, lso genu ds Vorzeichen ändert (dher kommt uch der Nme lternierend für diese Eigenschft): Für lle k,l {1,,n} mit k l ergibt

3 18 Determinnten 209 sich zusmmen mit der Multilinerität nämlich k + l k l = + k + l k + l k + l und dmit } {{ } =0 k k l l = + + +, k l k l } {{ } =0 k l = l k } {{ } =0 (d) Anlog zu (c) wollen wir jetzt untersuchen, ws mit einer Determinnte pssiert, wenn wir in einer Mtrix A für gegebenes k {1,,n} die k-te Zeile unter Beibehltung der Reihenfolge der nderen Zeilen gnz nch oben schieben Wir können dies wie folgt durch k 1 Vertuschungen zweier benchbrter Zeilen erreichen: k 2 A = k 1 k k+1 k 2 k k 1 k+1 k 1 k 1 k+1 D sich bei jeder dieser Vertuschungen nch (c) ds Vorzeichen der Determinnte ändert, ändert ds gesmte Verschieben der k-ten Zeile gnz nch oben die Determinnte von A lso um einen Fktor ( 1) k 1 Um die weiteren Eigenschften von Determinnten zu untersuchen, beginnen wir zunächst mit den Elementrmtrizen Lemm 185 (Determinnten von Elementrmtrizen) Es sei : Mt(n n, K) K eine Determinnte Dnn gilt für lle A Mt(n n,k) sowie für lle n n-elementrmtrizen F k (λ) und F k,l (λ) us Konstruktion 173: () (F k (λ) A) = λ A (b) (F k,l (λ) A) = A Insbesondere gilt lso F k (λ) = λ und F k,l (λ) = 1, und dmit (FA) = F A für jede Elementrmtrix F und jede beliebige qudrtische Mtrix A

4 210 Andres Gthmnn Beweis Es seien 1,, n Mt(1 n,k) die Zeilen von A Nch Konstruktion 173 entspricht eine Multipliktion von A mit einer Elementrmtrix von links genu einer elementren Zeilenumformung Dmit erhlten wir mit den Eigenschften () und (b) us Definition 182 (F k (λ) A) = λ k = λ k = λ A und k + λ l k l k (F k,l (λ) A) = = + λ = = A, l l l l } {{ } =0 ws die beiden Teile des Lemms zeigt Die Determinnten der Elementrmtrizen erhält mn drus für A = E n Aus diesem einfchen Lemm folgt nun bereits die whrscheinlich wichtigste Eigenschft von Determinnten: Stz 186 (Produktstz für Determinnten) Es seien : Mt(n n, K) K eine Determinnte und A,B Mt(n n,k) Dnn gilt: () (AB) = A B (b) A ist genu dnn invertierbr, wenn A 0 In diesem Fll ist (A 1 ) = 1 A Beweis Wir unterscheiden zwei Fälle: 1 Fll: A ist invertierbr Dnn ist A = F 1 F k nch Lemm 1711 ein Produkt von Elementrmtrizen Durch k-fche Anwendung von Lemm 185 erhält mn dnn (AB) = (F 1 F k B) = F 1 F k B sowie A = (F 1 F k ) = F 1 F k, und dmit wie behuptet (AB) = A B Setzt mn hier B = A 1 ein, so ergibt sich insbesondere A A 1 = (AA 1 ) = E n = 1, d h es ist A 0 und (A 1 ) = 1 A 2 Fll: A ist nicht invertierbr Dnn bringen wir A mit einem Produkt F von Elementrmtrizen uf Zeilenstufenform FA Nch Bemerkung 1635 (b) und Algorithmus 1710 ht diese Zeilenstufenform weniger ls n Stufen und dmit m Ende (mindestens) eine Nullzeile Also ist (FA) = 0 nch Bemerkung 184 (b) D F ls Produkt von Elementrmtrizen nch Lemm 1711 invertierbr ist, bedeutet dies nch dem bereits gezeigten 1 Fll uch F A = 0, wegen F 0 lso A = 0 Mit FA ht ber uch FAB eine Nullzeile Dmit folgt genuso wie oben uch (AB) = 0, lso insbesondere (AB) = A B Bemerkung 187 Im Gegenstz zu Produkten gibt es keine Formel für die Determinnte (A + B) einer Summe von zwei Mtrizen insbesondere ist im Allgemeinen (A + B) A + B! Als Folgerung us dem Produktstz können wir nun bereits beweisen, dss die Eigenschften us Definition 182 eine Determinnte eindeutig festlegen Folgerung 188 (Eindeutigkeit der Determinnte) Zu jedem Körper K und n N >0 gibt es höchstens eine Determinnte : Mt(n n, K) K

5 18 Determinnten 211 Beweis Es sei A Mt(n n,k) Ist A nicht invertierbr, so ist nch Stz 186 notwendigerweise A = 0 Andernflls ist A = F 1 F k nch Lemm 1711 ein Produkt von Elementrmtrizen, und dmit ist nch Stz 186 () A = F 1 F k D die Determinnte der Elementrmtrizen nch Lemm 185 ber durch Definition 182 eindeutig bestimmt ist, ist dmit uch A durch diese Definition eindeutig festgelegt Auf gnz ähnliche Art wollen wir nun zeigen, dss sich eine Determinnte beim Trnsponieren der Mtrizen nicht ändert Folgerung 189 Ist A Mt(n n,k) und : Mt(n n,k) K eine Determinnte, so gilt (A T ) = A Beweis Ist A nicht invertierbr, lso rka < n, so ist nch Folgerung 1640 uch A T nicht invertierbr, und dmit ist (A T ) = 0 = A nch Stz 186 (b) Andernflls ist A = F 1 F k nch Lemm 1711 wieder ein Produkt von Elementrmtrizen D die zu zeigende Aussge für Elementrmtrizen us Lemm 185 offensichtlich ist (es ist nämlich (F k (λ)) T = F k (λ) und (F k,l (λ)) T = F l,k (λ)), folgt somit nch Lemm 169 (d) und Stz 186 () (A T ) = ((F 1 F k ) T ) = (F T k FT 1 ) = (F T k ) (FT 1 ) = F 1 F k = A Bemerkung 1810 Folgerung 189 besgt nschulich, dss lle Eigenschften, die für die Zeilen einer Determinnte gelten, nlog uch für die Splten gelten So ist eine Determinnte z B uch liner in jeder Splte (vgl Definition 182 ()) und ändert ihr Vorzeichen beim Vertuschen zweier Splten (vgl Bemerkung 184 (c)) Um sicherzustellen, dss wir mit Definition 182 keine in sich widersprüchliche Wunschliste ufgeschrieben hben, kommen wir nun ber endlich zum bereits ngekündigten Resultt, dss eine Determinnte mit den geforderten Eigenschften uch wirklich existiert Wir werden die Funktionen : Mt(n n,k) K rekursiv über n definieren und verwenden dzu die folgende Konstruktion, um Mtrizen der Größe n uf solche der Größe n 1 zurückzuführen Definition 1811 (Streichungsmtrix) Zu A Mt(n n, K) sowie k, l {1,, n} sei 1,1 1,l 1 1,l+1 1,n A k,l := k 1,1 k 1,l 1 k 1,l+1 k 1,n k+1,1 k+1,l 1 k+1,l+1 k+1,n Mt((n 1) (n 1),K) n,1 n,l 1 n,l+1 n,n die Mtrix, die mn erhält, wenn mn us A die k-te Zeile und l-te Splte herusstreicht Wir bezeichnen diese Mtrizen ls Streichungsmtrizen zu A Stz 1812 (Existenz der Determinnte) Für lle n N >0 definieren wir : Mt(n n,k) K rekursiv über n durch die folgende Vorschrift: Für n = 1 setzen wir ( 1,1 ) := 1,1 Für n > 1 setzen wir A := n k=1 ( 1) k+1 k,1 A k,1, wobei wie üblich k,1 die Einträge der ersten Splte von A und A k,1 die zu diesen Einträgen gehörigen Streichungsmtrizen sind Dnn ist eine (und dmit nch Folgerung 188 die ) Determinnte für lle n

6 212 Andres Gthmnn Bevor wir diesen Stz beweisen, wollen wir uns ein pr Beispiele nschuen, um die ngegebene rekursive Formel besser zu verstehen Beispiel 1813 (Determinnte von 2 2- und 3 3-Mtrizen) () Für n = 2 besgt die Formel us Stz ,1 = ( 1) 1+1 2,1 1,1 ( 2,2 ) + ( 1) 2+1 2,1 ( ) 2,2 = 1,1 2,2 2,1 und reproduziert dmit die Formel us Lemm 181 (b) Für n = 3 ergibt sich unter Benutzung des Ergebnisses us () 1,1 1,3 ) 2,1 2,2 2,3 = ( 1) 1+1 2,2 1,1 ( 2,3 + ( 1) 2+1 3,1 3,2 3,2 2,1 1,3 3,3 3,2 3,3 3,3 + ( 1) 3+1 3,1 1,3 2,2 2,3 = 1,1 2,2 3,3 1,1 2,3 3,2 2,1 3,3 + 2,1 1,3 3,2 + 3,1 2,3 3,1 1,3 2,2 Am einfchsten knn mn sich diese Formel nch der sogennnten Regel von Srrus merken: Bilden wir die 3 5-Mtrix, in der wir neben der Mtrix A die beiden ersten Splten noch einml wiederholen, so ergeben sich die 6 Terme der Determinnte mit ihren Vorzeichen us dem folgenden Schem: 1,1 1,3 1,1 2,1 2,2 2,3 2,1 2,2 3,1 3,2 3,3 3,1 3, Bechte ber, dss diese einfche Merkregel nur für n = 3 gilt für größere n ist der komplett usmultiplizierte Ausdruck für A deutlich komplizierter (und für konkrete numerische Berechnungen in der Tt uch nicht mehr geeignet) 41 Bemerkung 1814 Diejenigen von euch, die us der Prllelvorlesung Algebrische Strukturen die symmetrische Gruppe S n ller Permuttionen von {1,,n} kennen [G, Kpitel 2 und Definition 416], können die Formel für die Determinnte uch nicht-rekursiv ls A = σ S n sign(σ) 1,σ(1) n,σ(n) hinschreiben Mn sieht n dieser Drstellung lso, dss die Determinnte us einer Summe von n! Termen besteht Dbei ist jeder Term ein Produkt von genu n Einträgen von A, und zwr us jeder Zeile und jeder Splte genu einem Aufsummiert wird über lle Möglichkeiten, n Einträge von A eben gerde so uszuwählen, dss mn us jeder Zeile und Splte einen Eintrg genommen ht Die Vorzeichen der einzelnen Terme sind immer genu ds Vorzeichen der entsprechenden Permuttion Wir werden die Formel ( ) in dieser Vorlesung ber nicht benötigen und dher uch nicht beweisen, dss sie wirklich mit der rekursiven Definition us Stz 1812 übereinstimmt bzw die Eigenschften von Definition 182 erfüllt Wir kommen nun ber endlich zum Beweis des Existenzstzes 1812 ( )

7 18 Determinnten 213 Beweis von Stz 1812 Wir überprüfen die drei Eigenschften us Definition 182 mit Induktion über n Für n = 1 sind lle Aussgen klr Wir können lso nnehmen, dss n > 1 ist und wir die Eigenschften von Definition 182 für Mtrizen der Größe n 1 bereits gezeigt hben; wir müssen sie nun für Mtrizen der Größe n zeigen ist multiliner: Der Ausdruck 1,1 A 1,1 ist liner in der ersten Zeile, d 1,1 ntürlich liner in der ersten Zeile ist und A 1,1 nicht von der ersten Zeile bhängt Die Ausdrücke k,1 A k,1 für k > 1 sind ebenflls liner in der ersten Zeile, d k,1 nicht von der ersten Zeile bhängt und A k,1 nch Induktionsvorussetzung liner in der ersten Zeile ist Dmit ist uch A ls Linerkombintion dieser Ausdrücke liner in der ersten Zeile Die Linerität in den nderen Zeilen folgt ntürlich nlog ist lternierend: Wir bezeichnen die Zeilen von A mit 1,, n Mt(1 n,k) Weiterhin seien 1,, n Mt(1 (n 1),K) die Zeilen von A, bei denen mn jeweils den ersten Eintrg herusgestrichen ht Wir nehmen nun n, dss zwei Zeilen i und j von A übereinstimmen, und müssen zeigen, dss A = 0 folgt Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei dzu i > j Bechte, dss dnn uch in den Streichungsmtrizen A k,1 mit k i und k j, bei denen wir lso weder die i-te noch die j-te Zeile herusgestrichen hben, jeweils zwei Zeilen übereinstimmen Nch Induktionsvorussetzung ist die Determinnte ller dieser Streichungsmtrizen gleich 0, und dmit bleibt in der rekursiven Formel für A nur der Ausdruck übrig Nun können wir A = ( 1) i+1 i,1 A i,1 + ( 1) j+1 j,1 A j,1 1 i+1 j 1 j sowohl A i,1 = j+1 i 1 ls uch A j,1 = 1 j 1 j+1 i 1 i i+1 uf die Form A := i 1 j 1 j+1 i 1 i+1 bringen, indem wir die Zeile j bzw i unter Beibehltung der Reihenfolge der nderen Zeilen gnz nch oben schieben D für Mtrizen der Größe n 1 nch Induktionsvorussetzung eine Determinnte ist, ändern sich ddurch die Vorzeichen von A i,1 und A j,1 wie in Bemerkung 184 (d): D wir in A i,1 die Zeile mit der Nummer j, in A j,1 jedoch die Zeile mit der Nummer i 1 nch oben schieben (im letzteren Fll fehlt j die Zeile j oberhlb von i ), ist lso und dmit nch ( ) wegen i,1 = j,1 A i,1 = ( 1) j 1 A und A j,1 = ( 1) i 2 A A = ( 1) i+ j i,1 A + ( 1) i+ j 1 j,1 A = 0 ist normiert: In der ersten Splte der Einheitsmtrix sind ntürlich der erste Eintrg gleich 1 und lle nderen gleich 0 Weiterhin ist die Streichungsmtrix des Eintrgs links oben gerde E n 1 Also folgt sofort E n = ( 1) E n 1 = 1 Dmit ist lles gezeigt Insgesmt hben wir jetzt lso gesehen, dss es für lle Körper K und n N genu eine Determinnte : Mt(n n,k) K gibt In Zukunft werden wir dher immer von der Determinnte qudrtischer Mtrizen sprechen ( )

8 214 Andres Gthmnn 18B Eigenschften der Determinnte Im letzten Abschnitt hben wir die Determinnte qudrtischer Mtrizen definiert und uch bereits ihre ersten wichtigen Eigenschften gesehen Wir wollen diese Untersuchung der Determinnte jetzt fortsetzen und uns dbei ls Erstes um ihre prktische Berechnung kümmern In der Tt ist hierfür die rekursive Formel us Stz 1812 bereits sehr nützlich Wir können sie llerdings noch etws erweitern, denn dort ist j momentn die erste Splte der Mtrix usgezeichnet obwohl ufgrund von Definition 182 ntürlich klr sein sollte, dss die erste Splte der Mtrix keine besondere Rolle spielt Wir sollten eine ähnliche Rekursionsformel lso uch für die nderen Splten (und ufgrund von Folgerung 189 in der Tt uch für die Zeilen) erwrten können Dies besgt der folgende Stz Stz 1815 (Lplcescher Entwicklungsstz) Es sei A Mt(n n,k) () Für lle l {1,,n} gilt A = n k=1 ( 1)k+l k,l A k,l (b) Für lle k {1,,n} gilt A = n l=1 ( 1)k+l k,l A k,l Benutzt mn diese Formeln, so sgt mn uch, dss mn die Determinnte von A nch der l-ten Splte bzw k-ten Zeile entwickelt Beweis () Es sei B = (b i, j ) i, j die Mtrix, die mn us A erhält, indem mn die Splte l unter Beibehltung der Reihenfolge der nderen Splten gnz nch links schiebt Nch den Bemerkungen 184 (d) und 1810 ist dnn A = ( 1) l 1 B Andererseits ist ntürlich b k,1 = k,l und B k,1 = A k,l für lle k {1,,n} Dmit folgt wie behuptet nch Stz 1812 ngewen uf B A = ( 1) l 1 B = ( 1) l 1 n k=1( 1) k+1 b k,1 B n k,1 = ( 1) k+l k,l A k,l k=1 (b) Dies ergibt sich mit Bemerkung 1810 sofort us () Beispiel 1816 (Berechnung von Determinnten) Die Entwicklung nch Lplce ist oft die geschickteste Art, die Determinnte einer Mtrix A konkret zu berechnen insbesondere wenn mn nch einer Splte oder Zeile entwickeln knn, in der bereits viele Einträge gleich 0 sind, so dss die entsprechenden Terme in der Summe wegfllen In der Prxis empfiehlt es sich dher, zunächst mit elementren Splten- oder Zeilenumformungen eine Splte oder Zeile zu erzeugen, in der nur ein Eintrg ungleich Null ist, und dnn nch dieser Splte bzw Zeile zu entwickeln Bechte, dss die Determinnte dbei nch Lemm 185 mit λ multipliziert wird, wenn wir eine Splte oder Zeile mit λ multiplizieren; und unverändert bleibt, wenn wir ein Vielfches einer Splte bzw Zeile zu einer nderen ddieren Hier ist ein Beispiel, bei dem wir der Reihe nch die erste von der dritten Splte subtrhieren, nch der dritten Splte entwickeln, und noch einml nch der zweiten Zeile entwickeln: Es ist = = ( 1) ) = 2 ( 1) ( = Ein besonders einfcher Fll der ber dennoch häufig vorkommt sind die sogennnten Dreiecksmtrizen, bei denen oberhlb oder unterhlb der Digonlen nur Nullen stehen

9 18 Determinnten 215 Definition 1817 (Dreiecksmtrizen) Eine qudrtische Mtrix A = ( i, j ) i, j Mt(n n,k) heißt obere Dreiecksmtrix, flls i, j = 0 für lle i > j gilt, und untere Dreiecksmtrix, flls i, j = 0 für lle i < j gilt Obere bzw untere Dreiecksmtrizen hben lso die Form 1,1 0 n,n bzw 1,1 0 n,n Sind zusätzlich noch lle Einträge i,i uf der Digonlen gleich Null, so heißt A echte (obere bzw untere) Dreiecksmtrix Folgerung 1818 (Determinnte von Dreiecksmtrizen) Ist A = ( i, j ) i, j Mt(n n,k) eine (obere oder untere) Dreiecksmtrix, so ist ihre Determinnte gleich dem Produkt ihrer Einträge uf der Digonlen A = 1,1 n,n Beweis D untere Dreiecksmtrizen beim Trnsponieren in obere übergehen, reicht es nch Folgerung 189, die Aussge für obere Dreiecksmtrizen zu zeigen Wir beweisen die Aussge in diesem Fll mit Induktion über n; der Fll n = 1 ist dbei trivil Für n > 1 entwickeln wir A gemäß Stz 1815 nch der 1 Splte: D hier nur der erste Eintrg ungleich Null ist, ergibt sich sofort nch Induktionsvorussetzung A = ( 1) 1+1 1,1 A 1,1 = 1,1 ( 2,2 n,n ), d uch A 1,1 Mt((n 1) (n 1),K) eine obere Dreiecksmtrix (mit Digonleinträgen 2,2,, n,n ) ist Aufgbe 1819 () Berechne die Determinnte sowie die inverse Mtrix von A = Mt(3 3,R) (b) Für 1,, n K\{0} zeige mn n ) ( n n = ( i i=1 i=1 ) 1 Wir wollen nun noch zwei Ergebnisse zu Determinnten beweisen, die mehr us theoretischer ls us rechentechnischer Sicht interessnt sind Ds erste betrifft inverse Mtrizen: Ist A eine invertierbre Mtrix, so hben wir in Algorithmus 1713 j bereits gesehen, wie mn A 1 konkret numerisch berechnen knn Mit Hilfe von Determinnten können wir nun uch eine explizite Formel für A 1 ngeben die llerdings den Nchteil ht, dss sie bei konkreten Berechnungen reltiv ufwändig ist, weil für jeden Eintrg von A 1 eine eigene Determinnte berechnet werden muss Stz 1820 (Explizite Formel für die inverse Mtrix) Es sei A = ( i, j ) i, j Mt(n n,k) () Ist C = (c i, j ) i, j Mt(n n,k) die Mtrix mit Einträgen c i, j = ( 1) i+ j A j,i (bechte die Vertuschung von Splten- und Zeilenindizes bei der Streichungsmtrix!), so ist CA = AC = (A) E n i

10 216 Andres Gthmnn (b) Ist A invertierbr, so ist die inverse Mtrix von A gegeben durch ( ) A 1 = ( 1) i+ j A j,i A Beweis Für lle i,k = 1,,n überprüfen wir den (i,k)-eintrg des Mtrixprodukts CA: Nch Definition 167 ist dies n j=1 c i, j j,k = n j=1 ( 1) i+ j j,k A j,i i, j Splte i 1,1 1,k 1,n 1815 =, n,1 n,k n,n wobei die zweite Gleichung genu die Entwicklung nch Splte i ist, und die Mtrix uf der rechten Seite us A entsteht, indem die Einträge us Splte k uch in Splte i geschrieben werden Die Determinnte dieser Mtrix ist ber 0 für i k (d dnn zwei gleiche Splten existieren) und A für i = k (denn dnn ist diese Mtrix gleich A) Dmit ist CA = (A)E n Anlog zeigt mn uch AC = (A)E n und dmit Teil () Die Formel in (b) folgt drus ntürlich sofort mit Division durch A Beispiel 1821 Für eine 2 2-Mtrix ht die Mtrix C us Stz 1820 die Einträge 1,1 A = 2,1 2,2 c 1,1 = ( 1) 1+1 ( 2,2) A = 2,2 A, c = ( 1) 1+2 ( ) A = A, und genuso c 2,1 = 2,1 A und c 2,2 = 1,1 A Dmit ist nch Stz 1820 (b) im Fll einer invertierbren Mtrix lso A 1 = 1 A 2,2 2,1 1,1 Eine konkrete Anwendung von Stz 1820 ergibt sich bei der Lösung linerer Gleichungssysteme Ist A GL(n,K) und b K n, so wissen wir bereits, dss ds Gleichungssystem Ax = b dnn für x die eindeutige Lösung x = A 1 b ht D wir gerde mit Hilfe von Determinnten eine explizite Formel für die inverse Mtrix A 1 gefunden hben, überrscht es nicht, dss wir uch für die Koordinten dieses Lösungsvektors x = A 1 b eine ähnliche explizite Formel herleiten können: Stz 1822 (Crmersche Regel) Es seien A GL(n,K) und b K n Wir bezeichnen die Splten von A mit 1,, n K n Dnn ist die (nch Bemerkung 172 (b) eindeutige) Lösung des Gleichungssystems Ax = b der Vektor x K n mit den Komponenten für i = 1,,n x i = ( 1 i 1 b i+1 n ) A Beweis Nch Stz 1820 (b) und Definition 167 der Mtrixmultipliktion ist x i, lso die i-te Komponente des Mtrixprodukts A 1 b, gleich x i = n j=1 ( 1) i+ j A j,i A b j 1815 = 1 A ( 1 i 1 b i+1 n ), wobei die zweite Gleichheit die Entwicklung nch der i-ten Splte ist

11 18 Determinnten 217 Beispiel 1823 Wir wollen ds linere Gleichungssystem x 1 + x 2 = 2 1 1, lso x 1 2x 2 = ( x1 x 2 ) 2 = 1 mit der Crmerschen Regel lösen Dies ist sehr einfch: Es ist x 1 = = = 1 und x = = = Bechte jedoch, dss es für konkrete Gleichungssysteme mit mehr ls zwei Vriblen meistens sehr rechenufwändig ist, die Crmersche Regel zu verwenden Mn wird diese Regel dher meistens nur für theoretische Überlegungen verwenden, in denen mn eine konkrete Formel für die Lösung (und nicht nur ein Lösungsverfhren) brucht Für numerische Berechnungen ist ds Guß-Verfhren in Algorithmus 178 wesentlich effizienter Aufgbe 1824 Es sei A Mt(n n,k) eine qudrtische Mtrix, die eine Blockgestlt der Form B A = 0 C ht, wobei B Mt(m m,k) und C Mt((n m) (n m),k) selbst qudrtische Mtrizen sind Zeige, dss dnn A = B C gilt Aufgbe 1825 Es sei A Mt(m n,k) eine Mtrix vom Rng r Für k min(m,n) verstehen wir unter einem k k-minor von A die Determinnte einer Mtrix, die mn erhält, indem mn us A eine beliebige Auswhl von Zeilen und Splten herusstreicht, so dss eine qudrtische Mtrix der Größe k k übrig bleibt Mn zeige: () Für lle k r gibt es einen k k-minor von A ungleich 0 (b) Für lle k > r ist jeder k k-minor von A gleich 0 Mn knn den Rng einer Mtrix A lso uch chrkterisieren ls die mximle Größe eines Minors von A, der ungleich 0 ist 42