Sichtbarkeitsgraph. Andreas Gemsa Übung Algorithmische Geometrie

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1 Übung Algorithmische Geometrie Sichtbarkeitsgraph LEHRSTUHL FÜR ALGORITHMIK I INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Andreas Gemsa

2 Ablauf Nachtrag Sichtbarkeitsgraph

3 WSPD Bedingung: Für jedes q, p P existiert genau ein Index l, so dass q A l und p B l für {A l, B l } in W.

4 Ablauf Nachtrag Sichtbarkeitsgraph

5 Ablauf Nachtrag Sichtbarkeitsgraph

6 Aufgabe 1 Gegeben: Menge S von Polygonen mit insgesamt n Knoten.

7 Aufgabe 1 Gegeben: Menge S von Polygonen mit insgesamt n Knoten.

8 Aufgabe 1 Gegeben: Menge S von Polygonen mit insgesamt n Knoten. t s

9 Aufgabe 1 Gegeben: Menge S von Polygonen mit insgesamt n Knoten. t s

10 Aufgabe 1 Gegeben: Menge S von Polygonen mit insgesamt n Knoten. t s a) Zeige, dass #Segmente eines kürzesten Wegs in O(n) ist. b) Beispiel für Θ(n)

11 Aufgabe 1 Gegeben: Lemma 1: Menge Für eine S Menge von Polygonen S von disjunkten mit insgesamt Polygonen n Knoten. in R 2 und zwei Punkte s und t außerhalb S ist jeder kürzeste st-weg in R 2 \ S ein Polygonzug dessen innere Knoten Knoten von S sind. t s t Beweisskizze: s a) Zeige, dass #Segmente eines kürzesten Wegs in O(n) ist. b) Beispiel für Θ(n)

12 Aufgabe 1 Gegeben: Menge S von Polygonen mit insgesamt n Knoten. t s a) Zeige, dass #Segmente eines kürzesten Wegs in O(n) ist. b) Beispiel für Θ(n)

13 Aufgabe 1 Gegeben: Menge S von Polygonen mit insgesamt n Knoten. t s t s a) Zeige, dass #Segmente eines kürzesten Wegs in O(n) ist. b) Beispiel für Θ(n)

14 Aufgabe 2 VisibilityGraph(S) Input: Menge disjunkter Polygone S Output: Sichtbarkeitsgraph G vis (S) 1 E 2 foreach v V (S) do 3 W VisibleVertices(v, S) 4 E E {vw w W } 5 return E

15 Aufgabe 2 VisibilityGraph(S) Input: Menge disjunkter Polygone S Output: Sichtbarkeitsgraph G vis (S) 1 E 2 foreach v V (S) do 3 W VisibleVertices(v, S) 4 E E {vw w W } 5 return E Beobachtung: VisibleVertices wird n mal aufgerufen

16 Aufgabe 2 VisibilityGraph(S) Input: Menge disjunkter Polygone S Output: Sichtbarkeitsgraph G vis (S) 1 E 2 foreach v V (S) do 3 W VisibleVertices(v, S) 4 E E {vw w W } 5 return E Beobachtung: VisibleVertices wird n mal aufgerufen VisibleVertices in O(n log n)

17 Aufgabe 2 VisibilityGraph(S) Input: Menge disjunkter Polygone S Output: Sichtbarkeitsgraph G vis (S) 1 E 2 foreach v V (S) do 3 W VisibleVertices(v, S) 4 E E {vw w W } 5 return E Beobachtung: VisibleVertices wird n mal aufgerufen VisibleVertices in O(n log n) Gesamtlaufzeit: O(n 2 log n)

18 Aufgabe 2 VisibilityGraph(S) Input: Menge disjunkter Polygone S Output: Sichtbarkeitsgraph G vis (S) 1 E 2 foreach v V (S) do 3 W VisibleVertices(v, S) 4 E E {vw w W } 5 return E Beobachtung: VisibleVertices wird n mal aufgerufen VisibleVertices in O(n log n) Gesamtlaufzeit: O(n 2 log n) Q: Wie VisibiltyGraph in O(n 2 )? Hinweis: Nutze Dualität

19 Aufgabe 2 Trapezzerlegung

20 Aufgabe 2 Trapezzerlegung

21 Aufgabe 2 Trapezzerlegung Sichtbarkeit Punkte zu Segmente

22 Aufgabe 2 Trapezzerlegung Sichtbarkeit Punkte zu Segmente

23 Aufgabe 2 Trapezzerlegung Sichtbarkeit Punkte zu Segmente

24 Aufgabe 2 Trapezzerlegung Sichtbarkeit Punkte zu Segmente 360 Rotation Q: Was sind hier die Events?

25 Aufgabe Rotation Q: Was sind hier die Events?

26 Aufgabe Rotation Q: Was sind hier die Events?

27 Aufgabe Rotation Q: Was sind hier die Events?

28 Aufgabe Rotation Q: Was sind hier die Events?

29 Aufgabe Rotation Q: Was sind hier die Events?

30 Aufgabe Rotation Q: Was sind hier die Events? A: Strahl trifft Knoten

31 Aufgabe 2 θ 360 Rotation Q: Was sind hier die Events? A: Strahl trifft Knoten

32 Aufgabe 2 θ 360 Rotation Q: Was sind hier die Events? A: Strahl trifft Knoten

33 Aufgabe 2 θ y = mx + b m = tan (θ) 360 Rotation Q: Was sind hier die Events? A: Strahl trifft Knoten

34 Aufgabe 2 Dualität: (a, b) y = a x + b θ y = mx + b m = tan (θ) 360 Rotation Q: Was sind hier die Events? A: Strahl trifft Knoten

35 Aufgabe 2 Dualität: (a, b) y = a x + b Events x-koordinate der Punkte (im Dualraum) θ y = mx + b m = tan (θ) 360 Rotation Q: Was sind hier die Events? A: Strahl trifft Knoten

36 Aufgabe 2 Dualität: (a, b) y = a x + b Events x-koordinate der Punkte (im Dualraum) θ y = mx + b m = tan (θ) Vorgehen: 360 Wandle Rotation alle Knoten der Polygone in Geraden um (Dualität) Q: Was Sweepe sindvon hier links die nach Events? rechts durch A: das Strahl Geradenarrangement trifft Knoten Beim Sweep merke die Schnittpunkte der Geraden Sweep liefert Events sortiert nach Winkel in O(n 2 )

37 Aufgabe 2 w v

38 Aufgabe 2 w v Bestimme Segment f(v) das als erstes vom Strahl getroffen wird. Fälle: Unsichtbar

39 Aufgabe 2 w v Bestimme Segment f(v) das als erstes vom Strahl getroffen wird. Fälle: Unsichtbar

40 Aufgabe 2 w v Bestimme Segment f(v) das als erstes vom Strahl getroffen wird. Fälle: Unsichtbar Verlassen eines Segments

41 Aufgabe 2 w v Bestimme Segment f(v) das als erstes vom Strahl getroffen wird. Fälle: Unsichtbar Verlassen eines Segments Wie f(v) updaten?

42 Aufgabe 2 w v Bestimme Segment f(v) das als erstes vom Strahl getroffen wird. Fälle: Unsichtbar Verlassen eines Segments Betreten eines Segments

43 Aufgabe 2 w v Bestimme Segment f(v) das als erstes vom Strahl getroffen wird. Fälle: Unsichtbar Verlassen eines Segments Betreten eines Segments

44 Aufgabe 2 w v Bestimme Segment f(v) das als erstes vom Strahl getroffen wird. Fälle: Unsichtbar Verlassen eines Segments Betreten eines Segments

45 Aufgabe 2 w v Bestimme Segment f(v) das als erstes vom Strahl getroffen wird. Fälle: Unsichtbar Verlassen eines Segments Betreten eines Segments

46 Aufgabe 2 w v Bestimme Segment f(v) das als erstes vom Strahl getroffen wird. Fälle: Unsichtbar Verlassen eines Segments Betreten eines Segments Gleiches Segment

47 Aufgabe 2 w v Bestimme Segment f(v) das als erstes vom Strahl getroffen wird. Fälle: Unsichtbar Verlassen eines Segments Betreten eines Segments Gleiches Segment Kante zum Sichtbarkeitsgraph hinzu } Füge

48 Aufgabe 2 w v Bestimme Segment f(v) das als erstes vom Strahl getroffen wird. Fälle: Unsichtbar Verlassen eines Segments Betreten eines Segments Gleiches Segment O(1) O(1) O(1) O(1) Kante zum Sichtbarkeitsgraph hinzu } Füge

49 Aufgabe 3 Gegeben: Menge S von Polygonen mit insgesamt n Knoten. t s

50 Aufgabe 3 Gegeben: Menge S von n Scheiben t s

51 Aufgabe 3 Gegeben: Menge S von n Scheiben t s Tangente s/t Kreis Tangente Kreis Kreis Kreissegment

52 Aufgabe 3 u v A B Tangente Kreis Kreis

53 Aufgabe 3 u a b v A B Tangente Kreis Kreis

54 Aufgabe 3 a b u p q v A B Tangente Kreis Kreis

55 Aufgabe 3 a b u p q v A t B Tangente Kreis Kreis

56 Aufgabe 3 u a p b v A B Tangente Kreis Kreis

57 Sichtbarkeitsgraph VL Gegeben sei eine Menge S disjunkter offener Polygone......mit Knotenmenge V (S). s t Def.: Dann ist G vis (S) = (V (S), E vis (S)) der Sichtbarkeitsgraph von S mit E vis (S) = {uv u, v V (S) und u sieht v} und w(uv) = uv. Dabei gilt u sieht v : uv S = {u, v} Definiere S = S {s, t} und G vis (S ) analog. Lemma 1 Der kürzeste st-weg, der die Hindernisse in S vermeidet, entspricht einem kürzesten Weg in G vis (S ).

58 Aufgabe 3 Sichtbarkeitsgraph Gegeben sei eine Menge S disjunkter offener Scheiben. s t

59 Aufgabe 3 Sichtbarkeitsgraph Gegeben sei eine Menge S disjunkter offener Scheiben. s Tangentenknoten: V (S) E vis (S) = {uv u, v V (S) und u sieht v} und w(uv) = uv. E arc (S) = {Kreisbogen uv u, v V (S) und u, v auf gleicher Scheibe hintereinander } und w(uv) = uv α. t

60 Aufgabe 3 Sichtbarkeitsgraph Gegeben sei eine Menge S disjunkter offener Scheiben. s Tangentenknoten: V (S) E vis (S) = {uv u, v V (S) und u sieht v} und w(uv) = uv. E arc (S) = {Kreisbogen uv u, v V (S) und u, v auf gleicher Scheibe hintereinander } und w(uv) = uv α. Def.: Dann ist G vis (S) = (V (S), E vis (S) E arc ) der Sichtbarkeitsgraph von S. t Definiere S = S {s, t} und G vis (S ) analog.

61 Aufgabe 3 Sichtbarkeitsgraph Gegeben sei eine Menge S disjunkter offener Scheiben. s Tangentenknoten: V (S) E vis (S) = {uv u, v V (S) und u sieht v} und w(uv) = uv. E arc (S) = {Kreisbogen uv u, v V (S) und u, v auf gleicher Scheibe hintereinander } und w(uv) = uv α. Def.: Dann ist G vis (S) = (V (S), E vis (S) E arc ) der Sichtbarkeitsgraph von S. t Definiere S = S {s, t} und G vis (S ) analog.

62 Aufgabe 3 Sichtbarkeitsgraph berechnen VisibilityGraph(S) Input: Menge disjunkter Polygone S Output: Sichtbarkeitsgraph G vis (S) 1 E 2 foreach v V (S) do 3 W VisibleVertices(v, S) 4 E E {vw w W } 5 E E { arc zum nächsten Nachbarn auf der Scheibe } 6 return E

63 Aufgabe 3 Sichtbare Knoten berechnen

64 Aufgabe 3 Sichtbare Knoten berechnen

65 Aufgabe 3 Sichtbare Knoten berechnen

66 Aufgabe 3 Sichtbare Knoten berechnen VisibleVertices(p, S) r {p + k ( 1 0) k R + 0 } I {e E(S) e r } T balancedbinarytree(i) w 1,..., w n sortiere V (S) im UZS W for i = 1 to n do if Visible(p, w i ) then W W {w i } füge in T zu w i inzidente Kante aus pw + i ein lösche aus T zu w i inzidente Kanten aus return W pw i

67 Aufgabe 3 Shortest Path ShortestPath(S, s, t) n = V (S), m = E vis (S) Input: Hindernismenge S, Punkte s, t R 2 \ S Output: kürzester kollisionsfreier st-weg in S 1 G vis VisibilityGraph(S {s, t}) O(n 2 log? n) 2 foreach uv E vis (S) do w(uv) uv O(m) 3 return Dijkstra(G vis, w, s, t) O(n log n + m) O(n 2 log n)

68 Aufgabe 3 Worst Case n Scheiben Von jeder Scheibe mindestens eine Tangente an jede andere Scheibe Ω(n) Tangentenknoten pro Scheibe Ω(n 2 ) Knoten insgesamt Ω(n) Tangentenknoten pro Scheibe Ω(n 2 ) Kanten pro Scheibe + Ω(n 2 ) Kanten von Scheiben zu Scheiben Ω(n 2 ) Kanten insgesamt

69 Aufgabe 3 Shortest Path ShortestPath(S, s, t) n 2 = V (S), m = E Input: Hindernismenge S, Punkte s, t R 2 \ S Output: kürzester kollisionsfreier st-weg in S 1 G vis VisibilityGraph(S {s, t}) O(n 4 log n? 2 ) 2 foreach uv E vis (S) do w(uv) uv O(m) 3 return Dijkstra(G vis, w, s, t) O(n 2 log n 2 + m) O(n 4 log n 2 )

70 Aufgabe 3 Shortest Path ShortestPath(S, s, t) n 2 = V (S), m = E Input: Hindernismenge S, Punkte s, t R 2 \ S Output: kürzester kollisionsfreier st-weg in S 1 G vis VisibilityGraph(S {s, t}) O(n 4 log n? 2 ) 2 foreach uv E vis (S) do w(uv) uv O(m) 3 return Dijkstra(G vis, w, s, t) O(n 2 log n 2 + m) O(n 4 log n 2 )

71 Danke! Viel Erfolg bei der Prüfung!

72 Praktikum Routenplanung Praktikum zur Routenplanung im Wintersemester 2012/2013 (Master) Betreuung: Moritz Baum, Julian Dibbelt, Thomas Pajor 6 ECTS-Punkte Praktische Implementierung einiger Aspekte aus der Vorlesung Beschleunigungstechniken Alternativrouten Public Transport Hub-Labels (in Datenbanken)... Möglichkeit aktuelle Forschung im Bereich Routenplanung praktisch auszuprobieren Details werden auf unserer Seite bekanntgegeben unter Thomas Pajor Algorithmen für Routenplanung Folie Juli 2012 Institut für Theoretische Informatik Lehrstuhl Algorithmik

73 Vorlesung Graphvisualisierung Algorithmen zur Visualisierung von Graphen Dozenten: Tamara Mchedlidze, Martin Nöllenburg, Ignaz Rutter 5 ECTS-Punkte Termin: Dienstags 9:45 Uhr und mittwochs 14 Uhr Themen (Auswahl): Kräftebasierte Layouts Knickminimierung, Winkelauflösung Lagenlayouts, Baumlayouts, Gitterzeichnungen Zeichnen von Metromaps... Mehr Informationen werden auf unserer Seite bekanntgegeben unter Thomas Pajor Algorithmen für Routenplanung Folie Juli 2012 Institut für Theoretische Informatik Lehrstuhl Algorithmik

74 Seminar Algorithmentechnik Geometrische Algorithmen für Anwendungen in der Geovisualisierung Andreas Gemsa, Martin Nöllenburg, Ignaz Rutter Termin: Dienstags 15:45 Uhr 4 ECTS-Punkte Themen (Auswahl): Schematische Karten Kartogramme Beschriftung von Karten Dynamische Darstellung von Karten Generalisierung... Mehr Informationen werden auf unserer Seite bekanntgegeben unter Thomas Pajor Algorithmen für Routenplanung Folie Juli 2012 Institut für Theoretische Informatik Lehrstuhl Algorithmik

75 Seminar Graph-Theorie/Data-Mining Synergien aus Graph-Theorie und Data-Mining zur Analyse von Netzwerkdaten Proseminar und Seminar (Algorithmentechnik B) Zusammen mit dem IPD Methoden zur Analyse komplexer Netwzwerke z.b. soziale Netzwerke, Zitationsdatenbanken, Sensornetzwerke Schwerpunkte: Maße zur Bewertung von Knoten und Subgraphen Graph Clustering zur Gruppierung von ähnlichen Graph-Strukturen Graph Outlier Mining zur Erkennung von Graph-Anomalien Erster Termin: 16. Oktober 2012, 14 Uhr (SR 348, Geb ) Thomas Pajor Algorithmen für Routenplanung Folie Juli 2012 Institut für Theoretische Informatik Lehrstuhl Algorithmik