Numerik I. Universität zu Köln SS 2009 Mathematisches Institut Prof. Dr. C. Tischendorf Dr. M. Selva,

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1 Universität zu Köln SS 009 Mathematisches Institut Prof. Dr. C. Tischendorf Dr. M. Selva, Numerik I Musterlösung 1. praktische Aufgabe, Bandmatrizen Bei der Diskretisierung von partiellen Differentialgleichungen ergeben sich lineare Gleichungssyteme Ax = b, bei denen die Matrix A = (a ij ) R n n eine (p, q)-bandmatrix ist, d.h., es gilt a ij = 0 falls j < i p oder j > i + q mit gewissen natürlichen Zahlen p, q 0, z.b. 1. Diagonalmatrizen sind (0, 0)-Bandmatrizen,. Tridiagonalmatrizen sind (1, 1)-Bandmatrizen. Die Zahl m := p + q + 1 heißt Bandbreite der Matrix A. Für diese Matrizen lässt sich der Aufwand bei der Berechnung der LU-Zerlegung der Matrix verringern. In dieser praktischen Aufgabe beschäftigen wir uns mit (p, q)-bandmatrizen. Sei dann A R n n eine (p, q)-bandmatrix und A = LU ihre LU-Zerlegung. 1. (5 Punkte): Zeigen Sie, dass L eine (p, 0)-Bandmatrix ist und U eine (0, q)-bandmatrix. Lösung: Sei A (k) die Matrix, die man nach k Schritten des Gaußschen Eliminationsverfahrens enthält. Dann gilt A (k) = L k 1 L 0 A, wobei die Matrizen L 1 i, i = 0, 1,..., k 1 folgende Gestalt haben L 1 i = l i+,i l n,i+1 1 mit l k,i+1 = a(i) k,i+1, k = i +,...,n. a (i) i+1,i+1 1

2 Nach n 1-Schritten des Verfahrens ist l L = L 1 0 L 1 1 L 1 n = l i+1,1 l i+1, l i+1,3 1 0 l i+,1 l i+, l i+,3 l i+,i l n1 l n l n3 l n,i+1 1 und U = A (n 1). Wir zeigen nun, dass die Matrizen L i und A (i) so sind, dass l k,i+1 = 0, k = i (p + 1),...,n (1a) a (i) = 0, k = i + 1, i +,...,n, j > k + q oder j < k p (1b) Das zeigen wir mit Hilfe von Induktion. Sei i = 1. Dann ist A (1) = L 0 A. Die Matrix L 1 0 hat Einsen auf der Hauptdiagonalen, die Einträge l k1 = a k1 a 11, k =,..., n und alle restlichen Einträge sind Null. Da a k1 = 0 für k > p + 1, gilt auch, dass l k1 = 0 für k > p + 1, d.h. L 1 0 ist eine (p, 0)-Bandmatrix. Die Einträge der Matrix A (1) = L 0 A sind so, dass = a l k1 a 1j, k, j =, 3,..., n. Die restlichen Einträge von A (1) sind Null ( i1 = 0, i =, 3,..., n) oder gleich denen von A ( 1j = a 1j, j = 1,,..., n). Sei nun j > k + q. Da A eine (p, q)-bandmatrix ist, gilt = l k1a 1j, und da a 1j = 0, j > q + 1, ist k =, 3,..., n = 0, k =, 3,..., n, j > k + q. Sei j < k p (k > j + p + p). Da A eine (p, q)-bandmatrix ist, ist = l k1a 1j, k =, 3,..., n, j < k p Wir haben schon gesehen, dass für k > p+1 gilt, dass l k1 = 0, d.h., = 0 für j < k p. Wir nehmen an, dass die Matrizen L 1 i 1 und A(i) die Eigenschaften (1) für i = 1,..., m erfüllen und zeigen, dass für L 1 m und A(m+1) = L m L m 1 L 0 A

3 (1) auch gelten. Die (ungleich Null und ungleich Eins) Einträge von L 1 m sind l k,m+1 = a(m) k,m+1, k = m +, m + 3,...,n. a (m) m+1,m+1 Da a (m) k,m+1 = 0 für k > m+1+p gilt auch, dass l k,m+1 = 0 für k > m+1+p. Die Matrix A (m+1) ist so, dass a (m+1) = a (m) l k,m+1 a (m) m+1,j, k, j = m +, m + 3,...,n. Die restlichen Einträge von A (m+1) sind gleich denen von A (m) oder Null. Sei nun j > k + q m + + q. Da A (m) eine (p, q)-bandmatrix ist, gilt a (m) = 0 und a (m) m+1,j = 0. D.h., a(m+1) = 0. Wenn j < k p (k > j+p m++p), sind dann a (m) = 0 und l k,m+1 = 0 und damit a (m+1) = 0.. (4 Punkte): In der Vorlesung wird ein Algorithmus für die Berechnung der LU-Zerlegung von Triadiagonalmatrizen, der die Struktur dieser Matrizen ausnutzt, vorgestellt (siehe unten). Erweitern Sie diesen Algorithmus auf (p, q)-bandmatrizen. Lösung: Da die Matrizen A (i) und die Matrizen L i 1 (i = 1,,..., n 1), die man in jedem Schritt des Verfahrens enthält, (p, q)-bandmatrizen bsw. (p, 0)-Bandmatrizen sind, muss man in jedem Schritt des Verfahrens nur die Einträge l i+1,j, j = i +, i + 3,..., i p und a (i), k = i + 1, i +,...,n, j = k p, k p + 1,..., k, k + 1,...,k + q neu berechnen. Wir modifizieren den Algorithmus auf Seite 9 im Skript und erhalten den Algorithmus (1). 3. (4 Punkte): Geben Sie effiziente Algorithmen für die Lösung der linearen Gleichungssystemen Ly = b, Ux = y, wenn die Matrix L eine (p, 0)-Bandmatrix ist und U eine (0, q)-bandmatrix. Lösung: Für allgemeine untere Dreiecksmatrizen L mit Einsen auf der Hauptdiagonalen, sind die Komponenten des Vektors y so, dass Ly = b die Folgenden i 1 y i = b i l i,k y k, i = 1,,..., n k=1 Wenn die Matrix L eine (p, 0)-Bandmatrix ist, sind auf der i-ten Zeile die Einträge l i1,...,l i,i p 1 gleich Null. In diesem Fall kann man dann die 3

4 Algorithm: LU-Zerlegung einer (p,q)-bandmatrix A Eingabe: Matrix A = (a ij ), i, j = 1,,..., n, p, q Ausgabe: Matrizen L = (l ij ), U = (u ij ) so, dass A = LU # L, U initialisieren L = I U = 0 for i = 1 to p + 1 do u 1i = a 1i # n-1 Schritte des Gaußschen Eliminationsverfahren durchführen for i = 1 to n 1 do for k = i + 1 to min(n, i + p) do c = a k,i a i,i l k,i = c for j = i + 1 to min(n, k + q) do a k,j = a k,j c a i,j if k == i + 1 then u k,j = a k,j Algorithm 1: LU Zerlegung für (p, q)-bandmatrizen Komponenten des Vektors y, wie folgt, berechnen y i = b i i 1 k=max(1,i p) l i,k y k, i = 1,,..., n. Für das System Ux = y geht man auf ähnlicher Weise vor x i = 1 min(n,i+q) y i u ik x k, i = n, n 1,...,1. u ii k=i+1 4. ( Punkte): Wieviele arithmetische Operationen werden gebraucht, wenn man das lineare Gleichungssystem Ax = b mit Hilfe der von Ihnen vorgeschlagenen Algorithmen löst? Geben Sie diese in Abhängigkeit von n, p und q an. Lösung: (a) Gleichungssystem Ly = b: Um y i zu berechnen, ist die Anzahl von arithmetischen Operationen N i gleich 1 + i 1 = i i p N i = 1 + (i 1 (i p) + 1) = p + 1 sonst, 4

5 d.h., die Anzahl N L von arithmetischen Operationen, um y zu berechnen, ist N L = n N i = p i + n (p + 1) = i=p+1 p(p + 1) + (p + 1)(n p) (b) Gleichungssystem Ux = y: Um x i zu berechnen, ist die Anzahl von arithmetischen Operationen N i gleich q + i < n q N i =, n i + sonst d.h., die Anzahl N U von arithmetischen Operationen, um x zu berechnen, ist N U = n q n N i = (q + ) + n i=n q+1 (n i + ) = n(q + ) 1 q(q + 1) (c) LU-Zerlegung der Matrix A: Die Anzahl N lu von arithmetischen Operationen ist gleich n 1 min(n,i+p) min(n,k+q) N lu = 1 + Diese Summe kann durch n 1 i+p 1 + k=i+1 k+q j=i+1 k=i+1 }} j=i+1 = (n 1)(pq + p + p + 1) abgeschätzt werden. Damit ist die gesamt Anzahl von arithmetischen Operationen N so, dass N p(p + 1) + (p + 1)(n p) + n(q + ) + (n 1)(pq + p + p + 1). 5. (15 Punkte): Implementieren Sie die von Ihnen vorgeschlagenen Algorithmen in den Python-Funktionen lu_band (Input: A, p, q, Output: L, U, siehe. Aufgabe), vorwaertssub (Input: L, p, b, Output: y, siehe 3. Aufgabe) und rueckwaertssub (Input: U, q, y, Output: x, siehe 3. Aufgabe). Lösung: Siehe praktikum1_ss09_loesung.py. 5

6 6. (10 Punkte): Lösen Sie die Gleichungssysteme Ax = b mit (a) A R n n (n = 10, 100, 1000) die folgende (1, 1)-Bandmatrix a ii =, a i,i 1 = 1, a i,i+1 = 1, i = 1,,...,n und b R n so, dass b 1 = 1, b i = 0, i =,...,n. (b) A R n n mit p = q =, 3, 5, 10, n = p (diese Matrix ist Output der Funktion matrix in praktikum1_ss09.py) und b R n so, dass b i = 1, i = 1,,..., n. Lösung: Siehe praktikum1_ss09_loesung.py. 6