Wie lange dauert es (im Mittel), bis...?

Transkript

1 Wie lange dauet es (im Mittel, bis? Teilnehme: Valentin Bonje Thomas Dittma Heniette Kisten Max Lindne Anton Pusch Fabian Schiemann Maximilian Steppe Alexeij Wad Alma Wettig mit tatkäftige Untestützung duch: Fank Schille Guppenleite: Elke Wamuth Heinich-Hetz-Gymnasium Heinich-Hetz-Gymnasium Andeas-Gymnasium Hede-Gymnasium Hede-Gymnasium Andeas-Gymnasium Humboldt-Univesität zu Belin 37

2 BINGO im Spiegel de Mathematik Seit 929 begeistet uns das mathematisch höchst inteessante Glücksspiel BINGO Zunächst füllen alle Spiele einen BINGO-Schein aus In de euopäischen Vaiante besteht diese Schein aus 3 9 Felden mit paaweise veschiedenen Zahlen von bis 90 In jede Zeile sind fünf gefüllte und vie leee Kästchen: veeinf acht zu Regeln Nacheinande weden zufällig unabhängig alle 90 Kugeln ohne Zuücklegen mit gleiche Wahscheinlichkeit gezogen Es gibt die Gewinnvaianten -, 2-, 3-e BINGO Wi betachten hie abe nu das 3-e BINGO We zuest alle 5 Zahlen auf seinem BINGO-Schein abhaken kann, gewinnt Übesetzung in die Stochastik Es sei X die Anzahl de Ziehungen bis zum 3-e Bingo fü einen festen Spiele Es gilt 5 X 90, da de Bingoschein 5 Zahlen hat und es 90 Kugeln gibt Hiebei gilt: I P (X j = ( 75 j 5 j = f(j Wi fäben die Kugeln in ote (die Kugeln mit den Zahlen auf dem Schein und schwaze (die estlichen Unte den j Kugeln befinden sich alle 5 oten und j 5 de 75 schwazen Kugeln Um die Gewinnwahscheinlichkeit fü die j-te Ziehung zu betachten, subtahieen wi alle vohegehenden Ziehungen: II P (X = j = f(j f(j = ( 75 j 5 j ( 75 j j Entwicklung de Wahscheinlichkeit fü 3-e BINGO Mit steigendem (j steigt auch die Gewinnwahscheinlichkeit fü die j-te Ziehung 38

3 Hätten Sie gedacht, dass est bei de letzten Kugel die Wahscheinlichkeit fü einen 3-e BINGO am gößsten ( ist? Umintepetation als BINGO-Lotto-Modell Wi stellen das Zufallsexpeiment als 90-Tupel da: c c 2 c 3 c 4 c 5 c c 7 c 8 c 9 c 0 }{{} j Kugeln mit 4 oten } {{ } j Kugeln mit 5 oten c j c 90 5 ichtige ote Kugeln 75 falsche schwaze Kugeln c j : letzte Zahl des Scheins, damit man 3-e BINGO ezielt Hiebei lassen sich ote bzw schwaze Kugeln untescheiden De Zahlenwet de Kugel ist ielevant Vo de Ziehung von c j befinden sich j Kugeln Die Positionen de esten 4 oten Kugeln sind aus eine Menge von j Elementen ausgewählt Fü das Tupel gibt es 5 Möglichkeiten Äquivalent zu II gilt: III P (X = j = Dies lässt sich veallgemeinen zu: IV P (X = j = ( j 4 5 ( j = f(j f(j ( s : Zahlen auf dem Schein s: Kugeln insgesamt 2 Ewatungswet Des Weiteen inteessiet uns, wie viele Ziehungen ein einzelne Spiele im Mittel abwaten muss, bis diese Spiele 3-e BINGO ufen kann E(X = j P (X = j IV einsetzen = j = ( s = ( s = ( s ( j ( s ( s ausklammen ( j mit eweiten ausklammen ( j j ( j ( j Summation übe alle Wahscheinlichkeiten und Indexveschiebung egibt : E(X = ( ( s + s küzen + = (s + + vgl N Henze, H Humenbege: Stochastische Übeaschungen beim Spiel BINGO In: Stochastik in de Schule 3 (20 3, S 8 39

4 2 Das Sammlepoblem Seit jehe übt das Komplettieen eine Sammlung eine Faszination sowohl auf Sammle als auch auf Mathematike aus Dabei inteessiet meist, wie viel Zeit diese Vogang in Anspuch nimmt Abstahiet kann man schon das wiedeholte Rollen eines Wüfels als einen solchen Sachvehalt ansehen Ziel ist es hiebei jede Augenzahl mindestens einmal zu ewüfeln Dabei ist ein Wuf ein Efolg, wenn wi eine noch nicht ezielte Zahl wüfeln Mit de Wahscheinlichkeit p = ( p ist es im esten Vesuch siche, einen Efolg zu ezielen, im zweiten ist die Wahscheinlichkeit dann p 2 = (2 p Wenn es schon i Efolge gab, ist die Wahscheinlichkeit fü den i-ten Efolg im nächsten Wuf p i = (i p Hiebei ist p = Es sei X i die Anzahl de Wüfe nach de i -ten bis zu i-ten veschiedenen Augenzahl und X die Anzahl de Wüfe bis zu vollständigen Seie Dann ist X = X + X X Fü den Ewatungswet von X i haben wi gezeigt: E(X i = p i Da wi den Ewatungswet de Anzahl de Vesuche X wissen wollen, muss man die Ewatungswete de einzelnen Wüfe dafü, dass man eine noch nicht gewofene Zahl ezielt, aufsummieen: E(X = i= (i p = = 4, 7 Daan ekennt man, dass man nach duchschnittlich 5 Wüfen also alle sechs Augenzahlen ewüfelt hat Diese Fomel kann man veallgemeinen Mit n als Gesamtanzahl de veschiedenen Elemente unsee Reihe und p als Wahscheinlichkeit jedes einzelnen Elements (mit p = n, d h, dass wi im Folgenden imme von einem Laplace-Expeiment ausgehen sieht die Fomel wie folgt aus: E(X = n i= (i p = n n + n n + + n [ = n n + n ] Diese Fomel funktioniet alledings nu, wenn s = ist Im allgemeinen Fall weden bei jede Ziehung s veschiedene Elemente auf gut Glück aus eine n-elementigen Menge gezogen Fü ein beliebiges s sei X n die Anzahl de Vesuche bis zu vollständigen Seie Wi benötigen folgende Fomeln: fü die Einzelwahscheinlichkeit, dass beim k-ten Vesuch die Seie komplettiet ist: 2 fü den Ewatungswet: n s ( n P (X n = k = ( q k ( q, k > a, = n s ( n q E(X n = ( a (q a(q q = Hiebei ist a die Mindestanzahl an Vesuchen, die es baucht, bis die Seie komplettiet ist ( n s aufgeundet liefet a Um auf diese Fomeln zu kommen übelegen wi, dass X n die maximale Watedaue alle zu ziehenden Elemente ist De Wetebeeich geht dabei von a bis 40

5 Es sei k > 0 fest Mit A j bezeichnen wi das Eeignis, dass die Watedaue auf das Element j göße als k ist Das Eeignis {X n > k} titt genau dann ein, wenn mindestens eins de Eeignisse A j eintitt Also gilt: n P (X n > k = P Wi wenden die Fomel des Ein- und Ausschließens an und ehalten: n ( n P (X n > k = ( q k = Hiebei ist q = (n s und gibt die Wahscheinlichkeit an, dass die zu ziehenden s Elemente aus de ( n s betachteten (n -elementigen Menge genommen weden Wegen P (X n > k = P (X n > k + P (X n = k egibt sich nun Fomel fü die Einzelwahscheinlichkeit Um auf den Ewatungswet zu kommen nutzen wi die Ableitung, wie im folgenden Beispiel dagestellt, und nach Umstellen ehalten wi Fomel 2 Beispiel : k= kx k = d dx ( x k k= j= A j = d ( x = dx x, x < ( x 2 Wi sind jetzt mit de Fomel 2 im Stande zu emitteln, wann im Mittel alle Lottozahlen mindestens ein Mal gezogen wuden Folgende Gafik veanschaulicht dies: Hie ekennt man, dass nach duchschnittlich 35 Ziehungen alle Lottozahlen mindestens ein Mal gezogen wuden Die Punkte geben die Einzelwahscheinlichkeiten zu Komplettieung de Seie fü jede Ziehung an Diese Fomeln kann man auf alle Sachvehalte diese At übetagen 3 Muste in Benoulli-Ketten Gesucht wid de Ewatungswet de Watezeit X auf ein beliebiges gegebenes Muste in eine Benoulli- Kette Muste meint hiebei eine bestimmte, vohe festgelegte Abfolge von Efolgen und Missefolgen 4

6 Beschieben wid de Vogang duch Makow-Ketten este Odnung Eine homogene Makow-Kette mit dem Zustandsaum S = {, 2, } ist ein Zufallspozess in diskete Zeit, de zu jedem de Zeitpunkte, 2, seinen momentanen Zustand wechseln kann Mit de Übegangswahscheinlichkeit p ij, i, j E geht e vom Zustand i in den Zustand j übe Diese Wahscheinlichkeit hängt nicht von den voheigen Zuständen, sonden nu vom aktuellen Zustand ab (Makow-Eigenschaft Makow-Ketten können sogenannte absobieende Zustände besitzen, das sind Zustände, die nicht meh velassen weden können Diese absobieende Zustand ist bei uns das Eeichen des festgelegten Mustes Wi nutzen hiezu die zweite Mittelwetsegel: E i (X = + n p ij E j (X Bei de zweiten Mittelwetsegel geht man davon aus, dass de Zustand i nicht de absobieende Zustand ist, man baucht also mindestens noch einen Schitt zum gewünschten Muste Die Summe gibt gewichtet nach de Wahscheinlichkeit de nächsten Zustände den (bedingten Ewatungswet von X ausgehend vom Zustand i an Zu paktischen Demonstation sollen die Ewatungswete de Watezeit auf folgende dei Muste eines idealen Münzwufes emittelt und miteinande veglichen weden: 000; 00; Am Beispiel des Mustes 0 soll die Beechnung von E(X übe ein lineaes Gleichungssystem vedeutlicht weden De Gaph de Makow-Kette fü dieses Beispiel sieht folgendemaßen aus j= s 0 0 Figue : Makow-Kette Estellt von Jonas Wanke Figue : Makow-Kette Estellt von Jonas Wanke Hiebei ist s de Stat -Zustand In diesem Zustand befindet sich de Pozess zu Beginn und wenn nach 0 in de Benoulli-Kette eine 0 gewofen wid, weil diese das Muste zestöt Die weiteen Zustände sind, 0 und 0 Da es sich um eine ideale Münze handelt, sind alle Übegangswahscheinlichkeiten gleich 2 Nach de zweiten Mittelwetsegel gilt mit de abküzenden Bezeichnung E s(x = E(X E(X = + 2 E (X + E(X ( 2 E (X = + 2 E (X + 2 E 0(X (2 E 0 (X = + 2 E(X + 2 E 0(X (3 Es gilt E 0 (X = 0, da 0 de absobieende Zustand ist Wi setzen E 0 (X in (2 ein und ehalten: 2 E 0(X = E(X Nach Umfomung egibt sich das folgende lineae Gleichungssystem in E(X und E (X E(X E (X = 2 E(X + 2E (X =, 42

7 das fü E(X die eindeutige Lösung E(X = 0 hat Analog abe umfangeiche lassen sich fü das oben genannte Beispiel die einzelnen Ewatungswete ausechnen 000 : E(X = 84, 00 : E(X = 70, : E(X = 2 Anmekung: Alle Egebnisse entstanden unte de Annahme eines idealen Münzwufes, bei dem Kopf und Zahl bzw Efolg und Missefolg gleichwahscheinlich sind Rekuente Eeignisse Um die mittlee Watezeit auf andee Typen von Musten zu bestimmen, haben wi uns zunächst mit ekuenten Eeignissen in einem Zufallspozess beschäftigt Definition Die Eeignisse H, H 2, heißen ekuent, wenn fü i, j N mit i > j gilt, dass P (H i H H j H j = P (H i j Beispiel Random Walk Beim Random Walk wid ein Patikel im eindimensionalen Raum betachtet, das sich bei jedem Zeitschitt vom Punkt i aus mit de Wahscheinlichkeit 2 entwede zum Punkt i + ode zum Punkt i bewegt Fü k =, 2, bezeichnen wi mit H k das Eeignis, dass das Patikel im k-ten Schitt den Punkt 0 eeicht Die oben genannte Fomel heißt fü den Random Walk Folgendes: Sei i = 8 und j = Die Bedingung auf de linken Seite bedeutet, dass das Patikel estmalig beim sechsten Schitt wiede den Punkt 0 eeicht Da die Eeignisse H, H 2, ekuent sind, ist die Wahscheinlichkeit, bei Schitt 8 wiede den Nullpunkt zu eeichen, unabhängig von den Schitten vo dem esten Eeichen des Nullpunktes Wi können den Pozess bei Schitt als wiede neu gestatet annehmen Die Wahscheinlichkeit, dass das Patikel den Nullpunkt eeicht, ist also bei Schitt 8 und 2 gleich, wenn es bei Schitt den Punkt 0 eeicht hatte Um ekuente Eeignisse bescheiben zu können, gibt es ezeugende Funktionen H(s fü die Auftittswahscheinlichkeiten und T(s fü die Watezeit Zwischen diesen zwei ezeugenden Funktionen besteht folgende Zusammenhang: H(s = T (s Runs Runs sind ein spezielle At von Musten in Benoulli-Ketten, bei denen Efolge (ode auch Missefolge aufeinandefolgen Zu Beechnung des Ewatungswetes de Watezeit nutzt uns die oben fü das Muste 0 eläutete Methode nichts, da wi E(X allgemein fü beliebige beechnen wollen Mit Hilfe von ezeugenden Funktionen fü ekuente Eeignisse lässt sich die Fomel des Ewatungswetes bestimmen als E(X = p qp, wobei p die Wahscheinlichkeit eines Efolges, q die eines Missefolges und die Länge des Runs bezeichnet 43