Perfekte und vollständige Information

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1 Dynamische Spiele und unvollständige Information Mehrstufige Spiele mit beobachtbaren Handlungen: Rückwärtsinduktion und Teilspielperfektheit Wiederholte Spiele und kooperatives Verhalten Unvollständige Information: ayes-nash- und sequentielles Gleichgewicht K. Morasch 2007 nwendungen der Spieltheorie in den Wirtschaftswissenschaften 42 Perfekte und vollständige Information Markteintrittsspiel: sequentielles Spiel mit perfekter Information Verzicht extensive Form strategische Form Preiskrieg (1,1 (-1,-1 Markteintritt ufteilung (-1,-1 (1,1 spekte: - strategische Form enthält nicht alle relevanten Informationen - unplausibles Nash-Gleichgewicht ( leere Drohung - Lösung im Spielbaum durch Rückwärtsinduktion K. Morasch 2007 nwendungen der Spieltheorie in den Wirtschaftswissenschaften 43

2 Imperfekte Information Simultanspiel: Handlungen der Mitspieler nicht beobachtbar (3,3 spekte: C (0,2 (4,0 (1,1 Spieler 2 hat imperfekte Information hidden action und moral hazard : (Verschlechterung gegenüber dem Ergebnis bei perfekter Information Normalform liefert alle relevanten Informationen über das Spiel K. Morasch 2007 nwendungen der Spieltheorie in den Wirtschaftswissenschaften 44 Konzept eines Teilspiels Definition: m Entscheidungsknoten X fängt ein (eigenständiges Teilspiel an, wenn alle nachfolgenden Knoten mit dem Rest des Spiels nur über diesen Knoten X verbunden sind. s D 31 s 21 E C F eispiele: Nur im Knoten D bzw. H beginnt ein neues Teilspiel! D C G H K. Morasch 2007 nwendungen der Spieltheorie in den Wirtschaftswissenschaften 45

3 Erweiterung des Strategiebegriff bisher: Strategie als einzelne, unbedingte Entscheidung bzw. Handlung jetzt: Strategie als Sequenz von bedingten ktionen Investition mit Kosten c eispiel: Markteintrittsspiel mit vorgelagerter a 1 11 (a 0 21 Investition in Überkapazität durch das etablierte Unternehmen a 0 21 a 1 12 (a 0 21 ( strategic move : a 0 22 a 2 21 a 2 22 (-1,-1 (1,1 (0,4-c (reine Strategien: a 0 22 a 1 11 (a 0 22 s 1i = {a 1 (h 1 } mit h 1 {a 0 21, a 0 22} s 2j = {a 0 2, a 2 2} ( history h l hier irrelevant! a 1 12 (a jeder Spieler hat vier Strategien zur uswahl! a 2 21 a 2 22 (-1,-1 (1,1-c K. Morasch 2007 nwendungen der Spieltheorie in den Wirtschaftswissenschaften 46 Teilspielperfektes Gleichgewicht Definition: s * ist ein teilspielperfektes (Nash-Gleichgewicht, wenn für keinen Spieler in irgendeinem Teilspiel, das an einen beliebigen Knoten des Spielbaums beginnt, ein nreiz zur bweichung von s * besteht. Idee: Das Verhalten eines Spielers muss auch außerhalb des betrachteten Gleichgewichtspfads optimal sein das eliminiert leere Drohungen. estimmung: Kombination von Rückwärtsinduktion (ausreichend bei perfekter Info und Nash-Gleichgewicht in Teilspielen mit imperfekter Information [Details siehe eispiele Markteintrittsspiel, Stackelberglösung und F&E-Investition] K. Morasch 2007 nwendungen der Spieltheorie in den Wirtschaftswissenschaften 47

4 Perfekte Information und stetiger Strategieraum eispiel: Duopol mit sequentieller Festlegung der Menge (s i = x i - Unternehmen 1 legt Output zuerst verbindlich fest - Unternehmen 2 beobachtet und wählt dann eigene Menge nsatz: - Spieler 2 macht Strategiewahl von eobachtung abhängig: s 2 = r 2 (x 1 - Spieler 1 berücksichtigt dies bei der Wahl von x 1 : max π 1 (x 1,r 2 (x 1 eachte: Cournot-Nash, d.h. s 2 = x 2 C für alle x 1 ist nicht teilspielperfekt! x 2 r 1 (x 2 Isogewinnkurve: π 1 (x 1,x 2 Nash-Gleichgewicht (Lösung für Simultanspiel Stackelberg- Gleichgewicht r 2 (x 1 (teilspielperfekt x 1 K. Morasch 2007 nwendungen der Spieltheorie in den Wirtschaftswissenschaften 48 Mehrstufige Spiele mit beobachtbaren Handlungen Idee: Das Spiel setzt sich aus K+1 Stufen zusammen, wobei eine Stufe k aus einem Teilspiel mit simultaner Wahl von ktionen a ik besteht und alle Spieler die ktionen auf den k-1 davor liegenden Stufen beobachten können (führt auf history h k = (a 0, a 1,, a k-1. [(i eginn mit k =0wegen vereinfachter Notation bei nalyse mit Diskontierung; (ii auch alternierende ktionen durch einelementige ktionsmenge nichts tun ] eispiele: - Cournot-Duopol (einstufig - Stackelberg-Duopol (zweistufig, alternierende ktionen - strategischer F&E-Wettbewerb (zweistufig, Stufenspiele simultan - Markteintrittsspiel von Dixit (ktionsraum von history abhängig - Rubinstein-Verhandlungsspiel (Stufen nicht unbedingt Zeitpunkte K. Morasch 2007 nwendungen der Spieltheorie in den Wirtschaftswissenschaften 49

5 Dynamische Spiele Mehrstufige Spiele mit beobachtbaren Handlungen: Rückwärtsinduktion und Teilspielperfektheit Wiederholte Spiele und kooperatives Verhalten Unvollständige Information: ayes-nash- und sequentielles Gleichgewicht K. Morasch 2007 nwendungen der Spieltheorie in den Wirtschaftswissenschaften 50 Konzept wiederholtes Spiel Dynamisches Spiel mit stationärer Struktur, d.h. u t (a t = u(a t (Sonderfall der mehrstufigen Spiele mit beobachtbaren ktionen: Gesamtspiel Γ(T besteht aus Wiederholungen des Stufenspiels. Handlungen in früheren Perioden wirken sich zwar nicht auf die uszahlungen im Stufenspiel aus, die Spieler haben aber die Möglichkeit, ktionen in t vom bisherigen Spielverlauf abhängig zu machen (z.. estrafung bei bweichung vom kooperativen Verhalten. Ob andere Lösungen als die Wiederholung der Nash-Gleichgewichte des Stufenspiels realisierbar sind, hängt entscheidend vom Zeithorizont ab (endlich vs. unendlich oft wiederholte Spiele. Daneben spielen aber auch die Struktur des Stufenspiels sowie die nnahmen bezüglich Rationalität und Information eine wichtige Rolle. K. Morasch 2007 nwendungen der Spieltheorie in den Wirtschaftswissenschaften 51

6 Gefangenendilemma als wiederholtes Spiel Stufenspiel: a 11 a 12 a 21 a 22 (1,1 (-1,2 (2,-1 (0,0 eachte: - ktionen statt Strategien - uszahlungen anders normiert (erleichtert erechnungen Gesamtspiel Γ(T : - einheitlicher Diskontfaktor δ - Orientierung an Durchschnittlicher abdiskontierter uszahlung (D 1 δ 1 T T 1 δ + t = 0 t t δ u ( a Umskalierung (gleiche Präferenzen, um uswirkungen von Änderungen des Diskontfaktors und des Zeithorizonts leichter zu beurteilen - Vergleiche (i einstufiges Spiel, (ii mehrstufiges, aber endliches Spiel und (iii unendliche Wiederholung i K. Morasch 2007 nwendungen der Spieltheorie in den Wirtschaftswissenschaften 52 Endlich vs. unendlich oft wiederholte Spiele Theorem: Falls s C das einzige Nash-Gleichgewicht eines Stufenspiels Γ(N,S,u, so ist die ständige Wiederholung von s C das einzige teilspielperfekte Gleichgewicht des endlich oft wiederholten Spiels Γ(T Folktheorem: In einem unendlich oft wiederholten Spiel Γ(,δ lässt sich für δ 1 jede zulässige individuell rationale uszahlungskombination als teilspielperfektes Gleichgewicht realisieren (auch kooperatives Verhalten individuell rationale uszahlungen: V C = {u(s s S, u i u ic für alle i N} mit u ic als uszahlung, die sich ein Spieler mindestens sichern kann (mit Konfliktpunkt C = (u 1C,, u nc und pareto-optimalem Punkt P u 2 C V C P Paretogrenze u 1 K. Morasch 2007 nwendungen der Spieltheorie in den Wirtschaftswissenschaften 53

7 Probleme und Erweiterungen Stochastische Spiele: Strafpfad ohne bweichung - wie zurück? Rückkehr zu Kooperation nach festgelegter Strafperiode ei Vergeltung auch geringere uszahlung für estrafende Drohung unglaubwürdig Lösung: neuverhandlungsstabile Gleichgewichte Diskontinuität zwischen beschränkter und unendlichem Zeithorizont - Stufenspiel mit mehreren eispiel: a 21 a 22 a 23 Nash-Gleichgewichten (Folktheorem für Τ a 11 (1,1 (-1,2 (-2,-2 - Möglichkeit irrationaler Mitspieler (spielen immer kooperativ a 12 (2,-1 (0,0 (-2,-2 - beschränkte Rationalität ( befriedigendes Ergebnis a 13 (-2,-2 (-2,-2 (-2,-2 K. Morasch 2007 nwendungen der Spieltheorie in den Wirtschaftswissenschaften 54 Dynamische Spiele Mehrstufige Spiele mit beobachtbaren Handlungen: Rückwärtsinduktion und Teilspielperfektheit Wiederholte Spiele und kooperatives Verhalten Unvollständige Information: ayes-nash- und sequentielles Gleichgewicht K. Morasch 2007 nwendungen der Spieltheorie in den Wirtschaftswissenschaften 55

8 Unvollständige Information (I Markteintrittsspiel mit unvollständiger Information über Kosten schwacher Monopolist - M w starker Monopolist - M s (b-1, -1 K (b,1 (b-1, 1 M K M (b,-1 nnahmen: Problem: 0 < b < 1 und Wahrscheinlichkeit für M s gleich θ Grundannahme gemeinsames Wissen nicht erfüllt: Welcher Spielbaum relevant? nicht (direkt lösbar! K. Morasch 2007 nwendungen der Spieltheorie in den Wirtschaftswissenschaften 56 Unvollständige Information (II Trick : Transformation in ein Spiel mit vollständiger Information Natur legt für jeden Spieler i konkreten Typ t i T i mit T i = {t i1,, t izi } fest (konkrete Festlegung nur vom Spieler selbst beobachtbar! Mitspieler haben (subjektive Wahrscheinlichkeitsschätzungen p(t -i t i (Kenntnis des eigenen Typs kann Information über Mitspieler liefern! Jeder Typ t i wird als eigenständiger Spieler mit uszahlungsfunktion u i (t i = Σ t-i p(t -i t i u i (s 1 (t 1,,s n (t n,t 1,,t n betrachtet Ein ayes sches Spiel ist dann durch Γ(N,S,T,π,u beschrieben (mit T ={T 1,,T n } und π als Menge der p(t -i t i aller Spieler und kann in ein Spiel Γ(T,S,u mit vollständiger aber imperfekter Info transformiert werden (mit S als Menge der S i (t i und u als Menge der u i (t i K. Morasch 2007 nwendungen der Spieltheorie in den Wirtschaftswissenschaften 57

9 Unvollständige Information (III Markteintrittsspiel: Transformation und ayes-nash-gleichgewicht 1 - θ t 21 = M w (Mw (b-1, -1 (b,1 Spiel: T 1 =K,T 2 ={M w,m s } π = {p(m w =1 θ, p(m s =θ} Gleichgewicht: M w : (N θ t 22 = M s (M s (b-1, 1 (b,-1 K M M s : K: falls (1 θb +θ(b 1 0 (d.h. wenn θ b sonst K. Morasch 2007 nwendungen der Spieltheorie in den Wirtschaftswissenschaften 58 ayes-nash-gleichgewicht s * = (s 1* (t 1,, s n* (t n mit s i (t i =(s i (t i1,, s i (t izi ist ein ayes-nash- Gleichgewicht, wenn u i (s i *(t i, s -i *(t -i,t i u i (s i (t i, s -i *(t -i,t i für alle i, s i,t i Probleme: optimale Strategiewahl der Mitspieler basiert auf der erücksichtigung des Verhaltens aller möglichen Typen des Spielers i obwohl Spieler i seinen Typ t i kennt, muss er sich in seine anderen Typen hineinversetzen (vgl. dazu Übungsaufgabe zum ayes-nash-gleichgewicht mit stetigen Strategien erwartete uszahlungen (und damit die Strategiewahl sind abhängig von den subjektiven Wahrscheinlichkeitsschätzungen jedes Spielers nahezu alle Strategiekombinationen als Gleichgewicht rationalisierbar Lösungsansatz: Common-prior-nnahme und ayes sches Updating (ausführliche Diskussion anschließend im Zusammenhang mit Signalspielen K. Morasch 2007 nwendungen der Spieltheorie in den Wirtschaftswissenschaften 59

10 Sequentielles Gleichgewicht - eispiel eispiel 1a: Markteintritt mit nicht-beobachtbarer Technologie extensive Form strategische Form (-1,-1 (1,1 (-1,-1 (1,1 s 13 (-½,-½ s 13 (-½,-½ (-1,1 (-1,1 Problem: eide Nash-Gleichgewichte sind hier teilspielperfekt! K. Morasch 2007 nwendungen der Spieltheorie in den Wirtschaftswissenschaften 60 Sequentielles Gleichgewicht - Konzept Definition: Ein Paar (s,µ mit Strategien s und Wahrscheinlichkeitsschätzungen µ stellt ein sequentielles Gleichgewicht dar, wenn (i jede ktion eines Spielers zu gegebenen s -i und Wahrscheinlichkeitsschätzung µ an jeder Informationsmenge eine optimale Wahl darstellt und (ii die Wahrscheinlichkeitsschätzungen über das Verhalten der anderen Spieler mit den im weiteren Spielverlauf optimalen Strategien dieser Spieler konsistent sind (insbesondere npassung der -priori-wahrscheinlichkeiten entsprechender ayes scher Regel nwendung auf eispiel 1a: (, ist kein sequentielles Gleichgewicht, da für beliebiges µ der erwartete Nutzen für Spieler 2 bei höher ist (d.h. wird von dominiert K. Morasch 2007 nwendungen der Spieltheorie in den Wirtschaftswissenschaften 61

11 Grenzen des Konzepts und Verfeinerungen eispiel 1b: Unplausibles sequentielles Gleichgewicht (-1,-1 (1,1 s 13 (-½,2 Idee: geänderte uszahlung 2 für Monopolist bei (s 13, (,, µ nun sequentielles Gleichgewicht falls µ < 1 / 3 Menge aller Gleichgewichte: {(,,µ =1, (,, µ < 1 / 3, (,p( ½, µ = 1 / 3 } (-1,1 aber: µ 1 / 3 unplausibel, da s 13 von strikt dominiert Markteintritt nur mit sinnvoll! K. Morasch 2007 nwendungen der Spieltheorie in den Wirtschaftswissenschaften 62 Unvollständige Information und Signalspiele eispiel 2: Unvollständige Information über Markteintreter θ 1-θ t s t w (-1,-1 (1,1 (-½,2 (-1,1 Idee: potentieller Neueintreter kann schwach (t w oder stark (t s sein T 1 ={t s,t w }, T 2 =M π = {µ(t s =θ,µ(t w =1 θ} als -priori-wahrscheinlichkeiten Signal durch Markteintritt: - Trennungs-Gl.gew.: µ(t s = 1 - Pooling- Gl.gew.: µ(t s 1 / 3 Verfeinerung: Monopolist schließt aus, dass Neueintreter dominierte Strategie spielt K. Morasch 2007 nwendungen der Spieltheorie in den Wirtschaftswissenschaften 63