Abb. 1: Linien- und Flächenschwerpunkt kreisförmig berandeter Gebiete.
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- Clara Kaiser
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1 Unv. Pof. D. e. nt. Wolfgng H. Mülle Technsche Unvestät Beln kultät V ehstuhl fü Kontnuumsmechnk und Mteltheoe - KM ek. M Enstenufe Beln. Üungsltt-ösungen De chwepunkt W 0/0. Es soll de ge des nenmttelpunkts enes Kesogens und de lächenmttelpunkt enes Kessektos mt dem Öffnungswnkel estmmt und vefzet weden. Zusätzlch zu dskuteen wum de nenmttelpunkt und de lächenmttelpunkt mt dem chwepunkt von ne zw. läche zusmmenfällt wenn ene konstnte Dchte (längs de ne zw. läche) ngenommen wd? ösung. : nen- und lächenschwepunkt kesfömg endete Geete. W ennen zunächst n de Defntonsglechungen fü den geometschen Mttelpunkt de ne chwepunkt : ds C ds ( ) ( ) ds ds sowe n de Defntonsglechungen fü den geometschen Mttelpunkt de läche : d C d ( ) ( ) d d C (). () sowe fü hen C sowe fü hen chwepunkt De nenmttelpunkt und de lächenmttelpunkt fllen offen nu mt dem chwepunkt zusmmen wenn ene konstnte Dchte ngenommen wd. Dese knn dnn vo de Integle des ennes und des Zähles gezogen und geküzt weden. Ds entwotet de chlussfge. un zu konketen Beechnung de Integle fü kesfömg endete Geete so we n de. zu sehen. us mmetegünden glt (ene homogene Keslne vousgesetzt) 0 und 0. ü de szssenwete folgt (wede fü homogene nen): C C ds () 0 Hee glt n Polkoodnten ( ezechnet de Gesmtlänge de ne vgl. ußedem. ): s sn( θ ) d dθ () θ. : Zum nenmttelpunkt. ü de Genzen de nenntegle müssen w n Polkoodnten scheen (vgl.. ): /7
2 Unv. Pof. D. e. nt. Wolfgng H. Mülle Technsche Unvestät Beln kultät V ehstuhl fü Kontnuumsmechnk und Mteltheoe - KM ek. M Enstenufe Beln. Üungsltt-ösungen De chwepunkt W 0/0 s 0 θ s l θ +. (5) lso folgt duch Ensetzen n Glechung (): un glt: θ θ sn( θ ) dθ sn( θ ) dθ. (6) θ θ cos + sn cos + sn sn. (7) lso folgt ls Endegens: sn. (8) Hndelt es sch nun spezell um enen Hlkesogen so glt und mn fndet dss:. (9) Wenden w uns nun dem lächenmttelpunkt zu. uch he empfehlt es sch zu uswetung de Glechungen () Polkoodnten zu vewenden so we n de. ngedeutet. Es glt fü ds dot dgestellte lächenelement: d d ds d dθ. (0) omt egt sch fü de läche enes Kessektos: + θ d d dθ / d dθd dθ θ d. : Zum lächenmttelpunkt n Polkoodnten. + θ dθ [ + ( )] 0 θ θ. () us mmetegünden glt fü den (homogenen) Kessekto de. ntülch 0 und 0. ü de szssenkoodnten fndet mn duch uswetung de Glechungen (): C /7
3 0 mm Unv. Pof. D. e. nt. Wolfgng H. Mülle Technsche Unvestät Beln kultät V ehstuhl fü Kontnuumsmechnk und Mteltheoe - KM ek. M Enstenufe Beln. Üungsltt-ösungen De chwepunkt W 0/0 C + θ + θ sn Be de Hlkesfläche st. lso folgt: ( θ ) d dθ sn( θ ) dθ sn 0 θ θ. (). Ds Tellenvefhen soll vewendet weden um de Koodnten des lächenmttelpunktes skzzeten Queschntte zu emtteln. 90 mm. () fü de eden W 8 mm T0. : Zwe Tägepofle. ösung Be de ösung wd de ddtvtätsegenschft von Integlen vewendet. nstelle enes Integls üe de Gesmtfläche entstehen so Integle üe de Enzelflächen welche zusmmengenommen de Gesmtfläche egeen. De st de uspünglche läche geschckt n solche Enzelflächen zu zelegen deen Egenzenten eets eknnt snd. W scheen gemäß den Egenssen des ehuches fü de eden lächenmttelpunktskoodnten: d d d d. () /7
4 Unv. Pof. D. e. nt. Wolfgng H. Mülle Technsche Unvestät Beln kultät V ehstuhl fü Kontnuumsmechnk und Mteltheoe - KM ek. M Enstenufe Beln. Üungsltt-ösungen De chwepunkt W 0/0 II I II III IV. : Telflächen de eden Tägepofle. ü de eden Pofle snd de Telflächen n. dentfzet. De veleenen Podukte und ummen weden de Üescht hle n ene Telle usgewetet. ü ds este Pofl wählen w ls Bss ds m Zentum de kesfömgen usspung IV legende Koodntensstem. Im Ügen gt es noch we n. ngedeutet en volles echteckspofl I en volles Deeckspofl II sowe en volles Hlkespofl III. Dnn lutet de Telle: Telfläche I II III I 0 0 IV ( ) + Hee st zu echten dss e Telköpe IV de läche mt negtvem Vozechen vesehen st. us Glechung () egt sch somt: ( + ) ( + ) III. () un zum zweten Pofl. He lässt sch de Queschntt n de Tele zelegen nämlch en nnees (usgesptes) echteck I (0mm 7mm) dessen läche mt negtvem Vozechen zu vesehen st en äußees echteck (0mm 90mm) sowe en Wlzpofl T0. De Telle fü den ll dss w ds Koodntensstem n de mmetechse legen und mt de Unteknte des Täges zusmmenfllen lssen (lle Enheten snd n Velfchen von cm ngegeen um de Zhlen n venünftgen Gößenodnungen zu hlten) st unten zu sehen. us Glechung () egt sch: 6558 cm 0 und 08 cm. () 606 cm Telfläche (cm) (cm ) ( cm ) I II III /7
5 Unv. Pof. D. e. nt. Wolfgng H. Mülle Technsche Unvestät Beln kultät V ehstuhl fü Kontnuumsmechnk und Mteltheoe - KM ek. M Enstenufe Beln. Üungsltt-ösungen De chwepunkt W 0/0. ü de dgestellte Kesschee de n de oeen Hälfte ene kesfömge usspung estzt soll unte Vewendung des Tellenvefhens ds Vehältns de Mssendchten det estmmt weden dss de chwepunkt m Uspung des ngegeenen Koodntensstems legt. De Mttelpunkt de usspung efndet sch m stnd vom Koodntenuspung. Mn echte e de echnung dss de chwepunkt ene Hlkesfläche von he Gundlne us gesehen e legt woe den dus ezechnet. ene seen und gegeen. /. : Inhomogene Kesschee mt usspung. ösung Es se dn ennet dss mn den chwepunkt ( ) ene heteogenen chee mt postonshängge Mssendchte ( ) us den lächenmttelpunkten ( ) he homogen Unteflächen (mt jewels konstnte Mssendchten ) we folgt eechnen knn: ( ) ( ) d d ( ) ( ) d d. () ufgund de mmete des gewählten Koodntensstems (vgl.. ) st de este dese eden Glechungen dentsch efüllt denn es glt: 0 0. () ü de Vetklchtung st ds jedoch ncht so. He müssen w scheen: 0 0 mt 0. () De uftetenden Gößen weden n de Telle emttelt. De kesfömge usspung geht de mt ene negtven läche en: - q us de Glechung () esultet somt: 5/7
6 Unv. Pof. D. e. nt. Wolfgng H. Mülle Technsche Unvestät Beln kultät V ehstuhl fü Kontnuumsmechnk und Mteltheoe - KM ek. M Enstenufe Beln. Üungsltt-ösungen De chwepunkt W 0/0 ( ) q 0 () + und fü ds gesuchte Dchtevehältns egt sch nch lgesche Umstellung heus:. (5). us ene hlkesfömgen chee (Dcke t Dchte ) wude en echteckges tück entfent. Be gegeenem und estmme mn den stnd mthlfe des Tellenvefhens so dss de chwepunkt de engezechnete 9 ge nnmmt. De snd und gegeen. 6. : Hlkesschee mt echteckge usspung. ösung Es se engngs dn ennet dss mn den geometschen Mttelpunkt ( ) ene heteogenen chee us den lächenmttelpunkten ( ) he homogen Unteflächen we folgt eechnen knn: d d d d. () ufgund de mmete de he volegenden chee und de Whl des Koodntensstems (vgl.. ) st festzustellen dss: 0 0. () echteck Hlkes ü de Vetklchtung st de tuton etws komplee. He edent mn sch m esten des Tellenvefhens (sehe oen). ls Unteflächen snd ene echteckfömge usspung (mt negtve läche) und geometschem Zentum m Dgonlschnttpunkt sowe en Hlkes mt Mttelpunkt e ( ) Glechung (): β β zu nennen. Dmt folgt us. () 6/7
7 Unv. Pof. D. e. nt. Wolfgng H. Mülle Technsche Unvestät Beln kultät V ehstuhl fü Kontnuumsmechnk und Mteltheoe - KM ek. M Enstenufe Beln. Üungsltt-ösungen De chwepunkt W 0/0 ch ufgenstellung soll sen. lso folgt:. () Deses Egens füht uf ene qudtsche Glechung: + 0. (5) Ihe ösung lutet: ±. (6) Indem w eplzt ensetzen folgt: (7) 9 9 us phsklschen Günden st nu de ösung zu wählen d >. 7/7
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