Verlauf Material LEK Glossar Lösungen. Guido Müller, Bonn VORANSICHT

Transkript

1 Di -Funktion knnnlrnn und anwndn Rih 12 S 1 Vrlauf Matrial LEK Glossar Lösungn Di -Funktion knnnlrnn und anwndn Guido Müllr, Bonn Lonard Eulr, Schwizr Mathmatikr ( ), Punktirstich um 1810 von F. Rbagli nach J.B. Bosio Klass: 11 (10 bi G8) Daur: 8 Stundn Inhalt: Thori und Anwndung von Eponntialfunktionn und dr -Funktion im Spzilln: Dinitionslückn, Rgl von d L Hospital, Asymptotn, Zrfallsgstz, Halbwrtszit, praktisch Eprimnt Ihr Plus: Slbstständigs Erarbitn an inr Lrnthk, kin Knntniss dr Intgralrchnung notwndig, Einsatz inr Tabllnkalkulation (Ecl) Foto: pictur-allianc/akg-imags Di -Funktion als ausgzichnt Eponntialfunktion ghört zu dn wichtigstn Funktionn dr Mathmatik. Auch in dr Physik, Biologi und Finanzmathmatik wird si angwndt. Di Untrrichtsinhit vrmittlt grundlgnd Fähigkitn im Umgang mit disr Funktion. Di Schülrinnn und Schülr übn Diffrnziationsrgln wi di Kttnund Produktrgl in. Darübr hinaus lrnn si di Rgl von d L Hospital knnn. Ein Tabllnkalkulation hilft bim Aufindn dr Lösung. 66 RAAbits Mathmatik März 2011

2 Di -Funktion knnnlrnn und anwndn Rih 12 S 2 Vrlauf Matrial LEK Glossar Lösungn Didaktisch-mthodisch Hinwis Führn Si di Untrrichtsinhit dirkt im Anschluss an das Thma Ganzrational Funktionn durch. Aufgrund dr hrausragndn Roll dr -Funktion in dr Mathmatik und dn Naturwissnschaftn ist s nämlich sinnvoll, das Thmngbit Eponntialfunktionn möglichst frühzitig im Untrricht zu bhandln. Dis führt zu inm sichrn Umgang mit dr -Funktion. Di Schülrinnn und Schülr rhaltn mit dm vorligndn Matrial di Möglichkit, sich ignständig in diss kompl Thmngbit inzuarbitn. Di Matrialin könnn in dr Rgl unabhängig voninandr barbitt wrdn. Schülrgrcht Lösungn (auch auf CD-ROM 41) rlaubn s dn Lrnndn, ihr Rchnschritt und Ergbniss zu kontrollirn. Lgn Si di Arbitsblättr an inr Lrnthk aus. Si als Lhrkraft nhmn in passiv bglitnd Roll in. Si sthn nur bi Fragn zur Vrfügung. Altrnativ könnn Si di Matrialin abr auch in Partnrarbit barbitn lassn. Lassn Si Ihr Schülrinnn und Schülr in Tabllnkalkulation (Ecl, Opn Ofic) bnutzn. Dr Einsatz hilft bi dr Grnzwrtbildung und bitt in Kontrollmöglichkit unabhängig von dr zuvor mit Papir und Blistift rarbittn Lösung. Bzüg zur Physik fachübrgrifnd untrrichtn Di Eprimnt ignn sich für inn fachübrgrifndn Untrricht (Physik). Lassn Si Ihr Schülrinnn und Schülr in Eprimnt auswähln und ignständig durchführn. Für di Eprimnt zur Radioaktivität und zur Entladung ins Kondnsators bnötign Si Hilfsmittl aus dr Physik. Sämtlich Eprimnt könnn jdoch auch anhand dr vorligndn Ecl-Tablln ausgwrtt wrdn, ohn si praktisch durchgführt zu habn. Vorausstzungn dr Lrngrupp Di Schülrinnn und Schülr müssn di Kttn- und Produktrgl knnn. Wnn dis Rgln nicht bkannt sind, rarbitn Si si vorab odr paralll zur Rih anhand ds Schulbuchs. Knntniss dr Intgralrchnung sind nicht notwndig. Di Schülrinnn und Schülr solltn mit inr Tabllnkalkulation souvrän umghn könnn. Si brauchn si nämlich, um Grnzbtrachtungn durchzuführn. Einstig und Einordnung in dn Gsamtkontt Als Einstig ignt sich das Matrial M 1, in Widrholungs-Domino, das di Knntniss aus dr SI übr Eponntialfunktionn und Logarithmn ins Gdächtnis zurückruft. Bi Zitmangl stign Si altrnativ übr in Eprimnt aus dn Projktthmn M 9 in. Führn Si das Eprimnt im Untrricht durch und analysirn Si s gminsam mit Ihrn Schülrinnn und Schülrn. Litn Si mit dn Lrnndn di Ablitung inr blibign Eponntialfunktion f : a hr. a bzichnt hirbi in blibig Basis. Für di Ablitung f ( 0) an inr blibign Stll 0 rgibt sich aus dr Dinition ds Diffrnzialquotintn: f( + h) f( ) a a a 1 h h h 0 + h 0 h f ( 0) = lim = lim = a lim h 0 h 0 h 0 Mit inr Tabllnkalkulation lässt sich zign, dass sowohl dr links- als auch dr rchtssitig Lims istirt und bid übrinstimmn. Frnr könnn di Schülrinnn und Schülr mit dr Tabllnkalkulation hrausindn, dass für di Eulr sch Zahl 2,71828 als Basis di Ablitungsfunktion mit dr Ausgangsfunktion übrinstimmt. 66 RAAbits Mathmatik März 2011

3 Di -Funktion knnnlrnn und anwndn Rih 12 S 4 Vrlauf Matrial LEK Glossar Lösungn Auf inn Blick Einstig: Spilrisch di Grundlagn widrholn Matrial Thma M 1 Sind Si noch it? Ein Domino zur Widrholung Dn Stoff dr SI zu Eponntialfunktionn und Logarithmn widrholn Lrnthk: Di -Funktion knnnlrnn und anwndn Matrial M 2 M 3 M 4 M 5 Thma Di -Funktion in spzill Eponntialfunktion Di Eponntialgstz übn; Eponntialglichungn lösn Wachstum und Zrfall Anwndungn dr -Funktion Informationn übr in Funktion und ihr 2. Ablitung aus dm Schaubild dr Ablitung disr Funktion ntnhmn Allgmins (f() = b a ) und spzills (N() = N(0) m ) Zrfallsgstz, Halbwrtszit T H = ln(2)/m Auf dm Wg zum Eprtn Diffrnziationsrgln Di Produkt- und Kttnrgl in Zusammnhang mit dr -Funktion inübn; vollständig Induktion Di -Funktion gwinnt immr! Asymptotischs Vrhaltn Das Grnzvrhaltn von -Funktionn btrachtn; Asymptotn plizit angbn M 6 M 7 Polstll odr bhbbar Lück? Rgl von d L Hospital Entschidn, ob snkrcht Asymptotn odr sttig bhbbar Dinitionslückn vorlign; di Rgl von d L Hospital anwndn Di Eignschaftn inr Funktion Kurvndiskussion Grundlgnd Aspkt von -Funktionn brücksichtign; di Ablitungsrgln anwndn; Wndtangntn und Asymptotn brchnn Di halblogarithmisch Darstllung Anwndungn Matrial M 8 M 9 M 10 Thma Eponntillr Zrfall ja odr nin? Mithilf dr halblogarithmischn Darstllung dn ponntilln Zrfall analysirn Di Prais Vrsthn durch Eprimntirn Anhand vrschidnr Eprimnt ponntilln Zrfall untrsuchn, dn funktionaln Zusammnhang bstimmn; di Eprimnt solltn von dn Schülrinnn und Schülrn ignständig durchgführt wrdn. Habn Si di -Funktion vrinnrlicht? Ein Tst LEK zur Übrprüfung ds Wissns 66 RAAbits Mathmatik März 2011

4 Di -Funktion knnnlrnn und anwndn Rih 12 Vrlauf Matrial S 1 LEK Glossar Lösungn M 1 lg() = Sind Si noch it? Ein Domino zur Widrholung lg(6) lg( 3) Si P(2 64) in Punkt auf dm Graphn inr Funktion dr Form f() = a. Bstimmn Si a. a = 8 log a (b) ln(b) ln(a) = = 2 g( 3) = 8; g(3) = 0,125 g : 2 lg(a b) lg(a) + lg(b) f() = 6 25 P(0 6) ligt auf dm Graphn dr Funktion. Di Halbwrtszit H bträgt T 60 Jahr. t g(t) = 0,9885 t Si f(t) = b a. f(t + 1) =? f(t) 8 Wachstumsfaktor a = 625 = 4 g(3) = 8; g( 3) = 0, RAAbits Mathmatik März 2011

5 Di -Funktion knnnlrnn und anwndn Rih 12 Vrlauf Matrial S 2 LEK Glossar Lösungn g : (((2 ) ) ) 2 Umkhrfunktion von 1 f : 5 1 f : log 1 () 5 P(1 ab) und Q(0 b) lign auf dm Graphn dr Funktion f. = lg(10 000) = 4 f() = b a (3 ) , = 29 9 ln(29) = 2 ln(12) lg(25) lg(3) P(2 49) und Q(4 2401) lign auf dm Graphn von f; f: à b a a = 7 und b = = 0 l = {0, 1} Ein Baktrinkultur hat inn Wachstumsfaktor von 1,2. Wi vil Tag daurt s, bis sich di Anzahl vrvirfacht hat? 7 Tag, 14 Stundn und 29 Minutn = log 5 (125) = 3 500, 100, 20, 4, RAAbits Mathmatik März 2011

6 Di -Funktion knnnlrnn und anwndn Rih 12 Vrlauf Matrial S 4 LEK Glossar Lösungn M 2 Di -Funktion in spzill Eponntialfunktion Di -Funktion f() = ist in spzill Eponntialfunktion. Dshalb gltn für si natürlich di Rchngstz für Eponntialfunktionn. Mrk: Wichtig Rgln a + b = a b ; a b a = ; ( a ) b = a b b Wir bzichnn mit ln dn natürlichn Logarithmus zur Basis, d.h.: ln( ) = log ( ). Dann gilt: ln ist di Umkhrfunktion dr -Funktion: ln () = und ln( ) =. ln (a b) = ln(a) + ln(b) ; Aufgabn b log (b) ln(b) a ln = ln (a) ln (b); b 1. Ggbn sin di Funktionn f : f( ) mit I) f() = 2 ; II) f() 3 = ; III) = = =. f() + a) Zichnn Si dn Graphn dr Funktionn f. Frtign Si hirzu in Wrttabll an. 1 =. r ln (a ) = r ln(a) Bnutzn Si ggf. in Tabllnkalkulation (Ecl). b) Brchnn Si di Funktionswrt an dn Stlln 0 = 1, 0, 2. c) Auf wlchm Graphn ligt dr Punkt P( 2 14,78)? d) Für wlchn -Wrt wird dr y-wrt 10 angnommn? 2. Vrinfachn Si untr Anwndung dr Gstz für di Eponntialfunktion. 2 1 a) b) c) ( ) d) ( 3 ) Vrinfachn Si untr Anwndung dr Gstz für di Logarithmusfunktion. 4 a) ln 7 1 c) ln 4 4 b) d) 2 ln ( 9 ) ( 6 ) ln () 4. Lösn Si di Eponntialglichungn. 2 a) 3 = 12 b) = 4 c) = 2 ( Substituirn Si: z: = 3.) 66 RAAbits Mathmatik März 2011

7 Di -Funktion knnnlrnn und anwndn Rih 12 Vrlauf Matrial S 5 LEK Glossar Lösungn M 3 Wachstum und Zrfall Anwndungn dr -Funktion Aufgabn 1. Informationn aus dm Vrlauf dr Ablitung Ggbn ist dr Graph dr Ablitung inr Funktion (sih nbnsthnds Schaubild). Bschribn Si di Graphn dr Ausgangsfunktion und dr 2. Ablitung. Bgründn Si Ihr Ergbniss. f' 2. Halbwrts- und Vrdopplungszit Ein 8 cm hoh Birschaumkron zrfällt ponntill. Nach 4 Minutn ist di Kron nur noch 3 cm hoch. Wi groß ist di Halbwrtszit? Das zughörig Zrfallsgstz lautt: f() = b a 3. Bstimmn Si aus dm Diagramm di Vrdopplungszit (-Achs in Jahrn). Wlch Bdutung hat di Halbwrtszit bzw. di Vrdopplungszit graisch? 4. Ein α-strahlr kann durch vrschidn Papirlagn abgschirmt wrdn. Di Anzahl dr Erigniss hintr inr Papirschicht (: Anzahl dr Blättr) lässt sich durch folgnds Eponntialgstz bschribn: N() = N(0) m, Wusstn Si schon? Halbwrtszit: Als Halbwrtszit T H bzichnt man di Zitspann, in dr sich jwils dr Funktionswrt (z. B. di Anzahl dr vorhandnn Krn) halbirt. Vrdopplungszit: Als Vrdopplungszit TD bzichnt man di Zitspann, in dr sich jwils dr Funktionswrt vrdopplt. wobi N(0) = 588 di Zahl dr Erigniss in inm Zitintrvall ohn Papirschicht und m = 0,2 in Matrialkonstant bzichnn. a) Wi vil Erigniss zählt man nach 5 bzw. 50 Schichtn? b) Nach wlchr Dick misst man nur noch 10 % dr ursprünglichn Erigniss? c) Brchnn Si di Anzahl dr Papirlagn, nach dr nur noch halb so vil Erigniss wi am Anfang zu mssn sind. ln(2) 5. Litn Si folgnd Forml zur Brchnung dr Halbwrtszit hr: TH =. m Für Eprtn: In Aufgab 2 bträgt di Halbwrtszit T H 169,6 Skundn. Gbn Si dn ponntilln Zrfall in dr spzilln Form wi in Aufgab 4 an. Rchnn Si T H rst in Minutn um. 66 RAAbits Mathmatik März 2011

8 Di -Funktion knnnlrnn und anwndn Rih 12 Vrlauf Matrial S 7 LEK Glossar Lösungn M 5 Di -Funktion gwinnt immr! Asymptotischs Vrhaltn Das Grnzvrhaltn: Bi dr Untrsuchung ds Grnzvrhaltns von Eponntialfunktionn trtn manchmal Asymptotn auf. Haltn Si sich an di Schritt im folgndn Bispil. Mrk: Di -Funktion gwinnt immr ggn Potnzfunktionn! Für all k n gilt: lim k = k ( ) lim = lim 0 = Asymptotn bschribn das Grnzvrhaltn inr Funktion. Dr Graph dr Funktion f bsitzt für ± in Asymptot y = m + n, wnn lim f () = m und ( ) ± ± lim f() f () = n. Bispil: Si f () = mit f () = 1 ggbn. 1. Btrachtn Si dn Lims dr Funktion f für, ggf. auch mit inr Tabllnkalkulation. Di -Funktion dominirt, sodass gilt: ( ) k lim =. 2. Btrachtn Si dn Lims dr Funktion f für. Di -Funktion konvrgirt g- gn null, sodass gilt: ( ) lim =. Man rknnt hir, dass sich di Funktion f für btragsmäßig groß ngativ -Wrt wi in linar Funktion mit Stigung 1 vrhält. 3. Wisn Si formal nach, dass dr Graph dr Funktion f für di Asymptot y = bsitzt: lim f () = lim ( 1 ) = 1 = m und ( ) lim f() f () = lim ( (1 )) = lim ( + ) = 0 = n. f() f'() 0 0 Aufgabn 1. Btrachtn Si das Grnzvrhaltn dr folgndn Funktionn für ± und gbn Si ggf. di Asymptotn an. a) f() = ( 5) b) 2 f() = + 4 c) 2. Ordnn Si dn Graphn di obign Funktionn zu. 2 f() = + a) b) c) 66 RAAbits Mathmatik März 2011

9 Di -Funktion knnnlrnn und anwndn Rih 12 Vrlauf Matrial S 9 LEK Glossar Lösungn Di Rgl von d L Hospital Mithilf dr Rgl von d L Hospital kann man dn Grnzwrt in dr Näh inr Dinitionslück bstimmn. Aufgab 4 Machn Si sich di Rgl klar und wndn Si si ggf. auf di Funktionn in Aufgab 1 (M 6) an. Rgl von d L Hospital Lässt sich in Funktion als Quotint u () schribn und gilt witrhin: v () a) u(a) = v(a), b) u, v sind in inr Umgbung von a diffrnzirbar mit v'(a) 0, u'() c) dr Lims ds Quotintn dr Ablitungn lim a v'() istirt, dann gilt: u() u'() lim lim = a v() a v'() Wi wndt man d L Hospital an? Ein Bispil Wir btrachtn di Funktion 7 ( 2) f () = ( 2 ) 3 3. Schritt 1: Bstimmn Si di Dinitionsmng: d = r \ {2} mit Dinitionslück bi a = 2 (u(a) = v(a) = 0). Schritt 2: Dinirn Si u () : = 7 ( 2) und u() f() = v() 2 v() = 3 3, sodass gilt: Schritt 3: Prüfn Si di Bdingungn a) bis c):u (2) = v (2) = 0 ; u, v sind in inr Umgbung von a = 2 diffrnzirbar und 2 2 v'(2) = 3 = 3 0. Nach dr Rgl von d L Hospital gilt nun: 7( 2) 7 7 lim = lim = Schritt 4: Di Funktion f bsitzt an dr Stll a = 2 in bhbbar Dinitionslück mit und somit kin snkrcht Asymptot. 7 f (2) = 3 66 RAAbits Mathmatik März 2011

10 Di -Funktion knnnlrnn und anwndn Rih 12 Vrlauf Matrial S 12 LEK Glossar Lösungn M 9 Di Prais Vrsthn durch Eprimntirn Das Matrial M 8 ist Vorausstzung für dis Aufgabn. Wähln Si in Eprimnt, das Si durchführn und auswrtn. Untrsuchn Si, ob s sich bi dn funktionaln Gstzm mäßigkitn, di in dn Aufgabn auftrtn, um ponntill Funktionn f() = b handlt, und bstimmn Si ggf. Halbwrtszit odr Vrdopplungszit. Eprimnt 1: Birschaum Matrialin r Malzbir r Linal r Stoppuhr Es gilt: T H ln(2) = m Schüttn Si Malzbir twa 6 cm hoch in in Birglas. Mssn Si di Höh dr Birschaumkron in Abhängigkit von dr Zit t. Untrsuchn Si, ob s sich um inn ponntilln Zrfall handlt. Wi lang muss man in Ihrm Modll wartn, bis 85 % ds Birschaums zrfalln sind? Eprimnt 2: Kann man mit Papir in radioaktiv Prob abschirmn? Matrialin r radioaktiv Qull Ra-226 r Gigr-Müllr-Zählr Malzbir r Papir (mhrr Blättr) Haltn Si zwischn di radioaktiv Prob und das Zählrohr in Anzahl von Papirblättrn. Untrsuchn Si di Zählrat (Anzahl dr Zrfäll/ Skund) in Abhängigkit von dr Anzahl dr Blättr. Bi wlchr Anzahl von Papirblättrn bträgt di Zählrat nur noch 10 % ds ursprünglichn Wrts? Di bnötigtn Grät Eprimnt 3: Wi sich Wassr abkühlt Matrialin r 250 ml Wassr r Stoppuhr Fülln Si in Tass mit hißm Wassr (circa 60 C). Mssn Si di Tmpratur ds sich abkühlndn Wassrs in Abhängigkit von dr Zit t. Btrachtn Si bi dr Auswrtung di Diffrnz dr gmssnn Wassrtmpratur zur Umgbungstmpratur. Untrsuchn Si, ob s sich hirbi um inn ponntilln Zusammnhang handlt. Bachtn Si, dass di Durchführung ds Vrsuchs wgn dr Langsamkit ds Abkühlvorgangs vil Zit kostt. Wi lang muss man wartn, bis das Wassr nur noch 5 C wärmr als di Raumtmpratur (T R = 15 C) ist? 66 RAAbits Mathmatik März 2011

11 Di -Funktion knnnlrnn und anwndn Rih 12 Vrlauf Matrial LEK Glossar Lösungn S 1 Lösungn und W Tipps zum Einsatz M 1 Sind Si noch it? Ein Domino zur Widrholung Di Dominostin sind in dr Rihnfolg angordnt, wi s dr Lösung ntspricht. Ausführlich Rchnungn für di Schülrinnn und Schülr indn Si auf CD-ROM 41. Zrschnidn Si das Lrndomino an dn Linin, di mit Schrnsymboln gknnzichnt sind. Ein Dominostin bstht aus jwils zwi Fldrn. Jds rcht Fld bsitzt dn linkn Partnr, dr danbn abgdruckt ist. Das rst link Fld korrspondirt mit dm ltztn rchtn Fld. Wnn di Schülrinnn und Schülr das Domino lösn, rgibt sich in gschlossnr Kris. M 2 Di -Funktion in spzill Eponntialfunktion 1. a) + b) I) II) III) c) P( 2 14,78) ligt auf dm Graphn dr Funktion d) I) 10 = 2 5 = = ln ( 5 ) = 1,6 II) 10 = 3 ln 10 = 3 ln(10) = = 0,77 3 f() = 2 (I). III) 10 = + 1 = ln( 10) 1, ln ist abr für ngativ Zahln nicht dinirt l = { } a) = b) = = c) ( ) = = d) = = ( ) a) ln = ln ln7 = 4 ln( 7) = 2, 05 7 ln (9 2) 2 b) = c) ln 2 = ln ln4 = ln ln4 = 2 ln( 4) = 0,61 4 ( 6 ) ln () ln d) ( ) 6 6 = = 66 RAAbits Mathmatik März 2011