differenzierbare Funktionen

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1 Kapitel IV Differenzierbare Funktionen 18 Differenzierbarkeit und Rechenregeln für differenzierbare Funktionen 19 Mittelwertsätze der Differentialrechnung mit Anwendungen 20 Gleichmäßige Konvergenz von Folgen und Reihen von Funktionen C 1

2 18 Differenzierbarkeit und Rechenregeln für differenzierbare Funktionen 18.1 Differenzierbarkeit und Ableitung 18.2 Elementare Rechenregeln für differenzierbare Funktionen 18.4 Differenzierbarkeit rationaler Funktionen 18.5 Differenzierbarkeit der Exponentialfunktion 18.8 Differenzierbarkeit ist eine lokale Eigenschaft 18.9 Kriterien für Differenzierbarkeit Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion Notwendige Bedingung für ein lokales Extremum Darbouxscher Zwischenwertsatz für die Ableitung Es sei im (t, u)-koordinatensystem eine Gerade durch die Funktion f = a + mx beschrieben. Für zwei Geradenpunkte A := (t 0, f(t 0 )) und B := (t 1, f(t 1 )) wird der Quotient die Steigung der Geraden genannt. Kurvenpunkten A und B. f(t 1 ) f(t 0 ) t 1 t 0 = m Diese Steigung ist unabhängig von den u A t 1 t 0 B f(t 1 ) f(t 0 ) a 1 m 1 t 0 t 1 t [18] 1 C 1

3 Differenzierbarkeit und Rechenregeln für differenzierbare Funktionen Es sei nun eine Funktion f : D R gegeben, für die t 0 ein innerer Punkt von D ist. f ist also zumindestens auf einem Intervall ]t 0 ε, t 0 + ε[ definiert. Stellt man den Graphen der Funktion f im Koordinatensystem dar, so gibt der sogenannte Differenzenquotient f t = f(t) f(t 0), t t 0 t t 0 B A t f t 0 t die Steigung der Geraden durch die Kurvenpunkte A := (t 0, f(t 0 )) und B := (t, f(t)) an. Diese Steigung wird auch die mittlere Steigung der Kurve zwischen den beiden Punkten A und B genannt. Die Funktion f heißt nun in t 0 differenzierbar, wenn der Grenzwert der Differenzenquotienten für t t 0 existiert und endlich ist. Dieser Limes wird die Ableitung von f in t 0 genannt und mit f (t 0 ) bezeichnet. Die Gerade, welche die Kurve in den Punkten A und B schneidet, heißt Sekante. Die Gerade durch den Punkt A = (t 0, f(t 0 )) mit der Steigung f (t 0 ), also die Gerade, die durch die Funktion f(t 0 ) + f (t 0 )(x t 0 ) beschrieben wird, heißt die Tangente an den Graphen von f durch den Punkt (t 0, f(t 0 )). Im anschaulichen Sinne ist die Tangente die Grenzlage der Sekanten und die Tangentensteigung f (t 0 ) der Grenzwert der Sekantensteigungen, wenn man sich mit dem Punkt B = (t, f(t)) auf den Punkt A = (t 0, f(t 0 )) hin bewegt. Wir geben nun die formale Definition der Differenzierbarkeit. In diesem gesamten Paragraphen seien D R bzw. E R immer der Definitionsbereich der Funktion f bzw. g. C 1 [18] 2

4 Kapitel IV Differenzierbare Funktionen 18.1 Differenzierbarkeit und Ableitung Sei D R und f : D R. Dann heißt f in t 0 differenzierbar, wenn gilt: (1) t 0 ist ein innerer Punkt von D. (2) Der auf D \ {t 0 } definierte Differenzenquotient f(t) f(t 0) besitzt in t 0 einen endlichen Grenzwert. Ist f in t 0 differenzierbar, dann bezeichnet man den Grenzwert in (2) mit f (t 0 ) oder df dx (t 0) und nennt ihn die Ableitung oder den Differentialquotienten von f in t 0. Ist D offen, so heißt f differenzierbar, wenn f für jedes t 0 D differenzierbar ist. (iii) Es bezeichne D (1) := {t D : f ist in t differenzierbar} und f die auf D (1) durch t f (t) definierte Funktion. Ist also t 0 ein innerer Punkt des Definitionsbereiches D der Funktion f, so ist f genau dann in t 0 differenzierbar, wenn es ein α R gibt mit f(t n) f(t 0 ) t n t 0 α für jede Folge (t n ) n N mit t n D \ {t 0 } mit t n t 0, (wende Definition 16.2 an Stelle von D und f auf D \ {t 0 } und die über D \ {t 0 } definierte Funktion t f(t) f(t 0) an). f ist genau dann in t 0 differenzierbar, wenn es ein α R gibt, so daß die Funktion g, definiert durch g(t) = { f(t) f(t0 ) für t D \ {t 0 } α für t = t 0, in t 0 stetig ist (wende Satz 16.5 an Stelle von D und f auf D \ {t 0 } und die über D \ {t 0 } definierte Funktion t f(t) f(t 0) an). Aus ergibt sich: Ist f : D R in t 0 differenzierbar, so ist f in t 0 stetig. Umgekehrt kann aus der Stetigkeit von f in (einem inneren Punkt) t 0 D i.a. nicht auf die Differenzierbarkeit von f in t 0 geschlossen werden. Beweis. Sei (t n ) n N mit t n D \ {t 0 } und t n t 0 gewählt. Dann gilt (siehe ): f(t n ) f(t 0 ) = f(tn) f(t 0) t n t 0 (t n t 0 ) f (t 0 ) 0 = 0. Also gilt lim t t0 f D \{t 0 } = f(t 0 ). Hieraus folgt, daß f in t 0 stetig ist (benutze etwa Definition 14.9(iii) und Definition 16.2(iii)). [18] 3 C 1

5 Differenzierbarkeit und Rechenregeln für differenzierbare Funktionen Die Funktion f = x ist stetig, und somit insbesondere in t 0 = 0 stetig. f ist aber nicht in t 0 = 0 differenzierbar, weil z.b. konvergiert. 1/n 0 (1/n) 0 1, aber 1/n 0 (1/n) 0 1 Der Begriff der Ableitung und der Begriff des Integrals sind von Newton ( ) und von Leibniz ( ) in die Mathematik eingeführt worden. Insbesondere Newton benutzte die Infinitesimalrechnung (= Differential und Integralrechnung) zur Beschreibung von Naturvorgängen. Erst die exakte Definition der Beschleunigung macht sein Kraftgesetz ( Kraft = Masse mal Beschleunigung ) verständlich und analytisch handhabbar. Geschwindigkeit bzw. Beschleunigung als erste bzw. zweite Ableitung: Eine geradlinige Bewegung (also eine Bewegung auf der Zahlengeraden) kann dadurch beschrieben werden, daß der bis zur Zeit t zurückgelegte Weg s als Funktion von t angegeben wird. Dann ist der Differenzenquotient s(t) s(t 0 ) die mittlere Geschwindigkeit zwischen den Zeitpunkten t 0 und t t 0. Diese hängt noch von der willkürlichen vom Beobachter getroffenen Wahl des Zeitpunktes t ab. Bei den üblichen Bewegungsvorgängen ändert sich die mittlere Geschwindigkeit nur noch im Rahmen der Meßgenauigkeit, wenn man t sehr nahe bei t 0 wählt. Als Geschwindigkeit v(t 0 ) im Zeitpunkt t 0 oder auch als momentane Geschwindigkeit zur Zeit t 0 bezeichnet man daher den Differentialquotienten s(t) s(t v(t 0 ) := lim 0 ) t t0, also v(t 0 ) = s (t 0 ). Die momentane Geschwindigkeit ist selbst eine Funktion der Zeit t. Man definiert als mittlere Beschleunigung den Differenzenquotienten v(t) v(t 0) für t t 0. Als momentane Beschleunigung b(t 0 ) zum Zeitpunkt t 0 erklärt man dann b(t 0 ) := lim t t0 v(t) v(t 0 ), also b(t 0 ) = v (t 0 ) =: s (t 0 ). Da die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten eingeführt ist, ergeben sich aus den Rechenregeln über Grenzwerte unmittelbar Rechenregeln für differenzierbare Funktionen Elementare Rechenregeln für differenzierbare Funktionen Seien f, g zwei reellwertige in t 0 differenzierbare Funktionen und α R. Dann sind f + g in t 0 differenzierbar mit (f + g) (t 0 ) = f (t 0 ) + g (t 0 ); f g in t 0 differenzierbar mit (f g) (t 0 ) = f (t 0 ) g (t 0 ); (iii) f g in t 0 differenzierbar mit (f g) (t 0 ) = f (t 0 )g(t 0 )+f(t 0 )g (t 0 ); C 1 [18] 4

6 Kapitel IV Differenzierbare Funktionen (iv) αf in t 0 differenzierbar mit (αf) (t 0 ) = αf (t 0 ); (v) f/g in t 0 differenzierbar, wenn g(t 0 ) 0 ist, und es gilt dann: ( f g ) (t 0 ) = f (t 0 )g(t 0 ) f(t 0 )g (t 0 ). g 2 (t 0 ) Beweis. Es ist t 0 innerer Punkt des Definitionsbereiches D von f und des Definitionsbereiches D von g. Daher ist t 0 innerer Punkt von D E (benutze 5.6). Insbesondere ist daher t 0 Berührungspunkt von (D \ {t 0 }) (E \ {t 0 }). Daher können 16.9 und insbesondere auf die Funktionen f(t) f(t 0) über D \ {t 0 } und g(t) g(t 0) über E \ {t 0 } angewandt werden, da nach Definition der Ableitung gilt: f(t) f(t 0 ) f (t 0 ) und g(t) g(t 0) g (t 0 ). Also erhalten wir für t (D E) \ {t 0 } = (D \ {t 0 }) (E \ {t 0 }): (f+g)(t) (f+g)(t 0 ) = f(t) f(t 0) + g(t) g(t 0) f (t 0 ) + g (t 0 ) für t t Daher ist nach Definition der Differenzierbarkeit f + g in t 0 differenzierbar und die Ableitung (f + g) (t 0 ) ist gleich f (t 0 ) + g (t 0 ). (f g)(t) (f g)(t 0) = f(t) f(t 0) g(t) g(t 0) 16.9 f (t 0 ) g (t 0 ) für t t 0. Daher ist nach Definition der Differenzierbarkeit f g in t 0 differenzierbar, und die Ableitung (f g) (t 0 ) ist gleich f (t 0 ) g (t 0 ). (iii) Es gilt (f g)(t) (f g)(t 0) = t t 1 0 [f(t)(g(t) g(t 0 )) + (f(t) f(t 0 ))g(t 0 )] = f(t) g(t) g(t 0) + g(t 0 ) f(t) f(t 0) f(t 0 )g (t 0 ) + g(t 0 )f (t 0 ). Hierbei wurde 16.9 f(t) f(t 0 ) für t t 0, also die Stetigkeit von f in t 0 benutzt. (iv) Betrachte die Funktion g definiert durch g(t) = α für t D. Dann ist g in t 0 differenzierbar mit g (t 0 ) = 0. Die Behauptung folgt daher aus (iii). (v) Wir betrachten zunächst die Funktion f(t) = 1 für t E. Wegen g(t 0 ) 0 und der Stetigkeit von g in t 0 gibt es eine Umgebung U von t 0 mit U E und g(t) 0 für t t 0 (siehe ). Also ist t 0 innerer Punkt von E \ g 1 ({0}) und für t E \ g 1 ({0}) gilt (benutze g(t) g(t 0 ) für t t 0 ): 1 ( 1 g(t) 1 g(t 0 ) ) = 1 g(t) g(t 0 ) g(t)g(t 0 ) g 2 (t 0 ) g (t 0 ). Also ist 1 g (E \ g 1 ({0})) in t 0 differenzierbar mit ( 1 g ) (t 0 ) = 1 g 2 (t 0 ) g (t 0 ). Nach (iii) ist daher die auf D (E \ g 1 ({0}) = (D E) \ g 1 ({0}) definierte Funktion f 1g in t 0 differenzierbar mit ( f g ) (t 0 ) = (f 1g ) (t 0 ) = f (t 0 ) 1 (iii) g(t 0 ) + f(t 0)( g (t 0 ) g 2 (t 0 ) ) = f (t 0 )g(t 0 ) f(t 0 )g (t 0 ). g 2 (t 0 ) Als Zusammenfassung einiger Rechenregeln über differenzierbare Funktionen notieren wir: [18] 5 C 1

7 Differenzierbarkeit und Rechenregeln für differenzierbare Funktionen 18.3 Die Menge der differenzierbaren Funktionen bildet eine Algebra, jedoch keinen Vektorverband Sei D R eine offene Menge. Dann bildet die Menge aller differenzierbaren Funktionen von R D eine Unteralgebra von R D jedoch keinen Vektorverband. Beweis. Da R D eine Algebra ist (siehe 6.14), ist zum Nachweis, daß die differenzierbaren Funktionen von R D eine Unteralgebra bilden, zu zeigen (siehe 6.13): Die Nullfunktion auf D ist differenzierbar (trivial). Mit zwei differenzierbaren Funktionen f, g : D R ist auch f + g, f g und αf differenzierbar. Dies folgt aber mit 18.2, (iii) und (iv). Die differenzierbaren Funktionen von R D bilden keinen Vektorverband: wähle t 0 D. dann ist f(t) := t t 0 für t D eine differenzierbare Funktion. f ist jedoch nicht in t 0 differenzierbar. Eine affine Funktion f = a + mx hat wegen f(t) f(t 0) = m für t t 0 an jeder Stelle t 0 die Ableitung m. Durch die Rechenregeln über differenzierbare Funktionen erhalten wir hieraus viele weitere Beispiele. Als erstes ergibt sich: 18.4 Differenzierbarkeit rationaler Funktionen Jedes Polynom ist differenzierbar. Jede rationale Funktion ist (in allen Punkten ihres Definitionsbereiches) differenzierbar. Beweis. Da die konstanten Funktionen und die Funktion x auf R definierte und differenzierbare Funktionen sind, folgt aus 18.2, (iii) und (iv). folgt dann aus 18.2(v). Ist P = n ν=0 a ν x ν mit n N 0, so gilt: P = n νa ν x ν 1. Beweis. Da die Ableitung einer konstanten Funktion Null ist, reicht es wegen 18.2 und (iv) zu zeigen: (A) x = 1 = 1 x 0. ν=1 (x n ) = nx n 1 für n N. (S) (x n+1 ) = (x n x) = 18.2(iii) (xn ) x + x n 1 = (IV) nx n 1 x + x n = (n + 1)x n Differenzierbarkeit der Exponentialfunktion Die Exponentialfunktion exp ist differenzierbar. Für jedes t 0 R gilt: exp (t 0 ) = exp(t 0 ). C 1 [18] 6

8 Kapitel IV Differenzierbare Funktionen Beweis. Es reicht zu beweisen. Sei hierzu t 0 R und t t 0 gewählt. Es ist exp(t) exp(t 0 ) = exp(t 0 ) exp() Zu zeigen reicht daher (siehe 16.9(iv)): (1) lim t t0 exp( ) 1 = 1. Nach 14.5 (angewandt auf n := 1, t := t t 0 ) folgt für t mit t t : Also ist hieraus folgt (1). exp(t t 0 ) 1 (t t 0 ) = r 1 (t t 0 ) exp() 1 1 t t 0 ; 18.5 läßt sich auch kürzer formulieren als: exp = exp !. Nach Definition der Gleichheit von Funktionen besagt diese Gleichung: Die Ableitung (exp) existiert genau dort, wo die Exponentialfunktion definiert ist, also auf ganz R, und für jedes t 0 R gilt exp (t 0 ) = exp(t 0 ). Wegen ihrer vielfältigen Anwendungsmöglichkeiten ist die Kettenregel für differenzierbare Funktionen eine der wichtigsten Regeln zur Bestimmung von Ableitungen Kettenregel für differenzierbare Funktionen Sei f eine in t 0, g eine in f(t 0 ) differenzierbare Funktion. Dann ist g f in t 0 differenzierbar, und es gilt: (g f) (t 0 ) = g (f(t 0 )) f (t 0 ). Seien D, E offen und f : D R sowie g : E R differenzierbar. Ist f(d) E, dann ist g f auf D definiert und differenzierbar mit (g f) = (g f) f. Beweis. Wir zeigen zunächst: (1) t 0 ist innerer Punkt des Definitionsbereiches von g f. Wegen der Differenzierbarkeit von f in t 0 ist t 0 ein innerer Punkt von D und analog ist f(t 0 ) ein innerer Punkt von E. Sei jetzt U E eine Umgebung von f(t 0 ). Dann gibt es, da f als in t 0 differenzierbare Funktion in t 0 stetig ist, eine Umgebung V von t 0 mit (siehe 14.9) (2) f(v D) U E. Da t 0 innerer Punkt von D ist, gibt es eine Umgebung V von t 0 mit V D. Also ist V V eine Umgebung von t 0 mit V V V D und (3) f(v V ) E. (2) [18] 7 C 1

9 Differenzierbarkeit und Rechenregeln für differenzierbare Funktionen Nach (3) ist g f zumindestens auf der Umgebung V V von t 0 definiert, d.h. es gilt (1). Zu zeigen bleibt wegen (1) nach Definition der Differenzierbarkeit: (4) lim t t0 (g f)(t) (g f)(t 0 ) = g (f(t 0 ))f (t 0 ). Nun ist für t t 0 mit t aus dem Definitionsbereich von g f (5) wenn wir setzen (6) h(u) := (g f)(t) (g f)(t 0 ) = g(f(t)) g(f(t 0)) = h(f(t)) f(t) f(t 0), { g(u) g(u0 ) u u 0 für u E mit u u 0 := f(t 0 ) g (u 0 ) für u = u 0. Da g in u 0 differenzierbar ist, ist h in u 0 (= f(t 0 )) stetig (siehe auch 16.5), und somit ist (siehe 14.6): h f in t 0 stetig mit h(f(t 0 )) = (6) g (f(t 0 )). Also gilt: (7) h(f(t)) g (f(t 0 )) für t t 0. Aus (5) und (7) folgt (4) (benutze 16.9(iii)). Nach gilt: g f ist für jedes t 0 D differenzierbar mit (g f) (t 0 ) = g (f(t 0 ))f (t 0 ), d.h. aber (g f) = (g f) f. Da man eine Funktion f : D R oft auch in der Form y = f(x) schreibt, ist für die Ableitung f (t 0 ) neben ( df dx )(t 0) auch die Schreibweise dy dx (t 0) oder noch kürzer dy dx gebräuchlich. Ist nun z = g(y), so kann man sich nach 18.6 auch in der Form dz dx = dy dz dy dx merken. Da dx, dy, dz jedoch keine reellen Zahlen sind, kann man einen Beweis für diesen Satz nicht durch Kürzen von dy gewinnen. Nach gilt z.b.: (exp(ax 2 + bx + c)) = (2ax + b) exp(ax 2 + bx + c), wende 18.6 an auf g = exp, f = ax 2 + bx + c. Als weitere Beispiele notieren wir explizit: 18.7 Differenzierbarkeit der allgemeinen Exponentialfunktion Sei a R +. Dann ist a x differenzierbar, und es gilt: (a x ) = a x ln(a). Sei f : R R differenzierbar und a, b R. Setze F (t) := f(at+b) für t R. Dann ist F : R R differenzierbar mit F (x) = af(ax + b). C 1 [18] 8

10 Kapitel IV Differenzierbare Funktionen Beweis. Es ist a x = 17.4 exp(x ln(a)) die Komposition der auf R definierten differenzierbaren Funktionen g = exp mit f = x ln(a). Daher ist a x differenzierbar, und es gilt (siehe 18.6) (a x ) = exp (x ln(a)) ln(a) = 18.5 exp(x ln(a)) ln(a) = a x ln(a). Es ist F als Komposition der auf R definierten differenzierbaren Funktion f mit der differenzierbaren Funktion h = ax+b differenzierbar mit (siehe 18.6): F = (f h) h = af (ax + b) Differenzierbarkeit ist eine lokale Eigenschaft Sei t 0 D und f : D R. Ist E eine Umgebung von t 0, dann ist f genau dann in t 0 differenzierbar, wenn f (D E) in t 0 differenzierbar ist; es gilt dann: f (t 0 ) = (f (D E)) (t 0 ). Beweis. Da E eine Umgebung von t 0 ist, ist t 0 genau dann innerer Punkt von D, wenn t 0 innerer Punkt von D E ist. Nun gilt: f ist in t 0 differenzierbar mit Ableitung α die Funktion g definiert durch g(t) := (f(t) f(t 0 ))/(t t 0 ) für t D \ {t 0 } hat in t 0 den Grenzwert α g (D \ {t 0 }) E hat in t 0 den 16.3 Grenzwert α f D E ist in t 0 differenzierbar mit Ableitung α. Aus der Äquivalenz ergibt sich auch f (t 0 ) = (f D E) (t 0 ). Ist z.b. f : [a, b] R, so gilt nach dem letzten Satz: f ist in allen Punkten von ]a, b[ genau dann differenzierbar, wenn f ]a, b[ differenzierbar ist. Ferner gilt dann f (t 0 ) = (f ]a, b[) (t 0 ) Kriterien für Differenzierbarkeit Sei f : D R. Dann sind äquivalent: f ist in t 0 differenzierbar; t 0 ist innerer Punkt von D und es gilt: es gibt ein α R mit (iii) f(t) f(t 0 ) α( ) 0; t t0 t 0 ist innerer Punkt von D und es gibt eine lineare Abbildung A : R R mit f(t) f(t 0 ) A( ) 0. t t0 Ist eine der drei äquivalenten Bedingungen erfüllt, dann gilt α = f (t 0 ) und A(1) = f (t 0 ) für das α aus und das A aus (iii). [18] 9 C 1

11 Differenzierbarkeit und Rechenregeln für differenzierbare Funktionen Beweis. Zum Beweis der Äquivalenzen dürfen wir voraussetzen, daß t 0 ein innerer Punkt von D ist. ( α R) mit f(t) f(t 0) α t t0 ( α R) mit f(t) f(t 0) α( ) 0. t t0 (iii) Definiere die lineare Abbildung A : R R durch A(t) := α t für t R. Dann ist A(t t 0 ) = α (t t 0 ), und es folgt daher (iii) aus wegen f(t) f(t 0) A( ) = f(t) f(t 0) α ( ) 0. t t0 (iii) Setze α := A(1), dann gilt: A(t t 0 ) = α (t t 0 ) und somit d.h. es gilt. f(t) f(t 0) α = f(t) f(t 0) A( ) t t0 0, Die Bedingung von 18.9 ermöglicht eine geometrische Deutung der Tangente, wie gleich dargestellt wird. Bedingung (iii) von 18.9 läßt eine Übertragung des Begriffs der Differenzierbarkeit auf endlich-dimensionale R-Vektorräume zu. Zur geometrischen Deutung der Tangente sei f : D R eine Funktion und t 0 ein innerer Punkt von D. Wir betrachten die Gerade durch den Punkt (t 0, f(t 0 )) mit der Steigung m, d.h. den Graphen der Funktion g := f(t 0 ) + m(x t 0 ). Dann versteht man unter dem ε-sektorstreifen S(g, ε) um die Gerade g die Menge der Punkte S(g, ε) := {(t, u) R 2 : u (f(t 0 ) + m(t t 0 )) ε t t 0 }. Der gepunktete Bereich einschließlich der Grenzgeraden der folgenden Zeichnung stellt die Menge S(g, ε) dar. u f(t 0 ) + (m + ε)(x t 0 ) ε ε g = f(t 0 ) + m(x t 0 ) f(t 0 ) + (m ε)(x t 0 ) t 0 t t Man nennt eine Gerade g durch den Punkt (t 0, f(t 0 )) eine Tangente durch den Punkt (t 0, f(t 0 )) an den Graphen von f, wenn es zu jedem ε R + ein δ R + gibt, so daß U δ (t 0 ) D und der Graph von f über U δ (t 0 ) in S(g, ε) liegt, d.h. wenn (t, f(t)) S(g, ε) für t U δ (t 0 ) gilt. Wir erhalten nun: C 1 [18] 10

12 Kapitel IV Differenzierbare Funktionen f ist genau dann differenzierbar in t 0, wenn es eine Tangente an den Graphen von f durch den Punkt (t 0, f(t 0 )) gibt. Ist eine der beiden Bedingungen erfüllt, so ist die Tangente durch f(t 0 ) + f (t 0 )(x t 0 ) gegeben. Beweis. : Sei f in t 0 differenzierbar. Betrachte die durch f(t 0 ) + f (t 0 ) (x t 0 ) gegebene Gerade g. Sei ε R +. Dann gibt es nach 18.9 ein δ R + mit o.b.d.a. U δ (t 0 ) D und 0 < t t 0 < δ f(t) (f(t 0)+f (t 0 )( )) ε. Also gilt: t U δ (t 0 ) f(t) (f(t 0 ) + f (t 0 )(t t 0 )) ε t t 0, d.h. (t, f(t)) S(g, ε) für t U δ (t 0 ). : Sei die Tangente g durch den Punkt (t 0, f(t 0 )) gegeben durch f(t 0 ) + α(t t 0 ). Ist dann ε R +, so gibt es, da g die Tangente ist, ein δ R + mit U δ (t 0 ) D und für jedes t U δ (t 0 ) ist (t, f(t)) S(g, ε). Also ist t 0 innerer Punkt von D und wir erhalten t t 0 < δ f(t) f(t 0 ) α(t t 0 ) ε t t 0, d.h. f(t) f(t 0) α( ) ε für 0 < t t 0 < δ. Somit ist f differenzierbar nach 18.9 mit α = f (t 0 ). Der hier mit Hilfe des Sektorstreifens erklärte Tangentenbegriff ist also identisch mit dem im Anfang des Paragraphen mit Hilfe der Ableitung erläuterten Begriffs der Tangente Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion Sei I ein Intervall und f : I R eine stetige und injektive Funktion. Ist f in t 0 differenzierbar mit f (t 0 ) 0, dann ist f 1 in u 0 := f(t 0 ) differenzierbar, und es gilt: Beweis. Wir zeigen als erstes: (f 1 ) (u 0 ) = 1 f (t 0 ) = 1 f (f 1 (u 0 )). (1) u 0 = f(t 0 ) ist ein innerer Punkt von f(i). Nach 15.6 ist f streng monoton und f(i) ein Intervall. Da t 0 innerer Punkt von I ist, ist [t 0 ε, t 0 + ε] I für ein ε R +. Also ist [f(t 0 ε), f(t 0 + ε)] f(i) (bzw. [f(t 0 + ε), f(t 0 ε)] f(i)), falls f streng monoton wachsend (bzw. streng monoton fallend) ist. Somit ist f(t 0 ) ]f(t 0 ε), f(t 0 + ε)[ f(i) (bzw. f(t 0 ) ]f(t 0 + ε), f(t 0 ε)[ I), d.h. es gilt (1). Seien nun u n gewählt mit (2) u n f(i) \ {u 0 } für n N und u n u 0. Es ist zu zeigen, daß (3) f 1 (u n) f 1 (u 0 ) u n u 0 1 f (t 0 ) für n. [18] 11 C 1

13 Differenzierbarkeit und Rechenregeln für differenzierbare Funktionen Zunächst folgt aus (2) und der Stetigkeit (siehe 15.6) von f 1 : (8) t n := f 1 (u n ) f 1 (u 0 ) =: t 0. Da t n t 0 ist, erhalten wir wegen f (t 0 ) 0 nun (3): f 1 (u n) f 1 (u 0 ) u u n u 0 = 1/( n u 0 f 1 (u n) f 1 (u 0 ) ) = 1/( f(tn) f(t 0) 1 t n t 0 ) (8) f (t 0 ). Benutzt man für f (t 0 ) wieder die auf Leibniz zurückgehende Schreibweise dy dx (oder dy dx (t 0)), so läßt sich die Regel in merken als dx dy (u 0 ) = 1 dy dx (t 0). Als Anwendung des Satzes über die Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion erhalten wir nun unmittelbar: Differenzierbarkeit der allgemeinen Potenz- und der allgemeinen Logarithmusfunktion Sei a R + \ {1}. Dann ist log a (x) differenzierbar. Es gilt: (log a (x)) = 1 x 1 ln(a) R +, also insbesondere (ln(x)) = 1 x R +. Sei b R. Dann ist die Funktion x b : R + R differenzierbar, und es gilt: (x b ) = bx b 1. Beweis. Es ist log a (x) : R + R die Umkehrfunktion f 1 der auf R definierten Funktion f = a x (siehe 17.6). Es ist f auf R differenzierbar mit der Ableitung f (t 0 ) = a t 0ln(a) für jedes t 0 R (siehe 18.7). Ist u 0 R + gewählt, dann gibt es ein t 0 R mit u 0 = f(t 0 ) und wegen f (t 0 ) 0 gilt nach 18.10: log a(u 1 0 ) = f (f 1 (u 0 )) = 1 = 1 1 a (f 1 (u 0 )) ln(a) u 0 ln(a). Da u 0 R + beliebig war, folgt die Behauptung. Es ist x b = exp(b ln(x)). Als Komposition der differenzierbaren Funktionen g = exp : R R mit der differenzierbaren Funktion f := b ln(x) : R + R 17.5 ist x b differenzierbar, und es gilt (siehe 18.6): (x b ) = exp (b ln(x)) b ln (x) = 18.5 exp(b ln(x)) b 1x = 17.3 (v) bxb 1. Da die Ableitung einer Funktion die Steigung der Tangente an den Graphen ist, ist es plausibel, daß die Ableitung einer Funktion über das Wachsen und Fallen der Funktion Aussagen macht. Der kürzeren Formulierung dieses Zusammenhanges wegen führen wir zunächst den Begriff des Wachsens und Fallens in einem Punkt t 0 ein. C 1 [18] 12

14 Kapitel IV Differenzierbare Funktionen Strenges Wachsen und Fallen in einem Punkt t 0 Sei f : D R und t 0 ein innerer Punkt von D. Dann heißt f in t 0 streng wachsend, wenn es eine Umgebung U von t 0 mit U D gibt, so daß gilt: f(t) < f(t 0 ) für t U mit t < t 0, f(t) > f(t 0 ) für t U mit t > t 0. Ferner heißt f in t 0 streng fallend, wenn es eine Umgebung U von t 0 mit U D gibt, so daß gilt: f(t) > f(t 0 ) für t U mit t < t 0, f(t) < f(t 0 ) für t U mit t > t 0. Ist f = x 2, dann ist f z.b. in t 0 = 2 streng wachsend und in t 0 := 1 streng fallend f (t 0 ) > 0 impliziert: f ist in t 0 streng wachsend Sei f : D R in t 0 differenzierbar. Dann gilt: Ist f (t 0 ) > 0, so ist f in t 0 streng wachsend. Ist f (t 0 ) < 0, so ist f in t 0 streng fallend. Beweis. Es ist 0 < f f(t) f(t (t 0 ) = lim 0 ) t t0, und somit f(t) f(t 0) > 0 für alle t U \ {t 0 } für eine geeignete Umgebung U von t 0 mit U D (wende auf die in t 0 stetige Funktion t f(t) f(t 0) für t t 0 und t 0 f (t 0 ) an). Hieraus folgt. folgt entsprechend Lokale Extrema und strikte lokale Extrema Sei f : D R und t 0 ein innerer Punkt. Dann sagt man, f habe ein lokales Maximum (bzw. Minimum) in t 0, wenn es eine Umgebung U von t 0 mit U D gibt, so daß f(t 0 ) Maximum (bzw. Minimum) von f(u) ist, also wenn gilt: f(t 0 ) f(t) für t U (bzw. f(t 0 ) f(t) für t U). ein striktes lokales Maximum (bzw. Minimum) in t 0, wenn es eine Umgebung U von t 0 mit U D gibt, so daß f(t 0 ) > f(t) für t U \ {t 0 } (bzw. f(t 0 ) < f(t) für t U \ {t 0 }). Statt von lokalem Maximum spricht man auch von relativem Maximum, und entsprechend nennt man ein lokales Minimum auch ein relatives Minimum. Die Begriffe lokales Maximum und lokales Minimum faßt man zum Begriff lokales Extremum zusammen. Entsprechend faßt man die Begriffe striktes lokales Maximum und striktes lokales Minimum zum Begriff striktes lokales Extremum zusammen. [18] 13 C 1

15 Differenzierbarkeit und Rechenregeln für differenzierbare Funktionen Beim folgenden Satz beachte man, daß die hier gegebene Definition der Differenzierbarkeit von f in t 0 insbesondere beinhaltet, daß t 0 ein innerer Punkt des Definitionsbereiches von f ist Notwendige Bedingung für ein lokales Extremum Sei f : D R in t 0 differenzierbar. Besitzt f in t 0 ein lokales Extremum, so gilt f (t 0 ) = 0. Beweis. Nach kann f (t 0 ) nicht größer und nach nicht kleiner als Null sein. Die Funktion f = x 3 hat an der Stelle t 0 = 0 die Ableitung 0, dennoch besitzt f an der Stelle t 0 kein lokales Extremum. Satz ist also nicht umkehrbar, d.h. aus f (t 0 ) = 0 kann i.a. nicht geschlossen werden, daß f in t 0 ein lokales Extremum hat. Im folgenden Paragraphen geben wir zusätzliche Bedingungen zu f (t 0 ) = 0 an, die sicherstellen, daß f in t 0 ein lokales Extremum besitzt. Ein Beispiel in 22 wird zeigen, daß die Ableitung einer im Intervall differenzierbaren Funktion nicht notwendig stetig ist. Dennoch haben Ableitungen eine ähnliche Eigenschaft wie stetige Funktionen, es gilt nämlich für sie der Zwischenwertsatz. Ableitungen können also keine Sprünge machen Darbouxscher Zwischenwertsatz für die Ableitung Sei I ein offenes Intervall und f : I R differenzierbar. Seien a, b I mit a < b und d eine Zahl zwischen f (a) und f (b). Dann gibt es eine Stelle c, die zwischen a und b liegt, mit f (c) = d. Beweis. Sei o.b.d.a. f (a) < f (b) (betrachte sonst f an Stelle von f). Dann gilt (1) f (a) < d < f (b). Setze g(t) := f(t) d t für t I. Dann ist: (2) g (t) = f (t) d für t I, und es ist zu zeigen, es gibt ein c ]a, b[ mit (3) g (c) = 0. Nach dem Extremalsatz (siehe 15.9) besitzt g [a, b] ein Minimum c [a, b]. Für (3) reicht es zu zeigen, daß c a und c b ist, da dann c ein lokales Minimum ist und somit g (c) = 0 nach gilt. Wegen (1) und (2) ist aber g (a) < 0, daher folgt g(a + ε) < g(a) für kleine ε R + (siehe 18.13); somit ist a kein Minimum und daher ist c a. Wegen (1) und (2) ist ferner g (b) > 0, daher folgt g(b ε) < g(b) für kleine ε R + (siehe 18.13), also ist c b. C 1 [18] 14