Lineare Algebra. 2. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching

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1 Lineare Algebra. Übungsstunde Steven Battilana battilana.uk/teaching October 6, 017

2 1 Erinnerung: Lineare Gleichungssysteme LGS Der allgemeine Fall hat m lineare Gleichungen, n Unbekannte und stellt ein LGS dar. Falls Wobei m > n, dann ist das LGS überbestimmt (numerisch lösbar) m < n, dann ist das LGS unterbestimmt (analytisch lösbar) m = n, sonst (analytisch lösbar) a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + + a n x n = b. a m1 x 1 + a m x + + a mn x n = b m. Ax = b a 11 a 1 a 1n a 1 a a n x 1 b 1 A =.., x =., b =. x a m1 a m a n b m mn A = Koeffizientenmatrix, x = Unbekanntenvektor, b = Lösungsvektor (RHS) Lösungsansatz: Gauss-Elimination Bemerkung. Für ein LGS gilt jeweils eines der folgenden Punkte: Es besitzt genau eine Lösung, dann nennt man es ein reguläres LGS keine Lösung, dann nennt man es ein singuläres LGS viele Lösungen, dann nennt man es ebenfalls ein singuläres LGS

3 Kochrezept: Gauss-Elimination Gegeben: LGS Ax = b (für m < n m = n) a 11 a 1 a 1n a 1 a a n b 1 A =.., b =. b a m1 a m a m mn Gesucht: x 1 x =. 1. Stelle die erweiterte Koeffizientenmatrix auf a 11 a 1n b 1... = ( A b ). a m1 a mn b m x n. Bringe ( A b ) durch Operationen der Art (I), (II), (III) in folgende Form (Zeilenstufenform, d.h. es muss nicht umbedingt die Einheitsmatrix ergeben!): 1 0 x ( 1 x ), wobei 1 = Einheitsmatrix 0 1 x n (I) Zeilen vertauschen (II) Addition/Subtraktion von einer Zeile (Gleichung) zu einer anderen (III) Ver-k-fachen einer Zeile (Gleichung) mit k R \ {0} 3. Am besten geht das, wenn ihr das folgende Verhltnis bildet (dies werden wir später nochmals brauchen!) l ij := a i1 a jj und dies folgend nutzt x 1 x x 3 RHS (i) ( a 11 a 1 a 13 b 1 ) (ii) a 1 a a 3 b (iii) a 31 a 3 a 33 b 3 (ii) l 1 (i) a 11 a 1 a 13 b 1 a 1 l 1 a 11 a l 1 a 1 a 3 l 1 a 13 b l 1 b 1 a 31 a 3 a 33 b 3 3

4 (iii) l 31 (i) a 11 a 1 a 13 b 1 a 11 a 1 a 13 b 1 0 ã ã 3 b 0 ã ã 3 b... a 31 l 31 a 11 a 3 l 31 a 1 a 33 l 31 a 13 b l 31 b 1 0 ã 3 ã 33 b Beispiel 1: Löse das folgende LGS: Lösung: x 1 x x 3 = 4x 1 x + x 3 = 8x 1 4x + 6x 3 = 6 (iii) l 31 (i) x 1 x x 3 = 4x 1 x + x 3 = 8x 1 4x + 6x 3 = (ii) l 1 (i) (ii) (iii) l 3 (ii) (i) ( ) 1 (ii) (i) =: ( ) In der 3. Zeile gibt es nur Nullen viele Lösungen. Mit Rückwärtseinsetzen erhalten wir von der. Zeile: x 3 = 1 Mit Rückwärtseinsetzen erhalten wir von der 1. Zeile: x 1 1 x = 0 x 1 = 1 x Wähle z.b. x = t R als freien Parameter 1 t L = t 1 t R Bemerkung. Falls wir statt ( ) z.b erhalten hätten, gäbe es keine Lösung, weil in der 3. Zeile 0 = steht, was bekanntlich einen Widerspruch darstellt. 4

5 Beispiel : Für welche Werte von a R besitzt das folgende homogene lineare Glei-chungssystem eine nichttriviale (von 0 verschiedene) Lösung? Lösung: x 1 x 3 = 0 x 1 + ax x 3 = 0 a x 1 + ax 10x 3 = 0 x 1 x 3 = x 1 + ax x 3 = 0 a 1 0 a x 1 + ax 10x 3 = 0 a a a 1 0 a 1 (ii) l 1 (i) 0 a 3 a a 10 0 a a 10 a a (iii) l 31 (i) 0 a 3 (iii) l 3 (ii) 0 a 3 0 a a a 4 1. Fall: x 3 0 Die 3. Zeile gibt uns (a 4)x 3 = 0 a 4 = 0 a = ± Wir wählen x 3 =: s, s R \ {0} als freien Parameter. Mit Rückwärtseinsetzen erhalten wir von der. Zeile ax 3s = 0 ax = 3s x = 3s a Mit Rückwärtseinsetzen erhalten wir von der 1. Zeile x 1 s = 0 x 1 = s Somit sind wir bereits bei der Lösung von diesem Fall angelangt: s L = s R \ {0}, a = ± 3s a s. Fall: x 3 = 0 Somit macht die 3. Zeile keine Aussage über a. Also müssen wir auf die. Zeile ausweichen. ax 3x 3 = 0 ax 3 0 = 0 ax = 0 a = 0 x = 0 (a) a = 0, x 0: Wir wählen x = t, t R \ {0} als freien Parameter. Mit Rückwärtseinsetzen erhalten wir von der 1. Zeile x 1 = 0. Somit erhalten wir die Lösung: 0 L = t 0 t R \ {0}, a = 0 5

6 (b) x = 0: Somit folgt aus der 1. Zeile: x 1 = 0 0 Dieser Fall liefert nur die triviale Lösung 0 und kann ausgeschlossen werden. 0 Insgesamt folgt also, dass wir für a {, 0, } nichttriviale Lösungen erhalten. Matrizen und Vektoren im R n und C n Die im folgenden Bild eingekreisten Elemente heissen Pivotelement oder kurz Pivot. Pivotisierung Pivotisiere in der aktuellen Spalte j, d.h. bestimme den Index i p {j, j + 1,..., n} mit a ipj = max a ij. i {j,j+1,...,n} In der Zeilenstufenform (ZSF) des Systems heisst die Anzahl r N der Pivotelemente der Rang der Matrix A R m n und des Gleichungssystem, d.h. Rang(A) := r = # Pivotelemente. Bemerkung. Sei die Matrix A R m n und der Rang r N, dann gilt (i) r min{m, n}, (ii) k r = # freie Parameter, mit k min{m, n}. Beispiel zu (ii): m < n : A = Rang(A) = Hier sieht man, dass der Rang nicht mehr als 3 sein kann, da die maximal mögliche Anzahl Pivotelemente gleich 3 ist. 6

7 m > n : 1 0 B = Rang(B) = In diesem Fall ist die letzte Zeile linear abhängig, d.h. mit den ersten drei Zeile können wir die Letzte zu Nullzeile umwandeln. Somit ist auch hier die maximal mögliche Anzahl Pivotelemente gleich 3. Rechenregeln: Sei A E m n und sei B, C E n n mit E {R, C}. (i) Rang(A T ) = Rang(A) = Rang(A H ) (ii) Rang(B) + Rang(C) n Rang(BC) min{rang(b), Rang(C)} Sei das folgende lineare Gleichungssystem (LSG) gegeben: Die im Falle m > r für die Exstenz einer Lösung notwendigen Bedingungen sind die Verträglichkeitsbedingung des LGS. c r+1 = c r+ =... = c m = 0 Definition einer Matrix A R m n a 11 a 1 a 1n a 1 a a n A =.. a m1 a m a mn m = Zeilen n = Spalten Bemerkung. Falls m = n, dann heisst die Matrix A quadratisch. Rechnen mit Matrizen. Sei ein Skalar (Zahl) α R, seien die Matrizen A,B R m n und C R n p, dann gilt Addition: (A ± B) ij = (A) ij ± (B) ij 7

8 Matrixmultiplikation: (AC) ij = n (A) ik (C) kj k=1 Die resultierende Matrix AC ist eine m p Matrix. a 11 a 1n.. c 11 c 1j c 1p A = a i1 a in, C =..... c n1 c nj c np a m1 a mn AC = (AC) ij = a i1 c 1j + + a in c nj Erinnerung: Skalarprodukt (Dotproduct) a 1 a =. a n, b = b 1. b n a b = a 1 b a n b n Beispiel 3: Berechne AB mit den gegebenen Matrizen. A = ( ) 3 5, B = Lösung: AB = ( ) = ( 13 ) Matlab: Nun kontrollieren wir das ganze mit Hilfe von Matlab. Wir befinden uns im Command Window: 1 % e r s t e l l e d i e Matrix A und B >> A = [ 3 5 ; 1 0 ] ; 3 >> B = [ 0 5 ; 1 1 ; 0 ] ; 4 % f u e h r e d i e M u l t i p l i k a t i o n aus 5 >> A B 6 ans = Spielen wir noch etwas mit Matlab damit ihr alle nötigen Funktion kennt, um selbst zu überprüfen, ob ihr Fehler gemacht habt. Angenommen ihr wollt (AB) T = B T A T berechnen, ohne die Matrizen von hand zu transponieren: 8

9 1 % e r s t e l l e d i e Matrix A und B >> A = [ 3 5 ; 1 0 ] ; 3 >> B = [ 0 5 ; 1 1 ; 0 ] ; 4 % f u e h r e d i e M u l t i p l i k a t i o n aus 5 >> (A B) 6 ans = >> B A 10 ans = % e r s t e l l e e i n e 3 dim. Einheitsmatrix 14 >> e i n h e i t s m a t r i x = eye ( 3 ) ; Bemerkung. Es gelten für die Matrixmultiplikation die gängigen Rechenregeln (Assoziativität, Distributivität). AUSSER Kommutativität!!! (AB BA)!!!!! Sei A einen relle m n - Matrix. Die n m - Matrix A T mit (A T ) ij = A ji heisst die zu A transponierte Matrix. Sei A einen komplexe m n - Matrix. Die n m - Matrix A H mit A H = (A) T = A T heisst due zu A hermitesch oder konjugiert-transponierte Matrix. Bemerkung. (Eigenschaft von transponiert bzw. hermitesch) Sei A, B E n n, dann gilt (AB) H = B H A H (bzw. (AB) T = B T A T ). Beispiel 4: Berechne A H der gegebenen Matrix: 3 + i 5 A = i 15 7i 0 0.5i Lösung: 3 + i 5 A = i 15 7i A H = 0 0.5i ( ) 3 i i i 0.5i Eine quadratische Matrix A E nennt man nilpotent, wenn einer ihrer Potenzen die Nullmatrix ergibt: A k = 0 für das kleinste k N. 9

10 Bemerkung. Wenn die untere Dreiecksmatrix L E gleich Null ist, dann handelt es sich um eine nilpotente Matrix. 0 L =.... L k = 0 für ein k N. 0 0 Beispiel 5: A = A 3 = B = B =