D-ITET. D-MATL, RW Lineare Algebra HS 2017 Dr. V. Gradinaru T. Welti. Online-Test 2. Einsendeschluss: Sonntag, den

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1 D-ITET. D-MATL, RW Lineare Algebra HS 7 Dr. V. Gradinaru T. Welti Online-Test Einsendeschluss: Sonntag, den..7 : Uhr Dieser Test dient, seriös bearbeitet, als Repetition des bisherigen Vorlesungsstoffes und als Übung für die Prüfung. Es werden auch Lösungen veröffentlicht werden.. Lösen Sie von Hand folgendes Ausgleichsproblem mit der QR-Zerlegung: x + x = r x = r x 4 = r. Schreiben Sie dazu das Problem in der Form Ax c = r, bestimmen Sie die QR-Zerlegung A = QR mit Hilfe einer geeigneten Givens-Rotation sowie den Vektor d = Q T c, und bestimmen Sie schliesslich die Lösung x R des Ausgleichsproblems. Welche der folgenden Antworten ist korrekt? [ ] (a) x = 7, [ ] (b) x =, (c) x = (d) x =, [ ]. Für A = wählen wir die Givens-Rotation Q T = U T = cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ mit sin ϕ = und cos ϕ =. Wir erhalten Q T A = = R. Mit c = wird d = Q T c = 7/ 4 /. Schliesslich löst man R x = d durch [ ] Rückwärtseinsetzen und erhält x = 7. Dabei sind R und d die ersten zwei Zeilen von R und d.. Ist A eine diagonalisierbare Matrix mit n verschiedenen Eigenwerten λ, λ,..., λ n, so gilt det(a) = λ λ λ n.

2 (a) Richtig. (b) Falsch. Da A diagonalisierbar ist, gibt es Matrizen T und D, so dass A = T DT, wobei D = diag(λ, λ,..., λ n ). Nun gilt det(a) = det(t DT ) = det(t ) det(d) det(t ) = det(d), also stimmt die Aussage.. Wir betrachten die Matrix A =. 7 Dann sind alle Eigenwerte von A reell. (a) Richtig. (b) Falsch. Da A symmetrisch ist, folgt die Behauptung aus Satz Es gibt orthogonale Matrizen, die singulär sind. (a) Richtig (b) Falsch Eine orthogonale Matrix A besitzt immer die Inverse A T, da per Definition A T A = I gilt und (für quadratische Matrizen A und B) aus BA = I immer B = A folgt.. Ist x ein Eigenvektor von A, dann ist x auch ein Eigenvektor von A. (a) Richtig. (b) Falsch. Es gilt also ist x auch Eigenvektor von A. A x = A(Ax) = A(λx) = λ(ax) = λ x,

3 6. Welche der folgenden Matrizen A =, A =, A = sind diagonalisierbar? (a) A (c) A (b) A Wir berechnen die Eigenwerte von A : (d) Keine.! = det(a λi) = λ(λ + 9) + ( λ + 6) ( + λ) = λ 9λ + ( λ) λ) = λ 4λ = λ(λ + 4) Wir erhalten λ =, λ = 4i, λ = 4i. Damit hat jeder Eigenwert die algebraische Vielfachheit. Die Matrix ist also einfach und damit diagonalisierbar. Die Matrix A ist reell und symmetrisch. Nach Satz 7.8 i) ist A diagonalisierbar. Wir berechnen die Eigenwerte von A :! = det(a λi) = λ (( λ)( λ) + ) ( λ) + ( ) = λ λ λ + + λ = λ Wir erhalten λ = λ = λ =, also ist ein Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit. Um zu sehen, ob die geometrische Vielfachheit mit der algebraischen übereinstimmt, berechnen wir die Eigenvektoren: (E) (E) x freier Parameter, x =, x = x Also ist die geometrische Vielfachheit gleich und die Matrix damit nicht diagonalisierbar.

4 7. Gegeben seien die Fehlergleichungen Ax c = r mit A R 4, Rang A =. Dann haben die Normalgleichungen A T Ax = A T c eine eindeutige Lösung. (a) Richtig. (b) Falsch. Die Normalgleichungen haben eine eindeutige Lösung, falls die Matrix A maximalen Spaltenrang hat, also in diesem Fall Rang A =. Es gilt jedoch Rang A =. 8. Ein Vektor habe bezüglich der Basis B := {[ [, den Koordinaten- ] ]} vektor [, ] T. Der Koordinatenvektor bezüglich der Standardbasis ist: (a) [, ]T (c) [, ] T (b) [, ] T (d) [, ] T Wenn Basisvektoren b (),..., b (n) im R n und der Koordinatenvektor [k,..., k n ] T eines Vektors k gegeben sind, so bedeutet das, dass k = k b () k n b (n). Hier sind wir im R und haben als Basis die beiden Vektoren Der Vektor mit Koordinaten [, ] T bezüglich dieser Basis ist also [ ] [ ] [ ] + =, hat also bezüglich der Standardbasis die Koordinaten [, ] T. 9. Wir betrachten eine Singulärwertzerlegung A = USV T der Matrix [ ] A =. Die Matrix S ist dann gegeben durch: {[ [,. ] ]} 4

5 (a) S =, (b) S =, [ (c) S = ], (d) S =. Wir haben A R und da m < n, erhalten wir S = [Ŝ ] mit Ŝ = diag(s, s ), wobei s i die Eigenwerte von AAT sind. Wir berechnen die Eigenwerte von AA T : ([ ]) =! det(aa T λ λi) = det λ = ( λ) = λ λ + = (λ )(λ ). Wir erhalten λ = und λ = und es folgt S =.. Wir betrachten den R n mit Standardskalarprodukt und -Norm. Es sei A eine reelle n n-matrix. Welche der folgenden Aussagen sind korrekt? (a) Für alle Vektoren x, y R n gilt x, A T y = Ax, y. (b) Wenn A T = A gilt, dann folgt Ax, Ay = x, y für alle Vektoren x, y R n. (c) Wenn A T = A gilt, dann folgt Ax = x für alle Vektoren x R n. (d) Es sei B eine weitere reelle n n-matrix. Wenn gilt A T = A und B T = B, dann hat das Produkt AB eine Inverse und es gilt (AB) = (AB) T. Es gilt x, A T y = x T A T y = (Ax) T y = Ax, y. Es gilt Ax, Ay = (Ax) T Ay = x T A T Ay = x T A Ay = x T y = x, y. Es gilt Ax = Ax, Ax = x, x = Ax. Es gilt (AB) T = B T A T = B A = (AB).