Musterlösungen Blatt Theoretische Physik IV: Statistische Physik

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1 Musterlösungen Blatt Theoretische Physik IV: Statistische Physik Prof. Dr. G. Alber Dr. O. Zobay Eindimensionales Ising-Modell. Das eindimensionale Ising-Modell für N Spins mit Wechselwirkung zwischen nächsten Nachbarn ist durch die Hamiltonfunktion H v N σ j σ j+ + µb N j j σ j festgelegt. Dabei nehmen die Spinvariablen σ j die Werte + und an. Im Folgenden seien periodische Randbedingungen zugrundegelegt, d.h., σ N+ σ. a Zeigen Sie, dass die Zustandssumme dieses Ising-Modells durch Tr T N gegeben ist, wobei die Transfermatrix T durch exp βµb exp T exp exp + βµb mit β /k B T definiert ist. Es ist Tr [exp βh] σ,...,σ N ± wobei die -Matrix T durch N σ,...,σ N ± j T σ,σ T σ,σ 3 T σn,σ Tr T N, T σ,σ exp exp σ jσ j+ βµbσ j + σ j+ σ jσ j+ βµbσ j + σ j+ definiert ist. Damit erhält man die in der Aufgabenstellung angegebene Beziehung für die Transfermatrix. Ein Vorteil der Tranfermatrix-Methode besteht darin, dass die eindimensionale Ising-Kette auf einen einzigen Spin nulldimensionale Kette abgebildet werden kann. b Zeigen Sie, dass im thermodynamischen Limes N die freie Energie pro Spin durch ft, B k B T λ gegeben ist, wobei λ den größten Eigenwert von T bezeichnet. Die Transfermatrix T ist symmetrisch und wird daher durch eine orthogonale Matrix Γ diagonalisiert, d.h., ΓT Γ λ 0 Λ. 0 λ

2 Dabei sind die Eigenwerte λ, durch λ, exp coshβµb ± [ exp + exp sinh βµb ] / bestimmt. Es ist daher Tr T N Tr [ Γ ΛΓ N] Tr Λ N λ N + λ N. Im thermodynamischen Limes gilt für die freie Energie pro Spin ft, B k B T lim k B T lim N k B T lim [ N λ + + N λ da nach Voraussetzung λ < λ, d.h., λ /λ N 0 für N. N λn + λ N ] N λ k B T λ, c Berechnen Sie die Magnetisierung m f/ B, und zeigen Sie damit, dass das System keinen Ferromagnetismus für Temperaturen T > 0 aufweist. Es ist ft, B m B µ sinhβµb [ sinh βµb + exp ] /. Für B 0 gilt stets m 0, d.h., es gibt keine spontane Magnetisierung ohne äußeres Feld. d Beweisen Sie mit Hilfe der Transfermatrix-Methode, dass die Spin-Korrelationsfunktion im thermodynamischen Limes für B 0 durch σ k σ l λ /λ l k gegeben ist. Dabei bezeichnet λ den kleineren Eigenwert von T. Berechnen Sie die Korrelationslänge. Hinweis: Bei exponentiell abfallender Korrelationsfunktion ist die Korrelationslänge ξ durch σ k σ l exp k l /ξ definiert. Wir nehmen zunächst an, dass l k. Dann folgt für beliebiges N σ k σ l Tr σ,...,σ N ± σ,...,σ N ± exp βhσ k σ l T σ,σ T σk,σ k σ k T σk,σ k+ T σl,σ l σ l T σl,σ l+ T σn,σ T k τ z T l k τ z T N l Tr τ z T l k τ z T N l+k mit der Pauli-Matrix Für B 0 gilt d.h., Γτ z Γ τ x mit τ z 0 0 Γ τ x 0 0..,

3 Damit folgt σ k σ l Tr τ x Λ l k τ x Λ N l+k + τ x Λ l k τ x Λ N l+k + + τ x Λ l k τ x Λ N l+k Λ l k τ x Λ N l+k Λ l k τ x Λ N l+k λl k λ N l+k + λ l k λ N l+k λ N + λn λ /λ l k + λ /λ N l+k + λ /λ N. Im Limes N gilt somit σ k σ l λ /λ l k. Der Fall l < k läßt sich sofort auf den oben behandelten zurückführen, da σ k σ l σ l σ k. Es ist also allgemein σ k σ l λ /λ l k exp [λ /λ l k ]. Für die Korrelationslänge ergibt sich daher ξ λ /λ tanh/. Die Korrelationslänge divergiert im Limes T 0.. In dieser Aufgabe soll das eindimensionale Ising-Modell mit Hilfe der Renormierungsgruppen- Theorie behandelt werden. Dazu werden die Flussgleichungen für die Parameter des Modells hergeleitet und untersucht. a Bestimmen Sie Flussgleichungen für die Parameter v und B des Ising-Modells mit Hilfe eines Dezimierungsverfahrens, bei dem in jedem Schritt die Hälfte aller Spins eliminiert wird. Anleitung: Nehmen Sie an, dass N gerade ist, und führen Sie in der Zustandssumme die Summation über jeden zweiten Spin explizit durch. Zeigen Sie, dass die reduzierte Zustandssumme, die jetzt nur noch von N/ Spinvariablen abhängt, die Gestalt A N/ / v, B hat. Dabei ist A eine von den σ i unabhängige Konstante, und / v, B ist die Zustandssumme eines Ising-Modells mit N/ Spinvariablen und modifizierten Parametern v, B. Zeigen Sie, dass die neuen Parameter aus den alten durch die Rekursionsbeziehung K 4 [coshk + L coshk L] cosh L, L L + coshk + L coshk L mit K / und L βµb hervorgehen. Wir führen die zunächst die Summation über jeden zweiten Spin durch. Als Beispiel betrachten wir σ 4. Dabei erhält man exp [Kσ 3 σ 4 + Kσ 4 σ 5 + Lσ 4 ] coshkσ 3 + Kσ 5 + L. σ 4 ±

4 Wenn unsere Annahme stimmt, dass die reduzierte Zustandssumme in der Form A N/ / v, B geschrieben werden kann, so muss man dieses Ergebnis auch als A exp[bσ 3 σ 5 + Cσ 3 + σ 5 ] darstellen können. Dabei nehmen σ 3 und σ 5 die Werte ± an. Somit ergeben sich die folgenden Bestimmungsgleichungen für A, B und C: σ 3 σ 5 : σ 3 σ 5 : σ 3 σ 5 : coshk + L A expb + C, cosh L A exp B, cosh K + L A expb C. Durch Division der ersten durch die dritte Gleichung erhält man C 4 coshk + L coshk L. Unter Verwendung dieses Ergebnisses erhält man ferner durch Division der ersten durch die zweite Gleichung B 4 [coshk + L coshk L] cosh L. Führt man diese Rechnung für alle σ j mit geradem j durch, so folgt, dass die reduzierte Zustandssumme nun die Form A N/ exp K σ j σ j+ L. mit σ j ± j unger. j unger. K B 4 [coshk + L coshk L] cosh L, L L + C L + coshk + L coshk L. hat. Dies ist tatsächlich die Zustandssumme eines Ising-Modells mit N/ Spins. b Zeigen Sie, dass die Flussgleichungen mit Hilfe der Ersetzungen x exp 4K, y exp L in die einfachere Form gebracht werden können. Für y ergibt sich y e L exp x x + y x + y + xy, y y x + y + xy [ L + ] coshk + L coshk L L expk L + exp K + L e expk + L + exp K L y Für x verläuft die Rechnung analog. σ j L coshk L e coshk + L y/x + x/y / xy + xy y x + y + xy.

5 c Skizzieren Sie den durch die Rekursionsbeziehungen, induzierten Fluss. Bestimmen Sie die Fixpunkte, und untersuchen Sie die Stabilität der diskreten Fixpunkte durch Linearisierung der Flussgleichungen in deren Umgebung. Der durch die Rekursionsbeziehungen, induzierte Fluss hat die in der Abbildung dargestellte Form. Hierbei ist zu beachten, dass G., eine Folge von diskreten Punkten generieren. Die dargestellten Flusslinien ergeben sich als Interpolationskurve entlang dieser Punkte. Eine andere Möglichkeit, die Flusskurven zu erzeugen, besteht darin, eine große Zahl von Rekursionsfolgen mit entsprechend benachbarten Anfangsbedingungen zu zeichnen. Die Fixpunkte ergeben sich aus der Forderung x x, y y. Man findet damit die diskreten Fixpunkte x 0, y 0 und x 0, y sowie eine kontinuierliche Linie von Fixpunkten x, 0 y. Die Linearisierung um den Fixpunkt x 0, y liefert δx δxδy + δx + δy + [ + δxδy + ] 4δx, δy δy mit δx x x, δy y y. Dabei folgt die untere Gleichung aus y δx + + δy + δy + δx + δy + δy + δx + δy δx + δy Der Fixpunkt ist also instabil. Er beschreibt den Pseudo-Phasenübergang bei T 0, B 0. Für den Fixpunkt x 0, y 0 folgt δx δx δx + δy, δy δyδx + δy, d.h. δxδy δx δy. Die Rekursionskurven in der Nähe des Fixpunkts haben die Form von Hyperbe, d.h., der Fixpunkt ist ebenfalls instabil.