Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.

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1 Stz 6.5 (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei f : [, b] R stetig. Dnn gibt es ein ξ [, b], so dss 9: gilt. f dx = (b )f(ξ) Lemm 6.6 Sei f : [, b] R stetig und m f(x) M für lle x [, b]. Dnn ist (b )m f dx (b )M. Beweis: Für jede Riemnn-Summe von f gilt S n (f) = f(ξ k )(x k+1 x k ) m(x k+1 x k ) = m(b ) und nlog S n (f) = f(ξ k )(x k+1 x k ) M(x k+1 x k ) = M(b ). Mit den Rechenregeln für Grenzwerte 1.11 folgt die Behuptung. Beweis: Nch Proposition 2.13 gibt es x min und x mx [, b] mit f(x min ) f(x) f(x mx ) für lle x [, b]. Nch Lemm 6.6 gilt f(x min ) 1 (b ) f dx f(x mx ) und nch dem Zwischenwertstz 2.9 gibt es ein ξ [, b] mit f(ξ) = 1 Drus folgt die Behuptung. 6.2 Ds Integrl ls Funktion b f dx. Sei D ein Intervll und f : D R eine stetige Funktion. Ansttt für festes, b D ds Integrl f dx zu betrchten, können wir uch eine, z.b. die obere Grenze vriieren lssen. Wir erhlten dnn (für jedes fest gewählte D) eine Funktion φ : D R, x f dx. Mit dem Integrl können wir lso us einer Funktion f eine neue Funktion φ definieren. 56

2 Ws ändert sich n der erhltenen Funktion φ, wenn wir eine ndere untere Grenze ã D wählen? Wir bilden die Differenz Also gilt φ (x) φã(x) = f dx ã f dx = φ (x) = φã(x) + C f dx + ã x f dx = ã f dx mit der Konstnten C = ã f dx R. Für eine ndere Whl von erhlten wir lso eine um eine Konstnte verschobene Funktion. Mithilfe des Mittelwertstzes der Integrlrechnung 6.5 knn mn zeigen, dss der orientierte Flächeninhlt unterhlb einer Funktion stetig von der (oberen) Grenze bhängt. Proposition 6.7 Die Funktion φ : D R, x f dx ist stetig. Beweis: Seien x, y D. Dnn gilt φ (x) φ (y) = f dx y f dx = y f dx = x y f(ξ) mit ξ zwischen x und y. Wir wollen nun die Stetigkeit von φ in x D zeigen. Es gibt ein δ > 0, so dss ds bgeschlossene Intervll I = [x δ, x+δ ] gnz in D liegt, und uf diesem Intervll ist f beschränkt nch Proposition 2.13, lso f(ξ) < M für ein M > 0 und lle ξ I. Zu vorgegebenem ε > 0 wählen wir nun δ > 0 mit δ < ε /M und δ < δ. Dnn gilt für y D mit x y < δ: φ (x) φ (y) x y f(ξ) δ M < ε /M M = ε, wobei wir benutzt hben, dss wegen x ξ x y < δ gilt: ξ I. Dmit ist φ im Punkt x stetig. 57

3 7 Die Ableitung Wie ändert sich der orientierte Flächeninhlt, wenn mn die obere Integrtionsgrenze verändert? Wir gehen dzu wieder von einer stetigen Funktion f : D R uf einem Intervll D us und vergleichen (für D fest gewählt) φ (x) = f dx und φ (x + h) = +h f dx mit h > 0. Die mittlere Änderungsrte von φ uf dem Intervll [x, x + h] φ (x + h) φ (x) h = 1 h +h x f dx Die momentne Änderungsrte im Punkt x erhlten wir, indem wir h 0 gehen lssen, lso den Grenzwert φ (x + h) φ (x) bilden. Ws bedeutet h 0 ber eigentlich überhupt? Wir können diesen Grenzübergng wieder mithilfe von Folgen definieren: Definition 7.1 Sei D ein Intervll, x 0 D und f : D \{x 0 } R eine uf D \{x 0 } definierte Funktion. Sei R. Dnn schreiben wir x x 0 f(x) = oder f(x) für x x 0 flls gilt: Für jede Folge (x n ) n N mit x n D \ {x 0 } (n N) und x n x 0 (n ) gilt n f(x n ) =. Insbesondere ist nch dem Folgenkriterium für Stetigkeit 2.6 f genu dnn stetig in x 0, wenn f(x) = f(x 0 ) gilt. D wir den Grenzwert durch den Grenzwert von Folgen definiert hben, gelten für ds Rechnen dmit die gleichen Regeln wie für Grenzwerte von Folgen, die wir in Proposition 1.11 zusmmengefsst hben. Hier ist noch einml eine Übersicht drüber. Bemerkung 7.2 Flls f(x) und g(x) existieren, so gilt f(x) + g(x) = f(x) + g(x) x x 0 c f(x) = c f(x) x x 0 f(x) x x 0 g(x) = x x 0 f(x) g(x) für lle c R flls g(x) 0 58

4 Genuso wie für φ können wir für llgemeine Funktionen f : D R die mittlere und momentne Änderungsrte studieren. Definition 7.3 Sei D ein Intervll und f : D R eine Funktion und x 0 D. Flls der Grenzwert f(x 0 + h) f(x 0 ) existiert, so heißt f in x 0 differenzierbr. f heißt uf D differenzierbr, flls f in jedem Punkt x 0 D differenzierbr ist. In diesem Fll erhält mn eine Funktion D R, gennnt die Ableitung von f. x 0 f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) :=, Ersetzt mn h =, so knn mn obigen Grenzwert nders schreiben ls f(x 0 + h) f(x 0 ) = f(x) f(x 0 ). Der Ausdruck f(x 0+h) f(x 0 ), bzw. f(x) f(x 0) h x x 0 heißt Differenzenquotient. über den der Limes hier gebildet wird, Beispiel 7.4 (1) Die Ableitung der konstnten Funktion f : [, b] R, x f(x) = c (c R) ist f 0. In der Tt gilt für jedes x 0 [, b]: lso f (x 0 ) = 0. f(x) f(x 0 ) x x 0 c c = = 0 = 0, (2) Die Ableitung von f : [, b] R, x x ist f 1. Denn für jedes x 0 [, b] gilt lso f (x 0 ) = 1. f(x) f(x 0 ) x x 0 = = 1 = 1, (3) Die Funktion f : R R, x x ist in 0 nicht differenzierbr. Um dies zu zeigen, wählt mn die Folge x n = ( 1) n 1 n. Dnn gilt x n 0. Setzt mn diese Folge in den Differenzenquotient ein, so erhält mn: f(x n ) f(0) x n 0 = ( 1)n 1 n ( 1) n 1 n = ( 1) n = ( 1) n. Diese Folge konvergiert ber nicht. Dmit existiert der Grenzwert x 0 x 0 x 0 nicht, und f ist in 0 nicht differenzierbr. 59

5 Entsteht eine Funktion durch Summe, Produkt oder Hintereinnderusführung von weiteren Funktionen, so knn mn die Ableitung gemäß der folgenden Liste von Rechenregeln bestimmen. Proposition 7.5 Sei D ein Intervll und f : D R und g : D R uf D differenzierbre Funktionen. ) Für lle λ, µ R ist die Funktion D R, x λ f(x) + µ g(x) differenzierbr und es gilt (λ f + µ g) = λ f + µ g. b) (Produktregel) Die Funktion D R, x f(x) g(x) ist differenzierbr und es gilt (f g) = f g + f g Beweis: ) ergibt sich direkt us den Rechenregeln 1.11 für Grenzwerte von Folgen. Für b) schreiben wir den Differenzenquotienten um zu f(x)g(x) f(x 0 )g(x 0 ) = f(x)g(x) f(x)g(x 0) + f(x)g(x 0 ) f(x 0 )g(x 0 ) = f(x) g(x) g(x 0) + g(x 0 ) f(x) f(x 0 Differenzierbre Funktionen sind stetig, wie wir gleich noch beweisen werden. Aus der Stetigkeit von f folgt deshlb f(x) g(x) g(x 0) x x 0 = f(x) g(x) g(x 0 ) = f(x 0 ) g (x 0 ) und der zweite Summnd geht für x x 0 gegen g(x 0 ) f (x 0 ). Dmit hben wir die Behuptung gezeigt. Bemerkung 7.6 Differenzierbre Funktionen sind stetig. Denn ist f in x 0 differenzierbr, so gilt f(x) f(x 0 ) = f(x) f(x 0) Der erste Term geht gegen 0 für x x 0 und der zweite gegen f (x 0 ), lso gilt f(x) f(x 0 ) für x x 0, ws genu die Aussge ist, dss f in x 0 stetig ist. Beispiel 7.7 Sei n N. Die Ableitung von f : R R, x x n ist f : R R, x n x n 1. Wir zeigen dies durch Induktion nch n. Für n = 1 ist die Aussge genu die von Beispiel 7.4 (2). Sei die Aussge bereits für n N gezeigt. Dnn gilt nch der Produktregel (x n+1 ) = (x x n ) = (x) x n + x (x n ) = x n + x nx n 1 = (n + 1)x n. Dmit hben wir den Induktionsschluss gezeigt. 60

6 Proposition 7.8 (Kettenregel) Seien D f und D g Intervlle und f : D f R und g : D g R Funktionen mit f(d f ) D g, so dss lso g f : D f R definiert ist. Dnn ist g f differenzierbr und es gilt (g f) (x) = g (f(x)) f (x). 10:

π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x

π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x Wir substituieren x x(t) r sin(t), t [ π, π ]. Dnn ist x (t) r cos(t), lso r x dx π π r π r r sin (t)r cos(t) dt π cos (t) cos(t) dt r π π cos (t) dt Wir integrieren cos mittels prtieller Integrtion: Sei

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