1.2 Räumliche Bewegung. Aufgaben

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1 Technische Mechanik Prof. Dr. Wandinger Aufgabe Räumliche Bewegung Aufgaben Ein Flugzeug fliegt mit der Geschwindigkeit v F gegenüber der Luft einen angezeigten Kurs von 30. Der Wind weht mit der Geschwindigkeit v W aus Süd-Ost. N Bestimmen Sie die Geschwindigkeit v G über Grund und den Winkel γ. γ v G v F Zahlenwerte: v F = 200 km/h, v W = 20 km/h, = 30, β = 135 (Ergebnis: v G = 206,1 km/h, γ = 24,62 ) v W β Aufgabe 2 Die Bahn eines Flugzeugs ist gegeben durch r (t )=R cos ( 2 π t T ) e x +R sin ( 2 π t T ) e y +v z t e z. a) Ermitteln Sie den Geschwindigkeitsvektor v(t), die Bahngeschwindigkeit v(t) und den Beschleunigungsvektor a(t). b) Bestimmen Sie für die Zeitpunkte t = 0 s, 5 s, 10 s, 15 s und 20 s die Ortsvektoren und die Geschwindigkeitsvektoren. Stellen Sie die Projektion der Vektoren in die xy-ebene graphisch dar (Maßstab: 20 m = 1 cm, 10 m/s = 1 cm). c) Bestimmen Sie für die angegebenen Zeitpunkte die Beschleunigungsvektoren und stellen Sie diese graphisch dar (Maßstab: 2 m/s 2 = 1 cm). Ermitteln Sie auch die Beträge der Beschleunigungsvektoren. d) Beschreiben Sie die Bahn, auf der das Flugzeug fliegt. Zahlenwerte: R = 100 m, T = 20 s, v z = 3 m/s (Ergebnis: Bahngeschwindigkeit v = 31,56 m/s, Betrag der Beschleunigung a = 9,87 m/s 2 )

2 Technische Mechanik Prof. Dr. Wandinger Aufgabe 3 Die Bahn eines Massenpunkts ist gegeben durch r (t )=R e t /T( cos ( 2 π t T ) e x+sin ( 2 π t T ) e y). a) Berechnen Sie den Geschwindigkeitsvektor und den Beschleunigungsvektor. b) Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit und die Bahnbeschleunigung. c) Berechnen Sie die Normalbeschleunigung. (Ergebnis: Bahngeschwindigkeit: v(t )=(R/T )e t/t 1+4 π 2 ; Bahnbeschleunigung: a t (t )=(R/T 2 )e t/t 1+4 π 2 ; Betrag der Normalbeschleunigung: a n (t )=2 π a t (t ) ) Aufgabe 4 Für den Übergang aus einer Geraden in eine Kurve werden so genannte Klothoiden verwendet. Bei einer Klothoide ist die Krümmung proportional zur Bogenlänge s. Für den Einheitstangentenvektor gilt: e t (s )=cos( s 2 ) 2 R e 2 x +sin( s 2 ) 2 R 2 e y Ermitteln Sie die Bahnbeschleunigung a t und die Normalbeschleunigung a n, a) wenn die Klothoide mit der konstanten Bahngeschwindigkeit v 0 durchfahren wird, und b) wenn die Klothoide mit der Bahngeschwindigkeit v(t )=a 0 t durchfahren wird. (Ergebnis: a) a t = 0, a n (t )=v 0 3 t / R 2 ; b) a t = a 0, a n (t )=a 0 3 t 4 /(2 R 2 ) ) Aufgabe 5 Ermitteln Sie für den schiefen Wurf die Bahngeschwindigkeit und die Bahnbeschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit.

3 Technische Mechanik Prof. Dr. Wandinger Stellen Sie für die Anfangsgeschwindigkeit v 0 = 10 m/s und den Wurfwinkel =30 die zeitlichen Verläufe graphisch dar. Aufgabe 6 Ein Fußballspieler möchte einen Elfmeter so schießen, dass der Ball mit waagerechter Bahntangente gerade unter der Torlatte hindurch fliegt. H Mit welcher Geschwindigkeit v 0 und mit welchem Winkel muss der Ball geschossen werden? Zahlenwerte: L = 11 m, H = 2,4 m (Ergebnis: = 23,57, v 0 = 17,16 m/s) L Aufgabe 7 Ein Motorradfahrer möchte in einer Stuntshow über zwei LKWs springen, die in den Abständen x 1 und x 2 von der Rampe stehen. Über den LKWs möchte er eine Höhe H über dem Boden haben. a) Welchen Winkel muss die Rampe haben, und mit welcher Geschwindigkeit v 0 W muss der Motorradfahrer über die Rampe fahren? b) Wie weit springt der Motorradfahrer? Zahlenwerte: H = 5 m, x 1 = 10 m, x 2 = 15 m (Ergebnis: = 39,81, v 0 = 15,79 m/s, W = 25 m) x 1 x 2 H Aufgabe 8 Ein Fahrzeug fährt mit der Geschwindigkeit v über eine Kante, an der sich die Steigung abrupt ändert. Dabei hebt das β Fahrzeug ab. In welchem Abstand d von der Kante, gemessen entlang der Straße, kommt es wieder auf?

4 Technische Mechanik Prof. Dr. Wandinger Zahlenwerte: v = 20 m/s, = 20, β = 10 (Ergebnis: d = 39,51 m) Aufgabe 9 Ein Skifahrer fährt mit der Geschwindigkeit v 0 über eine Kante, an der sich die Hangneigung abrupt ändert. Der Winkel vor der Kante ist und der Winkel nach der Kante β. Wie groß ist die Sprungweite W? Zahlenwerte: v 0 = 36 km/h, = 15, β = 45 (Ergebnis: W = 19,69 m) Aufgabe 10 Die Bahn eines Punktes ist gegeben durch x (t )=x 0 ( t T ) 2, y(t )=y 0 ( t T ) 3, 0 t T. β W Dabei sind x 0, y 0 und T Konstanten. a) Berechnen Sie den Geschwindigkeitsvektor und die Bahngeschwindigkeit. b) Berechnen Sie den Beschleunigungsvektor und die Bahnbeschleunigung. c) Berechnen Sie den Vektor der Normalbeschleunigung. (Ergebnis: a) v x =2 x 0 t /T 2, v y =3 y 0 t 2 /T 3, v=t 4 x y 0 2 (t /T ) 2 /T 2 ; b) a x =2 x 0 /T 2, a y =6 y 0 t /T 3, a t = 4 x y 2 0 (t /T ) 2 T 2 4 x y 2 0 (t /T ) ; 2 c) a nx = 18 x 0 y 2 0 (t /T ) 2 T 2 4 x y 2 0 (t /T ), a 2 ny =12 y 2 0 T (t /T ) x 0 ) 2 4 x y 2 0 (t /T ) 2 Aufgabe 11 Die Bahn eines Punktes ist gegeben durch x (t )=x 0 cos(ωt ), y(t )=y 0 sin (ωt ). Dabei sind x 0, y 0 und ω Konstanten.

5 Technische Mechanik Prof. Dr. Wandinger a) Ermitteln Sie die Komponenten v x (t) und v y (t) des Geschwindigkeitsvektors und die Bahngeschwindigkeit v(t). b) Ermitteln Sie die Komponenten a x (t) und a y (t) des Beschleunigungsvektors und die Bahnbeschleunigung a t (t). c) Ermitteln Sie die Komponenten a nx (t) und a ny (t) des Vektors der Normalbeschleunigung. (HM, Prüfung SS 2015) (Ergebnis: a) v x = x 0 ωsin (ωt ), v y =y 0 ωcos(ωt ), v=ω x 0 2 sin 2 (ω t )+y 0 2 cos 2 (ωt ) ; b) a x = x 0 ω 2 cos(ωt ), a y = y 0 ω 2 sin(ω t ), ( a t = ω2 x 2 0 y 02 )sin(2 ω t ) 2 x 2 0 sin 2 (ωt )+y 2 0 cos 2 (ωt ) ; c) a y 2 nx= x 0 ω 2 0 cos(ω t ) x 2 0 sin 2 (ωt )+y 2 0 cos(ωt), x 2 a ny = y 0 ω 2 0 sin (ω t ) x 2 0 sin 2 (ωt )+y 2 0 cos 2 (ω t ) ) Aufgabe 12 Der Massenpunkt B wird mit der Anfangsgeschwindigkeit v B senkrecht nach oben geworfen. Zum gleichen Zeitpunkt wird im Abstand d auch der Massenpunkt A mit der Anfangsgeschwindigkeit v A und dem Wurfwinkel abgeworfen. a) Bestimmen Sie die Steigzeit t H und die Wurfhöhe H von Massenpunkt B. b) Bestimmen Sie den Wurfwinkel und die Anfangsgeschwindigkeit v A von Massenpunkt A so, dass die beiden Massenpunkte sich im höchsten Punkt von Massenpunkt B treffen. Gegeben: d, v B (HM, Prüfung WS 2015) (Ergebnis: a) t H = v B /g, H = v B 2 /(2g); b) tan() = v B 2 /(gd), v A = (g d /v B ) 2 +v B 2 ) Aufgabe 13 Die Bahn eines Punktes ist gegeben durch A z v A d g v B B H x

6 Technische Mechanik Prof. Dr. Wandinger x (t )=r cos (ω t ), y(t )=r sin (2 ωt ). Dabei sind r und ω Konstanten. a) Ermitteln Sie die Komponenten v x (t) und v y (t) des Geschwindigkeitsvektors und die Bahngeschwindigkeit v(t). b) Ermitteln Sie die Komponenten a x (t) und a y (t) des Beschleunigungsvektors und die Bahnbeschleunigung a t (t). Gegeben: r, ω (HM, Prüfung WS 2016) (Ergebnis: a) v x (t )= ω r sin(ω t ), v y (t )=2 ωr cos(2 ωt ), v(t )=ω r sin 2 (ω t )+4 cos 2 (ωt ) ; b) a x (t )= ω 2 r cos(ωt ), a y (t )= 4 ω 2 r cos(2 ωt ), a t (t )=ω 2 sin(2ω t ) 8sin (4ω t ) r 2 sin 2 (ωt )+4 cos 2 (2 ωt ) )