Der Binomische Lehrsatz, die Binomialkoeffizienten und das PASCALsche Dreieck

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Stanislaus Becker
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1 1 Der Binomische Lehrsatz, die Binomialkoeffizienten und das PASCALsche Dreieck Wir kennen die beiden binomischen Formeln: Sie sind ein Sonderfall des Binomischen Lehrsatzes: Wir sehen, dass die Potenzen von a bei jedem folgenden Glied von a n bis a 0 abnehmen und die Potenzen von b bei jedem folgenden Glied von b 0 bis b n zunehmen, stets so, dass die Summe der beiden Hochzahlen gleich n ist. Steht zwischen a und b ein Minuszeichen, soll also berechnet werden, so wechseln sich nur + und - Zeichen bei jedem folgenden Glied ab, die Zahlen vor den Potenzen bleiben gleich. Wir brauchen also nur die Zahlen vor den Potenzen zu untersuchen. Diese Zahlen heißen Binomialkoeffizienten. Sie werden geschrieben als zwei natürliche Zahlen übereinander (ohne Bruchstrich) aber in eine Klammer eingeschlossen, z. B., das n über 3 gelesen wird. Wie sind nun diese Binomialkoeffizienten definiert? Es gilt: Hier haben wir es mit einer induktiven Definition zu tun: Kennen wir, so können wir berechnen. Für k = 0 ist für alle n der Wert als 1 definiert, so dass wir sukzessiv für alle k > 0 die Binomialkoeffizienten berechnen können. Beispiel für n = 5 : Setzen wir für k noch größere Zahlen ein, so erhalten wir immer das Ergebnis Null: Da dieser Wert Null wieder als Faktor für die nächste Rechnung vorkommt, werden auch alle weiteren Werte der Binomialkoeffizienten Null. Bemerkung: Bei Binomialkoeffizienten kann also die untere Zahl höchstens so groß sein wie die obere Zahl. Ist die untere Zahl größer als die obere Zahl, ist der Wert Null. Das Verfahren der sukzessiven Berechnung der Binomialkoeffizienten ist sehr aufwendig. Es gibt aber eine Gleichung, mit der man die Binomialkoeffizienten direkt berechnen kann:

2 2 Das Produkt im Nenner schreibt man abgekürzt: n! und liest n Fakultät. Damit ergibt sich für die Gleichung, wenn man noch die runde Klammer in der eckigen Klammer auflöst: Wir wollen diese Gleichung mit vollständiger Induktion beweisen: 1. Schritt: k = 0 nach der Gleichung gilt: Der Induktionsbeginn ist also gesichert. 2. Schritt: sei richtig. 3. Schritt: Es ist zu zeigen: Beweis: Damit ist die Gleichung für alle natürlichen Zahlen n und k bewiesen.

3 3 Wir wollen jetzt für n = 0 bis n = 8 den Binomischen Lehrsatz aufschreiben: Da wir über die ab- und aufsteigenden Potenzen von a und b Bescheid wissen, brauchen wir uns nur jeweils die Binomialkoeffizienten aufzuschreiben. Wir erhalten dann das PASCALsche Dreieck, benannt nach dem berühmten französischen Mathematiker Blaise PASCAL (1623 bis 1662). Jedoch kannten auch die Mathematiker Michael STIFEL (1487 bis 1567) und Geronimo CARDANO (1501 bis 1576) dieses Dreieck der Binomialkoeffizienten zur Berechnung der Potenzen eines Binoms schon. Aber auch STIFEL schreibt in seinem Buch, dass er dieses Dreieck bei jemand anderem gesehen hat. Wer letztendlich dieses Dreieck entdeckt hat, liegt im Dunkeln. Auf der nächsten Seite geben wir das PASCALsche Dreieck der Binomialkoeffizienten in der Weise an, dass wir zuerst die ausgerechneten Koeffizienten aufschreiben, anschließend dasselbe Dreieck in der Schreibweise mit den beiden Zahlen übereinander in der Klammer.

4 4 oder: Zwei Besonderheiten des Dreiecks (außer den jeweiligen Einsen am Rand) fallen natürlich auf:

5 5 1. Das Symmetriegesetz: Für jedes n, also in jeder Zeile des PASCALschen Dreiecks stehen die Zahlen symmetrisch zur Mittellinie. 2. Das Additionsgesetz: Außer den Einsen am Rand lässt sich jede Zahl im PASCALschen Dreieck als Summe der beiden in der vorhergehenden Zeile darüber stehenden Zahlen berechnen. Wir könnten also auch ohne Kenntnis der Übereinanderschreibweise der Binomialkoeffizienten das PASCALsche Dreieck einfach entwickeln, wenn wir nur das Additionsgesetz verwenden: z. B. ist für n = 6 die 3. Zahl 15 und berechnet sich als Summe aus 5 und 10, die in der vorhergehenden Zeile für n = 5 über der 15 stehen. Wir wollen die beiden Gesetze in der allgemeinen Form aufschreiben: 1. Das Symmetriegesetz: Beispiel: für n = 7 und k = 2 ist: 2. Das Additionsgesetz: Beispiel: n = 5, k = 1 : Beide Gesetze lassen sich mit vollständiger Induktion beweisen. Wir wollen aber auf den Beweis verzichten, dafür die Gleichung für die Binomialkoeffizienten noch etwas verändern. Es war: Übrigens stehen jeweils im Zähler und im Nenner die gleiche Anzahl von Faktoren, nämlich jeweils k Faktoren. Wir wollen uns das an einem Beispiel ansehen: Man kann diesen Bruch jetzt erweitern mit (n-k)!, also hier mit 6! : Als Verallgemeinerung erhalten wir: Wir können also nach zwei Gleichungen berechnen:

6 6 Man kann den jeweiligen Wert eines Binomialkoeffizienten auch mit dem Taschenrechnen berechnen. Auf vielen TR ist eine Taste mit ncr beschriftet. Das bedeutet: Beispiel: 15C 11 = 1365 Auch das Lottospiel 6 aus 49 ist ein weiteres Beispiel für die Anwendung der Binomialkoeffizienten, Bei 6 aus 49 ist die Anzahl der Kombinationen gesucht, die bei einer 6-elementige Teilmenge (nämlich den gezogenen Kugeln) ohne Berücksichtigung der Reihenfolge aus einer 49-elementigen Zahlenmenge möglich ist. Diese Anzahl der Möglichkeiten beträgt: Meist ist auf dem Taschenrechner neben diese ncr Taste eine weitere Taste mit der Aufschrift npr. Hiermit kann man die Anzahl der Variationen ohne Wiederholungen berechnen, bei denen es aber auf die Reihenfolge ankommt. Beispiel; Beim Elfmeterschießen nach Unentschieden und Verlängerung muss der Trainer aus den 11 Spielern 5 Spieler aussuchen, die jeweils den Elfmeter schießen und er muss auch die Reihenfolge bestimmen, in der die Spieler nacheinander schießen sollen. Dafür gibt es Möglichkeiten. Man kann zu diesem Ergebnis auch noch anders gelangen: Nur für die Auswahl der fünf Spieler ohne die Berücksichtigung der Reihenfolge des Elfmeterschießens gibt es Möglichkeiten. Bei jeder dieser 5-er-Mengen gibt es 5! = 120 Möglichkeiten, in verschiedener Reihenfolge die Elfmeter zu schießen. Wir erhalten also alle Möglichkeiten, wenn wir noch mit 5! multiplizieren: Die Binomialkoeffizienten und der Binomische Lehrsatz werden uns in der Stochastik wieder begegnen bei BERNOULLI-Ketten und der Binomialverteilung von Zufallsgrößen.

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