Vorlesung 2 KÜRZESTE WEGE

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1 Vorlesung 2 KÜRZESTE WEGE 45

2 Kürzeste Wege im Graphen Motivation! Heute:! Kürzeste Wege von einem Knoten (SSSP)! Distanzen zwischen allen Knotenpaaren (APD)! Viele Anwendungen:! Navis! Netzwerkrouting!... 46

3 SSSP: DER ALGORITHMUS VON BELLMAN UND FORD 47

4 Kürzeste Wege! Definition: Sei ein gerichteter und gewichteter Graph G=(V,E) mit der Gewichtsfkt. w: E R gegeben. Das Gewicht eines Weges p = <v 0, v 1,, v k > ist die Summe der Gewichte seiner Kanten: w( p) = k i= 1 w( v i 1, v i )! Definition: Sei G=(V,E) wie oben. Das Gewicht eines kürzesten Weges p zwischen u,v aus V ist definiert als: δ ( u, v) = { w p u v } min{ ( ):!! : sonst! Definition: Sei G=(V,E) wie in Def Ein kürzester Weg zwischen u,v aus V ist ein Weg p mit w(p) = δ(u,v). p 48

5 Bellman-Ford-Algorithmus! Eingabe: Gewichteter Graph G=(V, E) mit Kantengewichten w und einem Startknoten s! Ausgabe: Existenz eines Zyklus negativer Länge oder Länge der kürzesten Wege von s zu allen anderen Knoten! Graphbasiert: s. Tafel 49

6 Beispiel [Cormen, Leiserson, Rivest, S. 533] 50

7 Algebraischer Bellman-Ford! Herleitung: s. Tafel! Eingabe und Ausgabe wie zuvor Bellman-Ford(A, s) 1. d = 2. d(s) = 0 3. for k = 1 to N-1 do 4. d = d min.+ A 5. if d d min.+ A 6. return negative-weight cycle found 7. return d 51

8 Fazit Bellman-Ford Vorgehensweise:! Reduzierung aufs Wesentliche (Relaxierung)! Repräsentation der Datenstrukturen durch Vektoren und Matrizen! Halbringnotation für Relaxierung Bewertung:! Algebraische Schreibweise kompakter! Fragen (MG):! Welche Zeitkomplexität?! Wie hoch im Vergleich zur graphbasierten Variante? 52

9 ALL-PAIRS DISTANCES 53

10 All Pairs Distances (APD)! Eingabe: Gewichteter Graph G=(V,E)! Ausgabe: Für jedes Paar von Knoten u,v aus V die Distanz von u nach v (APSP: sowie einen kürzesten Weg) a b c d e f a b c d e f 0 a 2 5 b -4 d c e 7-1 f 54

11 All Pairs Distances (APD)! Eingabe: Gewichteter Graph G=(V,E)! Ausgabe: Für jedes Paar von Knoten u,v in V die Distanz von u nach v (APSP: sowie einen kürzesten Weg) a b c d e f a b c d e a 2 5 b -4 d c e 7-1 f f 0 55

12 Eine einfache Idee Lösung durch wiederholtes Single-source shortest path (SSSP)! Von jedem Knoten aus SSSP-Problem lösen! Algorithmen: Dijkstra, Bellman-Ford! Anwendbarkeit? Algorithmus Dijkstra (lineares Array) Dijkstra (binärer Heap) Dijkstra (Fibonacci-Heap) Bellman-Ford Zeitkomplexität bei V maliger Anwendung O( V ³ + V E ) O( V E log V ) O( V ² log V + V E ) O( V 2 E ) 56

13 All Pairs Distances! Frage (MG): Sehen Sie Alternativen? Lassen sich bereits bekannte Techniken anwenden? (l) d ij Sei die Länge eines kürzesten i-j-wegs bestehend aus höchstens l Kanten. d ( l) ij $! = #! " min( d ( l 1) ij,min 1 k n { d ( l 1) ik + w kj 0, falls l, falls l }),falls l 1 = 0 undi = = 0 und i j j Matrix D (n) enthält die gesuchte Lösung 57

14 All Pairs Distances! Umsetzung der Formel in einen Algorithmus, der wiederholt für fortgesetzte D aufgerufen wird: Naive-Extend-Distances(D,W) 1. for i!1 to n do 2. for j!1 to n do 3. d ij! 4. for k!1 to n do 5. d ij! min(d ij, d ik + w kj ) 6. return D 58

15 All Pairs Distances D 6 0 D

16 All Pairs Shortest Paths D 6 0 D 6 60

17 All Pairs Shortest Paths D 6 0 D 6 61

18 All Pairs Shortest Paths D 6 0 D 6 62

19 All Pairs Shortest Paths D 6 0 D 6 63

20 All Pairs Shortest Paths D 6 0 D 6 64

21 All Pairs Shortest Paths D 6 0 D

22 All Pairs Distances Slow-All-Pairs-Distances(W) 1. D (1) W 2. for m 2 to n-1 do 3. D (m) Naive-Extend-Distances(D (m-1),w) 4. return D (n-1)! Fragen (MG):! Welche Zeitkomplexität?! Wie geht es schneller? 66

23 All Pairs Distances Faster-All-Pairs-Distances(W) 1. D (1) W 2. m 1 3. while m < n-1 do 4. D (2m) Extend-Distances(D (m), D (m) ) 5. m 2m 6. return D (m) 67 67

24 Zeitkomplexität! Die while-schleife wird O(log n) mal durchlaufen! Das naive Erweitern der Pfade hat kubischen Aufwand! Aber: Schnellere Algorithmen zur Multiplikation zweier Matrizen existieren! Beste bekannte obere Schranke für MM(n): O(n ) (Williams, UC Berkeley)! Beste bekannte untere Schranke für MM(n): O(n 2 ) 68

25 Zusammenfassung APD! Man betrachtet kürzeste Wege der Länge höchstens l! Die Länge l wird schrittweise erhöht, bis n-1 erreicht ist! Fortgesetztes Quadrieren führt zu logarithmischer Laufzeit der äußeren Schleife! Gesamtlaufzeit: O(MM(n) log n)! In der Praxis ggf. andere Lösungen schneller! Aber: Pfadinformation geht verloren durch Beschleunigung 69

26 Aufgabe! Sie richten eine Party aus und wollen Einladungen versenden! Zu beachten:! Unter ihren Freunden können sich einige nicht leiden " Feinde dürfen nicht gleichzeitig eingeladen werden! Ziel: Möglichst viele Personen einladen! Frage (MG): Wie modellieren Sie das Problem und wie lösen Sie es? 70

27 MAXIMALE UNABHÄNGIGE MENGEN 71

28 Unabhängige Menge im Graphen! Definition: Sei G = (V, E) ein Graph. Eine unabhängige Menge in G ist eine Menge I V dass gilt: u,v I {u,v} V! Also: Von keiner Kante sind beide Endknoten in I derart,! Maximum independent set: Unabhängige Menge mit größtmöglicher Kardinalität in G! Verwandtes Problem: Minimale Knotenüberdeckung! Maximal independent set: Unabhängige Menge in G, die nicht erweiterbar ist! Frage: Komplexität? 72

29 Beispiele für unabhängige Mengen 73

30 Ein einfacher Algorithmus Eingabe: Graph G = (V, E) Ausgabe: Nicht erweiterbare unabhängige Menge I 1. I =!, V = V 2. while (V!) do a) Wähle beliebiges v in V b) Setze c) Setze 3. return I I = I v V ' = V '\ (v N(v))! N(v) ist die Nachbarschaft eines Knotens v 74

31 Beispiel 75

32 Lubys Algorithmus Eingabe: Graph G = (V, E) Ausgabe: Nicht erweiterbare unabhängige Menge I 1. I =!, G = G 2. while (G ist nicht der leere Graph) do a) Wähle eine zufällige Menge von Knoten S in V(G ), indem jeder Knoten v unabhängig mit Wkt. 1/(2d(v)) gewählt wird b) Für jede Kante (u, v) in E(G ): Falls beide Endpunkte in S sind, dann entferne den Knoten mit kleinerem Grad aus S (Konflikte beliebig auflösen). Diese neue Menge wird S genannt. c) Setze und. 3. return I I = I S' G' = G'\ (S' N(S'))! Die Nachbarschaft einer Knotenmenge ist die Vereinigung der einzelnen Nachbarschaften 76

33 Beispiel 77

34 Korrektheit! In jedem Schritt wird die Menge S hinzugefügt! S ist eine unabhängige Menge! S ist unabhängig zu I wegen der Löschung von S' N(S')! => I ist immer eine unabhängige Menge! I ist nicht erweiterbar (maximal)! Alle aus G entfernten Knoten sind entweder aus I oder aus N(I) 78

35 Lubys Algorithmus algebraisch (1)! IS = []! while length(g) > 0! % Select vertices with probability 1/(2*degree)! degree = sum(g, 2)! prob = 1./ (2 * degree)! select = rand(length(g), 1) <= prob! % Deselect one of each pair of selected neighbors! neighbors = select & (G * select)! deselects =... % lower degree neighbors! if ~isempty(neighbors)! select(deselects) = 0! end 79

36 Lubys Algorithmus algebraisch (2)! % Add selected nodes to independent set! IS = [IS find(select)]! % Exclude neighbors of selected vertices! remain = not(select G * select)! % Iterate on the remaining subgraph! G = G(remain, remain)! end % while 80

37 Laufzeit! Theorem: Die erwartete Anzahl von Runden ist O(log m).! Sei G j = (V j, E j ) der Graph nach Runde j.! Hauptlemma: Für ein c < 1 gilt: Ex( E j / E j-1 ) < c E j-1! Kategorisierung der Knoten v:! Gut: Mindestens 1/3 der Nachbarn haben niedrigeren Grad als v! Schlecht: Sonst! Intuitiv: Ein guter Knoten hat gute Chancen für Aufnahme in I! Kategorisierung der Kanten e:! Schlecht: Beide Endpunkte von e sind schlecht! Gut: Sonst 81

38 Viele gute Kanten! Definition: Die Nachbarschaft kleineren Grades eines Knotens u in V ist definiert als: X L(u) := {v: v in N(u) d(v) d(u)}! Fakt: Ein Knoten u ist P gut, falls L(u) d(u) / 3. 1! Lemma: Für jeden Knoten u in V gilt: Pr(u 2 I u 2 S) 2.! Lemma: 1 8u 2 V,Pr(u 2 I) 4d(u). Gegenereignis 2! Lemma: Falls v gut ist, dann Pr(v in N(I)) 1/ ! Lemma: Mindestens die Hälfte der Kanten sind gut.! Beweise: siehe Tafel 82

39 Hauptlemma! Hauptlemma (anders ausgedrückt): In jeder Runde wird mindestens jede 72. Kante (im Erwartungswert) entfernt.! Beweis: siehe Tafel 83

40 Zusammenfassung! Unabhängige Mengen sind in Konfliktgraphen sehr nützlich! Der triviale Algorithmus ist inhärent sequentiell! Lubys Algorithmus bietet Vorteile:! Parallelität: Auswahl der Knoten in jeder Phase ist voneinander unabhängig! Laufzeitschranke: O(log n) Phasen (im Erwartungswert)! Algebraische Implementierung passt (mit Kommentaren) auf zwei Folien! Bessere Analysen sind bekannt:! In jeder Iteration werden mehr Kanten gelöscht! Die Laufzeit gilt mit hoher Wahrscheinlichkeit 84

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