Formale Grundlagen der Informatik

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1 Formale Grundlagen der Informatik /

2 Reguläre Ausdrücke Kommen in der Praxis immer dann vor, wenn standardisierte Eingaben erforderlich sind: Telefonnummern: +Land (0) Ort Anschluß Dateinamen: (A-Z, a-z)+(a-z, a-z, 0-9)*.(A-Z, a-z, 0-9)* Informatik: (0 1)*00 : alle durch vier teilbaren Dualzahlen. (A Z a z)+(a Z a z 0 9)*.pdf Alle PDF-Dokumente 2

3 Reguläre Ausdrücke - Definition Reguläre Ausdrücke werden durch folgende Vereinbarungen definiert: 1. ist ein regulärer Ausdruck und L( ) = 2.Für a Σ {ε} ist a ein regulärer Ausdruck mit L(a) = {a} 3.Sind X und Y reguläre Ausdrücke so sind auch X Y, XY, X* reguläre Ausdrücke mit L(X Y) = L(X) L(Y), L(XY) = L(X)L(Y) und L(X*) = L(X)* Schreibweise: Statt X X* wird kurz X + geschrieben 3

4 Reguläre Ausdrücke Beispiel (1) Ein regulärer Ausdruck für ganze Zahlen: 0 (ε -)( ) ( )* Hier ist das Vorzeichen + nicht zulässig, soll dies der Fall sein, so muß die Definition wie folgt abgefaßt werden: 0 (ε - +)( ) ( )* Achtung: Mit regulären Ausdrücken ist folgend Festlegung von Kreditkartennummern nicht zulässig: ( ) 4 - ( ) 4 - ( ) 4 - ( ) 4 Da als Exponent nur der * und das + zugelassen sind. 4

5 Beispiel (2) Gesucht ist ein regulärer Ausdruck α über dem Alphabet {0,1} der die Sprache beschreibt, die aus einer Zeichenketten mit einer abwechselnden Folge von Nullen und Einsen besteht Erster Ansatz: α = (01) * Dies reicht nicht hin: da z.b auch Element der Sprache ist Weitere Möglichkeiten: Das erste Zeichen ist eine 1 Die Folge beginnt und endet mit 0 resp. 1 5

6 Beispiel (3) Ein Lösungsansatz ist mehrere reguläre Ausdrücke zu bilden und dann zu einem Ausdruck zu vereinen. (01) * : Alle Zeichenketten der From (10) * : Alle Zeichenketten der From (10) * : Zeichenketten die mit 0 beginnen und enden 1(01) * : Zeichenketten die mit 1 beginnen und enden Also: α = (01) * +(10) * +0(10) * +1(01) * 6

7 Reguläre Ausdrücke und endliche Automaten Zu einem regulären Ausdruck läßt sich leicht ein endlicher Automat angeben, der genau die Sprache akzeptiert, die auch der reguläre Ausdruck beschreibt. Umgekehrt kann man auch jede Sprache, die von einem endlichen Automaten akzeptiert wird einfach mit einem regulären Ausdruck beschreiben. Insgesamt erhält man also, daß die von endlichen Automaten akzeptierten Sprachen genau diejenigen sind, die auch mit regulären Ausdrucken beschrieben werden können. 7

8 Pumping-Lemmas Grammatiken und Automaten geben Struktureigenschaften von Sprachen vor. Dies impliziert gewisse, strukturelle Eigenschaften von Worten hinreichender Länge. Beispiel: b a a Weiß man, daß der Automat ein Wort der Länge > 2 akzeptiert, so muß dieses das Zeichen b enthalten 8

9 Pumping Lemma für reguläre Sprachen Für jede reguläre Sprache L gibt es eine natürliche Zahl n, so daß alle Worte w der Sprache deren Länge größer ist als n sich darstellen lassen als: W = x y z Mit y >0 und xz < n und x y k z L für alle k 0 9

10 Grammatiken /

11 Systematischer Wortaufbau Beschreibung der Worte durch Strukturangaben Dazu Einführung von Variablen zur Beschreibung von Wortstrukturen Trennung des Variablenalphabets vom Alphabet der zugrundeliegenden Sprache Produktion von Worten durch Angabe der Transformationsregeln von Variablen und Elementen aus der Sprache 11

12 Grammatiken Aufbau der Sprache a n b n durch das Angeben konkreter Regeln: Σ = {a,b} Regeln: S asb S ε Diese Regeln produzieren die obige Sprache, indem die zulässigen Worte gezielt aufgebaut werden 12

13 Formale Definition Grammatik Eine Grammatik G ist ein Quadrupel (V,Σ,S,P) bestehend aus V: Einer Menge von Variablen mit V Σ = Σ: Ein Alphabet, Menge der Terminalsymbole S: S V, das Startsymbol P: P (V Σ) + (V Σ) + die Produktionsregeln Im folgenden verwenden wir, falls nicht anders kenntlich gemacht, folgende Konventionen: Großbuchstaben bezeichnen Variable Kleinbuchstaben bezeichnen Terminalsymbole 13

14 Beispiel Sei G = (V,Σ,S,P), mit V = {S,E} Σ = {(,),+,*,x,y,z} S V P = {S S + S, S S * S, S (S), S E, E x, E y, E z } Mit dieser Definition lassen sich einfache arithmetische Ausdrücke, wie beispielsweise: x+y, x*x, (x+y)*x, etc. erzeugen. 14

15 Ableitungen Sei (V,Σ,S,P) eine Grammatik und u,v,w (Σ V)* Worte über dem Alphabet Σ V. Ein Wort v (Σ V)* heißt direkt ableitbar aus u (Σ V)* genau dann, wenn (u,v) P gilt. Schreibweise u v, Das Wort w heißt dann ableitbar aus u bzgl. der Grammatik G, genau dann, wenn es eine Folge direkter Ableitungen u v 1 v 2 v n w gibt. Schreibweise: u * w 15

16 Sprache einer Grammatik Die Sprache einer Grammatik können wir nun in einfacher Art und Weise beschreiben. Ist G = (V,Σ,S,P) eine Grammatik, so heißt L(G) := {w Σ* S * w } die Sprache der Grammatik G. Beispiel: G = (V,Σ,S,P) mit Σ ={1} und P = {S 11S ε } Die von G erzeugte Sprache ist dann: L(G) = {1 n n gerade} 16

17 Vereinbarung Für Ausdrücke der Form P = {S S + S, S S * S, S (S), S E, E x, E y, E z } Schreiben wir künftig kürzer P = {S S + S S * S (S),S E, E x y z } Das Zeichen steht dabei für die logische oder Verknüpfung Da ε nicht ohne Weiteres aus dem Startsymbol abgeleitet werden kann erlauben wir künftig die Regel S ε zuzulassen, unter der Voraussetzung, daß S nicht auf der rechten Seite einer Produktion erscheint. 17

18 Ableitungsbäume Sei wieder G = (V,Σ,S,P), mit V = {S,E}, Σ = {(,),+,*,x,y,z}, und den Produktionen P = {S S + S, S S * S, S (S), S E, E x, E y, E z } Die Grammatik einfacher arithmetischer Ausdrücke. Die Ableitung S S+S S + S*S E+ S*S E + S*(S) x + S * (S) x+ S* (S + S) x + E*(S+ S) x + E * (E + S) x + E * (E + E) x + y* (E + E) x + y* (x + E) x + y* (x + y) kann man in Form eines Baumes darstellen. Dieser Baum heißt Ableitungsbaum des Wortes x+y*(x+y) 18

19 Beispiel: Ableitungsbaum Ein Ableitungsbaum für den Ausdruck: x + y * (x + y ) 19

20 Mehrdeutigkeiten Die Ableitung eines Wortes bzgl. einer Grammatik ist keinesfalls eindeutig. Beispiel: Wir betrachten wieder die Grammatik für arithmetische Ausdrücke: G = (V,Σ,S,P), mit V = {S,E}, Σ = {(,),+,*,x,y,z}, S = E und den Produktionen P = {S S + S, S S * S, S (S), S E, E x, E y, E z } Ziel: Ableitung des Ausdrucks x + y*z 20

21 Mehrdeutigkeiten Term = x + y*z Erste Möglichkeit S S + S S + S * S E + S * S x + S * S x + y * z Zweite Möglichkeit S S + S E + S x + S x + S * S x + y * z Dritte Möglichkeit S S + S S + S * S S+ E* S S+ y * S x + y * z usw. 21

22 Vermeidung von Mehrdeutigkeiten Derartige Mehrdeutigkeiten können vermieden werden, falls Regeln definiert werden, die klar festlegen, welche Produktion im Konfliktfall anzuwenden ist. Meist wird der Begriff der Rechtsableitung eingeführt: Eine Rechtsableitung ist eine Ableitung in der immer die am weitesten rechts stehende Variable in der Ableitung ersetzt wird. Beispiel: S S + S S + S * S S + S * E S+ S * z S + E * z Es können dabei aber immer noch Mehrdeutigkeiten auftreten 22

23 Vermeidung von Mehrdeutigkeiten Rechtsableitungen verhindern nicht, daß Mehrdeutigkeiten auftreten, verringern aber die Anzahl mehrdeutiger Ableitungen. Sollen alle Rechtsableitungen eindeutig sein ist es oft erforderlich die Struktur der Produktionen zu ändern. 23

24 Ableitungsbäume, Rechtsableitung, Linksableitung In einem Ableitungsbaum bestehen die Blätter aus Terminalsymbolen und alle inneren Knoten aus Variablen der zugrundeliegenden Grammatik. Es gibt in der Regel unterschiedliche Ableitungen für ein Wort aus Terminalsymbolen, daher werden die folgenden Vereinbarungen getroffen: Eine Ableitung heißt Rechtsableitung (Linksableitung), falls in jedem Ableitungsschritt die am weitesten rechts (links) stehende Variable ersetzt wird. Rechts- bzw. Linksableitungen verhindern keine Mehrdeutigkeiten, schränken deren Anzahl aber ein. 24

25 Die Chomsky Typen Grammatiken werden mit folgenden Vereinbarungen in Klassen eingeteilt: Ist G = (V,Σ,S,P), und enthält P die Produktionen u v, u enthält mindestens eine Variable Typ Name Bedingung an Regeln u v Beispiel 3 Regulär u ist eine Variable und v ein Zeichen aus Σ {ε} Oder v=st mit s Σ und T V A a Oder A aa 2 kontextfrei u ist eine Variable A aa, B AABB 1 Kontextsensitiv Es gilt u v aab abba, aaa AAAa 0 Rekursiv aufzählbar u enthält eine Variable aab ab, aaa aaaabb 25

26 Beispiel Produktionen bei Typ-n Grammatiken Zulässig bei Typ-0 Grammatiken xay ε x xa B xaybzc Zulässig bei Typ-1 Grammatiken xay AAxxAA, xax xxaaxx Die Produktion xay xa ist hier nicht zulässig Verkürzende Regeln sind hier unzulässig Zulässig bei Typ-2 Grammatiken A x xa xaby Die Produktionen mit xay auf der linken Seite sind nicht zulässig Auf der linken Seite jeder Produktion steht genau eine Variable Typ-3 Grammatiken Nur Produktionen der Form A a aa ε sind zulässig 26

27 Beispiel (1/3) Gegeben die Grammatiken G1 := (Σ, V, S, P1) und G2 := (Σ, V, S, P2) mit V:= {S, A, B, C} Σ := {a,b} P 1 := {S AB, A BC a, B CC b, C a} Wieviele und wie lange Wörter werden erzeugt? 27

28 Beispiel (2/3) Die Produktionen können als Graph dargestellt werden: S A B Es werden nur endlich lange Worte produziert C 28

29 Beispiel (3/3) Hinzunahme einer Produktion P2 := P1 { C AB} A S B Es werden beliebig lange Worte produziert C 29

30 Die Chomsky Normalform Eine Grammatik G = (V,Σ,S,P) ist in Chomsky- Normalform, genau dann, wenn alle Produktionen die Form A BC oder A a haben und ε auf keiner rechten Seite einer Regel vorkommt. Der Ableitungsbaum einer Grammatik in Chomsky- Normalform ist ein binärer Wurzelbaum 30

31 Die Chomsky Hierarchie Die regulären Sprachen sind eine echte Teilmenge der kontextfreien Sprachen. Die kontextfreien Sprachen, die nicht die leere Zeichenkette enthalten, sind eine echte Teilmenge der kontextsensitiven Sprachen. Die kontextsensitiven Sprachen sind eine echte Teilmenge der rekursiv aufzählbaren Sprachen. Typ 0 Typ 1 Typ 2 Typ 3 31

32 Palindrome Die Wortmenge der Palindrome über einem Alphabet mit mehr als zwei Zeichen ist keine reguläre Sprache. Palindrome sind dabei Strings w über für w=w R gilt über dem Alphabet {0,1} sind etwa 101, 010, Palindorme 110, 011 und sind keine Palindrome 32

33 Beispiel Palindrome (1) Wir weisen nach, daß die Sprache der Palindrome über ={0,1}, sie diese Lpal keine reguläre Sprache ist. Dazu wird das Pumping Lemma für reguläre Sprachen verwendet. Angenommen Lpal wäre regulär, dann gibt es eine natürliche Zahl n, so daß Worte w deren Länge n übersteigt als w= xyz zerlegt werden können ferner gilt dann für jedes k N xy k z Lpal 33

34 Beispiel Palindrome (2) Wir betrachten das Palindrom w= 0 n 10 n. Die Länge von w ist sicher größer als n, also gilt das Pumping Lemma für reguläre Sprachen. Als gibt es eine Zerlegung w = xyz = 0 n 10 n mit y >0 y muß dabei eine oder mehr Nullen der ersten Gruppe von Nullen aus w enthalten nach dem Pumping Lemma wäre dann auch xz ein Palindrom dies kann aufgrund der Struktur von y jedoch nicht sein Also ist L pal keine reguläre Sprache 34

35 Beispiel Palindrome (3) Die Struktur der Sprache Lpal kann induktiv leicht erschlossen werden. Dazu folgende Überlegung Ein Palindrom welches mit 0 beginnt endet auch mit 0 Ein Palindrom welches mit 1 beginnt endet auch mit 1 Ein Palindrom bleibt Palindrom, wenn man das erste und das letzte Zeichen entfernt also kann man die Palindrome über induktiv definieren. 35

36 Beispiel Palindrome (4) Induktionsanfang: ε, 0 und 1 sind Palindrome. M.a.W. Strings der Länge 1 sind Palindrome. Induktionsschritt: Ist w ein Palindrom so sind auch 0w0 und 1w1 Palindrome Ein Wort w ist genau dann ein Palindrom, wenn es sich aus diesen Induktionsschritten herleiten (produzieren) läßt 36

37 Beispiel: eine Grammatik für Palindrome Gesucht: Grammatik über dem Alphabet Σ = {0,1}, die genau diejenigen Worte produziert, die die Form u = ww R mit w Σ* haben. D. h. wir suchen eine Grammatik, die genau die Palindrome mit einer geraden Anzahl von Zeichen über dem Alphabet Σ produziert. Sei G = (V,Σ,S,P), eine Grammatik mit V = {S} Σ = {0,1} P = { S ε, S 0S0, S 1S1} Damit produziert G genau die Palindrome mit gerader Zeichenzahl über Σ. 37

38 Beispiel: eine Grammatik alle Palindrome (1) Gesucht: Grammatik über dem Alphabet Σ = {0,1}, die genau die Palindrome über Σ erzeugt. Sei G = (V,Σ,S,P), eine Grammatik mit V = {S} Σ = {0,1} P = { S ε, S 0S0, S 1S1, S 1, S 0 } Damit produziert G genau die Palindrome über Σ. 38

39 Reguläre Grammatiken Jede vom einem endlichen Automaten erzeugte Sprache wird von einer regulären Grammatik erzeugt. Dazu konstruiert man aus dem Automaten eine Grammatik, die genau die vom Automaten erkannte Sprache produziert. Gegeben ein endlicher Automat: (Σ,Q,s,F,δ), Vorgehensweise: Falls δ(q 1,a) = q 2 dann: q 1 a q 2 P Falls δ(q 1,a) = q 2 und q 2 F dann: q 1 a P Falls ε L(A) dann q 0 ε P 39

40 Beispiel Die Menge P der zugehörigen Grammatik besteht genau aus den folgenden Elementen: P = { q0 0q0, q0 0,q0 1q1, q1 0q1, q1 1q0, q0 ε, q1 1} 40

41 Grammatiken mit ε-produktionen Enthält eine Grammatik Ableitungen der Form S ε so kann man diese in eine Grammatik ohne ε-produktionen wie folgt umwandeln. Schritt 1 Zerlegung der Menge der Variablen in zwei disjunkte Teilmengen V1 und V2, derart, daß V1 alle Variable enthält aus denen das leere Wort hergeleitet werden kann. V1 ist die kleinste Menge, für die folgendes gilt: 1.A ε impliziert A V 1 2.B C 1 C 2 C 3... Cn und C i V 1 für alle i impliziert B V 1 41

42 Elimination von ε-produktionen Für kontextfreie und reguläre Grammatiken (und nur für diese!) ist die Verwendung von Produktionen der Form A ε unkritisch. Die Elimination von Regeln der Form A ε geschieht dabei wie folgt: Zerlegung der Menge der V und V 1 und V 2, derart, daß gilt: V1 enthält die Variablen aus denen ε abgeleitet werden kann V1 ist die kleinste Menge für die gilt: A ε P A V 1 B C 1 C 2 C n und C i V1 für alle i impliziert B V 1 Lösche alle ε-regeln. Für jede Regel D -> w, in der mindestens eine Variable aus V 1 in w Seite vorkommt werden alle Regeln der Form D -> w' zu den Produktionen hinzugefügt. w' ist dabei nichtleeres Wort, das durch Weglassen von Variablen aus V 1 aus w entsteht. 42

43 Grammatiken mit ε-produktionen Schritt 2 Lösche alle ε-regeln und füge für jede Regel D -> w, in der mindestens eine Variable aus V1 in w vorkommt, alle Regeln der Form D -> w' hinzu, wobei w' ein nichtleeres Wort ist, das durch Streichung von Variablen aus V1 in w entsteht. Die Zahl der neu zu P hinzuzufügenden Produktionen steigt damit stark an. 43

44 Beispiel: Grammatiken mit ε-produktionen Wir betrachten die folgende Produktion einer Grammatik: D AabBAba, mit A,B V1 Die neu hinzukommenden Regeln sind dann: D abbaba, D abbba, D AabAba, D ababa, D abba, D AabBba, D Aabba, Sind k Positionen mit einer Variablen aus V1 belegt erhält man 2 k-1 neue Produktionen 44

45 Beispiel: Pumping Lemma für reguläre Sprachen Wird w vom Automaten akzeptiert und ist w >2 so hat w die Gestalt w = a(ba) n a Dabei ist n eine natürliche Zahl oder 0 b a a

46 Pumping Lemma für kontextfreie Sprachen Analogon zum Pumping Lemma für reguläre Sprachen. Gegeben ist eine kontextfreie Grammatik G = (V,Σ,S,P). Zugrundeliegende Idee: Falls ein hinreichend langes Wort in L(G) existiert, so taucht eine Variable aus V auf der rechten Seite einer Produktion doppelt auf. Damit wird ein Teilbaum eines Ableitungsbaums iteriert. 46

47 Pumping Lemma für kontextfreie Sprachen Sei G = (V,Σ,S,P) eine kontextfreie Grammatik. Dann gibt es eine natürliche Zahl n mit: Alle z L(G) mit z > n existiert eine Zerlegung z = uvwxy mit vx 1, vwx n uv k wx k y L(G), für alle k N 47

48 Anwendung des Pumping Lemmas Das Pumping Lemma wird meist angewandt, um zu entscheiden, daß eine Sprache L nicht kontextfrei ist Wir betrachten die Sprache L über dem Alphabet Σ = {a,b,c} mit L = {a n b n c n n N} L ist nicht kontextfrei. Wäre L kontextfrei, könnte man (Pumping Lemma) ein hinreichend langes Wort z L(G) in z = uvwxy zerlegen, mit vx 1, vwx n uv k wx k y L(G), für alle k N0 48

49 Anwendung des Pumping Lemmas Damit folgt: Da uwy in L ist, muß vx die gleiche Anzahl der Buchstaben a, b, c enthalten Wegen vx >1 enthält vx jeweils mindestens einen der Buchstaben a, b, c Da vwx n gilt kann vx nicht alle Buchstaben aus {a, b, c} enthalten Widerspruch! Also ist L nicht kontextfrei. 49

50 Beweis (1) Beweis durch Fallunterscheidungen Fall1: v und x bestehen aus verschiedenen Zeichen, d.h. v {a} * {b} * {c} * oder x {a} * {b} * {c} * Dann stehen in dem Wort uv 2 wx 2 y nicht alle a s vor den b s bzw nicht alle b s vor den c s. Widerspruch! 50

51 Beweis (2) Fall2: vwx ist ein Teilwort von a p u = a j, v=a k, w = a l und x= a m, und y = a p-(j+k+l+m) b p c p mit k+m > 0 Für i=0 erhält man uv 0 wx 0 y = a p-(k+m) b p c p mit k+m >0, also uv 0 wx 0 y L, Widerspruch! 51

52 Beweis (3) Fall 3 und 4: vwx ist ein Teilwort von b p oder c p Widerspruch analog zu Fall 2 52

53 Beweis (4) Fall 5: v ist ein Teilwort von a p und x ein Teilwort von b p Dann ist u = a j, v = a k und w = a p-(j+k) b l, x = b m, y = b p-(l+m) c p und es gilt k+m >0 Für i=0 erhält man uv 0 wx 0 y = a p-k b p-m c p L, Widerspruch! 53

54 Beweis (6) Fall 6: v ist ein Teilwort von a p und x ein Teilwort von c p Fall 6: v ist ein Teilwort von b p und x ein Teilwort von c p Beide Fälle ergeben analog zu Fall 5 einen Widerspruch 54

55 Formale Grundlagen der Informatik Eigenschaften kontextfreier Grammatiken und Normalformen / 2015

56 Was sind Normalformen? Normalformen stellen sicher, daß bei Grammatiken die Produktionen stets eine bestimmte Struktur besitzen. Vorteile: einheitliche Darstellung der Produktionsregeln besserer Überblick über die Ableitungen vorgegebene Struktur der Ableitungsbäume 56

57 Die Chomsky Normalform Für jede kontextfreie Grammatik deren Sprache das leere Wort nicht umfaßt gibt es eine äquivalente Grammatik für die jede Produktion eine der beiden Formen besitzt A BC A a dabei bezeichnen Großbuchstaben Variable und Kleinbuchstaben Terminalsymbole. 57

58 Folgerungen für die Chomsky NF Aus der Struktur der Ableitungen folgen sofort die beiden Aussagen: Jeder Ableitungsbaum einer Chomsky Grammatik ist ein binärer Baum (das ist einfach einzusehen) Die Frage, ob ein Wort w von einer Grammatik in Chomsky Normalform erzeugt werden kann ist in O(n 3 ) lösbar (n = Wortlänge) ist nicht ganz so einfach einzusehen 58

59 Die Greibach Normalform Für jede kontextfreie Grammatik für eine Sprache die nicht nur aus dem leeren Wort besteht gibt es eine äquivalente Grammatik deren Produktionen die folgende Form haben A aα dabei ist α ein beliebiger String aus Variablen und a ein Terminalzeichen 59

60 Voraussetzungen für Normalformen Um eine Grammatik in eine Normalform zu überführen sind einige vorbereitende Schritte nötig Alle unnützen Symbole, d.h. all diese die im Grunde nicht gebraucht werden, müssen entfernt werden ε-produktionen, d.h. Produktionen der Form P, müssen entfernt werden Einheitsproduktionen (unit productions), d.h. Produktionen der Form A B müssen ebenfalls entfernt werden 60

61 Elimination unnützer Symbole Ein Symbol ist nützlich, wenn es eine Ableitung der Form S * α Xβ * w mit einem Terminalstring w gibt, im andern Fall heißt ein solches Symbol unnütz. Das Entfernen unnützer Symbole ändert die Sprache der Grammatik nicht. 61

62 Erreichbare und erzeugende Symbole Ein Symbol ist erreichbar, wenn es eine Ableitung der Form S * α Xβ mit einer Variablen X und beliebigen Strings α und β gibt. Ein Symbol ist erzeugend, wenn es eine Ableitung der Form X * w mit einem Terminalstring w gibt Ein nützliches Symbol ist sowohl erzeugend als auch erreichbar 62

63 Beispiel (1) Wir betrachten die Grammatik G = (V,,S,P), mit ={a,b} und den Produktionen S AB a und A b Dabei sind A und S erzeugende Symbole, B nicht. Wenn B eliminiert wird, fällt die Produktion S AB weg und die Produktionen reduzieren sich zu S a und A b Also sind nur S und a erreichbar und A kann entfernt werden. Es bleibt: S a, welches die Sprache von G erzeugt. 63

64 Beispiel (2) Betrachten wir zuerst die Erreichbarkeit der Symbole, der Grammatik S AB a und A b so ist ersichtlich, daß alle Symbole erreichbar sind. Eliminiert man nun B, so fällt die Produktion S AB weg und die Produktionen reduzieren sich zu S a und A b Diese erzeugen ebenfalls die Sprache L(G), enthalten aber unnütze Symbole (A und b) 64

65 Vorgehensweise Also erhalten wir folgende Vorgehensweise. Für eine gegebene Grammatik G mit L(G) Elimination aller unnützen Symbole und alle Produktionen die diese enthalten Im nächsten Schritt werden alle Symbole entfernt die nicht erreichbar sind Man erhält eine Grammatik G die die selbe Sprache wie G erzeugt, aber weder unnütze Symbole enthält, noch unerreichbare Zeichenketten. Aho Satz

66 Algorithmus Der folgende induktive Algorithmus bestimmt die Menge der erzeugenden und erreichbaren Symbole Induktionsanfang: Jedes Symbol aus ist erzeugend (es erzeugt sich selbst) Induktionsschritt: Wenn es eine Produktion A α gibt und α erzeugend ist, so ist A erzeugend. (Ein Beweis hierzu findet sich in Aho Satz 7.4) 66

67 Bestimmung erzeugender Symbole Der folgende induktive Algorithmus bestimmt die Menge der erzeugenden Symbole Induktionsanfang: Jedes Symbol aus ist erzeugend (es erzeugt sich selbst) Induktionsschritt: Wenn es eine Produktion A α gibt und α erzeugend ist, so ist A erzeugend. Damit findet man alle erzeugenden Symbole. (Ein Beweis hierzu findet sich in Aho Satz 7.4) 67

68 Beispiel Wir betrachten wieder die Grammatik G = (V,,S,P), mit ={a,b} und den Produktionen S AB a und A b a und b sind nun erzeugend, da Elemente aus. Wegen A b ist auf A erzeugend und wegen S a ist S erzeugend. Die Produktion S AB kann nicht erreicht werden, da B nicht erzeugend ist. Also erhält man als Menge der erzeugenden Symbole: {a, b, S, A} 68

69 Bestimmung erreichbarer Symbole Der folgende induktive Algorithmus bestimmt die Menge der erreichbaren Symbole Induktionsanfang: S ist erreichbar Induktionsschritt: Wenn eine Variable A erreichbar ist und A α eine Produktion ist, so sind alle Variable aus α erreichbar Damit findet man alle erreichbaren Symbole. (Ein Beweis hierzu findet sich in Aho Satz 7.6) 69

70 Beispiel Wir betrachten wieder die Grammatik G = (V,,S,P), mit ={a,b} und den Produktionen S AB a und A b S ist erreichbar da S P gilt. Wegen S AB a sind auch A, B und a erreichbar. Damit folgt, wegen A b, daß auch b erreichbar ist Also erhält man als Menge der erreichbaren Symbole: {S, A, B, a, b} 70

71 Elimination von Einheitsproduktionen Einheitsproduktionen sind Produktionen der Form A B Derartige Produktionen erhöhen bisweilen die Lesbarkeit der Grammatik, haben aber keinen Einfluß auf die erzeugte Sprache (vgl. Grammatik für arithmetische Ausdrücke). 71

72 Beispiel (1) Grammatik für arithmetische Ausdrücke: I a b Ia Ib I0 I1 F I (E) T F T * F Was ist das Startsymbol? E T E + T mit Σ = {0, 1, a, b,(,),*,+} und V = {I, F, T, E} 72

73 Beispiel (2):Vergleich der Grammatiken Zum Vergleich I a b Ia Ib I0 I1 F I (E) T F T * F E T E + T

74 Beispiel (3): Erster Ansatz In der Grammatik I a b Ia Ib I0 I1 F I (E) T F T * F E T E + T kann man die (Einheits!) Produktion E T durch E F T * F ersetzen, was aber die Einheitsproduktion nicht eliminiert, da E F bestehen bleibt. 74

75 Beispiel (4) Erweiterung von E F durch die Produktionen von F ergibt E I (E) T * F bleibt E I, schließlich: E a b Ia Ib I0 I1 (E) T * F damit sind alle Einheitsproduktionen für E eliminiert (Achtung: E a ist keine Einheitsproduktion). 75

76 Beispiel (5) Diese Technik hilft nicht bei zyklischen Einheitsproduktionen: A B, B C, C A Eine mögliche Vorgehensweise ist: Variable A und B suchen mit A * B Hierbei sind Fälle wie A BC, C ε möglich, d.h. auf dem Weg nach B müssen nicht nur Einheitsproduktionen stehen! 76

77 Beispiel (6) Wenn diese Paare (A, B) ermittelt sind kann jede Folge A B1 B2 Bn α ersetzt werden durch A α. Damit hat man folgendes Verfahren Induktionsbeginn: (A, A), d.h. A A in null Schritten Induktionsschritt: Ist (A,B) ein Einheitspaar und B C eine Produktion, dann ist auch (A,C) ein Einheitspaar 77

78 Beispiel (7) Für die Grammatik arithmetischer Ausdrücke sind (E, E), (T, T), (I, I) und (F, F) Einheitspaare. Dann folgt (E, E) und E T liefert (E, T) (E, T) und T F liefert (E, F) (E, F) und F I liefert (E, I) (T, T) und T F liefert (T, F) (T, F) und F I liefert (T, I) (F, F) und F I liefert (F, I) 78