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1 Abschlussprüfung Nachrichtentechnik 28. Juli 2014 Name:... Vorname:... Matrikelnr.:... Studiengang:... Aufgabe Summe Note Punkte Hinweis: Die Teilaufgaben (a), (b) und (c) können unabhängig voneinander bearbeitet werden. Anmerkung zur Punktevergabe bei Zeichnungen: Nur wenn die Zeichnung qualitativ korrekt ist, kann der zweite Punkt auf die Richtigkeit der Achsenbeschriftung gegeben werden. Aufgabe 1: Pegelrechnung und LTI-Systeme (a) (6 Punkte) Das unten abgebildete Systemmodel zeigt eine drahtlose Übertragungsstrecke. Die Kommunikation zwischen Sender 1 und Empfänger wird durch thermisches Rauschen P N und Interferenz von Sender 2 gestört. L S1 Sender 1 d 1 P N G A Sender 2 L S2 d 2 Demodulation ( Die Dämpfung auf dem Funkkanal ist gegeben als L H = 16 db + 10log( d ) 2 ) Meter db, wobei d i (i = 1 oder 2) die Entfernung zwischen Sender und Empfänger ist. Die Rauschleistung beträgt P N = 1 mw, die Sendepegel betragen L S1 = 10 dbm und L S2 = 21 dbm und die Verstärkung des Empfangsverstärkers ist G A = 30 db. (a1) Wie groß ist die Entfernung d 1, wenn der Empfangspegel von Sender 1 vor der Demodulation 14 dbm beträgt? (a2) Berechnen Sie die Interferenzleistung von Sender 2 vor der Demodulation, wenn die Entfernung d 2 = 25 m beträgt! (a3) Berechnen Sie das Signal-zu-Interferenz-und-Rauschverhältnis (signal-to-interference-plus-noise ratio, SINR) in db vor der Demodulation für d 1 = 10 m und d 2 = 25 m! (a4) Beschreiben Sie qualitativ, wie sich das Signal-zu-Rauschverhältnis (signal-to-noise ratio, SNR), Signal-zu-Interferenzverhältnis (signal-to-interference ratio, SIR), und SINR vor der Demodulation ändert, wenn die Leistungsverstärkung G A vor der Addition des Rauschens P N erfolgt! Hinweis: x log 10 (x) Prüfung Nachrichtentechnik 28. Juli

2 (b) (4 Punkte) Betrachten Sie die folgenden Fourier-Korrespondenzen: X(f) Y(f) Z(f) x(t) = e 3 t 2 ( ) t y(t) = 3 rect cos(2πt) 2 ( ) t z(t) = 2 triang sin(5πt). 2 Beantworten Sie die folgenden Fragen! Begründen Sie Ihre Antworten! (b1) Welche der Funktionen X(f), Y(f) und Z(f) sind rein reell? (b2) Welche der Funktionen X(f), Y(f) und Z(f) sind rein imaginär? (b3) Welche der Funktionen X(f), Y(f) und Z(f) sind gerade? (b4) Welche der Funktionen X(f), Y(f) und Z(f) sind ungerade? (c) (5 Punkte) Ein Kurzzeitintegrator wird durch die folgende Beziehung zwischen Eingang x(t) und Ausgang y(t) beschrieben: y(t) = t t T x(τ)dτ. (c1) Zeigen Sie, dass der Kurzzeitintegrator ein LTI-System ist! (c2) Berechnen Sie die Impulsantwort h(t) des Kurzzeitintegrators! Ist sie kausal? (c3) Geben Sie die Übertragungsfunktion H(f) h(t) des Kurzzeitintegrators an! 2 Prüfung Nachrichtentechnik 28. Juli 2014

3 Name:... Vorname:... Aufgabe 2: Analog-Digital-Umsetzung (a) (4 Punkte) Ein digitales Oszilloskop soll genutzt werden um das analoge Signal g(t) zu messen. Die Abtastrate des Analog-Digital-Umsetzers (ADU) beträgt f S = 400 MHz. g(t) Abtaster f S ADU g S (t) Quantisierer Speichermedium Nachfolgend soll mit dem Oszilloskop ein periodisches Sinussignal g(t) = sin(2πf 0 t) mit f 0 = 500 MHz erfasst werden. Dies ist durch sogenannte Unterabtastung möglich. (a1) Skizzieren Sie das abgetastete Signal g S (t)! Nutzen Sie dazu das gegebene Diagramm! sin(2π f 0 t) t / ns (a2) Wie lange dauert es eine vollständige Signalperiode von g(t) abzutasten? (a3) Der lineare Quantisierer des ADU verfügt über insgesamt 128 Quantisierungsstufen. Wie viel Bit werden benötigt um eine Signalperiode von g(t) zu speichern? (a4) Im Folgenden wird das Eingangssignal mit einem weiteren Sinussignal der Frequenz f 1 = 100 MHz überlagert. Es ergibt sich g(t) = sin(2πf 0 t)+sin(2πf 1 t). Ist es weiterhin möglich Unterabtastung zur Erfassung des Gesamteingangssignals zu nutzen? Begründen Sie Ihre Antwort! Prüfung Nachrichtentechnik 28. Juli

4 (b) (6 Punkte) Das Oszilloskop aus Aufgabe (a) mit der Abtastrate f S = 400 MHz wird weiterhin verwendet. Um mögliches Aliasing zu vermeiden, wurde dem ADU ein Anti-Aliasing-Filter (AAF) vorgeschaltet. Wie in der Abbildung zu erkennen ist, handelt es sich um ein Tiefpassfilter mit endlicher Flankensteilheit. g(t) Anti-Aliasing Filter h AAF (t) g A (t) Abtaster f S ADU g S (t) Quantisierer Speichermedium H AAF (f) f C1 f C2 f (b1) Aufgrund der endlichen Flankensteilheit des AAF muss die Abtastrate 4 mal höher sein als die Grenzfrequenz f g des Eingangssignals g(t) um Signalverzerrung vermeiden. Welche maximale Frequenz f g darf ein Eingangssignal demnach höchstens besitzen, damit es von dem Oszilloskop verzerrungsfrei erfasst werden kann? (b2) Die Frequenzen f c1 und f c2 des AAF sollen nun so eingestellt werden, dass die Flanken möglichst flach sind. Weiterhin soll gewährleistet werden, dass das AAF das Eingangssignal nicht verzerrt und mögliches Aliasing definitiv vermieden wird. Geben Sie die mittlere Grenzfrequenz f m = f c2+f c1 2 des Filters an! (b3) Das Eingangssignal ist nun gegeben durch ein nicht-bandbegrenztes Signal g(t) mit der Zeitkonstante τ: 1 g(t) = τ exp( t/τ) für t 0. 0 für t < 0 Berechnen Sie die Fouriertransformierte G(f) (b4) Die nachfolgende Abbildung zeigt das Betragsspektrum G(f) des Eingangssignals für τ = 5 ns. Zeichnen Sie das Betragsspektrum G S (f) des gefilterten und abgetasteten Signals im Frequenzbereich von 1.5f S f 1.5f S! Achten Sie auf vollständige Achsenbeschriftung! g(t)! 1 0,8 G(f) 0,6 0,4 0,2 0 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 f / GHz 4 Prüfung Nachrichtentechnik 28. Juli 2014

5 Name:... Vorname:... Aufgabe 3: Analoge Modulation (a) (6 Punkte) Eine Herausforderung beim Entwurf von Empfängern ist die Selektion des gewünschten Bandpasssignals aus einem stark belegten Spektrum. Dafür müssen Bandpassfilter (BPF), Tiefpassfilter (TPF) und Mischer in geeigneter Form zusammengeschalten und parametrisiert werden. Nehmen Sie an, dass das Signal s BP (t) am Eingang des nachfolgend abgebildeten Empfängers anliegt. Ihre Aufgabe besteht darin die Parameter des Empfängers so einzustellen, dass das grau hervorgehobene Signal X BP (f) zunächst herunter gemischt und dann gefiltert wird. s BP (t) BPF x(t) TPF y(t) X BP (f) f u,bp,f o,bp cos(2πf m t) f g S BP (f) = F {s BP (t)} Y(f) = F{y(t)} B s 1 GHz f f c = 1 GHz f/mhz Hinweis: Das gewünschte Bandpasssignal X BP (f) (grauer Hintergrund) hat die Bandbreite B s = 100 MHz und die Trägerfrequenz f c = 1 GHz. Alle weiteren Anteile im abgebildeten Spektrum repräsentieren Interferenz (weiße Dreiecke). (a1) Geben Sie die untere und obere Grenzfrequenz, f u,bp und f o,bp, des Bandpassfilters (BPF) an! (a2) Geben Sie die Frequenz f m des Abwärtsmischers an! (a3) Skizzieren Sie das Betragsspektrum X(f) = F{x(t)} im Intervall [ 2.5f c ;2.5f c ] nach der Abwärtsmischung! (a4) Geben Sie alle möglichen Grenzfrequenzen f g des Tiefpassfilters (TPF) an für die das Bandpasssignal perfekt rekonstruiert werden kann! (a5) Nehmen Sie jetzt an, dass eine nicht-ideale Übertragungsfunktion des abgebildeten Bandpassfilter (BPF) vorliegt. Im Speziellen soll angenommen werden, dass eine Übergangszone vom Durchlassbereich zu dem Stopband mit begrenzter Dämpfung vorliegt. Geben Sie die benötigte Grenzfrequenz f g des idealen TPF zur Unterdrückung der noch vorhandenen Interferenz an! Prüfung Nachrichtentechnik 28. Juli

6 (b) (5 Punkte) Zur Übertragung von Radio- und Fernsehsendern werden mehrere unabhängige Signale x i (t) in verschiedenen Frequenzbändern zur gleichen Zeit übertragen. Dieses Verfahren wird als Frequenzmultiplex bezeichnet. Eine vereinfachte Realisierung des zugehörigen Senders ist in der folgenden Abbildung gezeigt. Dabei werden drei unabhängige Signal x 1 (t), x 2 (t) und x 3 (t) auf den Trägerfrequenzen f 1, f 2 und f 3 übertragen! x 1 (t) x 2 (t) x 3 (t) cos(2πf 1 t) cos(2πf 2 t) cos(2πf 3 t) y(t) (b1) Geben Sie das Ausgangssignal y(t) als Funktion der Eingangssignale x i (t) mit i = 1,2,3 im Zeitbereich an! (b2) Geben Sie das Spektrum des Ausgangssignals Y(f) X i (f) mit i = 1,2,3 an! y(t) als Funktion der Eingangsspektren (b3) Zeichnen Sie das Spektrum Y(f) im Intervall f [ 2f 3,2f 3 ]! Nehmen Sie dabei folgende Werte bzw. Funktionen an: ) Trägerfrequenz f 3 = 2f 2 = 4f 1 = 20 MHz, Spektrum des Eingangssignals X i (f) = rect( f B und Signalbandbreite B = 10 MHz. Achten Sie auf vollständige Achsenbeschriftung! (b4) Geben Sie alle möglichen Trägerfrequenzen f 1 an, für die eine interferenzfreie Übertragung möglich ist! 6 Prüfung Nachrichtentechnik 28. Juli 2014

7 Name:... Vorname:... Aufgabe 4: Digitale Modulation (a) (7 Punkte) Die folgende Abbildung zeigt das zu der Bitfolge 1001 gehörige Zeitsignal s(t) eines Übertragungssystems, das ein zweiwertiges Modulationsverfahren verwendet. A s(t) 0 A t in ms (a1) Benennen Sie das Modulationsverfahren! (a2) Skizzieren Sie das dazugehörige Konstellationsdiagramm und tragen Sie die Entscheidungsschwelle ein! (a3) Geben Sie die Symbolrate und die Datenrate des abgebildeten Systems an! (a4) Wie müsste das Übertragungssystem verändert werden, um die doppelte Datenrate zu erreichen? Nennen Sie zwei Möglichkeiten! (a5) Nennen Sie zwei zweiwertige digitale Modulationsverfahren, die eine konstante Einhüllende besitzen! Skizzieren Sie von beiden ein mögliches Zeitsignal, das alle Symbol mindestens einmal verwendet! (b) (3 Punkte) Ein digitales Übertragungssystem verwendet das Modulationsschema 4-ASK, was ein Signal x mit den möglichen Amplituden { 3A, A, A, 3A} erzeugt. Das Signal wird über einen AWGN-Kanal übertragen und als y = x+n empfangen, wobei n Gaussverteilt ist mit Mittelwert 0 und Varianz σ 2 1. (b1) Skizzieren Sie die vier bedingten Wahrscheinlichkeitsverteilungen des Empfangssymbols p(y x = { 3A, A, A, 3A}) in einem Diagramm! (b2) Skizzieren Sie dieselben Verteilungen für den Fall, dass sich die Varianz des Rauschen zu σ 2 2 < σ2 1 ändert! Nutzen Sie dazu Ihr Diagramm aus Aufgabe (b1). (b3) Für welches der beiden Rauschvarianzen,σ1 2 oder σ2 2, ist die zu erwartende Bitfehlerrate geringer? Begründen Sie Ihre Antwort! Prüfung Nachrichtentechnik 28. Juli

8 (c) (4 Punkte) Die Leistung eines Sendesymbols der Dauer T lässt sich als P s = 1 T T 0 s2 (t)dt berechnen. (c1) Berechnen Sie die mittlere Sendeleistung des Signals das in Aufgabe 4(a) dargestellt ist! Hinweis: cos 2 (x)dx = 1 2 (x cos(x)sin(x)) (c2) Wie hoch ist die mittlere Sendeleistung eines Systems, das die 4-ASK Modulation aus Aufgabe 4(b) verwendet, wenn angenommen werden kann, dass jedes Symbol mit gleicher Häufigkeit gesendet wird? 8 Prüfung Nachrichtentechnik 28. Juli 2014

9 Name:... Vorname:... erreichte Punktzahl:... Aufgabe 1: Signaltheorie und LTI-Systeme Prüfung Nachrichtentechnik 28. Juli

10 10 Prüfung Nachrichtentechnik 28. Juli 2014

11 Name:... Vorname:... erreichte Punktzahl:... Aufgabe 2: Analog-Digital-Umsetzung Prüfung Nachrichtentechnik 28. Juli

12 12 Prüfung Nachrichtentechnik 28. Juli 2014

13 Name:... Vorname:... erreichte Punktzahl:... Aufgabe 3: Analoge Modulation Prüfung Nachrichtentechnik 28. Juli

14 14 Prüfung Nachrichtentechnik 28. Juli 2014

15 Name:... Vorname:... erreichte Punktzahl:... Aufgabe 4: Digitale Modulation Prüfung Nachrichtentechnik 28. Juli

16 16 Prüfung Nachrichtentechnik 28. Juli 2014

17 Name:... Vorname:... Aufgabe... erreichte Punktzahl:... Prüfung Nachrichtentechnik 28. Juli

18 18 Prüfung Nachrichtentechnik 28. Juli 2014

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