Numerische Simulation mit finiten Elementen. O. Rheinbach

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1 Numerische Simulation mit finiten Elementen O. Rheinbach

2 Numerische Simulation mit finiten Elementen INHALT 0.1 Finite Differenzen in 2D 1. Einleitung 1.1 Vorbemerkungen 1.2 Rand- und Anfangswertaufgaben 2. Variationsformulierung von Randwertaufgaben 2.1 Vorbemerkungen 2.2 Bezeichnungen und mathematische Hilfsmittel 2.3 Referenzaufgaben in 2D 2.4 Variationsformulierung der Poisson-Gleichung 2.5 Galerkin-Approximation 2.6 Variationsformulierung der Helmholtz-Gleichung 3. Lagrange-Elemente 3.1 Einleitung 3.2 Konstruktion von Finite-Element-Räumen 3.3 Assemblierung der Galerkin-Gleichungen TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

3 Numerische Simulation mit finiten Elementen INHALT II 3.4 Beispiel: 1D Poissongleichung 3.5 Konvergenz 3.6 Numerische Integration 3.7 Beispiel: 2D Poissongleichung Schema zur Assemblierung des Galerkin-Gleichungssystems Beispiel zur 2D Poissongleichung 4. Nédélec-Elemente 4.1 Einleitung 4.2 Neue Variationsräume Variationsformulierung Helmholtz-Zerlegung 4.3 Divergenz- und Rotationskonforme Elemente Gebietstransformationen - Gradientoperator Rotationskonforme Finite Elemente TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

4 FINITE DIFFERENZEN DIE LAPLACE-GLEICHUNG IM EINHEITSQUADRAT: DIE DIRICHLETSCHE RANDWERTAUFGABE Wir betrachten folgende Randwertaufgabe (RWA) für die Laplace-Gleichung: u = u xx + u yy = 0 auf Ω := (0, 1) 2, (1a) u = g auf Γ := Ω, (1b) mit einer gegebenen auf Γ definierten Randfunktion g = g(x, y). Wie bei gewöhnlichen DGLn werden bei der Diskretisierung von (1) mittels Differenzenverfahren Approximationen an die Lösung u = u(x, y) nicht an allen Punkten von Ω gesucht, sondern lediglich an endlich vielen Gitterpunkten. TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

5 Betrachte jede Koordinate separat: mit den Zerlegeungen 0 = x 0 < x 1 < x 2 < < x nx < x nx+1 = 1, 0 = y 0 < y 1 < y 2 < < y ny < y ny+1 = 1 von [0, 1] definieren wir das Gitter (Tensorprodukt-Gitter) Ω h := { (x i, y j ) : 0 i n x + 1, 0 j n y + 1 } bestehend aus (n x + 2)(n y + 2) Punkten. Von einem (in jeder Richtung) gleichmäßigen (äquidistanten) Gitter spricht man im Fall x i = i x, i = 0, 1,..., n x + 1, x = 1/(n x + 1), y j = j y, j = 0, 1,..., n y + 1, y = 1/(n y + 1) Bei gleichen Abständen (uniformes Gitter) setzen wir h := x = y. TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

6 Tensorprodukt-Gitter äquidistantes Gitter TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

7 Wir betrachten zunächst ausschließlich den uniformen Fall x = y = h uniformes Gitter TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

8 Bezeichnungen: u i,j := u(x i, y j ) Funktionswert der exakten Lösung im Punkt (x i, y j ) U i,j u i,j Approximation an u(x i, y j ). Taylor-Entwicklung im Punkt (x i, y j ): ( ) u i+1,j = u i,j + hu x + h2 2 u xx + h3 6 u xxx + h4 24 u xxxx ) u i 1,j = u i,j + ( hu x + h2 2 u xx h3 6 u xxx + h4 24 u xxxx i,j i,j + O(h 5 ), + O(h 5 ), Aufsummieren liefert (die Terme für h 5 heben sich ebenfalls auf) ) u i+1,j + u i 1,j = 2u i,j + (h 2 u xx + h4 12 u xxxx + O(h 6 ). i,j TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

9 Analog erhält man in y-richtung ) u i,j+1 + u i,j 1 = 2u i,j + (h 2 u yy + h4 12 u yyyy i,j + O(h 6 ) und, nach Aufsummieren aller 4 Entwicklungen und Division durch h 2, ) u i+1,j + u i 1,j + u i,j+1 + u i,j 1 4u i,j = ( u + h2 } h {{ 2 (uxxxx + uyyyy) +O(h 4 ). } 12 i,j =:( h u) i,j Die Differenzenformel h wird als 5-Punkte-Stern (engl. 5-point stencil) bzw. 5-Punkte Laplace-Approximation bezeichnet. Fazit: h approximiert den Laplace-Operator an jedem Punkt mit einem lokalen Diskretisierungsfehler der Ordnung O(h 2 ) für h 0. Beachte: Voraussetzung für unsere Überlegung ist hinreichende Glattheit der Lösung, hier etwa u C 4 (Ω). TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

10 Analog zur Differentialgleichung (1a) fordern wir für die Approximationen U i,j die Gültigkeit der Beziehungen h U i,j := ( h U) i,j = 0, 1 i n x, 1 j n y. (2a) (2a) stellt n x n y Gleichungen für (n x + 2)(n y + 2) Unbekannte dar, da der 5-Punkte-Stern in Randpunkten nicht anwendbar ist. Hier liefern die Randbedingungen die fehlenden Vorgaben: (2b) lautet ausgeschrieben U i,j = g(x i, y j ) falls (x i, y j ) Ω. (2b) U 0,j = g(0, y j ), U nx+1,j = g(1, y j ), 0 j n y + 1, U i,0 = g(x i, 0), U i,ny+1 = g(x i, 1), 0 i n x + 1. TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

11 Die Gleichungen (2) stellen ein lineares Gleichungssystem Au = f (3) dar für die Unbekannten Approximationen U i,j an den inneren Gitterpunkten. Zur Bestimmung der Koeffizientenmatrix A und der rechten Seite müssen wir eine Nummerierung der Unbekannten festlegen. Üblich ist hier die lexicographische Ordnung: u = [U 1,1, U 2,1,..., U nx,1, U 1,2,..., U nx,2,..., U 1,ny,..., U nx,ny ] bzw. u 1 u 2 u =.., mit u j = u ny U 1,j U 2,j. U nx,j, j = 1, 2,..., n y. TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

12 Die Matrix A besitzt die Blockstruktur T I A = 1 I T I. h 2 I I I T R nxny nxny, wobei I die n x n x Einheitsmatrix bezeichnet und T die Tridiagonalmatrix T = R nx nx TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

13 Für Unbekannte U i,j in Randnähe, d.h. i = 1, n x oder j = 1, n y, treten in der Differenzenformel (2a) Approximationswerte auf, welche durch die Dirichlet- Randbedingung (2b) bereits festgelegt sind. Bringt man diese auf die rechte Seite der jeweiligen Gleichung, so erhalten wir für die Einträge des Vektors f aus (3) in dem gezeichneten Beispiel f 3,3 = 1 h 2 ( g(x3, y 4 ) + g(x 4, y 3 ) ) bzw. f 2,1 = 1 h 2 g(x 2, y 0 ). TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

14 Durch die einfache Geometrie von Ω, die einfache Gestalt des Laplace-Operators und den einheitlichen Randbedingungen besitzt die Blocktridiagonalmatrix A zusätzliche Struktur: man kann sie gewissermassen aus Diskretisierungsmatritzen für eindimensionale RWA aufbauen. Wir betrachten daher zunächst die Diskretisierung der (gewöhnlichen) eindimensionalen RWA u (x) = 0, u(0) = g 0, u(1) = g 1 mittels zentraler Differenzen mit konstanter Maschenweite h = 1/(n + 1). TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

15 Die diskretisierte Gleichung ist gegeben durch das lineare Gleichungssystem A 1 u = f, A R n n, f R n, mit 2 1 A 1 = 1 h tridiag(1, 2, 1) := h g 0, f = 1 0 h 2. 0 g 1 und dem Vektor aus Unbekannten U = [U 1, U 2,..., U n ], U i u(x i ), i = 1, 2,..., n. TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

16 Die Diskretisierung der zweidimensionalen RWA ist nun gegeben durch A = T 1 I + I T 1 (4) mit T 1 = 1 h tridiag( 1, 2, 1). 2 Hierbei ist das Kronecker-Produkt M N zweier Matrizen M R p q und N R r s definiert durch M N = und I die Einheitsmatrix in R n. m 1,1 N... m 1,q N.. m p,1 N... m p,q N R pr qs TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

17 DIE NEUMANNSCHE RANDWERTAUFGABE Wir betrachten den Fall, dass die Dirichlet-Randbedingung (1b) durch die Neumann-Randbedingung u = h(x), x Γ (5) n ersetzt wird. Da in diesem Modellproblem die Gebietsränder (bis auf die vier Ecken) stets senkrecht zu den Gitterlinien verlaufen, ist die Diskretisierung von (5) auch nicht schwer: beispielsweise an den Randpunkten (x 0, y j ): U 0,j U 1,j h = h(x 0, y j ), (Rückwärtsdifferenz), U 1,j U 1,j 2h = h(x 0, y j ) (zentrale Differenz) und analog an den übrigen Randpunkten. TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

18 DIE NEUMANNSCHE RANDWERTAUFGABE DISKRETISIERUNG DER RANDBEDINGUNG Beachte: Bei der zentralen Differenzenformel wurden sogenannte Hilfspunkte (ghost points) eingeführt, die mittels der im Punkt (x 0, y j ) zentrierten 5-Punkteformel wieder eliminiert werden können. Im Gegensatz zur Diskretisierung der Laplace-Gleichung mit gleicher Maschenweite h sind neben den inneren Unbekannten auch die zu Randpunkten gehörenden Näherungen U i,j zu bestimmen. Die diskrete RWA besitzt demnach (n x + 2) (n y + 2) Unbekannte. TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

19 DIE NEUMANNSCHE RANDWERTAUFGABE DISKRETISIERUNGSMATRIX Als Diskretisierungsmatrix erhält man das Kronecker-Produkt A = T 1 I + I T 1 mit 1 1 T 1 = h TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

20 EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN DIRICHLET-RBEN Einer der Gründe, welhalb (1) oft als Modellproblem herangezogen wird, ist dass man die Spektralzerlegung der Diskretisierungsmatrix geschlossen darstellen kann. Für die n n Matrix T 1 = 1 h 2 tridiag(1, 2, 1) gilt zunächst mit den Eigenwerten T 1 v j = λ j v j, j = 1, 2,..., n, λ j = 2 h 2 [cos(jπh) 1] = 4 h 2 sin2 (jπh/2) (6) und (orthonormalen) Eigenvektoren 2 [v j ] k = sin(jkπh), k = 1, 2,..., n; j = 1, 2,..., n. n + 1 TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

21 EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN KRONECKER-TRICK Aufgrund von Eigenschaften von Kronecker-Produkten lassen sich die Eigenwerte und -vektoren des 2D-Problems aus den ensprechenden aus 1D aufbauen: die Eigenwerte von A aus (4) sind gegeben durch und die Eigenvektoren durch λ i,j = λ i + λ j, 1 i, j n, (7) v i,j = v i v j, 1 i, j n. TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

22 STABILITÄT UND KONVERGENZ Wir haben bereits bei der Herleitung der 5-Punkte-Approximation h des Laplace-Operators gezeigt: Setzt man h u i,j = u i,j + h2 12 (u xxxx + u yyyy ) i,j + O(h 4 ). [d h ] i,j := h u i,j u i,j (lokaler Diskretisierungsfehler) [e h ] i,j := u i,j U i,j (globaler Diskretisierungsfehler) so erfüllt e h wegen u = 0 das lineare Gleichungssystem mit A h = A der Matrix aus (4). A h e h = d h = O(h 2 ) TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

23 STABILITÄT UND KONVERGENZ Folglich gilt e h = A 1 h d h und wegen e h = A 1 h d h A 1 d h Überträgt sich das O(h 2 )-Verhalten für h 0 vom lokalen auf den globalen Diskretisierungsfehler, wenn A 1 h für alle hinreichend kleinen h > 0 gleichmäßig beschränkt bleibt. Betrachten wir die Euklid-Norm = 2, so gilt A 1 h = 1 λ min (A h ). h Die gleichmäßige Beschränktheit folgt nun aus (6) und (7), da λ min (A h ) = 4 πh 2 sin h2 2 = 2π2 + O(h 2 ). TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

24 STABILITÄT UND KONVERGENZ FAZIT Bei der Diskretisierung des Modellproblems (1) mit zentralen Differenzen und uniformer Maschenweite h verhält sich der (globale) Diskretisierungsfehler wie O(h 2 ) für h 0, sofern die Lösung u viermal stetig differenzierbar ist. Die Beschränktheit von A 1 h für h 0 nennt man in diesem Zusammenhang Stabilität des Differenzenschemas. TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

25 DIE POISSON-GLEICHUNG Ersetzt man in der RWA (1) die Differentialgleichung (1a) durch die inhomogene Gleichung u = f (Poisson-Gleichung), (8) mit einer gegebenen, auf Ω definierten Funktion f = f(x, y), so wird die dieskrete Gleichung (2a) zu h U i,j = f i,j, mit f i,j = f(x i, y j ), 1 i n x, 1 j n y. Auf die Dirichlet-Randwerte auf der rechten Seite des resultierenden linearen Gleichungssystems (3) werden entsprechend die Funktionswerte f i,j addiert. TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

26 DER 9-PUNKTE-STERN Da die Formeln für Differenzenschemata wie h u, vor allem in 2 und 3 Raumdimensionen, schnell unhandlich werden, wird oft als Kurzschreibweise das Schema der Gewichte entsprechend ihrer Gitteranordnung verwendet: h h Eine weitere Approximation des Laplace-Operators besitzt das Schema (9) h h und wird als 9-Punkte-Stern bezeichnet. TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

27 DER 9-PUNKTE-STERN KONSISTENZ Ein Taylor-Abgleich analog zum 5-Punktestern ergibt (9) h h2 u = u + 12 (u xxxx + 2u xxyy + u yyyy ) + O(h 4 ). Die Konsistenzordnung ist somit dieselbe wie die von h. Der führende Fehlerterm ist jedoch gegeben durch den biharmonischen Operator u xxxx + 2u xxyy + u yyyy = (u xx + u yy ) = ( u) = 2 u. TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

28 DER 9-PUNKTE-STERN KONSISTENZ Man kann sich dies beim Lösen der Poisson-Gleichung u = f wie folgt zunutze machen: der lokale Diskretisierungsfehler der diskreten Gleichung (9) h U i,j = f i,j, 1 i n x, 1 j n y, mit der modifizierten rechten Seite ist von der Ordnung O(h 4 ). f i,j := f(x i, y j ) + h2 f(x, y) 12 TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS