1 Arithmetische Grundlagen

Transkript

1 Am 4. Juni 1996 explodierte kurz nach dem Start die erste Ariane 5 Rakete durch einen Softwarefehler. Die Horizontalgeschwindigkeit wurde durch eine Gleitkommazahl v [ , ] {0} [10 308, ] dargestellt. Innerhalb der Rechnung wurde die Zahl versehentlich in eine ganzzahlige Darstellung i {0,1,2,...,32767} konvertiert. Als die Geschwindigkeit v > erreichte, verlor die Software die Geschwindigkeitsinformation und damit schließlich die Orientierung. huckle/bugse.html C. Wieners: Einführung in die Numerische Mathematik für Studierende der Fachrichtung Informatik und Ingenieurwissenschaften 1

2 Am 25. Februar 1991 während des ersten Golfkriegs in Dharan, Saudi Arabien, verfehlte eine amerikanische Patriot Rakete eine anfliegende irakische Scud Rakete durch eine falsche Zeitberechnung. Eine 1/10 Sekunde wurde ungenau dargestellt (durch Rundungsfehler wurde die periodische Dualentwicklung in der Computerdarstellung zu abgeschnitten), so dass nach 100 Stunden Betriebszeit eine Zeitdifferenz von ca. 0.3 Sekunden entstand. Dieser Fehler wurde nicht in allen Teilen des Betriebsprogramms korrigiert. huckle/bugse.html C. Wieners: Einführung in die Numerische Mathematik für Studierende der Fachrichtung Informatik und Ingenieurwissenschaften 2

3 (1.3) a) Eine Gleitkommazahlen zur Basis B {2, 3,...} der Mantissenlänge M und Exponentenlänge E ist die Menge { FL = ± B e M m=1 a m B m : e = e E 1 + k=0 } c k B k, a m,c k {0,1,...,B 1} b) Eine Gleitkommaarithmetik wird durch eine Abbildung fl: R FL mit fl(x) = x für x FL definiert. Sei bestimmt die Rundung: x y = fl(x + y), x y = fl(x y), etc. Die zugehörige Maschinengenauigkeit ist { } x fl(x) eps := sup ; 0 < x < M. x (1.2) a) Ein Problem heißt sachgemäß gestellt, wenn es eindeutig lösbar ist und die Lösung stetig von den Daten abhängt. b) Die Kondition eines Problems ist eine Maß dafür, wie stark die Abhängigkeit der Lösung von den Daten ist. c) Die Stabilität eines numerischen Algorithmus ist eine Maß dafür, wie stark die Daten-Abhängigkeit der numerischen Lösung im Vergeich zu der tatsächlichen Lösung ist. (1.3) Sei f : R N R K eine differenzierbare Funktion und x R N. Dann heißt a) κabs kn = x n f k (x) absolute Konditionszahl. b) κrel kn = x n f k (x) xn f k (x) relative Konditionszahl. C. Wieners: Einführung in die Numerische Mathematik für Studierende der Fachrichtung Informatik und Ingenieurwissenschaften 3

4 Sei eine Vektornorm, und sei eine zugeordete Matrixnorm, d. h., Ax A x, x R N, A R M N. Wir verwenden für x R N und A R M N N x 1 = x n x 2 = x T x x = max x n n=1 n=1,...,n Ax und die zugeordnete Operatornorm A p = sup p x 0N x p, d.h. M N A 1 = max a mn, A 2 = ρ(a T A), A = max a mn n=1,...,n m=1 m=1,...,m n=1 mit Spekralradius ρ(a) = max{ λ : λ Eigenwert von A}. (1.4) Sei A R N N invertierbar. Dann heißt κ p (A) = A p A 1 p die Kondition von A. Sei b R N, b 0 N, b R N eine kleine Störung und b = b + b. Sei x R N Lösung von Ax = b, x R N Lösung von A x = b, und x = x x der Fehler. Dann gilt für den relativen Fehler x p x p κ p (A) b p b p. C. Wieners: Einführung in die Numerische Mathematik für Studierende der Fachrichtung Informatik und Ingenieurwissenschaften 4

5 Auslöschung bei Nullstellenberechnung Wir betrachten die Gleichung x 2 2px + q = 0, deren Nullstellen durch x = p ± p 2 q gegeben sind. Diese Berechnungsvorschrift ist aber für p q nicht zu empfehlen, da dann Auslöschung bei der betragsmäßig kleineren Nullstelle auftritt. Wählt man beispielsweise p = 10 8 und q = 1, so berechnet Matlab x 1 = , x 2 = 0. Die Auslöschung bei x 2 kann man umgehen, indem man zuerst die größere Nullstelle durch x 1 = p + sign(p) p 2 q berechnet und dann (mit dem Satz von Vieta) die zweite Nullstelle durch x 2 = q x 1 erhält. Mit dieser Vorschrift berechnet Matlab die bessere Lösung x 1 = , x 2 = C. Wieners: Einführung in die Numerische Mathematik für Studierende der Fachrichtung Informatik und Ingenieurwissenschaften 5