SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2009 Mathematik (Grundkursniveau) Arbeitszeit: 210 Minuten

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Sarah Bergmann
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1 Mathematik (Grundkursniveau) Arbeitszeit: 210 Minuten Es sind die drei Pflichtaufgaben und eine Wahlpflichtaufgabe zu lösen. Der Prüfling entscheidet sich für eine Wahlpflichtaufgabe. Die zur Bewertung vorgesehene Wahlpflichtaufgabe ist vom Prüfling anzukreuzen. Wahlpflichtaufgabe 4.1 Wahlpflichtaufgabe 4.2 Unterschrift Seite 1 von 5

2 Pflichtaufgaben Aufgabe 1 Analysis Gegeben sind die Funktionen f und g a durch y = f(x) = x x 2 + 3, x R, y = g a (x) = e ax +1, x R, a R. a) Berechnen Sie für den Graphen der Funktion f die Koordinaten der lokalen Extrempunkte und des Wendepunktes sowie den Anstieg der Tangente im Wendepunkt. Untersuchen Sie die Funktionen g a auf Monotonie. Die dargestellten Kurven sind Graphen der Funktion f bzw. einer der Funktionen g a im Intervall [0; 4]. Geben Sie drei Eigenschaften der Funktion f an, mit denen man begründen kann, dass die Kurve K 2 Graph der Funktion f ist. Ermitteln Sie unter Verwendung des dargestellten Graphen einer Funktion g a den zu diesem Graphen zugehörigen Wert des Parameters a. y y x x b) Berechnen Sie die Maßzahl des Inhaltes derjenigen Fläche, die von der Kurve K 1, den Koordinatenachsen und der Geraden mit der Gleichung x = 4 vollständig eingeschlossen wird. Ein Designer will die Kurven K 1 und K 2 als Profile von Rutschen wählen und benötigt Aussagen über deren Gefälle. Ein Maß für das Gefälle sei der entgegengesetzte Wert des Anstieges der Kurven K 1 bzw. K 2. c) Geben Sie für jede Rutsche an, an welcher Stelle das Gefälle am größten ist und berechnen Sie jeweils das Maß dieses Gefälles. Berechnen Sie das durchschnittliche Gefälle derjenigen Rutsche, deren Profil durch die Kurve K 2 bestimmt ist. Seite 2 von 5

3 Pflichtaufgaben Aufgabe 2 Analytische Geometrie In einem kartesischen Koordinatensystem ist ein Rechteck ABCD durch die Eckpunkte A(0 0 0), B(2 4 4), C( 2 8 2) und D( 4 4 2) gegeben. a) Berechnen Sie das Gradmaß des Schnittwinkels der Diagonalen des Rechtecks ABCD und schlussfolgern Sie auf die spezielle Form des Rechtecks. Eine Gerade h verlaufe durch den Schnittpunkt der Diagonalen des Rechtecks ABCD und stehe senkrecht auf der Ebene, in der das Rechteck ABCD liegt. Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Geraden h. b) Eine Ebene E enthalte den Punkt P( 9 0 9). Jeder Punkt der Ebene E sei Spitze je einer Pyramide mit der Grundfläche ABCD. Diese Pyramiden sollen jeweils das gleiche Volumen haben. Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E. Zeigen Sie, dass der Punkt P auf der Geraden h liegt und berechnen Sie die Maßzahl des Volumens der Pyramide ABCDP. Seite 3 von 5

4 Pflichtaufgaben Aufgabe 3 Stochastik Zur Herstellung von Getränkeflaschen wird ein Kunststoffgemisch PET aus farblosen und farbigen Chips verwendet, das nach Einschmelzen einen einheitlichen Farbton ergibt. Für Flaschen eines bestimmten Getränkes wird eine Mischung aus farblosen und farbigen Chips im Verhältnis 5 : 1 verwendet. In Stichproben mit einem Umfang von n Chips beschreibe die Zufallsgröße X n die Anzahl der farbigen Chips. a) Begründen Sie, dass die Zufallsgröße X n als binomialverteilt mit den Parametern n und p = 6 1 (kurz: Xn B 1 ) angenommen werden kann. n; 6 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in einer Stichprobe von 200 Chips mindestens 35 farbige Chips befinden. b) An einer Stichprobe von 50 Chips soll geprüft werden, ob sich weniger farbige Chips, als oben angegeben, in der Mischung befinden. Ermitteln Sie den größtmöglichen Ablehnungsbereich für die Nullhypothese H 0 : p 6 1 bei einem Signifikanztest mit dem Signifikanzniveau α = 0,05. c) Von einer binomialverteilten Zufallsgröße Y 30 B 30; 0,2, die die Anzahl der farbigen Chips in einer Stichprobe vom Umfang n = 30 eines anderen Mischungsverhältnisses angibt, ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung in einem Histogramm gegeben. Geben Sie das neue Mischungsverhältnis an und berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße Y 30. Ermitteln Sie an Hand des Histogramms die Wahrscheinlichkeit P( Y ). Nennen Sie zwei Merkmale, in denen sich die Histogramme der Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die Zufallsgrößen X 30 und Y 30 voneinander unterscheiden. 0,20 0,18 0,16 0,14 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00 Y 30 B 30; p k Seite 4 von 5

5 Wahlpflichtaufgaben Aufgabe 4.1 Analysis Gegeben sind die Funktionen f a und h a durch y = f a (x) = ln ax, x R, x > 0 und a R, a 1, y = h a (x) = f a (x) f 1 (x), x R, x > 0 und a R, a > 1. Berechnen Sie die Nullstellen der Funktionen f a und zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f 1 und f 1,5 im Intervall 0 < x 8 in ein und dasselbe Koordinatensystem. Zeigen Sie, dass die Funktion H 1,5 mit y = H 1,5 (x) = x ln1,5, x R, x > 0, eine Stammfunktion der Funktion h 1,5 ist. Die Graphen der Funktionen f 1 und f 1,5 sowie die Gerade mit der Gleichung x = 1 und die Gerade mit der Gleichung x = 5 schließen eine Fläche vollständig ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche. Wahlpflichtaufgaben Aufgabe 4.2 Analytische Geometrie Der Verlauf von zwei Transportbändern im ebenen Gelände wird in einem kartesischen Koordinatensystem durch die Strecken s 1 und s 2 beschrieben. s 1 : 15 3 x = + u, 20 4 u R, 0 u 5, s 2 : 20 1 x = + v, 4 0 v R, 0 v 12. a) Jeder der Punkte A(8 4) und B(0 0) liegt auf genau einer der Strecken s 1 und s 2. Ermitteln Sie, welcher Punkt auf welcher Strecke liegt. Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Strecken s 1 und s 2 einander nicht schneiden. b) Vom Punkt A zum Punkt B verläuft ein Transportband kreisförmig, so dass die Geraden, auf denen die Strecken s 1 und s 2 liegen, Tangenten des entsprechenden Kreises sind (siehe Abbildung). Berechnen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes und den Radius dieses Kreises. B A Seite 5 von 5

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