ANALYTISCHEN GEOMETRIE DER EBENE.

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1 DIE ELEMENTE DEB ANALYTISCHEN GEOMETRIE DER EBENE. ZUM GEBRAUCH AN HÖHEREN LEHRANSTALTEN SOWIE ZUM SELBSTSTUDIUM DARGESTELLT UND MIT ZAHLREICHEN ÜBUNGSBEISPIELEN VERSEHEN VON DR. H. GANTER UND DE. F. RUDIO PROFESSOR AN DER KANTONSSCHULE PROFESSOR AM POLYTECHNIKUM IN A AR AU. IN ZÜRICH. LEIPZIG,

2 Inhaltsverzeichnis. Erstes Der Punkt. (60 Aufgaben.) 1. Bestimmung der Lage eines Punktes in einer'geraden durch seine Abscisse 1 2. Bestimmung von Strecken 2 3. Bestimmung der Lage eines Punktes in einer Geraden durch sein Teilverhältnis 4 4. Doppelverhältnis. Harmonische Punkte 7 5. Bestimmung der Lage eines Punktes in der Ebene durch Koordinaten 9 6. Koordinatentransformation durch Verlegung des Anfangspunktes. (Parallelverschiebung.) Polarkoordinaten Aus den rechtwinkligen Koordinaten zweier Punkte P und P 1 ihre Entfernung und die Neigung ihrer Verbindungslinie gegen die ж-achse zu bestimmen Aus den gegebenen Koordinaten x 1, y 1 und x %, y zweier Punkte Р г undp 2 die Koordinaten x, у desjenigen Punktes P der Verbindungslinie zu finden, der mit der Strecke P t P 2 ein gegebenes Teilverhältnis % bildet Den Inhalt des Dreiecks zu bestimmen, welches der Anfangspunkt mit zwei Punkten P x und P 2 bildet Den Inhalt eines beliebigen Dreiecks P 1 P 2 P 3 aus den Koordinaten der Ecken zu berechnen Folgerungen. Kriterien für die Lage eines Punktes in Bezug auf eine Gerade Den Inhalt eines Vielecks aus den Koordinaten seiner Ecken zu berechnen Bestimmung des Abstandes eines Punktes von einer Geraden Übergang von einem rechtwinkligen Achsensystem zu einem schiefwinkligen 26

3 VI Zweites Die gerade Linie. (78 Aufgaben.) 16. Definition der Gleichung einer Geraden. Die Gerade sei bestimmt durch zwei Punkte Portsetzung. Die Gerade sei bestimmt durch ihreu Abstand vom Anfangspunkt und den Winkel, den dieser mit der ж-achse bildet Fortsetzimg. Die Gerade sei gegeben durch ihre Achsenabschnitte Fortsetzung. Die Gerade sei gegeben durch einen Punkt und den Winkel, den sie mit der positiven Richtung der ж-achse bildet Jede Gerade besitzt eine Gleichung von der Form: Ax + By + С = О und umgekehrt jede Gleichung dieser Form stellt eine Gerade dar Ableitung der speziellen Formen der Gleichung einer Geraden aus der allgemeinen Form 4x-f By -4- С = Fortsetzung. Die Normalform Die Koordinaten des Durchschnittspunktes zweier Geraden aus den Gleichungen derselben zu bestimmen Den Winkel zweier Geraden aus ihren Gleichungen zu bestimmen unter Voraussetzung rechtwinkliger Koordinaten Die Bedingung zu finden, unter welcher sich die drei Geraden A l x -4- B 1 у -\- C t = 0, A i x -\- В, л у -f- C, = 0 und A s x -j- B. s y -f- G s = 0 in einem Punkte schneiden... 4S, 20. Die Gleichung einer Geraden zu finden, welche durch den Schnittpunkt der beiden Geraden A± x -\- B 1 у -f- C 1 ' О und A 2 x -f- B 2 y -4- C 2 = 0 hindurchgeht Die Gleichungen der Winkelhalbierenden zweier Geraden zu finden Sätze aus der Theorie der Transversalen. Das vollständige Viereck Geometrische Örter Hauptaufgabe und Methode der analytischen Geometrie.. 00 Drittes Der Kreis. (49 Aufgaben.) 31. Die Gleichung des Kreises Bestimmung eines Kreises durch drei Punkte Oö 33. Der Kreis und die Gerade 07

4 VII 34. Die Tangente in einem Punkte des Kreises Tangenten von einem Punkte aufeerhalb des Kreises. Berührungssehne, Pol und Polare Die Potenz eines Punktes in Bezug auf einen Kreis Systeme von Kreisen. Potenzlinie Vermischte Aufgaben über den Kreis 78 Viertes Die Ellipse. (82 Aufgaben.) 39. Definition und Gleichung Diskussion der Gleichung der Ellipse Polargleichung der Ellipse bezogen auf den Mittelpunkt Konstruktion der Ellip* mittels des eingeschriebenen und des umschriebenen Kreises Konjugierte Durchmesser Die Gleichung der Ellipse bezogen auf zwei konjugierte Durchmesser als schiefwinklige Koordinatenachsen Die Tangente in einem Punkte der Ellipse 94 g 46. Tangenten und Durehmesser Die excentrische Anomalie, Weitere Sätze über konjugierte Durchmesser Pol und Polare Lehrsätze über Pol und Polare Brennpunktseigenschaften Die Direktrix Flächeninhalt der Ellipse 116 Fünftes Die Hyperbel. (74 Aufgaben.) 54. Definition und Gleichung Polargleichung der Hyperbel bezogen auf den Mittelpunkt Die Hyperbel und die Gerade Konjugierte Durchmesser, Die Gleichung der Hyperbel bezogen auf zwei konjugierte Durchmesser als schiefwinklige Koordinatenachsen Die Tangente in einem Punkte der Hyperbel Tangenten und Durchmesser Die Asymptoten als Koordinatenachsen Beziehungen zwischen den Sehnen und Tangenten einer Hyperbel und ihren Asymptoten Pol und Polare Brennpunkteigenschaften Die Direktrix.», 145

5 i VIII Sechstes Die Parabel. (36 Aufgaben.) 66. Definition und Gleichung Die Parabel und die Gerade. Durchmesser Tangente und Normale Anwendung schiefwinkliger Koordinaten Pol und Polare Flächeninhalt eines Parabelsegmentes Gemeinsame Darstellungen von Ellipse, Hyperbel und Parabel 163»