1 grafische Lösung mit Bleistift und Lineal

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1 Bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen handelt es sich um ein Grundproblem in der Mathematik. Bei einem System handelt es sich immer um mehr als eine Gleichung, als linear wird es bezeichnet, weil die Variablen nur mit einer Potenz von 1 vorkommen (Hinweis: Die Potenz wird in diesem Fall nicht geschrieben!). Im Allgemeinen muss die Anzahl der Gleichungen nicht mit der Anzahl der gegebenen Gleichungen übereinstimmen, stimmen die Anzahlen allerdings überein, besteht jedoch die Möglichkeit einer eindeutigen Lösung. In den folgenden Beispielen sind immer lineare Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei Variablen gemeint. Da lineare Gleichungen immer auch als Funktionen interpretiert werden können, gibt es zwei Möglichkeiten gegebene lineare Gleichungssysteme zu lösen. Interpretiert die Angabe als Funktionen, kann über das Zeichnen der Graphen die Aufgabe lösen, sieht man die Angabe als Gleichungen an, können algebraische Lösungsverfahren verwendet werden. Gegeben sind die folgende beiden Gleichungen: I: 3 x 2 y=5 II: x 4 y=3 1 grafische Lösung mit Bleistift und Lineal Beide Gleichungen können in die Hauptform der Geradengleichung y=k x d umgeschrieben und als lineare Funktionen interpretiert werden, deren Graphen man zeichnen kann. erste Gleichung: 3 x 2 y=5 / 3 x 2 y= 3 x 5 /: 2 3 x 5 y= = x 5, zweite Gleichung: 2 x 4 y=3 / x 4 y= x 3 /: 4 y= x 3 4 = 1 4 x 3 4 Der Schnittpunkt der beiden Geraden wird nun als Lösung dieses Gleichungssystem bezeichnet, die Lösung lautet nun: L={ 1/1 } Seite 1 von 6 Seiten

2 2 rechnerische Lösung per Hand a Einsetzungs- oder Substitutionsmethode: Eine beliebige Variable einer beliebigen Gleichung wird ausgedrückt (explizit gemacht) und in die andere eingesetzt. I: 3 x 2 y=5 / 3 x II:2 y= 3 x 5 /: 2 3 x 5 I: y= = x 5 2 x 12 2 x 20 2 =3 x 6 x 10=3 / 10 7 x= 7 /: 1 Rückeinsetzen in I x=1 einsetzen in II x x 5 2 =3 y= = 2 =1 L={ 1/1 } 2 b Gleichsetzungs- oder Komperationsmethode: Bei beiden Gleichungen wird jeweils beliebig die gleiche Variable ausgedrückt und dann diese beiden Gleichungen gleichgesetzt. I: 3 x 2 y=5 y= 3 2 x 5 2 II: x 4 y=3 y= 1 4 x x 5 2 = 1 4 x 3 4 / 4 6 x 10= x 3 / x, 10 7 x= 7 /: 1 Einsetzen in I oder II x=1 y= =1 L={ 1/1 } 4 c Additionsmethode oder Gauß'sches Eliminationsverfahren: Die Gleichungen werden so mit Faktoren multipliziert, dass durch Addition eine beliebige Variable wegfällt. I: 3 x 2 y=5 II: x 4 y=3 / 3 I: 3 x 2 y=5 II: 3 x 12 y=9 I+II:14 y=14 /: 14 Einsetzen in I oder II I+II: y=1 3 x 2=5 / 2 3 x=3 /:3 x=1 L={ 1/1 } 3 x 2 1=5 Seite 2 von 6 Seiten

3 Aufgaben A1 Löse grafisch und auf alle drei rechnerische Methoden: I: 2 x 4 y=2 II: 3 x 2 y=11 A2 Löse grafisch und mittels einer beliebigen rechnerischen Methode: A3 Löse grafisch und mittels einer beliebigen rechnerischen Methode: A4 Löse grafisch und mittels einer beliebigen rechnerischen Methode: 3 grafische Lösung mit GeoGebra I: 2 x 4 y=0 II:3 x 2 y=8 I: 2 x 4 y= 2 II: 4 x 8 y= 4 I: 2 x 4 y=4 II: 4 x 8 y= 4 Was fällt auf? Was fällt auf? Gegeben sind zwei Geraden mit den allgemeinen Geradengleichungen Schiebereglern für die Parameter a1, a2, b1, b2, c1, c2. I: a1 x b1 y=c1 II:a2 x b2 y=c2 mit sechs A5 Variiere die Werte für die Parameter mittels der Schieberegler. Wie wird das Aussehen der Graphen der Funktionen durch die Veränderung der Parameterwerte beeinflusst? Das Applet gibt aus, wann die beiden Geraden parallel oder ident sind. Welche Werte müssen die Parameter annehmen, damit zuvor genannte Fälle eintreten können? Hinweis: Animiere die Schieberegler einen nach dem anderen oder auch gleichzeitig! A6 Leite aus der allgemeinen Geradengleichung die Hauptform der Geraden her. Für die Zahlenwerte der Parameter lässt sich das Ergebnis überprüfen, indem man die Kontrollkästchen für die Hauptform im Applet aktiviert. Wie hängt die Parallelität und die Identität der Geraden mit den Zahlenwerte der Steigung und des Achsenabschnittes zusammen? Seite 3 von 6 Seiten

4 A7 Wenn die beiden Geraden normal auf einander stehen, wird das im Applet durch das Anzeigen des Winkels dargestellt. Welche Werte müssen die Parameter beziehungsweise die Steigungen annehmen, damit die beiden Geraden normal auf einander sind? A8 Welche der folgenden Aussagen über die Gleichung a x b y=c sind richtig beziehungsweise falsch? a b 0 Gerade ist steigend b=0 Kurve ist keine Funktion c 0 Gerade homogen a=b=c=1 Gerade fallend a=0 Gerade konstant 4 rechnerische Lösung mit GeoGebraCAS a Einsetzungs- oder Substitutionsmethode Abbildung 1 Mit Hilfe von Äquivalenzumformungen lässt sich eine Variable einer Gleichung ausdrücken. Mit dem Ersetze- Befehl kann dann die ausgedrückte Variable in der anderen Gleichung substituiert werden. b Gleichsetzungs- oder Komperationsmethode: Wiederum kann mittels Äquivalenzumformungen aus beiden Gleichungen dieselbe Variable ausgedrückt und dann gleichgesetzt und dann bestimmt werden (siehe Abbildungen 2 und 3). Abbildung 1: Substitutionmethode mit CAS Abbildung 2: Gleichsetzungsmethode mit CAS - Teil 1 Abbildung 3: Gleichsetzungsmethode mit CAS - Teil 2 Seite 4 von 6 Seiten

5 c Additionsmethode oder Gauß'sches Eliminationsverfahren: Mit dem GeoGebraCAS ist es ebenfalls möglich Rechenschritte des Gauß'schen Eliminationsverfahren durchführen, das heißt, es ist zum Beispiel möglich Gleichungen mit Faktoren zu multiplizieren oder Gleichungen zu addieren (siehe Abbildung 4). GeoGebraCAS verfügt auch über einen eingebauten Lösungsbefehl zur Lösung von Gleichungssystemen (siehe Abbildung 5), der die Arbeit um Einiges erleichtert. A9 Löse die Gleichungssysteme aus den Aufgaben A1 und A2 mittels CAS und einer selbstgewählten Methode und führe die Probe durch! Verwende für die Probe ebenfalls den Ersetze-Befehl, siehe auch Abbildung 6. Abbildung 5: Lösebefehlt des CAS Abbildung 4: Additionsmethode mit CAS Bei den weiteren Beispielen handelt es sich um die beliebte Textbeispiele. Hier besteht die Schwierigkeit im Aufstellen der Gleichungen. Die Lösungsmethode ist dann beliebig wählbar. Abbildung 6: Durchführung der Probe A10 Eine Kellnerin benötigt Scheine als Wechselgeld. Insgesamt sollen ihr 250 Euro in 5 und 10-Euro Scheinen ausgehändigt werden und zwar 40 Scheine insgesamt. Wie viele Scheine von jeder Sorte bekommt sie? Ein anderer Kellner benötigt den doppelten Betrag mit derselben Anzahl von Scheinen. Wie sieht dort die Situation aus? A11 Eine Reisegruppe von 32 Personen reserviert Zimmer in einem Hotel, in dem es Ein- und Zweibettzimmer gibt. 18 Zimmer sind in dem Hotel noch frei, von denen 5 Einzelzimmer sind. Kann die Reisegruppe untergebracht werden? Wenn nein, wie viele Reisende müssen in einem anderen Hotel untergebracht werden? A12 Barbara kauft 10 Überraschungseier und 12 Milchschnitten und bezahlt dafür 38 Euro, Christina hingegen 15 Überraschungseier und nur 2 Milchschnitten mit einem Gesamtpreis von 19,40 Euro. Nach dem Einkauf möchte Susi gerne wissen wie viel ein Überraschungsei gekostet hat. Wie viele Eier kann man kaufen, um einen geringeren Preis als für eine Milchschnitte zu bezahlen. A13 Die Gerade g mit der Steigung k=2 geht durch den Punkt P 3/2. Eine zweite Gerade h geht durch die Punkte Q 1/6 und R 5/ 3. Berechne die Geradengleichung für die zwei Gleichungen, sowie deren Schnittpunkt! Konstruiere die beiden Geraden inklusive Steigungsdreieck mit GeoGebra! Seite 5 von 6 Seiten

6 Bei dem Tarifvergleich der Anbote A und B zweier Telefonanbieter, ist es möglich diese in zwei Mathematische Funktionen zu gießen, um sie entsprechend vergleichen zu können. Bei Angebot A zahlt man 20 Cent pro Minute Verbindungsentgelt und keine Grundgebühr. Das Angebot B besteht aus einer 10 Grundgebühr und 10 Cent Verbindungsentgelt pro Minute. Angebot A: Preisfunktion P 1 t in Abhängigkeit von der Zeit t P 1 t =0,2 t Angebot B: Preisfunktion P 2 t in Abhängigkeit von der Zeit t P 2 t =0,1 t 10 WICHTIG: Die Bezeichnungen für Funktionen sind nicht immer x und y! In Anwendungsbeispielen ist immer darauf zu achten, welche Bezeichnungen für die jeweiligen Achsen gewählt werden. Beide Funktionen kann man in ein Koordinatensystem eintragen (siehe unten). Beim Schnittpunkt der beiden Geraden ist der Preis des Angebots A genauso groß wie der des Angebots B. Diesen Punkt erhält man, wenn man die beiden Funktionsgleichungen gleichsetzt, diese also wie Gleichungen behandelt. 0,2 t=0,1 t 10 0,1 t=10 t=100 Das Ergebnis sagt aus, dass nach 100 Minuten beide Angebote denselben Preis und zwar f 100 =20 Euro ergeben. Ist man Wenigtelefonierer (unter 100 Minuten), ist Angebot A zu bevorzugen, telefoniert man mehr als diese Zeit, sollte Angebot B gewählt werden. A14 Eine Firma produziert ein bestimmtes Gut, bei dem der Erzeugungsvorgang 37 Cent pro Stück kostet. Es wird eine neue Maschine um 1200 Euro gekauft, die das Gut um 13 Cent pro Stück produzieren kann. Ab welcher Stückzahl hat sich die Maschine amortisiert? A15 Eine Person hat von einer bestimmten Substanz eine Konzentration von 234 mg/l im Blut und baut pro Stunde 22 mg/l ab. Eine andere Person hat eine 170 mg/l Konzentration im Blut, baut aber nur 14 mg/l in einer Stunde ab. Nach wie vielen Stunden haben die Personen dieselbe Substanzkonzentration im Blut und wie hoch ist diese? Seite 6 von 6 Seiten