5. Prinzip der Beugung
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1 5. Prinzip der Beugung Lue/Brgg sche Gleichung, reziprokes Gitter, wld-konstruktion M+K-Bsiskurs Kristllogrphie und Beugung, WS 2017/2018, C. Röhr
2 Grundlgen Prinzip und nlogie zur Optik inteilung der Beugungsmethoden Lue und Brgg sche Gleichung (Vektorfrei) Miller-Indizes, Netzebenenbstände Lue-Gleichung (Vektorform) Bsics Vektorrechnung Luegleichung, Streuvektor Reziprokes Gitter Brgg sche Gleichung? Reflexe? Zusmmenfssung: Von Brgg... bis wld
3 Grundlgen Prinzip und nlogie zur Optik Grundlgen Prinzip und nlogie zur Optik inteilung der Beugungsmethoden Lue und Brgg sche Gleichung (Vektorfrei) Miller-Indizes, Netzebenenbstände Lue-Gleichung (Vektorform) Bsics Vektorrechnung Luegleichung, Streuvektor Reziprokes Gitter Brgg sche Gleichung? Reflexe? Zusmmenfssung: Von Brgg... bis wld
4 Grundlgen Prinzip und nlogie zur Optik Prinzip und nlogie zur Optik Wellenlänge monochromtischer Strhlung tombstände Superposition von Wellen mit Phsenverschiebung Röntgenbeugung nlog Beugung m Splt/Gitter der Optik 2D-Beispiele (Dis und Lser) rel (Kristll) reziprok (Beugung) Motiv FT b* * Gitterpunkt b Z trnsltionssymmetrisch Rumgruppe Reflex reziproker Gitterpunkt nicht trnsltionss. Lueklsse = PG + i reziproke bstndsverhältnisse Gitter Reflexe Orte (beschrieben durch reziprokes Gitter) Gitterinformtion Intensitäten Motivinformtion Punktgruppe des Beugungsmusters Lueklsse (Kristllklsse + 1) Prinzipien: Position/Intensität/Breite von Reflexen Informtionen bei inkristllen bzw. Pulvern ls Proben
5 Grundlgen Prinzip und nlogie zur Optik Informtionen us Pulvern? b* *
6 Grundlgen Prinzip und nlogie zur Optik Informtionen us Pulvern? b* *
7 Grundlgen Prinzip und nlogie zur Optik Informtionen us Pulvern? b* *
8 Grundlgen Prinzip und nlogie zur Optik Informtionen us Pulvern? b* * 1,1 3,0 2,1 2,0 1,0 0,1
9 Grundlgen inteilung der Beugungsmethoden inteilung der Beugungsmethoden Quelle ggf. Mono chromtor Probe schwenk und drehbr Goniometer Ortsempfindlicher Detektor nch Strhlungsrt 1. Röntgen (elektromgnetische Strhlung) 2. lektronen 3. Neutronen nch Probe 1. Gse, Flüssigkeiten, morphe Feststoffe sehr speziell 2. kristlline Feststoffe inkristlle Pulver
10 Lue und Brgg sche Gleichung (Vektorfrei) Grundlgen Prinzip und nlogie zur Optik inteilung der Beugungsmethoden Lue und Brgg sche Gleichung (Vektorfrei) Miller-Indizes, Netzebenenbstände Lue-Gleichung (Vektorform) Bsics Vektorrechnung Luegleichung, Streuvektor Reziprokes Gitter Brgg sche Gleichung? Reflexe? Zusmmenfssung: Von Brgg... bis wld
11 Lue und Brgg sche Gleichung (Vektorfrei) Gleichungen von Lue und Brgg/Brgg (Vektorfrei) Lue-Gleichung d α α n λ= d sin α sin = Gegenkthete/Hypotenuse Brgg sche Gleichung 90 Θ Θ Θ d d sin Θ 2Θ n λ = 2d sin Θ hkl hkl Netzebenen Schr hkl Willim Lwrence Brgg (o) Willim Henry Brgg (u)
12 Lue und Brgg sche Gleichung (Vektorfrei) Miller-Indizes, Netzebenenbstände Netzebenenbstände (in 2D, krtesisch) Netzebenenschr (hier (32)) schneiden die chsen bei 3 bzw. b 2 (3 2) b b/k 0 /h
13 Lue und Brgg sche Gleichung (Vektorfrei) Miller-Indizes, Netzebenenbstände Netzebenenbstände (in 2D, krtesisch) Netzebenenschr (hier (32)) schneiden die chsen bei 3 bzw. b 2 Fläche des gelben Rechtecks bzw. des doppelten roten Dreiecks: 2 (1 sd) = 2 h bzw. ufgelöst: s 2 = 1 d 2 2 h 2 b 2 k 2 für s 2 gilt ber nch Pythgors uch: b k b b/k 0 s d /h (3 2) s 2 = 2 h 2 + b2 k 2 Gleichsetzen (und dmit liminieren von s): s 2 = 1 2 b 2 = 2 + b2 d 2 h 2 k 2 h 2 k 2 und uflösen nch 1 d 2 : 1 d 2 = h2 2 + k2 b 2
14 Lue und Brgg sche Gleichung (Vektorfrei) Miller-Indizes, Netzebenenbstände Netzebenenbstände (in 2D, krtesisch) Netzebenenschr (hier (32)) schneiden die chsen bei 3 bzw. b 2 Fläche des gelben Rechtecks bzw. des doppelten roten Dreiecks: 2 (1 sd) = 2 h bzw. ufgelöst: s 2 = 1 d 2 2 h 2 b 2 k 2 für s 2 gilt ber nch Pythgors uch: b k b b/k 0 s d /h (3 2) s 2 = 2 h 2 + b2 k 2 Gleichsetzen (und dmit liminieren von s): s 2 = 1 2 b 2 = 2 + b2 d 2 h 2 k 2 h 2 k 2 und uflösen nch 1 d 2 : 1 d 2 = h2 2 + k2 b 2 bzw. entsprechend in 3D: (h 1 2 ( d hkl = ) + k 2 ( b) + l c Indizierung von Pulverdiffrktogrmmen ) 2
15 Lue und Brgg sche Gleichung (Vektorfrei) Miller-Indizes, Netzebenenbstände Netzebenenbstände (in 3D) kubisch... monoklin triklin 1 h2 +k = 2 +l 2 d hkl 2 1 h = 2 d hkl 2 sin 2 β + k2 b + l 2 2hl cosβ 2 c 2 sin 2 β c sin 2 β h 2 2 sin2 α + k2 b 2 sin2 β + l2 c 2 sin2 γ + 2kl bc 1 = d hkl (cosβ cosγ cosα) + 2hl c 1 cos 2 α cos 2 β cos 2 γ + 2 cosαcosβ cosγ (cosγ cosα cosβ) + 2hk (cosαcosβ cosγ) b
16 Lue-Gleichung (Vektorform) Grundlgen Prinzip und nlogie zur Optik inteilung der Beugungsmethoden Lue und Brgg sche Gleichung (Vektorfrei) Miller-Indizes, Netzebenenbstände Lue-Gleichung (Vektorform) Bsics Vektorrechnung Luegleichung, Streuvektor Reziprokes Gitter Brgg sche Gleichung? Reflexe? Zusmmenfssung: Von Brgg... bis wld
17 Lue-Gleichung (Vektorform) Bsics Vektorrechnung Vektoren 2b b b b ddition, Subtrktion, Multipliktion mit Sklren e e c b
18 Lue-Gleichung (Vektorform) Bsics Vektorrechnung Vektoren 2b b b e e b ddition, Subtrktion, Multipliktion mit Sklren Sklr- oder Punktprodukt: b = b cos(, b) d.h. b b = 0 Spezilfll: Projektion von uf beliebigen inheitsvektor e: e = e c b
19 Lue-Gleichung (Vektorform) Bsics Vektorrechnung Vektoren 2b b b e e b ddition, Subtrktion, Multipliktion mit Sklren Sklr- oder Punktprodukt: b = b cos(, b) d.h. b b = 0 Spezilfll: Projektion von uf beliebigen inheitsvektor e: e = e Vektor- oder Kreuzprodukt: v = b c b nschulich v, b d.h. für b b = 0 Betrg des Vektorproduktes: b = b sin(, b) (Fläche des von und b ufgespnnten Prllelogrmms)
20 Lue-Gleichung (Vektorform) Bsics Vektorrechnung Vektoren 2b b b e e b ddition, Subtrktion, Multipliktion mit Sklren Sklr- oder Punktprodukt: b = b cos(, b) d.h. b b = 0 Spezilfll: Projektion von uf beliebigen inheitsvektor e: e = e Vektor- oder Kreuzprodukt: v = b c b nschulich v, b d.h. für b b = 0 Betrg des Vektorproduktes: b = b sin(, b) (Fläche des von und b ufgespnnten Prllelogrmms) Sptprodukt: ( b) c = V nschulich: Volumen des durch, b und c ufgespnnten Prllelepipeds
21 Lue-Gleichung (Vektorform) Luegleichung, Streuvektor tomkette, senkrechter infll, Vektorschreibweise (Lue-Gleichung) tomkette mit bstnd = α
22 Lue-Gleichung (Vektorform) Luegleichung, Streuvektor tomkette, senkrechter infll, Vektorschreibweise (Lue-Gleichung) tomkette mit bstnd = Wegdifferenz δ zwischen den beiden Strhlen: δ = sinα oder ls Funktion des Winkels β : δ = cosβ α β δ α
23 Lue-Gleichung (Vektorform) Luegleichung, Streuvektor tomkette, senkrechter infll, Vektorschreibweise (Lue-Gleichung) tomkette mit bstnd = Wegdifferenz δ zwischen den beiden Strhlen: δ = sinα oder ls Funktion des Winkels β : α β δ e α δ = cosβ δ = Projektion von uf die usfllrichtung (inheitsvektor e ) δ = cos(, e ) = e
24 Lue-Gleichung (Vektorform) Luegleichung, Streuvektor tomkette, senkrechter infll, Vektorschreibweise (Lue-Gleichung) tomkette mit bstnd = Wegdifferenz δ zwischen den beiden Strhlen: δ = sinα oder ls Funktion des Winkels β : α β δ e α δ = cosβ δ = Projektion von uf die usfllrichtung (inheitsvektor e ) δ = cos(, e ) = e positive Interferenz der Streuwellen Wegdifferenz δ (Phsenverschiebung) = λ (bzw. einem Mehrfchen (n)) nλ = δ = cos(, e )
25 Lue-Gleichung (Vektorform) Luegleichung, Streuvektor tomkette, schiefer infll (Brgg sche Gleichung) llgemeiner Gittervektor: r Wegdifferenz Strhlen: δ + δ α α r δ δ
26 Lue-Gleichung (Vektorform) Luegleichung, Streuvektor tomkette, schiefer infll (Brgg sche Gleichung) llgemeiner Gittervektor: r Wegdifferenz Strhlen: δ + δ für beide Dreiecke gilt nlog dem senkrechten infll: δ = r cos( r, e ) bzw. δ = r cos( r, e ) e α δ α r δ e
27 Lue-Gleichung (Vektorform) Luegleichung, Streuvektor tomkette, schiefer infll (Brgg sche Gleichung) llgemeiner Gittervektor: r Wegdifferenz Strhlen: δ + δ für beide Dreiecke gilt nlog dem senkrechten infll: δ = r cos( r, e ) bzw. δ = r cos( r, e ) e α δ α r δ e bzw. ls Sklrprodukte mit den inheitsvektoren e bzw. e formuliert (Projektion von r uf diese Richtungen) δ = r cos( r, e ) = r e δ = r cos( r, e ) = r e
28 Lue-Gleichung (Vektorform) Luegleichung, Streuvektor tomkette, schiefer infll (Brgg sche Gleichung) llgemeiner Gittervektor: r Wegdifferenz Strhlen: δ + δ für beide Dreiecke gilt nlog dem senkrechten infll: δ = r cos( r, e ) bzw. δ = r cos( r, e ) e α δ α r δ e bzw. ls Sklrprodukte mit den inheitsvektoren e bzw. e formuliert (Projektion von r uf diese Richtungen) δ = r cos( r, e ) = r e δ = r cos( r, e ) = r e d.h. für die Summe (gesmte Phsenverschiebung) δ +δ = r e r e = r( e e )
29 Lue-Gleichung (Vektorform) Luegleichung, Streuvektor Streuvektor und wldkonstruktion positive Interferenz bei einem Gngunterschied von λ: λ = δ +δ = r( e e ) e α δ α r δ e
30 Lue-Gleichung (Vektorform) Luegleichung, Streuvektor Streuvektor und wldkonstruktion positive Interferenz bei einem Gngunterschied von λ: λ = δ +δ = r( e e ) Trick: uf λ normierte inheitsvektoren: e α δ α r δ e 1 = r ( e λ e λ ) }{{} s
31 Lue-Gleichung (Vektorform) Luegleichung, Streuvektor Streuvektor und wldkonstruktion s* α δ α r δ e / λ e / λ e / λ positive Interferenz bei einem Gngunterschied von λ: λ = δ +δ = r( e e ) Trick: uf λ normierte inheitsvektoren: 1 = r ( e λ e λ ) }{{} s bzw. für den Streuvektor s : s = 1 r
32 Lue-Gleichung (Vektorform) Luegleichung, Streuvektor Streuvektor und wldkonstruktion s* α δ α r δ e / λ e / λ e / λ s* positive Interferenz bei einem Gngunterschied von λ: λ = δ +δ = r( e e ) Trick: uf λ normierte inheitsvektoren: 1 = r ( e λ e λ ) }{{} s bzw. für den Streuvektor s : s = 1 r wld-konstruktion (Prxis) Streuvektor um 1/λ vom Strhl weg verschieben Richtung 0 Spitze Streuvektor = usfllrichtung des Strhls
33 Reziprokes Gitter Grundlgen Prinzip und nlogie zur Optik inteilung der Beugungsmethoden Lue und Brgg sche Gleichung (Vektorfrei) Miller-Indizes, Netzebenenbstände Lue-Gleichung (Vektorform) Bsics Vektorrechnung Luegleichung, Streuvektor Reziprokes Gitter Brgg sche Gleichung? Reflexe? Zusmmenfssung: Von Brgg... bis wld
34 Reziprokes Gitter reles reziprokes Gitter reles Gitter: Bsisvektoren, b, c Gittervektoren r = u +v b +w c b (11) γ (11) 0
35 Reziprokes Gitter reles reziprokes Gitter reles Gitter: Bsisvektoren, b, c Gittervektoren r = u +v b +w c reziprokes Gitter: Bsisvektoren, b, c Gittervektoren: r = h +kb +l c b b* γ (11) 0 γ * (11)
36 Reziprokes Gitter reles reziprokes Gitter reles Gitter: Bsisvektoren, b, c Gittervektoren r = u +v b +w c reziprokes Gitter: Bsisvektoren, b, c Gittervektoren: r = h +kb +l c b* 0 b γ γ * (11) (11) Bezug zwischen beiden Gittern (! Definition!) r = 1 r erfüllt wenn: 1. b = 0 usw. und = 1 usw. 2. h,k,l = Millerindizes der rele Netzebenen(schren)
37 Reziprokes Gitter reles reziprokes Gitter reles Gitter: Bsisvektoren, b, c Gittervektoren r = u +v b +w c reziprokes Gitter: Bsisvektoren, b, c Gittervektoren: r = h +kb +l c b* 0 b γ γ * (11) (11) Bezug zwischen beiden Gittern (! Definition!) r = 1 r erfüllt wenn: 1. b = 0 usw. und = 1 usw. 2. h,k,l = Millerindizes der rele Netzebenen(schren) d r = 1 s = 1 r Reflex, wenn r = s
38 Reziprokes Gitter reles reziprokes Gitter reles Gitter: Bsisvektoren, b, c Gittervektoren r = u +v b +w c reziprokes Gitter: Bsisvektoren, b, c Gittervektoren: r = h +kb +l c b* 0 b γ γ * (11) (11) Bezug zwischen beiden Gittern (! Definition!) r = 1 r erfüllt wenn: 1. b = 0 usw. und = 1 usw. 2. h,k,l = Millerindizes der rele Netzebenen(schren) d r = 1 s = 1 r Reflex, wenn r = s weitere Beziehungen: mit = b c b c 1 und d ( b c) = V (Sptprodukt) folgt: = b c V d.h. b, c-fläche usw. (Def. Vektorprodukt)
39 Reziprokes Gitter 2D-Beispiel, schiefwinklig reziproke Bsis: b, b b* b γ (11) γ = 180 γ 0 γ * (11)
40 Reziprokes Gitter 2D-Beispiel, schiefwinklig reziproke Bsis: b, b b (11) γ = 180 γ reziprokes Gitter in dieser Bsis b* 0 γ γ * (11)
41 Reziprokes Gitter 2D-Beispiel, schiefwinklig reziproke Bsis: b, b b* 0 b [11] γ γ * (11) (11) γ = 180 γ reziprokes Gitter in dieser Bsis und Gittervektoren (z.b. [h,k] = [1,1]).
42 Reziprokes Gitter 2D-Beispiel, schiefwinklig reziproke Bsis: b, b b* 0 b [11] γ γ * (11) (11) γ = 180 γ reziprokes Gitter in dieser Bsis und Gittervektoren (z.b. [h,k] = [1,1]). nschulich: reziproker Gittervektor [h, k] Netzebenenschr (h,k) im relen Rum. Länge: r = 1 d
43 Reziprokes Gitter Reziprokes Gitter: Beweise I Beweis, dss r bene BC 0 C c N B r* b Definition Millerindizes: h = O bzw. O = h usw. dmit gilt für Vektoren uf der bene BC B = b bzw. C = c k h l h diese Vektoren sind zu r, wenn die Sklrprodukte verschwinden, z.b. 0 = r B = r ( b ) k h mit der Definiton des reziproken Gittervektors 0 = (h +k b +l c ) ( b k h ) und d b = 0 usw. 0 = (h ) h +(k b ) b k 0 = + b b = 1+1 (q.e.d.)
44 Reziprokes Gitter Reziprokes Gitter: Beweise II C c r* Beweis, dss r = 1 d H (H = hkl) Die Projektion von O in Richtung r soll dmit dem bstnd d benchbrter Netzebenenschren H entsprechen: d H = h r r 0 N B b mit der Definition von r 1 d H = h r (h +k b +l c ) und d lle gemischten Produkte b verschwinden und = 1 ist folgt: 1 d H = r = r ( (q.e.d.) )
45 Reziprokes Gitter Zusmmenfssung reziprokes Gitter Jeder Netzebenenschr im Relrum (Millerindizes h,k,l) entspricht ein Gitterpunkt im reziproken Rum. D für positive Interferenz der Streuvektor mit einem reziproken Gittervektor zusmmenfllen muss, gibt es nur gnzzhlige Indizes h,k,l. Mit der wld-konstruktion des Streuvektors = reziproken Gittervektors knn der Ort der Reflexe (?) um den Kristll herum prktisch sehr einfch ermittelt werden. Die Motivinformtion (Phsenverschiebungen innerhlb der lementrzelle des relen Gitters) ist in den Intensitäten enthlten.
46 Brgg sche Gleichung? Reflexe? Grundlgen Prinzip und nlogie zur Optik inteilung der Beugungsmethoden Lue und Brgg sche Gleichung (Vektorfrei) Miller-Indizes, Netzebenenbstände Lue-Gleichung (Vektorform) Bsics Vektorrechnung Luegleichung, Streuvektor Reziprokes Gitter Brgg sche Gleichung? Reflexe? Zusmmenfssung: Von Brgg... bis wld
47 Brgg sche Gleichung? Reflexe? Θ, Streuvektor und Brgg sche Gleichung s*=r* α δ α r δ e / λ e / λ θ θ e / λ s*=r* 2 Θ = Winkel zwischen ein- und usfllendem Strhl (virtuelle) grüne bene zu r hlbiert den um 1/λ verschobenen Streuvektor s
48 Brgg sche Gleichung? Reflexe? Θ, Streuvektor und Brgg sche Gleichung s*=r* α δ α r δ e / λ e / λ θ θ e / λ s*=r* 2 Θ = Winkel zwischen ein- und usfllendem Strhl (virtuelle) grüne bene zu r hlbiert den um 1/λ verschobenen Streuvektor s im gelben rechtwinkligen Dreieck: sinθ = Gegenkthete = r /2 Hyptenuse 1/λ d.h. 2sinΘ = r λ oder λ = 2 1 sinθ = 2d sinθ r
49 Brgg sche Gleichung? Reflexe? Θ, Streuvektor und Brgg sche Gleichung s*=r* α δ α r δ e / λ e / λ θ θ e / λ s*=r* 2 Θ = Winkel zwischen ein- und usfllendem Strhl (virtuelle) grüne bene zu r hlbiert den um 1/λ verschobenen Streuvektor s im gelben rechtwinkligen Dreieck: sinθ = Gegenkthete = r /2 Hyptenuse 1/λ d.h. 2sinΘ = r λ oder λ = 2 1 sinθ = 2d sinθ r grüne bene = Spiegel für den Strhlengng Beugung, ls Reflexion verkuft!
50 Zusmmenfssung: Von Brgg... bis wld Grundlgen Prinzip und nlogie zur Optik inteilung der Beugungsmethoden Lue und Brgg sche Gleichung (Vektorfrei) Miller-Indizes, Netzebenenbstände Lue-Gleichung (Vektorform) Bsics Vektorrechnung Luegleichung, Streuvektor Reziprokes Gitter Brgg sche Gleichung? Reflexe? Zusmmenfssung: Von Brgg... bis wld
51 Zusmmenfssung: Von Brgg... bis wld Von Brgg... Reflex hkl Primär strhl d K 2θ Detektor Brgg-Bedingung für Reflex hkl ( h) λ = 2d h sinθ h
52 Zusmmenfssung: Von Brgg... bis wld... über den Streuvektor... θ 1 λ d s* K 2θ θ 1 λ mit reziprokem Gittervektor: 1 d h = 2 λ sinθ h = r h Reflektions bedingung: Streuvektor s h ( d h )=reziproker Gittervektor r h s winkelhlbierend zwischen ein- und us-fllendem Strhl
53 Zusmmenfssung: Von Brgg... bis wld... zur wld-konstruktion θ 1 λ 180 2θ K 2θ θ 1 λ 1 λ s* = r* 0 Streuvektor s h = r h um 1 λ verschieben sinθ = Gegenkthete = O = r Hypotenuse KO 2/λ Vorteil:
54 Zusmmenfssung: Von Brgg... bis wld wld-konstruktion wld Kugel 1 λ K 2θ 0 Reflektions bedingung erfüllt für lle r h, deren ndpunkte uf einer Kugel mit Rdius = 1 λ um den Kristll liegen wld-kugel Pul Peter wld ( )
55 Zusmmenfssung: Von Brgg... bis wld wld-konstruktion wld Kugel 1 λ K 2θ 0 Drehung des Kristlls Drehung des reziproken Gitters Reflexe wndern durch die Reflektions bedingung
56 Zusmmenfssung: Von Brgg... bis wld wld-konstruktion: Grenzkugel Grenzkugel wld Kugel 1 λ 2θ 0 Grenzkugel: durch Kristlldrehungen insgesmt erfssbrer Bereich des reziproken Gitters Rdius: 2 λ
57 Zusmmenfssung: Von Brgg... bis wld Zusmmenfssung Vorussetzung für inkristll-beugungsuntersuchungen monochromtische Strhlung mit λ tombstnd Primärstrhl mit fester infllsrichtung inkristll ortsempfindlicher Detektor wld-konstruktion (Orte der Reflexe) wld-kugel: Kugel mit Rdius 1/λ um Kristll (rel reziprok) Reflektions bedingung: Streuvektor s fällt mit reziprokem Gittervektor r zusmmen wenn r uf wld-kugel s Brgg-Reflex gebeugter Strhl vom Kristll zur Spitze des reziproken Gittervektors = Streuvektors Konsequenzen für xperimente Kristlldrehungen um mindestens 2 chsen Detektoren mit möglichst großer Fläche 2 Rdius der Grenzkugel: λ Reflex-Volumin (Mosik-Struktur) Scns für integrle Intensitäten
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