Die Determinante. Lineare Algebra I. Kapitel Mai 2013

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1 Die Determinante Lineare Algebra I Kapitel Mai 2013

2 Logistik Dozent: Olga Holtz, MA 417, Sprechstunden Freitag Webseite: holtz Assistent: Agnieszka Miedlar, MA 462, Sprechstunden Dienstag Tutoren: Clauß, Große, Reinke, Sieg Anmeldung: über MOSES Fragen? Studentische Studienfachberatung, MA 847 Telefon: (030) Vorlesungen: VL am Dienstag, Mittwoch im MA004 (ausnahmsweise am im HE 101) Zulassung zur Klausur: mit 50% Punkten für Hausaufgaben in jeder Semesterhälfte Klausur: Mitte Juli

3 Permutationen Definition Eine Permutation der Zahlen {1,, n} ist eine bijektive Abbildung σ : {1,, n} {1,, n}.

4 Permutationen Definition Eine Permutation der Zahlen {1,, n} ist eine bijektive Abbildung σ : {1,, n} {1,, n}. Die Menge aller Permutationen von {1,, n} {1,, n} bezeichnen wir mit S n.

5 Permutationen Definition Eine Permutation der Zahlen {1,, n} ist eine bijektive Abbildung σ : {1,, n} {1,, n}. Die Menge aller Permutationen von {1,, n} {1,, n} bezeichnen wir mit S n. 1 w 1 2 w 2 Sei v =. n gibt eine Permutation an. und P σ eine Permutationsmatrix, σ(i) = w i, i = 1,, n so ist P σ v = w =. w n und

6 Permutationen Definition Eine Permutation der Zahlen {1,, n} ist eine bijektive Abbildung σ : {1,, n} {1,, n}. Die Menge aller Permutationen von {1,, n} {1,, n} bezeichnen wir mit S n. 1 w 1 2 w 2 Sei v =. n und P σ eine Permutationsmatrix, σ(i) = w i, i = 1,, n so ist P σ v = w =. w n gibt eine Permutation an. Für n = 3 gibt es folgende Permutationen: und

7 Die Anzahl aller Permutationen von {1,, n} Theorem Die Anzahl der möglichen Permutationen von {1,, n} ist n! = 1 2 (n 1) n.

8 Die Anzahl aller Permutationen von {1,, n} Theorem Die Anzahl der möglichen Permutationen von {1,, n} ist n! = 1 2 (n 1) n. Beweis. Wir verwenden vollständige Induktion. I.A.: Für n = 1 gibt es nur eine Permutation 1! = 1.

9 Die Anzahl aller Permutationen von {1,, n} Theorem Die Anzahl der möglichen Permutationen von {1,, n} ist n! = 1 2 (n 1) n. Beweis. Wir verwenden vollständige Induktion. I.A.: Für n = 1 gibt es nur eine Permutation 1! = 1. I.V.: Die Behauptung sei richtig für n = k.

10 Die Anzahl aller Permutationen von {1,, n} Theorem Die Anzahl der möglichen Permutationen von {1,, n} ist n! = 1 2 (n 1) n. Beweis. Wir verwenden vollständige Induktion. I.A.: Für n = 1 gibt es nur eine Permutation 1! = 1. I.V.: Die Behauptung sei richtig für n = k. I.S.: Sei n = k + 1, dann können wir für jede Permutation von {1,, k}, wovon es k! Stück gibt, die Zahl k + 1 an jede beliebige Stelle setzen, also gibt es Permutationen. (k + 1) (k!) = (k + 1)!

11 Das Signum einer Permutation Definition Das Signum einer Permutation ist definiert durch { } 1, bei gerader Anzahl von Paaren (i, j) sgn(σ) = 1, bei ungerader mit i > j unf σ(i) < σ(j). Ansonsten ist sgn(σ) = 1.

12 Das Signum einer Permutation Definition Das Signum einer Permutation ist definiert durch { } 1, bei gerader Anzahl von Paaren (i, j) sgn(σ) = 1, bei ungerader mit i > j unf σ(i) < σ(j). Ansonsten ist sgn(σ) = 1. Beispiel. {1, 2, 3, 4, 5}, σ 1 = , σ 2 = σ 1 : i σ(i) σ 2 : i σ(i) Paare 3 Paare sgn (σ 1 ) = 1 sgn (σ 2 ) = 1.

13 Die Determinante Definition Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und A = [a ij ] R n,n mit n 1. Dann heißt det(a) = σ S n sgn(σ)a 1,σ(1) a n,σ(n) die Determinante von A.

14 Die Determinante Definition Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und A = [a ij ] R n,n mit n 1. Dann heißt det(a) = σ S n sgn(σ)a 1,σ(1) a n,σ(n) die Determinante von A. Dies ist eine Abbildung det : R n,n R : A det(a)

15 Die Determinante Definition Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und A = [a ij ] R n,n mit n 1. Dann heißt det(a) = σ S n sgn(σ)a 1,σ(1) a n,σ(n) die Determinante von A. Dies ist eine Abbildung Beispiel. Für A = det : R n,n R : A det(a) [ ] a11 a 12 R a 21 a 2,2 22 σ 1 = 1 2 σ 2 = 2 1 sgn σ 1 = 1 sgn σ 2 = 1 det(a) = a 11 a 22 a 12 a 21.

16 Sarrus sche Regel Weiteres Beispiel. Für A = [a ij ] R 3,3 gilt die Regel von Sarrus: σ 1 = σ 3 = σ 5 = σ 2 = σ 4 = σ 6 = sgn(σ 1 ) = +1 sgn(σ 3 ) = 1 sgn(σ 5 ) = +1 sgn(σ 2 ) = 1 sgn(σ 4 ) = +1 sgn(σ 6 ) = 1 det(a) = +a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31

17 Eigenschaften der Determinante Lemma Sei A R n,n i) Ist A obere oder untere Dreiecksmatrix, so ist det(a) = a 11 a n,n. ii) Hat A eine Zeile oder Spalte von Nullen, so ist det(a) = 0. iii) Die Determinante einer Permutationsmatrix ist gleich dem Signum der zugehörigen Permutation.

18 Eigenschaften der Determinante Lemma Sei A R n,n i) Ist A obere oder untere Dreiecksmatrix, so ist det(a) = a 11 a n,n. ii) Hat A eine Zeile oder Spalte von Nullen, so ist det(a) = 0. iii) Die Determinante einer Permutationsmatrix ist gleich dem Signum der zugehörigen Permutation. Beweis. i) Sei σ S n, σ 1 2 n, so gibt es ein i mit i > σ(i). Also gilt für eine obere Dreiecksmatrix Also bleibt nur a 1,σ(1) a n,σ(n) = 0, da a i,σ(i) = 0. det(a) = sgn(1 2 3 n) }{{} = 1, da 0 Paare a 11 a nn = a 11 a nn Für untere Dreiecksmatrizen gilt der Beweis analog.

19 Eigenschaften der Determinante ii) Falls A eine Nullzeile hat, so gilt a k,l = 0, l = 1,, n, also ist in jedem der Produkte a 1,σ(1) a n,σ(n) mindestens ein Faktor gleich 0. Für Nullspalten gilt das analog. iii) Es gibt natürlich nur ein Produkt, welches ungleich Null ist; das ist a 1,σ(1) a n,σ(n) = 1. Alle anderen sind 0 und damit folgt die Behauptung.

20 Eigenschaften der Determinante ii) Falls A eine Nullzeile hat, so gilt a k,l = 0, l = 1,, n, also ist in jedem der Produkte a 1,σ(1) a n,σ(n) mindestens ein Faktor gleich 0. Für Nullspalten gilt das analog. iii) Es gibt natürlich nur ein Produkt, welches ungleich Null ist; das ist a 1,σ(1) a n,σ(n) = 1. Alle anderen sind 0 und damit folgt die Behauptung. Determinanten von Elementarmatrizen. Elementarmatrizen P ij, M i (λ), G ij (λ) sind: Die Determinanten der

21 Eigenschaften der Determinante ii) Falls A eine Nullzeile hat, so gilt a k,l = 0, l = 1,, n, also ist in jedem der Produkte a 1,σ(1) a n,σ(n) mindestens ein Faktor gleich 0. Für Nullspalten gilt das analog. iii) Es gibt natürlich nur ein Produkt, welches ungleich Null ist; das ist a 1,σ(1) a n,σ(n) = 1. Alle anderen sind 0 und damit folgt die Behauptung. Determinanten von Elementarmatrizen. Elementarmatrizen P ij, M i (λ), G ij (λ) sind: Die Determinanten der det P ij = 1,

22 Eigenschaften der Determinante ii) Falls A eine Nullzeile hat, so gilt a k,l = 0, l = 1,, n, also ist in jedem der Produkte a 1,σ(1) a n,σ(n) mindestens ein Faktor gleich 0. Für Nullspalten gilt das analog. iii) Es gibt natürlich nur ein Produkt, welches ungleich Null ist; das ist a 1,σ(1) a n,σ(n) = 1. Alle anderen sind 0 und damit folgt die Behauptung. Determinanten von Elementarmatrizen. Elementarmatrizen P ij, M i (λ), G ij (λ) sind: Die Determinanten der det P ij = 1, det M i (λ) = λ,

23 Eigenschaften der Determinante ii) Falls A eine Nullzeile hat, so gilt a k,l = 0, l = 1,, n, also ist in jedem der Produkte a 1,σ(1) a n,σ(n) mindestens ein Faktor gleich 0. Für Nullspalten gilt das analog. iii) Es gibt natürlich nur ein Produkt, welches ungleich Null ist; das ist a 1,σ(1) a n,σ(n) = 1. Alle anderen sind 0 und damit folgt die Behauptung. Determinanten von Elementarmatrizen. Elementarmatrizen P ij, M i (λ), G ij (λ) sind: Die Determinanten der det P ij = 1, det M i (λ) = λ, det G ij (λ) = 1.

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