Korrekturhinweise zum Skript Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik

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1 Korrekturhinweise zum Skript Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 1) Die Seiten wurden komplett überarbeitet: Gradient Der Gradient ist der Vektor der beiden ersten Ableitungen einer Funktion mit 2 unabhängigen Variablen. Mathematisch schreibt man: = Interpretation: Die Richtung des Gradientenvektors ist die Richtung des steilsten Anstiegs der Funktion und die Länge des Gradientenvektors ist ein Maß für die Stärke des Anstiegs der Funktion in Richtung des Gradienten. Hesse-Matrix Die Hesse-Matrix besteht aus den zweiten partiellen Ableitungen. Mathematisch schreibt man: = Mit Hilfe der Hesse-Matrix kann man Aussagen über die Konvexität/Konkavität der Funktion machen: -Ist die Hesse-Matrix positiv semidefinit so ist die Funktion konvex. - Ist die Hesse-Matrix streng positiv semidefinit so ist die Funktion streng konvex. - Ist die Hesse-Matrix negativ semidefinit so ist die Funktion konkav. - Ist die Hesse-Matrix streng negativ semidefinit so ist die Funktion streng konvex. -In allen anderen Fällen kann keine Aussage über das Krümmungsverhalten gemacht werden (die Matrix ist indefinit).

2 Die Hesse-Matrix wird auch genutzt um Aussagen über die kritischen Punkte der Funktion zu machen. Dabei gilt: -Ist die Determinante der Hesse-Matrix an einem kritischen Punkt positiv so liegt ein Extremwert vor. Ist das Element >0 so handelt es sich um ein Minimum. Ist das Element <0 so handelt es sich um ein Maximum. -Ist Hesse-Matrix an einem kritischen Punkt negativ so liegt ein Sattelpunkt vor. Hauptunterdeterminantenkriterium Die Definitheit einer Matrix läßt sich auch anhand der Hauptunterdeterminanten (Minoren) bestimmen: Sind alle Hauptunterdeterminanten positiv so ist die Matrix positiv definit. Alternieren die Vorzeichen der Hauptunterdeterminanten so ist die Matrix negativ definit. Die Semidefinitheit kann über die Hauptunterdeterminanten nicht bestimmt werden. Das totale Differential Beim totalen Differential wir die Änderung des Funktionswertes bei einer infinitisimal kleinen Erhöhung beider bzw. aller unabhängigen Variablen ermittelt. Diese ist die Summer der beiden/aller partiellen Ableitungen. Mathematisch schreibt man: Beispiel: = + =+4 Zur Bestimmung des totalen Differentials bildet man zunächst beide Ableitungen: Das totale Differential ist dann: = =8 = +8 = +

3 2) Auf S. 189 fehlt die Lösung zu Aufgabe 14: Lösung zu Aufgabe 14 Bei einer 9:::1 Verteilung müssten die 556 Erbsen wie folgt verteilt sein: Runde gelbe Erbsen: 1275 Runde grüne Erbsen: Kantige gelbe Erbsen: Kantige grüne Erbsen: 475 Zur Lösung nutzt man den Chi Quadrat Anpassungstest. Als Prüfgröße nutzt man: & = h "# h %# #' Dabei ist m die Anzahl an Merkmalsausprägungen (bzw. Merkmalsklassen bei stetigen Merkmalen). Es muss gelten h %# >5 ansonsten kann die Verteilung nicht verwendet werden. Dies ist ein einseitiger Test und die obere Annahmegrenze ist der Wert der Chi Quadrat Verteilung mit ) 1 Freiheitsgraden und Signifikanzniveau 1. h %# Man erhält = =047 Die Hypothese der Gleichheit kann nicht abgelehnt werden.

4 ) In der Lösung 4.1 in ein Rechenfehler bei der Ableitung von h(x). Korrekt lautet es: Lösung zu 4.1 a)für die Elastizität gilt:. = / = Bei der Ermittlung der ersten Ableitung muss jeweils die Quotientenregel genutzt werden: Zur Erinnerung kurz die Quotientenregel: Nun kann gekürzt werden: = 0 h = 0 h 0 h h = = =

5 4)Auf Seite 159 ist ein Tippfehler im Datensatz wodurch die Regressionsgerade falsch berechnet wurde. Korrekt heißt es: Beispiel: Es seien die folgenden Daten gegeben: Die Regressionsgerade lautet: 1= 05+1 Die Residuen ermittelt man aus folgender Tabelle: Aus den Residuen kann man nun die Varianz um die Regressionsgerade herum ermitteln Die letzte Zeile wird nun aufaddiert und durch N-2 geteilt. Man erhält: 8 4 = є; =01

6 5) In der Lösung zu 4.1 b) wurde das Endergebnis falsch berechnet. Korrekt lautet es: Lösung zu 4.1 b) Der Gradiente ist der Vektor aus den beiden ersten partiellen Ableitungen. 0 = =<2+2 ==

7 6) Aus dem Fehler auf S. 159 ergibt sich ein Folgefehler für die Seiten 162/16. Die Rechnung mit den Korrekten Werten lautet: Beispiel zum Konfidenzintervall: Wir bleiben bei dem Beispiel aus Seite 159. Es soll ein 95% Konfidenzintervall für = 08 angegeben werden. Man benötigt folgende Werte: 5 = wurde bereits berechnet: 5 5> = = є; =01 81=02 Man erhält für 8? ;: Für das Konfidenzintervall gilt nun: 5 8 ;=81A? 9 5 5> 1±EF G8?; 1 wurde schon auf -08 geschätzt. Nun kann man einsetzen: 08± =02A =09 Der geringe Stichprobenumfang und die hohe Varianz führen zu einem sehr großen Intervall. Tests für a und b Es gilt für die Prüfgrößen: I? = 1 J 8 ; ~E9 2? I L = M N M J 8; ~E9 2 L

8 Beispiel: Angenommen es soll die Nullhypothese =0 mit =5% getestet werden (Achtung die ""s bezeichnen verschiedene Dinge). Wieder muss nur in die richtige Formel eingesetzt werden: Als Prüfgröße erhält man: I? = 1 J 8 ; ~E9 2? I? = = 21 Dies liegt innerhalb der kritischen Werte der t-verteilung für 9=4 nämlich 4 QR +4. Die Nullhypothese kann also nicht abgelehnt werden.

9 7) In Klausur 9/2012 befinden sich folgende Rechenfehler: In Lösung 1a) wurde die zweite Ableitung nach x1 falsch berechnet. Korrekt ist: Aufgabe 1 1a) = 6 +6 = 6 Auf Seite 255 wurde im Simplextableau nicht ganz zuende gerechnet. Korrekt ist: Das Pivotelement ist die /2. Ein Simplexschritt ergibt: S J S S S T S U M /9 20/ / /9 2/ 28 Das Ergebnis kann aus dem Tableau abgelesen werden: S =28 S =19

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