LGÖ Ks M 12 Schuljahr 2017/2018. Zusammenfassung: Abstände, Winkel und Spiegelungen

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1 LGÖ Ks M 12 Schuljahr 217/218 Zusammenfassung: Asände, Winkel und Spiegelungen Inhalsverzeichnis Asände 1 Winkel 5 Spiegelungen 7 Für Experen 1 Asände Asand Punk Punk: Schreiweise: Den Asand zweier Punke A und B ezeichne man mi ( ; ) eines Punks A von einer Geraden g mi d( A; g ) usw Bekann: Der Asand zweier Punke A und B (zw die Länge der Srecke AB) is d ( A; B) = d AB d AB, den Asand In der Eene is die Menge der Punke, die von zwei Punken A und B gleich wei enfern sind, die Mielsenkreche der Srecke AB Im Raum ilden diese Punke eine Eene: Fessellung: Gegeen sind zwei Punke A und B Die Menge der Punke, die von A gleich wei enfern sind wie von B, is die Eene, ezüglich der A und B symmerisch sind Sie enhäl den Mielpunk M der Srecke AB, und ein Normalenvekor is der Vekor MA (oder MB oder AB ) Aufgae: Gegeen sind zwei Punke A und B und eine Gerade g, die nich parallel zu der Eene is, ezüglich der A und B symmerisch sind Besimme den Punk auf g, der von A und B gleich wei enfern is Lösung: erse Möglichkei: Is P der allgemeine Punk der Geraden g, dann esimme mihilfe der Gleichung AP = BP zweie Möglichkei: Besimme die Eene E, ezüglich der A und B symmerisch sind Der Schnipunk von E und g is der gesuche Punk Bemerkung: Eine allgemeinere Form dieser Aufgae, eispielsweise: Besimme den Punk auf g, der von A doppel so wei wie von B enfern is kann man nur analog zur ersen Möglichkei lösen Bemerkung: Die Aufgae: Gegeen sind zwei Punke A und B Besimme die Mielsenkreche der Srecke AB is nich sinnvoll, da es (im Raum) unendlich viele Lösungen gi Aufgae: Gegeen sind zwei Punke A und B sowie eine Eene E, in der A und B liegen Besimme die Mielsenkreche der Srecke AB, die in E lieg Lösung: Is M der Mielpunk der Srecke AB und n ein Normalenvekor von E, dann is x = m + AB n eine Gleichung der gesuchen Geraden ( ) zus_asaendewinkelundspiegelungen 1/14

2 LGÖ Ks M 12 Schuljahr 217/218 Anwendung: Besimmung der Mielsenkrechen und des Umkreismielpunks eines Dreiecks Hinweise: 1 Die Mielsenkrechen eines gleichseiigen Dreiecks kann man einfacher esimmen: Dies sind die Geraden durch die Seienmielpunke und die gegenüerliegenden Eckpunke 2 Den Umkreismielpunk eines rechwinkligen Dreiecks kann man einfacher esimmen: Dies is der Mielpunk der Hypoenuse Asand Punk Gerade: Sandardaufgae: Besimme den Asand eines Punks Q von einer Geraden g Lösung: erse Möglichkei (Minimierung des Asands mi dem GTR): Is P der allgemeine Punk von g, dann esimme mi dem GTR das Minimum des Asands von Q und P, also das Minimum von QP (als Funkion von ) zweie Möglichkei (mi Orhogonaliäsedingung): Is P der allgemeine Punk von g und u der Richungsvekor von g, dann esimme den Fußpunk F des Los von Q auf g mihilfe der Bedingung PQ u = drie Möglichkei (mi orhogonaler Hilfseene): Besimme den Fußpunk F des Los von Q auf g mihilfe der orhogonalen Hilfseene Dann is d ( Q; g ) = QF gggd Hinweis: Wenn der GTR verwende werden darf, is die erse Möglichkei am einfachsen Achung: Dieser Asand is nich der Asand von Q zum Punk der Geraden! Anwendung: Besimmung der Höhe eines Dreiecks, eines Parallelogramms oder eines Trapezes Hinweis: Die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks und eines gleichschenkligen Trapezes kann man einfacher esimmen Anwendung: Besimmung des Flächeninhals eines Dreiecks, eines Parallelogramms oder eines Trapezes Hinweis: Den Flächeninhal eines rechwinkligen Dreiecks kann man einfacher esimmen, und den Flächeninhal eines elieigen Dreiecks, eines Parallelogramms und eines elieigen Vierecks erechne man am einfachsen mi dem Vekorproduk Aufgae: Besimme den Asand zweier paralleler Geraden Lösung: Besimme den Asand des Punks einer der Geraden von der anderen Geraden Achung: Dieser Asand is nich der Asand der Punke der Geraden! zus_asaendewinkelundspiegelungen 2/14

3 LGÖ Ks M 12 Schuljahr 217/218 Asand Punk Eene: Definiionen: 1 Is n ein normierer Normalenvekor einer Eene (also n = 1) und is P ein Punk der Eene, dann heiß n x p = ( ) eine Gleichung der Eene in Hesse scher Normalenform (HNF) 2 Die Koordinaendarsellung der HNF einer Eene E: nx 3 3= d is nx 3 3 d = n + n + n Merke: Man erhäl die HNF, indem man d auf die linke Seie der Gleichung ring und durch den Berag des Normalenvekors dividier Saz (Beweis siehe Für Experen ): Is eine Eene E durch eine Gleichung n x p = ( ) in Hesse scher Normalenform gegeen, dann ha ein Punk Q von E den Asand d d d d Q; E = n q q ( ) ( ) Folgerung: Der Asand eines Punks ( ) Q q1 q2 q 3 von einer Eene E: nx + nx + nx = d is nq + nq + nq d ( ; ) = d Q E n + n + n Bemerkung: Da der Nenner posiiv is, kann man die Beragssriche auch nur um den Zähler sezen Merke: Man erhäl den Asand eines Punks von einer Eene, indem man die Koordinaen des Punks in die linke Seie der HNF einsez und den Berag nimm Angewand auf den Fall, dass der Punk der Ursprung is, ergi dies die Fessellung: Eine Eene E: nx 3 3= d ha vom Ursprung den Asand d n + n + n Als Sonderfall ergi sich die ereis ekanne Tasache, dass eine Eene E: nx 3 3= d genau dann den Ursprung enhäl, wenn = is Sandardaufgae: Besimme den Asand eines Punks Q von einer Eene E zus_asaendewinkelundspiegelungen 3/14

4 LGÖ Ks M 12 Schuljahr 217/218 Lösung: erse Möglichkei: Seze die Koordinaen des Punks in die linke Seie der Koordinaendarsellung der HNF von E ein und nimm den Berag zweie Möglichkei: Besimme den Fußpunk F des Los von Q auf E mihilfe der Logeraden Dann is d ( Q; E) = QF d Hinweis: Wenn nur der Asand gefrag is, dann is die erse Möglichkei einfacher Wenn auch der Lofußpunk gefrag is, dann muss man die zweie Möglichkei verwenden Anwendung: Besimmung der Höhe einer Pyramide oder eines Prismas Anwendung: Besimmung des Volumens einer Pyramide oder eines Prismas Aufgae: Besimme den Asand einer Geraden von einer zu der Geraden parallelen Eene Lösung: Besimme den Asand des Punks der Geraden von der Eene Aufgae: Besimme den Asand zweier paralleler Eenen Lösung: erse Möglichkei: Wähle einen Punk in einer der Eenen und esimme seinen Asand von der anderen Eene zweie Möglichkei: Sind die Eenen durch Koordinaengleichungen mi derselen linken Seie gegeen: E: nx 3 3= de und F: nx 3 3= df, de df dann is d( E; F) = n + n + n Aufgae: Gegeen sind eine Eene E, eine Gerade g, die nich parallel zu E is, und eine posiive Zahl d Besimme die eiden Punke auf der Geraden g, die von der Eene E den Asand d haen Lösung: erse Möglichkei: Seze in die linke Seie der Koordinaendarsellung der HNF von E die Koordinaen des allgemeinen Punks P von g ein und nimm den Berag; dies is d( P ; E ) Die Bedingung d( P ; E) = d ergi eine Beragsgleichung für den Parameer r Hinweis: Diese Beragsgleichung kann man ohne weiere Umformungen mi dem GTR lösen; der Berag is der Befehl as (von Asoluerag) im MATH-NUM-Menü Lös man die Gleichung ohne GTR, dann muss man eachen, dass eine Gleichung der Form x = y äquivalen zu den Gleichungen x = y oder x = y is zweie Möglichkei: Besimme die eiden zu E parallelen Eenen, die von E den Asand d haen Die gesuchen Punke sind die Schnipunke von g und diesen Eenen Hinweis: Die Aufgae is einfacher, wenn g orhogonal zu E is zus_asaendewinkelundspiegelungen 4/14

5 LGÖ Ks M 12 Schuljahr 217/218 Aufgae: Gegeen sind zwei Eenen E und F, die nich parallel sind, und eine Gerade g, die zu keiner der eiden winkelhalierenden Eenen von E und F parallel is und die die Schnigerade von E und F nich schneide Besimme die eiden Punke auf der Geraden g, die denselen Asand von E wie von F haen Lösung: Seze in die linke Seie der Koordinaendarsellungen der HNF von E zw F die Koordinaen des allgemeinen Punks P von g ein und nimm den Berag; dies is d( P ; E ) zw ( ; ) d P F Die Bedingung ( ; ) = d( P; F) d P E ergi eine Beragsgleichung für den Parameer Hinweis: Diese Beragsgleichung kann man ohne weiere Umformungen mi dem GTR lösen Lös man die Gleichung ohne GTR, dann muss man eachen, dass eine Gleichung der Form x = y äquivalen zu den Gleichungen x = y oder x = y is Sandardaufgae: Besimme den Mielpunk und den Radius der Inkugel einer regelmäßigen Pyramide Lösung: Besimme die zu der Eene G, in der die Grundfläche der Pyramide lieg, orhogonale Gerade g durch den Mielpunk der Grundfläche Wähle eine Seienfläche E der Pyramide Der Mielpunk der Inkugel is einer der eiden Punke auf der Geraden g, die denselen Asand von G wie von E haen Der Radius der Inkugel is der Asand des Mielpunks von der Grundfläche G (oder von der Seienfläche E) Winkel Wiederholung Trigonomerie: G sinϕ = H ϕ H A G A cosϕ = H G anϕ = A Winkel zwischen zwei Vekoren Definiion: Gegeen sind zwei Vekoren a o und o Derjenige Winkel, den zwei zugehörige Pfeile mi demselen Anfangspunk ilden und der kleiner oder gleich 18 is, heiß der Winkel zwischen den Vekoren a und a a Saz (Beweis siehe Für Experen ): Is ϕ der Winkel zwischen zwei Vekoren a und, dann gil a = a cosϕ Da der Kosinus eines Winkels ϕ mi ϕ 18 genau dann Null is, wenn ϕ = 9 is, folg daraus die ekanne Tasache, dass das Skalarproduk zweier vom Nullvekor verschiedener Vekoren genau dann Null is, wenn die Vekoren orhogonal sind zus_asaendewinkelundspiegelungen 5/14

6 LGÖ Ks M 12 Schuljahr 217/218 Folgerung: Für den Winkel ϕ zwischen zwei Vekoren a o und o gil a cosϕ = a Aufgae: Besimme den Innenwinkel, den zwei Seien eines Vielecks einschließen zw den Winkel, den zwei Kanen eines Körpers einschließen Seze voraus, dass das Vieleck zw der Körper keine einspringende Ecke zw Kane ha Lösung: Sind die Seien zw Kanen die Srecken AB und AC, dann is der gesuche Winkel der Winkel ϕ zwischen den Vekoren AB und AC, d h es gil AB AC cosϕ = AB AC C A B Definiion: Schneiden sich zwei Geraden, so ensehen vier Winkel, je zwei der Größe ϕ und je zwei der Größe 18 ϕ Der Schniwinkel der Geraden is derjenige Winkel, der kleiner oder gleich 9 is Saz (ohne Beweis): Für den Schniwinkel α zweier Geraden mi den Richungsvekoren u 1 und u 2 gil u1 u2 cosα = u u 1 2 Definiion: Gegeen sind eine Gerade g und eine Eene E, die sich schneiden 1 Is g orhogonal zu E, dann is der Schniwinkel von g und E 9 2 Is g nich orhogonal zu E, dann is der Schniwinkel von g und E der Schniwinkel der Geraden g und ihrer senkrechen Projekion auf die Eene E Der Schniwinkel einer Geraden und einer Eene is also ses kleiner oder gleich 9 Saz (ohne Beweis): Für den Schniwinkel α einer Geraden mi dem Richungsvekor u und einer Eene mi dem Normalenvekor n gil u n sinα = u n Aufgae: Besimme den Winkel, den eine Kane und eine Fläche eines Körpers einschließen Seze voraus, dass der Körper keine einspringende Kane ha Lösung: Der gesuche Winkel is enweder der Schniwinkel der Kane und der Fläche (eigenlich: der Schniwinkel der Trägergeraden der Kane und der Trägereene der Fläche), oder 18 minus diesem Winkel Bemerkung: Man enöig eine Zeichnung des Körpers, um dies enscheiden zu können zus_asaendewinkelundspiegelungen 6/14

7 LGÖ Ks M 12 Schuljahr 217/218 Definiion: Gegeen sind zwei sich schneidende Eenen Man kann jede der Eenen um die Schnigerade in die andere Eene hineindrehen, und zwar um einen Winkel ϕ oder um einen Winkel 18 ϕ Der Schniwinkel der Eenen is derjenige Winkel, der kleiner oder gleich 9 is Saz (ohne Beweis): Für den Schniwinkel α zweier Eenen mi den Normalenvekoren n 1 und n 2 gil n1 n2 cosα = n n 1 2 Aufgae: Besimme den Winkel, den zwei Flächen eines Körpers einschließen Seze voraus, dass der Körper keine einspringende Kane ha Lösung: Der gesuche Winkel is enweder der Schniwinkel der eiden Flächen (eigenlich: der Schniwinkel der eiden Trägereenen der Flächen), oder 18 minus diesem Winkel Bemerkung: Man enöig eine Zeichnung des Körpers, um dies enscheiden zu können Achung: Bei den Formeln für den Schniwinkel zweier Geraden zw einer Geraden und einer Eene zw zweier Eenen seh im Zähler der Berag des Skalarproduks, während ei der Formel für den Winkel zwischen zwei Vekoren das Skalarproduk ohne Berag im Zähler seh! Spiegelungen (Senkreche) Projekionen: (Senkreche) Projekion eines Punks P auf eine Eene E: Der Bildpunk is der Fußpunk des Los von P auf E Sonderfall: Der Punk P( p1 p2 p 3) ha ei der Projekion auf die x1 - x 2 -Eene den Bildpunk P ( p1 p2 ) auf eine Gerade g: Der Bildpunk is der Fußpunk des Los von P auf g Sonderfall: Der Punk P( p1 p2 p 3) ha ei der Projekion auf die 1 P ( p 1 ) (Senkreche) Projekion einer Geraden g: x = p+ u auf eine Eene E: Besimme den Fußpunk F des Los von P auf g Prüfe, o g und E parallel sind Falls ja: g : x = f + u (da g g) Falls nein: Besimme den Schnipunk S von g und E g : x = f + FS x -Achse den Bildpunk zus_asaendewinkelundspiegelungen 7/14

8 LGÖ Ks M 12 Schuljahr 217/218 Sonderfall: Die Gerade g: p1 u1 x = p + u p1 u1 Bildgerade g : x = p2 + u2 2 2 p 3 u 3 ha ei der Projekion auf die x1 - x 2 -Eene die Spiegelungen: Spiegelung eines Punks P an einem Punk Z: Der Bildpunk P ha den Orsvekor p = z + PZ oder p = p + 2 PZ an einer Geraden g: Besimme den Fußpunk F des Los von P auf g und spiegle P an F Achung: Nich am Punk von g spiegeln! an einer Eene E: Besimme den Fußpunk F des Los von P auf E und spiegle P an F P p p p ha ei der Spiegelung Sonderfälle: Der Punk ( 1 2 3) am Ursprung den Bildpunk P ( p1 p2 p3) ; an der x1 -Achse den Bildpunk P ( p1 p2 p3) ; x -Eene den Bildpunk P ( p p p ) an der x Spiegelung einer Geraden g: x = p+ u an einem Punk Z: Spiegle den Punk P an Z g : x = p + u (da g g) an einer zu g parallelen Geraden h: Spiegle den Punk P am Punk von h g : x = p + u (da g g) an einer Eene E: Spiegle den Punk P an E Prüfe, o g und E parallel sind Falls ja: g : x = p + u (da g g) Falls nein: Besimme den Schnipunk S von g und E g : x= p + PS Immer möglich, aer ungeschick: Spiegle den Punk P und einen weieren Punk Q von g an dem Ojek Dann is g : x= p + PQ zus_asaendewinkelundspiegelungen 8/14

9 LGÖ Ks M 12 Schuljahr 217/218 Spiegelung einer Eene E mi dem Normalenvekor n an einem Punk Z: Wähle einen Punk P in E und spiegle ihn an Z E : n ( x p ) = (da E E) an einer zu E parallelen Geraden g: Wähle einen Punk P in E und spiegle ihn am Punk von g E : n ( x p ) = (da E E) an einer zu E parallelen Eene F: Wähle einen Punk P in E und einen Punk Q in F Spiegle P an Q E : n ( x p ) = (da E E) Immer möglich, aer ungeschick: Wähle drei Punke P, Q und R in E und spiegle sie an dem Ojek Dann is E : x= p + rpq + spr Besimmung des Ojeks, an dem gespiegel wird: Der Punk, ezüglich dem zwei Punke P und Q symmerisch sind, is der Mielpunk der Srecke PQ Die Eene, ezüglich der zwei Punke P und Q symmerisch sind, ha die Gleichung MP x m = oder MQ ( x m) = oder PQ ( x m) = Daei is m der Orsvekor ( ) des Mielpunks der Srecke PQ Die Gerade, ezüglich der zwei parallele Geraden g: x = p+ u und h: x = q+ u symmerisch sind, also die Mielparallele von g und h, ha die Gleichung x = m+ u Daei is m der Orsvekor des Mielpunks der Srecke PQ Die Eene, ezüglich der zwei parallele Eenen E: n ( x p) = n x q = symmerisch sind, ha die Gleichung n ( x m) = Daei is m der Orsvekor des und F: ( ) Mielpunks der Srecke PQ Die Eene, ezüglich der zwei parallele Eenen E: nx 3 3= e und e+ f F: nx 3 3= f symmerisch sind, ha die Gleichung nx 3 3= 2 Nachweis der Symmerie: Zeige, dass zwei Punke P und Q symmerisch zu einem Punk Z sind: Zeige, dass der Mielpunk der Srecke PQ der Punk Z is einer Geraden g mi dem Richungsvekor u sind: 1 Zeige, dass PQ u = is 2 Zeige, dass der Mielpunk der Srecke PQ auf g lieg einer Eene E mi dem Normalenvekor n sind: 1 Zeige, dass PQ und n linear ahängig sind 2 Zeige, dass der Mielpunk der Srecke PQ in E lieg Immer möglich, aer ungeschick: Spiegle P an dem Ojek und zeige, dass der Bildpunk der Punk Q is zus_asaendewinkelundspiegelungen 9/14

10 LGÖ Ks M 12 Schuljahr 217/218 Für Experen Saz (Beweis siehe unen): Gegeen sind zwei windschiefe Geraden g: x = p+ u und h: x = q+ v Is n ein Vekor mi n u und n v und n = 1, dann haen g und h den Asand ggd d gd d g h n q p ( ; ) = ( ) Aufgae: Besimme den Asand zweier windschiefer Geraden g: x = p+ u und h: x = q+ v Lösung: 1 Berechne n = u v 2 Normiere n, d h erechne n 1 und noiere n = n n 3 Berechne q p 4 Berechne n ( q p) ggd d gd d g; h = n q p 5 ( ) ( ) Anwendung: Berechnung des minimalen Asands der Bahnen zweier Körper, eispielsweise zweier Flugzeuge, die sich gleichförmig längs windschiefer Geraden ewegen Achung: Das is ewas anderes als der minimale Asand der eiden Körper! Fessellung und Definiion: Sind g und h windschiefe Geraden, dann gi es einen eindeuig esimmen Punk F g auf g und einen eindeuig esimmen Punk F h auf h mi der Eigenschaf, dass die Srecke FF g h orhogonal zu g und zu h is Die Srecke FF g h heiß das gemeinsame Lo von g und h, und die Punke F g und F h heißen die Lofußpunke Ihr Asand is der kürzese Asand zwischen einem Punk von g und einem Punk von h, also gleich dem Asand von g und h: d g h = gggggd FF ( ) ; g h Aufgae: Besimme die Fußpunke des gemeinsamen Los zweier windschiefer Geraden g: x = p+ u und h: x = q+ v Lösung: 1 Noiere den allgemeinen Punk P r von g und den allgemeinen Punk Q s von h Achung: Die Parameer (hier: r und s) müssen verschieden ezeichne werden! 2 Die Bedingungen u PQ r s = und v PQ r s = führen auf ein eindeuig lösares LGS mi zwei Gleichungen und den Unekannen r und s Aus den Lösungen für r und s erhäl man die Punke F g und F h Bemerkung: Man kann den Asand zweier windschiefer Geraden erechnen, indem man die Fußpunke des gemeinsamen Los esimm und deren Asand erechne Die Formel zur Berechnung des Asands is aer einfacher zus_asaendewinkelundspiegelungen 1/14

11 LGÖ Ks M 12 Schuljahr 217/218 Aufgae: Besimme die zu zwei windschiefen Geraden g und h orhogonale Gerade, die g und h schneide Lösung: Besimme die Fußpunke F g und F h des gemeinsamen Los von g und h Die Gerade durch diese eiden Punke is die gesuche Gerade Zusammenhang zwischen Skalarproduk und Winkel: Kosinussaz: Schließen in einem Dreieck die Seien a und den Winkel ϕ ein, dann gil für die drie Seie c: c = a + 2a cosϕ ϕ c a Also gil in neensehendem Dreieck: c = a + 2 a cosϕ a cosϕ = a + c Daraus folg a cosϕ = ( a + c 2 ) = 2 ( a + a ) ( a + a + a ) + ( + + ) = a + a + a Ergenis: (( ) ( ) ( ) ) ϕ a c = + a = a a1 + a2 + a = ( a 2a + + a 2a + + a 2a + ) a a a = = ( 2 a a a 3 3) 2 = a 1 1+ a 2 2+ a 3 3 = a a = a cos ϕ a1 2a a2 2a a3 2a Geomerische Bedeuung des Skalarproduks: Fessellung und Definiion: Gegeen sind zwei Vekoren a o und o Dann gi es zwei eindeuig esimme Vekoren a und a mi folgenden Eigenschafen: 1 a und sind linear ahängig 2 a 3 a + a = a Der Vekor a heiß die (senkreche) Projekion von a auf zus_asaendewinkelundspiegelungen 11/14 a a a

12 LGÖ Ks M 12 Schuljahr 217/218 Bemerkung: In Physik nenn man dies die Zerlegung des Vekors a in eine Komponene parallel zu und in eine hierzu orhogonale Komponene Das Skalarproduk zweier Vekoren häng mi der Projekion eines Vekors auf den anderen folgendermaßen zusammen: Is ϕ der Winkel zwischen den Vekoren a o und o, dann, gil 1 im Fall ϕ 9 : a a cosϕ = a ϕ a a = a cosϕ Also a = a cosϕ = a Im Fall ϕ = is cos = 1 und a = a ; also gil auch in diesem Fall a = a Im Fall ϕ = 9 is cos9 = und a = o ; also gil auch in diesem Fall a = a 2 im Fall 9 = cosϕ is): a a cos( 18 ϕ ) = a ϕ a a cosϕ = a a = a cosϕ Also a = a cosϕ = a Im Fall ϕ = 18 is cos18 = 1 und a = a ; also gil auch in diesem Fall a = a ϕ > (Beache, dass cos( 18 ϕ) Ergenis: Is ϕ der Winkel zwischen den Vekoren a o und o, dann, gil a = a Merke: Der Berag des Skalarproduks zweier Vekoren is gleich dem Berag der Projekion des einen Vekors auf den anderen Vekor mal dem Berag des anderen Vekors Folgerung: Is der Vekor = normier, d h is = 1, dann gil a = a Merke: Der Berag des Skalarproduks eines Vekors und eines normieren Vekors is gleich dem Berag der Projekion des Vekors auf den normieren Vekor Beweis des Sazes: Is eine Eene E durch eine Gleichung x p n = E: ( ) zus_asaendewinkelundspiegelungen 12/14

13 LGÖ Ks M 12 Schuljahr 217/218 in Hesse scher Normalenform gegeen, dann ha ein Punk Q mi dem Orsvekor q von E den Asand d d d d Q; E = q p n ( ) ( ) Beweis: Berache eine Eene E mi einem normieren Normalenvekor n, d h n = 1, und einem Punk Q P E Aus neensehendem Bild ersieh man: Der Asand des Punks Q von der Eene E is gleich dem Berag der Projekion des Vekors PQ n PQ auf den Normalenvekor n : E P d ( Q; E) = d PQ n Der Berag der Projekion von PQ auf n is gleich dem Berag des Skalarproduks von PQ und n : PQ = PQ n n Aus PQ = q p folg die Behaupung Beweis des Sazes: Gegeen sind zwei windschiefe Geraden g und h Is P ein (elieiger) Punk von g mi dem Orsvekor p und Q ein (elieiger) Punk von h mi dem Orsvekor q und is n gg ein Vekor mi n g und n h und n = 1, dann haen g und h den Asand d gd ggd d g; h = q p n ( ) ( ) Beweis: Berache die Eene E, die die Gerade g enhäl und parallel zur Geraden h is Der gesuche Asand der Geraden g und h is gleich dem Asand der Eene E und der Geraden h: d( g; h) = d( E; h) Da h parallel zu E is, gil: Is Q ein Punk von h, dann is d E; h = d Q; E Is n gg ein Vekor mi n ( ) ( ) g und n h, dann is x p n = von g, dann lieg P auch in E Is n = 1, dann is n ein Normalenvekor von E Is P ein Punk ( ) eine Gleichung von E in Hesse scher Normalenform Also is d d d d Q; E = q p n ( ) ( ) E g h zus_asaendewinkelundspiegelungen 13/14

14 LGÖ Ks M 12 Schuljahr 217/218 Teilverhälnisse: Definiion: Lieg der Punk T auf der Srecke AB und gil AT = TB, dann heiß die Zahl das Teilverhälnis des Punks T ezüglich der Srecke AB z Is das Teilverhälnis raional, also = (vollsändig gekürz), dann sag man, der Punk T eil die n Srecke AB im Verhälnis z: n Halräume: Aus der geomerischen Bedeuung des Skalarproduks folg, dass für eine Eene E: n ( x p) = und einen Punk R mi dem Orsvekor r gil: Is n ( r p) =, dann lieg R in E (klar); is n ( r p) >, dann lieg R auf derjenigen Seie von E, in die ein zu n gehörender Pfeil von E aus zeig; n r p < is ( ), dann lieg R auf der anderen Seie von E Angewand auf den Fall, dass der Punk der Ursprung is, folg daraus: n1 Für eine Eene E: nx 3 3= d mi dem Normalenvekor n = n2 gil: n 3 Is d <, dann lieg der Ursprung auf derjenigen Seie von E, in die ein zu n gehörender Pfeil von E aus zeig; is d >, dann lieg der Ursprung auf der anderen Seie von E zus_asaendewinkelundspiegelungen 14/14