Psychologische Methodenlehre und Statistik I

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Psychologische Methodenlehre und Statistik I"

Transkript

1 Psychologische Methodenlehre und Statistik I Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr SS 2013 Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 1/61

2 Zufallsexperiment Ein Zufallsexperiment (auch Zufallsvorgang) beschreibt einen Versuchsaufbau mit zufälligem Ausgang Zufallsexperiment besteht aus einer Reihe von gleichwertigen und voneinander unabhängigen Versuchen Ein Versuch ist ein Vorgang, der ein nicht vorhersagbares, erfassbares Ergebnis zur Folge hat Obwohl das Ergebnis jedes einzelnen Versuchs zufällig ist, lassen sich bei hinreichend häufiger Wiederholung Gesetzmäßigkeiten erkennen Eine Variable, deren Ausprägungen die Ergebnisse eines Zufallsexperimentes sind, heißt Zufallsvariable Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 2/61

3 Zufallsexperiment Jedes mögliche Ergebnis aus einem Zufallsexperiment nennen wir ein Elementarereignis ω Die Menge aller möglichen Ereignisse ist definiert als der Ereignisraum Ω Der Ereignisraum Ω heißt diskret, wenn er aus abzählbar vielen Elementarereignissen besteht Der Ereignisraum Ω heißt stetig, wenn er aus überabzählbar vielen Elementarereignissen besteht Zufallsexperiment ist ein allgemeiner Begriff, der Grundlage für die Inferenzstatistik ist Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 3/61

4 Zufallsexperiment Beispiel 1: Zufallsexperiment ist einmaliger Wurf mit einer Münze; Ω = { Kopf, Zahl } endlich und abzählbar Beispiel 2: Zufallsexperiment ist Wurf mit einem Würfel so lange bis zum ersten Mal drei Einser hintereinander kommen; wir interessieren uns für die Anzahl der notwendigen Würfe; Ω = 3, 4, 5, oder Ω = {k : k natürliche Zahl 3}; Ω ist diskret und abzählbar unendlich Beispiel 3: Zufallsexperiment ist Lebensdauer einer Glühbirne; Ω = {x : x 0}; Ω ist stetig und überabzählbar unendlich Richtige Bestimmung von Ω ist Voraussetzung für Richtigkeit jeder weiteren statistischen Analyse Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 4/61

5 Definition Es seien ein Wahrscheinlichkeitsraum Ω und p(ω) für alle ω gegeben Eine mathematische Funktion X, welche jedem Ereignis ω eine reelle Zahl X (ω) zuweist, heißt X ist eine, wenn die Werte von X reelle Zahlen sind, die durch ein Zufallsexperiment bestimmt werden, und wenn für die Ereignisse, die man damit beschreiben kann, Wahrscheinlichkeiten angebbar sind Der Wert, den die ZV bei der Durchführung des Zufallsexperimentes annimmt, heißt Realisation von X, und wird mit x bezeichnet Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 5/61

6 Definition ZV Eine ZV wird als konstant bezeichnet, wenn sie nur einen Wert annimmt, X (ω) = c für alle ω Eine ZV wird als diskret bezeichnet, wenn sie nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte annimmt (Würfelspiel) Eine ZV wird als stetig bezeichnet, wenn sie eine Dichte (vgl. Abschnitt Verteilungsfunktion) besitzt Oft interessieren wir uns nicht nur für eine ZV, sondern gleich für mehrere ZV X 1,, X n, einen Zufallsvektor Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 6/61

7 Beispiele Beispiel 1: Einmaliger Wurf mit einer Münze Ω = {Kopf, Zahl}; dem Ergebnis Kopf wird der Wert 1 zugeordnet, dem Ergebnis Zahl der Wert 0 { 0 falls ω = Zahl X (ω) = 1 falls ω = Kopf Beispiel 2: Zweimaliger Wurf mit einer Münze Y sei die Anzahl der Würfe mit Ergebnis Zahl ; Zahl = Z und Kopf = K; Ω = {ZZ, KK, ZK, KZ} Y (ω) = 0 falls ω = KK 1 falls ω = KZ oder ZK 2 falls ω = ZZ Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 7/61

8 Eine diskrete ZV X lässt sich durch ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion beschreiben, welche angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die einzelnen Realisationen x i auftreten Es sei p i die Wahrscheinlichkeit des Auftretens des Wertes x i ; dann ist f (x i ) = P(X = x i ) = p i für alle i, p i [0, 1] die Wahrscheinlichkeitsfunktion der ZV X Wenn alle möglichen Ausprägungen von X berücksichtigt wurden, muss gelten i p i = 1 Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist die Dichte der Verteilung von X bezüglich des Zählmaßes auf der Menge der möglichen Werte; ihre Werte p i werden daher auch als Zähldichte bezeichnet Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 8/61

9 Beispiel: Zweimaliger Wurf mit einer Münze Y sei die Anzahl der Würfe mit Ergebnis Zahl ; Zahl = Z und Kopf = K; Ω = {ZZ, KK, ZK, KZ} Y (ω) = Wahrscheinlichkeitsfunktion P(Y ) 0 falls ω = KK 1 falls ω = KZ oder ZK 2 falls ω = ZZ y i f (y i ) 1 4 Nur Wahrscheinlichkeitsmaße für die einzelnen Ausprägungen Wahrscheinlichkeitsfunktion P(Y ) = theoretische Verteilung im Gegensatz zur empirischen Häufigkeitsverteilung Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 9/

10 Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 10/61

11 Die Verteilungsfunktion oder kumulative Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten ZV X ist definiert für jede reelle Zahl x als F (x) = P(X x) = t x f (t) Summation bedeutet das Aufsummieren über alle t, die kleiner oder gleich als x sind, und als Realisationen der ZV auftreten können F (x) ist die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert x annimmt F (x) ist das Analogon zur empirischen kumulativen Häufigkeitsfunktion Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 11/61

12 Beispiel: Zweimaliger Wurf mit einer Münze; Treppenfunktion mit Sprüngen y i f (y i ) 4 1 F (y i ) Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 12/61

13 Eigenschaften der Verteilungsfunktion Monotonie; folgt direkt aus der Form der Verteilungsfunktion F (x 1 ) F (x 2 ) für x 1 x 2 Normierung im Intervall [0, 1] F (x) 0 für sehr kleines x F (x) 1 für sehr großes x P(c < X b) = F (b) F (c) für c < b Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 13/61

14 Dichtefunktion Eine stetige ZV X kann jeden Wert in einem Intervall [a, b] annehmen Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ausprägungen (Werte) einer stetigen ZV können (im Gegensatz zum diskreten Fall) nicht angegeben werden Es können nur Wahrscheinlichkeiten f (x)dx angegeben werden, mit welchen die Werte innerhalb von Intervallen dx um die Werte x auftreten Beispielsweise fragt man nicht, wie viele Personen exakt 1.75 Meter groß sind, sondern z.b., wie viele Personen zwischen 1.75 und 1.76 Meter groß sind Die Funktion f (x) heißt Dichtefunktion Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 14/61

15 Die Wahrscheinlichkeit, dass die ZV Werte zwischen a und b annimmt, wird dann allgemein definiert als das Integral über die Dichtefunktion mit Integrationsgrenzen a und b. Analog zum diskreten Fall erhält man durch Integration die Verteilungsfunktion F (x) = P(X x) = f (t)dt t x Die Wahrscheinlichkeit ist definiert als Fläche unter der Dichtefunktion Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 15/61

16 Es gilt für alle a < b P(a X b) = P(a < X < b) = b a f (x)dx Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 16/61

17 Eigenschaften der Dichtefunktion Es gilt weiters für alle x f (x) 0 und x f (x)dx = 1 P(a X b) = F (b) F (a) f (x) = df (x) dx = F (x) f (x) gibt an mit welcher Wahrscheinlichkeit Beobachtungen in der Nähe von x auftreten Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 17/61

18 Eigenschaften der Verteilungsfunktion Monotonie F (x 1 ) F (x 2 ) für x 1 x 2 Normierung im Intervall [0, 1] F (x) 0 für sehr kleines x F (x) 1 für sehr großes x P(c X b) = F (b) F (c) für c < b Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 18/61

19 Es seien X und Y ZV; die gemeinsame Verteilungsfunktion von X und Y ist definiert als F (x, y) = P(X x Y y) X und Y heißen stochastisch unabhängig wenn gilt: F (x, y) = P(X x Y y) = P(X x) P(Y y) Bei diskreten ZV folgt Unabhängigkeit aus P(X = x Y = y) = P(X = x) P(Y = y) Bei stetigen ZV folgt Unabhängigkeit aus f (x, y) = f (x) f (y) Obige Regeln sind verallgemeinbar auf beliebig viele ZV Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 19/61

20 Beispiel Beim zweimaligen Würfeln bezeichne X die Augenzahl beim ersten und Y die Augenzahl beim zweiten Wurf Das Ereignis Y = 2 ist unabhängig vom Ereignis X < 2 Auch das Ereignis Y = {2, 4, 6} ist unabhängig vom Ereignis X = {1, 3, 5} X und Y sind stochastisch unabhängig, weil für jede Auswahl von Ereignissen in beiden ZV Unabhängigkeit vorliegt Die Bedingung Y = y beeinflusst nicht die Verteilung von X und umgekehrt Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 20/61

21 Erwartungswert Beispiel: X ist die erhaltene Augenzahl bei einmaligem Würfeln; die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ist x i f (x i ) Welchen Wert erwarten wir, wenn wir dieses Zufallsexperiment sehr lange durchführen? Intuitiv erwarten wir X = 1 bei 1 6 der Würfe, X = 2 bei 1 6 bei der Würfe, usw. Der Durchschnitt von X auf lange Sicht ist der Erwartungswert von X = 3.5, Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 21/61

22 Erwartungswert Der Erwartungswert einer ZV ist ein Maß für das Zentrum der Verteilung Bei einer diskreten ZV X ist der Erwartungswert definiert E [X ] als der gewichtete Durchschnitt über alle möglichen Ausprägungen von X ; die Gewichte sind die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten. E [X ] = x xf (x) Bei einer stetigen ZV Y analog E [X ] = x xf (x)dx Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 22/61

23 Erwartungswert Folgende Eigenschaft folgt direkt aus der Definition des Erwartungswerts; für beliebige Konstanten a und b gilt Weiters gilt E [ax + b] = ae [X ] + b E [X 1 + X X n ] = E [X 1 ] + + E [X n ] Für unabhängige ZV X 1 X n gilt E [X 1 X 2... X n ] = E [X 1 ]... E [X n ] Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 23/61

24 Varianz, Kovarianz, Korrelation Die Varianz σ 2 ist ein Streuungsmaß der Verteilung σ 2 X = E [ (X E [X ]) 2] = E [ X 2] (E [X ]) 2 Analog zur Stichprobenkovarianz ist die Kovarianz zwischen 2 ZV definiert als σ XY = E [XY ] E [X ] E [Y ] Die Varianz einer ZV ist die Kovarianz dieser ZV mit sich selbst! Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 24/61

25 Varianz, Kovarianz, Korrelation Die Korrelation ρ XY ist das Verhältnis zwischen der Kovarianz und dem Produkt der Standardabweichungen ρ XY = σ XY σ X σ Y Gleiche Interpretation wie in Stichprobe Sind zwei ZV Variablen unabhängig, dann ist ihre Korrelation 0; Achtung die umgekehrte Folgerung ist nicht immer richtig! Aus Korrelation gleich 0 folgt nicht unbedingt stochastische Unabhängigkeit Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 25/61

26 Varianz, Kovarianz, Korrelation Es gilt für beliebige ZV bzw. für Konstanten a und b Weiters σ 2 (ax +b) = a2 σ 2 X σ 2 (X +Y ) = σ2 X +σ2 Y +2σ XY bzw. σ 2 (X Y ) = σ2 X +σ2 Y 2σ XY Und schließlich σ (ax +b)(cy +d) = acσ XY ρ (ax +b)(cy +d) = sgn(ac)ρ XY Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 26/61

27 Varianz Beispiel: X ist die beobachtete Augenzahl bei einmaligem Würfeln; die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ist x i f (x i ) σ 2 = E [ X 2] (E [X ]) 2 [ und E X 2 ] = }{{} xi 2 p(xi 2 ) i=1 E [ X 2] = = 15.17, σ2 = 2.92, σ = 1.71 Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 27/61

28 Erwartungswert und Varianz Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 28/61

29 α-quantil Als α-quantil q α wird ein Wert bezeichnet, unterhalb dessen ein vorgegebener Anteil α aller Fälle der Verteilung liegen Jeder Wert unterhalb von q α unterschreitet den Anteil α, mit α als reelle Zahl zwischen 0 (gar kein Fall der Verteilung) und 1 (alle Fälle oder 100% der Verteilung) Für stetige ZV gilt F (q α ) = P(X q α ) = f (t)dt = α t q α α-quantile sind für die wichtigsten stetigen Verteilungen in Tabellen ausgegeben Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 29/61

30 Stetige ZV Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 30/61

31 α-quantil Für diskrete ZV gilt F (q α ) = P(X q α ) = t q α P(X = t) α F (x) < α für jedes x kleiner als q α Aufrunden auf die nächste größere ganzzahlige Ausprägung, analog zur Stichprobe Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 31/61

32 Diskrete ZV Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 32/61

33 Diskrete Gleichverteilung Diese Verteilung beschreibt eine ZV, welche die Zahlen 1, 2,, m annehmen kann, und es gilt P(X = x) = 1 m für alle x = 1, 2,, m E [X ] = (m + 1) 2 σ 2 = (m2 1) 12 Anwendung bei Zufallsexperimenten, deren Ergebnisse gleich häufig sind, also wenn angenommen wird, dass die m Elementarereignisse gleichwahrscheinlich sind Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 33/61

34 Diskrete Gleichverteilung Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 34/61

35 Diskrete Gleichverteilung Erwartungswert und Varianz σ 2 = E [X ] = m i 1 m = 1 m i=1 E [ X 2] = 1 m m i 2 = 1 m i=1 m i i=1 }{{} m(m + 1) 2 = m m(m + 1)(2m + 1) 6 ( ) (m + 1)(2m + 1) m = = 6 2 (m + 1)(m 1) 12 Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 35/61

36 Diskrete Gleichverteilung Beispiel: X = die erhaltene Augenzahl bei einmaligem Würfeln E[X ] = (6 + 1) 2 = 3.5 σ 2 = (62 1) 12 = 2.92 Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 36/61

37 Binomialverteilung Wir betrachten ein Zufallsexperiment mit 2 Ausgängen, Erfolg (1) und Misserfolg (0) Die Wahrscheinlichkeit für Erfolg sei p, mit p zwischen 0 und 1 Wir führen dieses Experiment n-mal durch, wobei zwischen den einzelnen Durchführungen Unabhängigkeit angenommen wird ( Ziehen mit Zurücklegen ) Die ZV X beschreibt die Anzahl der Erfolge und ist binomialverteilt mit Parametern n und p, X B(n, p) ( ) n P(X = k) = p k (1 p) n k für k = 0, 1,, n k Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 37/61

38 Binomialverteilung Beispiel: Ein Glücksrad besteht aus 20 Feldern, wobei 5 davon Gewinnfelder sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie zwei Mal gewinnen, wenn Sie das Glücksrad drei Mal drehen? Experiment mit 2 Ausgängen, Erfolg (5 Gewinnfelder) und Misserfolg n = 3, weil wir das Glücksrad drei Mal drehen p = 5 20 = 0.25 ist die Wahrscheinlichkeit zum Erfolg ( ) 3 P(X = 2) = (1 0.25) 1 = 3! = !1! Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 38/61

39 Binomialverteilung Binomialverteilte ZV nimmt Werte zwischen 0 und n an Binomialverteilung ist symmetrisch für p = 0.5 Je kleiner/größer p desto rechts/links-schiefer die Verteilung Erwartungswert und Varianz E [X ] = np σ 2 = np(1 p) Für n = 1: B(1, p) ist eine Bernoulli-ZV mit Erwartungswert p und Varianz p(1 p) Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 39/61

40 Binomialverteilung Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 40/61

41 Poisson-Verteilung Diese Verteilung beschreibt ZV, die alle natürliche Zahlen und 0 annehmen können Die Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X = k) = λk e λ k! für k = 0, 1,, λ ist der Parameter der Poisson-Verteilung und kann jede reelle positive Zahl sein Erwartungswert und Varianz E [X ] = λ σ 2 = λ Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 41/61

42 Poisson-Verteilung Poisson-Verteilung ist Grenzverteilung der Binomialverteilung bei n und p 0 unter der Nebenbedingung, dass np = λ beschränkt bleibt Poisson-Verteilung kann als gute Approximation für die Binomialverteilung bei großem n und kleinem p verwendet werden Poisson-Verteilung beschreibt seltene Ereignisse Anwendung bei binomialverteilter ZV mit unbekanntem oder großem n (leichtere Berechnung) und kleinem p Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 42/61

43 Poisson-Verteilung Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 43/61

44 Poisson-Verteilung Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient die Injektion eines Serums nicht verträgt sei Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 200 Patienten mehr als 1 die Injektion nicht vertragen? Wahrscheinlichkeiten (Poisson-Verteilung) E[X ] = λ = (200)(0.001) = 0.2 P(X = 0) = 0.20 e 0.2 0! = , P(X = 1) = P(X > 1) = 1 P(X = 0) P(X = 1) = Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 44/61

45 Poisson-Verteilung Wahrscheinlichkeiten (Binomialverteilung B(200, 0.001)) ( ) 200 P(X = 0) = (0.001) 0 ( ) (200 0) = P(X = 1) = P(X > 1) = 1 P(X = 0) P(X = 1) = Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 45/61

46 Poisson-Verteilung Beispiel: In einer Telefonzentrale kommen in einer Minute durchschnittlich 3 Gespräche an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommen in einer Minute mehr als 3 Gespräche an? Denkt man sich eine Minute in n gleiche Zeitabschnitte zerlegt, die so klein sind, dass in jedem Abschnitt höchstens ein Gespräch ankommen kann, so liegt eine Binomialverteilung B(n, 3 n ) vor n ist unbekannt Poissonverteilung mit λ = 3 P(X > 3) = 1 P(X = 0) P(X = 1) P(X = 2) P(X = 3) Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 46/61

47 Poisson-Verteilung P(X = 0) = 30 e 3 0! P(X = 1) = 31 e 3 1! P(X = 2) = 32 e 3 2! P(X = 3) = 33 e 3 3! = = = = P(X > 3) = = Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 47/61

48 Geometrische Verteilung Wir führen eine Serie von Versuchen mit zwei möglichen Ausgängen, Erfolg (1) und Misserfolg (0), so lange durch bis wir den ersten Erfolg haben Die Wahrscheinlichkeit für Erfolg sei p Unsere ZV X erfasst die Anzahl der Durchführungen bis zum ersten Erfolg P(X = k) = p(1 p) k 1 für k = 1, 2,, E [X ] = 1 p σ 2 = 1 p p 2 Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 48/61

49 Geometrische Verteilung Anwendung bei der Analyse von Wartezeiten bis zum Eintreffen eines bestimmten Ereignisses Lebensdauerbestimmung von Geräten und Bauteilen, d.h. dem Warten bis zum ersten Ausfall Rückfälle bei Suchterkrankungen Bestimmung der Anzahl häufiger Ereignisse zwischen unmittelbar aufeinanderfolgenden seltenen Ereignissen wie z.b. Fehlern Bestimmung der Zuverlässigkeit von Geräten Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 49/61

50 Hypergeometrische Verteilung Aus einer Gesamtheit von N Elementen, wobei A (A N) markiert sind, wird zufällig eine Stichprobe von n (n N) Elementen ohne Zurücklegen entnommen Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt in der Stichprobe eine bestimmte Anzahl a von markierten Elementen vor? ( A N A ) P(X = a) = a)( n a ( N n) E [X ] = n A N σ2 = n A N ( 1 A N ) ( ) N n N 1 Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 50/61

51 Hypergeometrische Verteilung Beispiel: Lotto 6 aus 45 N = 45 Kugeln (=Zahlen) insgesamt, A = 6 Kugeln sind markiert (d.h. am Lottoschein angekreuzt), n = 6 Kugeln werden gezogen (ohne Zurücklegen). Die einzelnen Gewinnwahrscheinlichkeiten ergeben sich durch die Hypergeometrische Verteilung ( 6 )( 39 ) P(X = 3) = ( 45 ) = = P(X = 6) = ( 6 )( 39 ) 6 0 ( 45 ) = = Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 51/61

52 Wahrscheinlichkeitsfunktion Beispiel Lotto Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 52/61

53 Hypergeometrische und Binomialverteilung Hypergeometrische Verteilung kann durch B(n, A N ) angenähert werden, wenn n N 0.05 Beispiel: In der Population der Personen mit Adipositas, die sich einer Magenbypass-Operation unterzogen haben, haben 10% einige Jahre nach der Operation (noch) eine Binge-Eating Störung (BED). In einer spezialisierten Klinik wurden in den letzten Jahren 1500 Personen operiert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit in einer Stichprobe von n = 50 Personen maximal eine Person mit BED zu finden? Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 53/61

54 Hypergeometrische und Binomialverteilung Binomialverteilung B(50, 0.10) ( ) 50 P(X = 0) = (1 0.10) 50 = P(X = 1) = , P(X = 0) + P(X = 1) = Hypergeometrische Verteilung, N = 1500, A = 150, n = 50 P(X = 0) = ( 150 )( ( ) ) = P(X = 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 54/61

55 Normalverteilung (NV) Die NV ist eine stetige Verteilung, die durch 2 Parameter µ und σ charakterisiert ist Es sei X eine ZV die N(µ, σ 2 ) verteilt ist; X kann Werte zwischen und + annehmen Die Dichtefunktion φ(x) ( 1 x µ φ(x) = 1 σ 2π e 2 σ Geht x ± strebt φ(x) gegen 0 φ(x) ist symmetrisch um µ, d.h. µ + a = µ a (a = Konstante) ) 2 Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 55/61

56 Normalverteilung (NV) σ gibt den Abstand zwischen µ und den Wendepunkten der Dichtefunktion an Wendepunkte an den Stellen µ ± σ Wenn σ groß ist, ist die Verteilung breit und niedrig, wenn σ klein ist, ist die Verteilung schmal und hoch Fläche unter φ(x) zwischen und + ist gleich 1 Die Fläche µ ± σ umfasst ca. 68% aller Fälle Die Fläche µ ± 2σ umfasst ca. 95% aller Fälle Es existieren unendlich viele NV durch beliebige Auswahl von µ und σ Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 56/61

57 Normalverteilung (NV) Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 57/61

58 Standardnormalverteilung N(0, 1) Spezielle NV für µ = 0 und σ = 1 (Gauß sche Glockenkurve) Verteilung der N(0,1) ist tabelliert; Fläche zwischen µ = 0 und einem beliebigen Wert z ist ablesbar (Tabelle 1c) Quantile der NV; 1-Fläche rechts von einem Wert z, und links von z (Tabelle 1b) Beispiele P(0 Z 1) = (Tabelle 1c) P( 1 Z 1) = (Tabelle 1b) Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 58/61

59 Standardnormalverteilung N(0, 1) Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 59/61

60 Standardnormalverteilung N(0, 1) Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 60/61

61 Standardnormalverteilung N(0, 1) Ist X N(µ, σ 2 ) verteilt dann führt die Transformation X µ σ eine N(0, 1) Verteilung Vorteil, da Quantile ablesbar (Tabelle 1b) Beispiel: X N(11, 5.53). Wie hoch ist P(X 14.5)? auf z = = 1.49 P(Z 1.49) = (Tabelle 1b) Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 61/61

2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung

2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung 2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung Die einfachste Verteilung ist die Gleichverteilung, bei der P(X = x i ) = 1/N gilt, wenn N die Anzahl möglicher Realisierungen von

Mehr

Programm. Wiederholung. Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung. Binomialverteilung. Hypergeometrische Verteilung

Programm. Wiederholung. Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung. Binomialverteilung. Hypergeometrische Verteilung Programm Wiederholung Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung Binomialverteilung Hypergeometrische Verteilung Wiederholung verschiedene Mittelwerte für verschiedene Skalenniveaus

Mehr

Zufallsvariablen. Diskret. Stetig. Verteilung der Stichprobenkennzahlen. Binomial Hypergeometrisch Poisson. Normal Lognormal Exponential

Zufallsvariablen. Diskret. Stetig. Verteilung der Stichprobenkennzahlen. Binomial Hypergeometrisch Poisson. Normal Lognormal Exponential Zufallsvariablen Diskret Binomial Hypergeometrisch Poisson Stetig Normal Lognormal Exponential Verteilung der Stichprobenkennzahlen Zufallsvariable Erinnerung: Merkmal, Merkmalsausprägung Deskriptive Statistik:

Mehr

Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen

Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zusammenfassung Mathe II Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zufallsexperiment: Ein Vorgang, bei dem mindestens zwei Ereignisse möglich sind

Mehr

7.5 Erwartungswert, Varianz

7.5 Erwartungswert, Varianz 7.5 Erwartungswert, Varianz Def. 7.5.: a) X sei eine diskrete ZV, die bei unendl. vielen Werten x k folgende Zusatzbedingung erfüllt: x k p k

Mehr

Zufallsvariablen [random variable]

Zufallsvariablen [random variable] Zufallsvariablen [random variable] Eine Zufallsvariable (Zufallsgröße) X beschreibt (kodiert) die Versuchsausgänge ω Ω mit Hilfe von Zahlen, d.h. X ist eine Funktion X : Ω R ω X(ω) Zufallsvariablen werden

Mehr

Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume

Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume Stochastik 1. Wahrscheinlichkeitsräume Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft und gleichartig wiederholbarer Vorgang mit mindestens zwei verschiedenen Ergebnissen, bei dem der Ausgang ungewiß ist.

Mehr

Heute. Die Binomialverteilung. Poissonverteilung. Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung

Heute. Die Binomialverteilung. Poissonverteilung. Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Heute Die Binomialverteilung Poissonverteilung Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Arbeiten mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen Die Binomialverteilung Man werfe eine Münze n

Mehr

Statistik für Ingenieure Vorlesung 2

Statistik für Ingenieure Vorlesung 2 Statistik für Ingenieure Vorlesung 2 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 24. Oktober 2016 2.4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Häufig ist es nützlich, Bedingungen

Mehr

1 Stochastische Konvergenz 2. 2 Das Gesetz der grossen Zahlen 4. 3 Der Satz von Bernoulli 6

1 Stochastische Konvergenz 2. 2 Das Gesetz der grossen Zahlen 4. 3 Der Satz von Bernoulli 6 Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 0 Universität Basel Mathematik Dr. Thomas Zehrt Grenzwertsätze Benötigtes Vorwissen: Der Stoff der Vorlesung,,Statistik wird als bekannt vorausgesetzt, insbesondere

Mehr

5. Spezielle stetige Verteilungen

5. Spezielle stetige Verteilungen 5. Spezielle stetige Verteilungen 5.1 Stetige Gleichverteilung Eine Zufallsvariable X folgt einer stetigen Gleichverteilung mit den Parametern a und b, wenn für die Dichtefunktion von X gilt: f x = 1 für

Mehr

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung lausthal Begriffe Informatik II rundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Definition: Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen,

Mehr

4 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

4 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4.1 Wahrscheinlichkeitsräume, Ereignisse und Unabhängigkeit Definition: Ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Paar (Ω, Pr), wobei Ω eine endliche oder

Mehr

Übung 1: Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie

Übung 1: Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie Übung 1: Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie Ü1.1 Zufallsvariablen Eine Zufallsvariable ist eine Variable, deren numerischer Wert solange unbekannt ist, bis er beobachtet wird. Der Wert einer Zufallsvariable

Mehr

P (X = 2) = 1/36, P (X = 3) = 2/36,...

P (X = 2) = 1/36, P (X = 3) = 2/36,... 2.3 Zufallsvariablen 2.3 Zufallsvariablen Meist sind die Ereignisse eines Zufallseperiments bereits reelle Zahlen. Ist dies nicht der Fall, kann man Ereignissen eine reelle Zahl zuordnen. Zum Beispiel

Mehr

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung lausthal Informatik II rundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Begriffe Definition: Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen,

Mehr

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Algorithmen und Datenstrukturen 349 A Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Für Entwurf und Analyse randomisierter Algorithmen sind Hilfsmittel aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung erforderlich.

Mehr

Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management

Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Sommersemester 2013 Hochschule Augsburg Unabhängigkeit von Ereignissen A, B unabhängig:

Mehr

Anliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können.

Anliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können. 2 Zufallsvariable 2.1 Einführung Anliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können. Eine Zufallsvariable X ordnet jedem elementaren Versuchsausgang

Mehr

STATISTIK Teil 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. Mögliche Ergebnisse, auch Elementarereignisse bezeichnet

STATISTIK Teil 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. Mögliche Ergebnisse, auch Elementarereignisse bezeichnet Kapitel 10 Zufall und Wahrscheinlichkeit 10.1. Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufallsvorgang Klein-Omega ω Groß-Omega Ω Stellt Modelle bereit, die es erlauben zufallsabhängige Prozesse abzuschätzen

Mehr

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc.

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc. Abiturvorbereitung Stochastik neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB 24.02.2014 Holger Wuschke B.Sc. Siedler von Catan, Rühlow 2014 Organisatorisches 0. Begriffe in der Stochastik (1) Ein Zufallsexperiment

Mehr

Zufallsgröße X : Ω R X : ω Anzahl der geworfenen K`s

Zufallsgröße X : Ω R X : ω Anzahl der geworfenen K`s X. Zufallsgrößen ================================================================= 10.1 Zufallsgrößen und ihr Erwartungswert --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Institut für Biometrie und klinische Forschung. WiSe 2012/2013

Institut für Biometrie und klinische Forschung. WiSe 2012/2013 Klinische Forschung WWU Münster Pflichtvorlesung zum Querschnittsfach Epidemiologie, Biometrie und Med. Informatik Praktikum der Medizinischen Biometrie (3) Überblick. Deskriptive Statistik I 2. Deskriptive

Mehr

Binomialverteilung. Statistik für SoziologInnen 1 Diskrete Verteilungsmodelle. Marcus Hudec

Binomialverteilung. Statistik für SoziologInnen 1 Diskrete Verteilungsmodelle. Marcus Hudec Binomialverteilung Jakob Bernoulli (1654-1705) Ars Conjectandi Klassisches Verteilungsmodell für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für die Häufigkeit des Eintretens von Ereignissen in bestimmten noch

Mehr

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vom

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vom INSTITUT FÜR STOCHASTIK SS 2007 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Priv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dipl.-Math. oec. W. Lao Klausur (Maschineningenieure) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vom 2.9.2007 Musterlösungen

Mehr

Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter

Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter Universität Karlsruhe (TH) Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter Markus Höchstötter Lehrstuhl für Statistik, Ökonometrie

Mehr

Stochastik I. Vorlesungsmitschrift

Stochastik I. Vorlesungsmitschrift Stochastik I Vorlesungsmitschrift Ulrich Horst Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin Inhaltsverzeichnis 1 Grundbegriffe 1 1.1 Wahrscheinlichkeitsräume..................................

Mehr

2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert

2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert 2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert Bisher: Zufallsexperimente beschrieben durch W-Räume (Ω, A, P) Häufig interessiert nur eine zufällige Größe X = X(ω), die vom Ergebnis ω des Zufallsexperiments

Mehr

15.5 Stetige Zufallsvariablen

15.5 Stetige Zufallsvariablen 5.5 Stetige Zufallsvariablen Es gibt auch Zufallsvariable, bei denen jedes Elementarereignis die Wahrscheinlich keit hat. Beispiel: Lebensdauer eines radioaktiven Atoms Die Lebensdauer eines radioaktiven

Mehr

Zufallsgröße. Würfelwurf mit fairem Würfel. Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten

Zufallsgröße. Würfelwurf mit fairem Würfel. Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsgrößen Ergebnisse von Zufallsexperimenten werden als Zahlen dargestellt 0 Einführung Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 Zufallsvariablen und ihre Verteilung 3 Statistische Inferenz 4 Hypothesentests

Mehr

0 für t < für 1 t < für 2 t < für 3 t < für 4 t < 5 1 für t 5

0 für t < für 1 t < für 2 t < für 3 t < für 4 t < 5 1 für t 5 4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 1 Kapitel 4: Verteilungen und ihre Kennzahlen A: Beispiele Beispiel 1: Eine diskrete Zufallsvariable X, die nur die Werte 1,, 3, 4, 5 mit positiver Wahrscheinlichkeit

Mehr

Definition Sei X eine stetige Z.V. mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dann heißt E(X) :=

Definition Sei X eine stetige Z.V. mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dann heißt E(X) := Definition 2.34. Sei X eine stetige Z.V. mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dann heißt E(X) := x f(x)dx der Erwartungswert von X, sofern dieses Integral existiert. Entsprechend wird die Varianz V(X)

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 11. November 2010 1 Erwartungswert und Varianz Erwartungswert Varianz und Streuung Rechenregeln Binomialverteilung

Mehr

Spezielle stetige Verteilungen

Spezielle stetige Verteilungen Spezielle stetige Verteilungen schon bekannt: Die Exponentialverteilung mit Parameter k R, k > 0 hat die Dichte f (x) = ke kx für x 0 und die Verteilungsfunktion F (x) = 1 e kx für x 0. Eigenschaften Für

Mehr

STETIGE VERTEILUNGEN

STETIGE VERTEILUNGEN STETIGE VERTEILUNGEN. Die Näherungsformel von Moivre Laplace Betrachtet man die Binomialverteilungen Bnp für wachsendes n bei konstantem p, so werden die Histogramme einer binomialverteilten Zufallsvariablen

Mehr

Lösungen zur Klausur GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK

Lösungen zur Klausur GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK Institut für Stochastik Dr. Steffen Winter Lösungen zur Klausur GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK für Studierende der INFORMATIK vom 17. Juli 01 (Dauer: 90 Minuten) Übersicht über

Mehr

Statistik III. Walter Zucchini Fred Böker Andreas Stadie

Statistik III. Walter Zucchini Fred Böker Andreas Stadie Statistik III Walter Zucchini Fred Böker Andreas Stadie Inhaltsverzeichnis 1 Zufallsvariablen und ihre Verteilung 1 1.1 Diskrete Zufallsvariablen........................... 1 1.2 Stetige Zufallsvariablen............................

Mehr

3. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

3. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit 3. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit Es geht hier um die Bestimmung der Kardinalität endlicher Mengen. Erinnerung: Seien A, B, A 1,..., A n endliche Mengen. Dann gilt A = B ϕ: A B bijektiv Summenregel:

Mehr

7.2 Moment und Varianz

7.2 Moment und Varianz 7.2 Moment und Varianz Def. 21 Es sei X eine zufällige Variable. Falls der Erwartungswert E( X p ) existiert, heißt der Erwartungswert EX p p tes Moment der zufälligen Variablen X. Es gilt dann: + x p

Mehr

(8 + 2 Punkte) = = 0.75

(8 + 2 Punkte) = = 0.75 Aufgabe 1 (8 + 2 Punkte) Von 20 Teilnehmern einer Bergwanderung geben 8 Personen an Knieschmerzen zu haben. 6 Teilnehmer leiden an Sonnenbrand. 8 Teilnehmer blieben unversehrt. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,

Mehr

Stochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4

Stochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Stochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4 30. Oktober 2012 Quantile einer stetigen Zufallsgröße Die reelle Zahl

Mehr

Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen Dichtefunktion und Verteilungsfunktion. stetig. Verteilungsfunktion

Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen Dichtefunktion und Verteilungsfunktion. stetig. Verteilungsfunktion Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen 12.1. Dichtefunktion und Verteilungsfunktion stetig Verteilungsfunktion Trägermenge T, also die Menge der möglichen Realisationen, ist durch ein Intervall gegeben Häufig

Mehr

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6 Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 1 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimente 5 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 7 Bedingte

Mehr

Unabhängige Zufallsvariablen

Unabhängige Zufallsvariablen Kapitel 9 Unabhängige Zufallsvariablen Die Unabhängigkeit von Zufallsvariablen wird auf die Unabhängigkeit von Ereignissen zurückgeführt. Im Folgenden sei Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Definition

Mehr

Statistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA. für Betriebswirtschaft und International Management

Statistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA. für Betriebswirtschaft und International Management Statistik für Betriebswirtschaft und International Management Sommersemester 2014 Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA Streuungsparameter Varianz Var(X) bzw. σ 2 : [x i E(X)] 2 f(x i ), wenn X diskret Var(X)

Mehr

Varianz und Kovarianz

Varianz und Kovarianz KAPITEL 9 Varianz und Kovarianz 9.1. Varianz Definition 9.1.1. Sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω eine Zufallsvariable. Wir benutzen die Notation (1) X L 1, falls E[ X ]

Mehr

Normalverteilung. 1 2πσ. Gauß. 2 e 1 2 ((x µ)2 σ 2 ) Werkzeuge der empirischen Forschung. W. Kössler. Einleitung. Datenbehandlung. Wkt.

Normalverteilung. 1 2πσ. Gauß. 2 e 1 2 ((x µ)2 σ 2 ) Werkzeuge der empirischen Forschung. W. Kössler. Einleitung. Datenbehandlung. Wkt. Normalverteilung Diskrete Stetige f(x) = 1 2πσ 2 e 1 2 ((x µ)2 σ 2 ) Gauß 91 / 169 Normalverteilung Diskrete Stetige Satz: f aus (1) ist Dichte. Beweis: 1. f(x) 0 x R und σ > 0. 2. bleibt z.z. lim F(x)

Mehr

Stetige Verteilungen Rechteckverteilung

Stetige Verteilungen Rechteckverteilung Stetige Verteilungen Rechteckverteilung Die Längenabweichungen X produzierter Werkstücke von der Norm seien gleichmäßig verteilt zwischen a = mm und b = 4mm. Die Dichtefunktion lautet also f(x) = für a

Mehr

Übungsaufgaben, Statistik 1

Übungsaufgaben, Statistik 1 Übungsaufgaben, Statistik 1 Kapitel 3: Wahrscheinlichkeiten [ 4 ] 3. Übungswoche Der Spiegel berichtet in Heft 29/2007 von folgender Umfrage vom 3. und 4. Juli 2007:,, Immer wieder werden der Dalai Lama

Mehr

Klassifikation von Signifikanztests

Klassifikation von Signifikanztests Klassifikation von Signifikanztests nach Verteilungsannahmen: verteilungsabhängige = parametrische Tests verteilungsunabhängige = nichtparametrische Tests Bei parametrischen Tests werden im Modell Voraussetzungen

Mehr

Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben zum Buch. Elementare Stochastik (Springer Spektrum, 2012) Teil 3: Aufgaben zu den Kapiteln 5 und 6

Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben zum Buch. Elementare Stochastik (Springer Spektrum, 2012) Teil 3: Aufgaben zu den Kapiteln 5 und 6 1 Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben zum Buch Elementare Stochastik (Springer Spektrum, 2012) Teil 3: Aufgaben zu den Kapiteln 5 und 6 Aufgaben zu Kapitel 5 Zu Abschnitt 5.1 Ü5.1.1 Finden Sie eine maximum-likelihood-schätzung

Mehr

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Universität Duisburg-Essen Essen, den 15.0.009 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Winkler C. Stinner Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Lösung Die Klausur gilt als bestanden,

Mehr

8 Verteilungsfunktionen und Dichten

8 Verteilungsfunktionen und Dichten 8 Verteilungsfunktionen und Dichten 8.1 Satz und Definition (Dichten) Eine Funktion f : R R heißt Dichtefunktion, kurz Dichte, wenn sie (Riemann-) integrierbar ist mit f(t) 0 für alle t R und Setzt man

Mehr

A: Beispiele Beispiel 1: Zwei Zufallsvariablen X und Y besitzen die beiden folgenden Wahrscheinlichkeitsfunktionen:

A: Beispiele Beispiel 1: Zwei Zufallsvariablen X und Y besitzen die beiden folgenden Wahrscheinlichkeitsfunktionen: 5 Diskrete Verteilungen 1 Kapitel 5: Diskrete Verteilungen A: Beispiele Beispiel 1: Zwei Zufallsvariablen X und Y besitzen die beiden folgenden Wahrscheinlichkeitsfunktionen: 5 0.6 x 0.4 5 x (i) P x (x)

Mehr

3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit

3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit 3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit Bisher : (Ω, A, P) zur Beschreibung eines Zufallsexperiments Jetzt : Zusatzinformation über den Ausgang des Experiments, etwa (das Ereignis) B ist eingetreten.

Mehr

Lösungen zur Klausur WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK (STOCHASTIK)

Lösungen zur Klausur WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK (STOCHASTIK) Institut für Stochastik Dr. Steffen Winter Lösungen zur Klausur WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK (STOCHASTIK) für Studierende des Maschinenbaus vom 7. Juli (Dauer: 8 Minuten) Übersicht über die

Mehr

Standardnormalverteilung

Standardnormalverteilung Standardnormalverteilung 1720 erstmals von Abraham de Moivre beschrieben 1809 und 1816 grundlegende Arbeiten von Carl Friedrich Gauß 1870 von Adolphe Quetelet als "ideales" Histogramm verwendet alternative

Mehr

Stochastik für die Naturwissenschaften

Stochastik für die Naturwissenschaften Stochastik für die Naturwissenschaften Dr. C.J. Luchsinger 4. Zufallsgrösse X Literatur Kapitel 4 * Storrer: Kapitel (37.2)-(37.8), (38.2)-(38.3), (38.5), (40.2)-(40.5) * Stahel: Kapitel 4, 5 und 6 (ohne

Mehr

Mathematik für Naturwissenschaften, Teil 2

Mathematik für Naturwissenschaften, Teil 2 Lösungsvorschläge für die Aufgaben zur Vorlesung Mathematik für Naturwissenschaften, Teil Zusatzblatt SS 09 Dr. J. Schürmann keine Abgabe Aufgabe : Eine Familie habe fünf Kinder. Wir nehmen an, dass die

Mehr

Diskrete Strukturen WiSe 2012/13 in Trier

Diskrete Strukturen WiSe 2012/13 in Trier Diskrete Strukturen WiSe 2012/13 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 11. Januar 2013 1 Diskrete Strukturen Gesamtübersicht Organisatorisches und Einführung Mengenlehre Relationen

Mehr

Die Varianz (Streuung) Definition

Die Varianz (Streuung) Definition Die (Streuung) Definition Diskrete Stetige Ang., die betrachteten e existieren. var(x) = E(X EX) 2 heißt der Zufallsvariable X. σ = Var(X) heißt Standardabweichung der X. Bez.: var(x), Var(X), varx, σ

Mehr

Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung

Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Statistik 2 für SoziologInnen Normalverteilung Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Inhalte Themen dieses Kapitels sind: Das Konzept stetiger Zufallsvariablen Die

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Quantentheorie

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Quantentheorie Physikalische Chemie II: Atombau und chemische Bindung Winter 2013/14 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Quantentheorie Messergebnisse können in der Quantenmechanik ganz prinzipiell nur noch mit einer bestimmten

Mehr

Motivation. Benötigtes Schulwissen. Übungsaufgaben. Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 10 Universität Basel. Statistik

Motivation. Benötigtes Schulwissen. Übungsaufgaben. Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 10 Universität Basel. Statistik Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 0 Universität Basel Statistik Dr. Thomas Zehrt Ausblick Motivation Wir werfen einen Würfel 000-mal und wir möchten die Wahrscheinlichkeit P bestimmen, dass zwischen

Mehr

Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Themen dieses Kapitels sind:

Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Themen dieses Kapitels sind: Statistik 2 für SoziologInnen Normalverteilung Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Inhalte Themen dieses Kapitels sind: Das Konzept stetiger Zufallsvariablen Die

Mehr

STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT. Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück

STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT. Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück 1 GLIEDERUNG 1) Bedingte Wahrscheinlichkeiten 2) Unabhängigkeit für mehr als zwei Ereignisse 3) Unabhängigkeit für Zufallsvariable

Mehr

Übungen zu Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

Übungen zu Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Übungen zu Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik SS 2012 (Vorlesung von Prof. Reinhard Bürger) 1) Man gebe für die folgenden Experimente Wahrscheinlichkeitsmodelle an: (a) Wurf mit einer homogenen Münze,

Mehr

Diskrete Verteilungen

Diskrete Verteilungen KAPITEL 6 Disrete Verteilungen Nun werden wir verschiedene Beispiele von disreten Zufallsvariablen betrachten. 1. Gleichverteilung Definition 6.1. Eine Zufallsvariable X : Ω R heißt gleichverteilt (oder

Mehr

Basiswissen Daten und Zufall Seite 1 von 8 1 Zufallsexperiment Ein Zufallsexperiment ist ein Versuchsaufbau mit zufälligem Ausgang, d. h. das Ergebnis kann nicht vorhergesagt werden. 2 Ergebnis (auch Ausgang)

Mehr

Basistext - Wahrscheinlichkeitsrechnung

Basistext - Wahrscheinlichkeitsrechnung Basistext - Wahrscheinlichkeitsrechnung Die Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigt sich mit Vorgängen, die in ihrem Ausgang unbestimmt sind. Sie versucht mögliche Ergebnisse der Vorgänge zu quantifizieren.

Mehr

5 Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen

5 Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen 47 5 Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen Zur Charakterisierung von Verteilungen unterscheidet man Lageparameter, wie z. B. Erwartungswert ( mittlerer Wert ) Modus (Maximum der Wahrscheinlichkeitsfunktion,

Mehr

Statistik Übungen SS 2017

Statistik Übungen SS 2017 Statistik Übungen SS 2017 Blatt 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung 1. Die nach dem französischen Mathematiker Pierre-Simon de Laplace benannten Laplace- Experimente beruhen auf der Annahme, dass bei einem

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 10. November 2010 1 Bedingte Wahrscheinlichkeit Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit Bayessche Formel 2 Grundprinzipien

Mehr

Einführung in die Stochastik für Informatiker Übungsaufgaben mit Lösungen

Einführung in die Stochastik für Informatiker Übungsaufgaben mit Lösungen Einführung in die Stochastik für Informatiker Übungsaufgaben mit Lösungen David Geier und Sven Middelberg RWTH Aachen, Sommersemester 27 Inhaltsverzeichnis Information 2 Aufgabe 4 Aufgabe 2 6 4 Aufgabe

Mehr

Übung zu Empirische Ökonomie für Fortgeschrittene SS 2009

Übung zu Empirische Ökonomie für Fortgeschrittene SS 2009 Übung zu Empirische Ökonomie für Fortgeschrittene Steen Elstner, Klaus Wohlrabe, Steen Henzel SS 9 1 Wichtige Verteilungen Die Normalverteilung Eine stetige Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeitsdichte

Mehr

Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel V - Stetige Verteilungen

Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel V - Stetige Verteilungen Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel V - Stetige Verteilungen Georg Bol georg.bol@statistik.uni-karlsruhe.de Markus Höchstötter hoechstoetter@statistik.uni-karlsruhe.de Stetige Verteilungen Definition: Sei

Mehr

Kapitel XII - Kennzahlen mehrdimensionaler Zufallsvariablen

Kapitel XII - Kennzahlen mehrdimensionaler Zufallsvariablen Institut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökonometrie und Statistik Kapitel XII - Kennzahlen mehrdimensionaler Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeitstheorie Prof. Dr. W.-D. Heller Hartwig Senska

Mehr

Unabhängigkeit KAPITEL 4

Unabhängigkeit KAPITEL 4 KAPITEL 4 Unabhängigkeit 4.1. Unabhängigkeit von Ereignissen Wir stellen uns vor, dass zwei Personen jeweils eine Münze werfen. In vielen Fällen kann man annehmen, dass die eine Münze die andere nicht

Mehr

6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen

6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen 6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Bisher: Diskrete Zufallsvariablen,

Mehr

Übungsblatt 9. f(x) = e x, für 0 x

Übungsblatt 9. f(x) = e x, für 0 x Aufgabe 1: Übungsblatt 9 Basketball. Ein Profi wirft beim Training aus einer Entfernung von sieben Metern auf den Korb. Er trifft bei jedem Wurf mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 1/2. Die Zufallsvariable

Mehr

falls rote Kugel im 1. Zug gezogen Die Ziehungen sind daher nicht unabhängig voneinander. Damit liegt kein Bernoulli-Prozess

falls rote Kugel im 1. Zug gezogen Die Ziehungen sind daher nicht unabhängig voneinander. Damit liegt kein Bernoulli-Prozess 6.4 Hypergeometrische Verteilung Gegeben ist eine Urne, die mit N Kugeln gefüllt ist. Es seien M dieser Kugeln rot und N-M Kugeln sind nicht rot. Wir entnehmen n Kugeln, d.h. Stichproben vom Umfang n.

Mehr

Das Histogramm ist glockenförmig. Es würde bei mehr als vier Fehlerquellen sich der Glockenform noch besser annähern.

Das Histogramm ist glockenförmig. Es würde bei mehr als vier Fehlerquellen sich der Glockenform noch besser annähern. 10. Stetige Zufallsvariable, Normalverteilung 55 Die in den folgenden Beispielen dargestellten Verteilungen haben ungefähr Glockenform. Sie können durch die sogenannte Normalverteilung oder Gaussverteilung

Mehr

Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2012/13

Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2012/13 Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2012/13 Aufgabenstellung und Ergebnisse Dr. Martin Becker Hinweise für die

Mehr

8. Stetige Zufallsvariablen

8. Stetige Zufallsvariablen 8. Stetige Zufallsvariablen Idee: Eine Zufallsvariable X ist stetig, falls ihr Träger eine überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen R ist. Beispiel: Glücksrad mit stetigem Wertebereich [0, 2π] Von Interesse

Mehr

Ist P(T) = p die Trefferwahrscheinlichkeit eines Bernoulli-Experiments,

Ist P(T) = p die Trefferwahrscheinlichkeit eines Bernoulli-Experiments, . Binomialverteilung ==================================================================.1 Bernoulli-Experimente und Bernoullikette -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Elementarereignis: Stellt ein Einzelergebnis eines Zufallsexperimentes dar, wird oftmals mit E bezeichnet.

Elementarereignis: Stellt ein Einzelergebnis eines Zufallsexperimentes dar, wird oftmals mit E bezeichnet. Statistik Grundlagen Charakterisierung von Verteilungen Einführung Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsverteilungen Schätzen und Testen Korrelation Regression Einführung Die Einführung in grundlegende

Mehr

Stochastische Unabhängigkeit. 01. Dezember 2014

Stochastische Unabhängigkeit. 01. Dezember 2014 Stochastische Unabhängigkeit 0. Dezember 204 Der Begriff der Unabhängigkeit Großbritannien, im November 999. Die Anwältin Sally Clark wird wegen Mordes an ihren Kindern angeklagt. Clark geriet unter Verdacht

Mehr

Lernzusammenfassung für die Klausur. Inhaltsverzeichnis. Stochastik im SS 2001 bei Professor Sturm

Lernzusammenfassung für die Klausur. Inhaltsverzeichnis. Stochastik im SS 2001 bei Professor Sturm Stochastik im SS 2001 bei Professor Sturm Lernzusammenfassung für die Klausur Hallo! In diesem Text habe ich die wichtigsten Dinge der Stochastikvorlesung zusammengefaÿt, jedenfalls soweit, wie ich bis

Mehr

Lösungsvorschläge zu Blatt 1 1) ZV X := Produkt der Augenzahlen bei einem Wurf mit 2 Würfeln. des Produktes Wurfergebnis P (X = k) 1 (1, 1) 1/36

Lösungsvorschläge zu Blatt 1 1) ZV X := Produkt der Augenzahlen bei einem Wurf mit 2 Würfeln. des Produktes Wurfergebnis P (X = k) 1 (1, 1) 1/36 Lösungsvorschläge zu Blatt ) ZV X := Produkt der Augenzahlen bei einem Wurf mit Würfeln Mögl. Werte k des Produktes Wurfergebnis P X = k), ) /6, ),, ) /6, ),, ) /6, ),, ),, ) /6 5, 5), 5, ) /6 6, 6),,

Mehr

2 Aufgaben aus [Teschl, Band 2]

2 Aufgaben aus [Teschl, Band 2] 20 2 Aufgaben aus [Teschl, Band 2] 2.1 Kap. 25: Beschreibende Statistik 25.3 Übungsaufgabe 25.3 a i. Arithmetisches Mittel: 10.5 ii. Median: 10.4 iii. Quartile: x 0.25 Y 4 10.1, x 0.75 Y 12 11.1 iv. Varianz:

Mehr

1 Dichte- und Verteilungsfunktion

1 Dichte- und Verteilungsfunktion Tutorium Yannick Schrör Klausurvorbereitungsaufgaben Statistik Lösungen Yannick.Schroer@rub.de 9.2.26 ID /455 Dichte- und Verteilungsfunktion Ein tüchtiger Professor lässt jährlich 2 Bücher drucken. Die

Mehr

Vorwort Zufallsvariable X, Erwartungswert E(X), Varianz V(X) 1.1 Zufallsvariable oder Zufallsgröße Erwartungswert und Varianz...

Vorwort Zufallsvariable X, Erwartungswert E(X), Varianz V(X) 1.1 Zufallsvariable oder Zufallsgröße Erwartungswert und Varianz... Inhaltsverzeichnis Vorwort... 2 Zum Einstieg... 3 1 Zufallsvariable X, Erwartungswert E(X), Varianz V(X) 1.1 Zufallsvariable oder Zufallsgröße... 5 1.2 Erwartungswert und Varianz... 7 2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Mehr

Appendix I: Eine etwas komprimierte Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie

Appendix I: Eine etwas komprimierte Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Appendix I: Eine etwas komprimierte Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Vorbemerkung: Die folgenden Seiten sind nicht zur Abschreckung gedacht, sondern als Ergänzung zu den Darstellungen, die

Mehr

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6 Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 1 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimente 6 5 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 7 1 Vorbemerkungen

Mehr

Kapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Kapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Kapitel 3 Zufallsvariable Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden III Zufallsvariable 1 / 43 Lernziele Diskrete und stetige Zufallsvariable Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion

Mehr

3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit

3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit 28 3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit Oft ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B gesucht unter der Bedingung (bzw. dem Wissen), dass ein Ereignis A bereits eingetreten ist. Man bezeichnet diese Wahrscheinlichkeit

Mehr

Stochastik für Wirtschaftswissenschaftler

Stochastik für Wirtschaftswissenschaftler Stochastik für Wirtschaftswissenschaftler Hartmut Lanzinger Wintersemester 0/ Inhaltsverzeichnis Wahrscheinlichkeiten Einführung.......................................... Laplacesche Wahrscheinlichkeitsräume...........................

Mehr

$ % + 0 sonst. " p für X =1 $

$ % + 0 sonst.  p für X =1 $ 31 617 Spezielle Verteilungen 6171 Bernoulli Verteilung Wir beschreiben zunächst drei diskrete Verteilungen und beginnen mit einem Zufallsexperiment, indem wir uns für das Eintreffen eines bestimmten Ereignisses

Mehr

Stoffzusammenfassung: Statistik und Stochastik. Jan Krieger

Stoffzusammenfassung: Statistik und Stochastik. Jan Krieger Stoffzusammenfassung: Statistik und Stochastik Jan Krieger 18. Januar 2005 1. The time has come, the Walrus said, To talk of many things: Of shoes and ships and sealingwax Of cabbages and kings And why

Mehr

Stetige Verteilungen. A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch

Stetige Verteilungen. A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch 6 Stetige Verteilungen 1 Kapitel 6: Stetige Verteilungen A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch dargestellt. 0.2 6

Mehr