Anleitung zum Laborversuch Brennweite

Transkript

1 Laborpraktikum Physikalische Grundlagen Anleitung zum Laborversuch Brennweite Stand (Version 2) 1 Aufgabenstellung 1. Bestimmung der Brennweite f 1 einer Sammellinse 2. Bestimmung des Brechungsindex n des Linsenglases 3. Bestimmung der Brennweite einer Zerstreuungslinse f 2 2 Grundlagen Als Licht wird der Teil der elektromagnetischen Strahlung bezeichnet, der für das menschliche Auge sichtbar ist und sich über einen Wellenlängenbereich von etwa 370 nm (violett) bis 780 nm (rot) erstreckt. Der Wellencharakter des Lichtes wird bei vielen physikalischen Vorgängen wie Beugung, Interferenz oder Brechung erkennbar. Ist der Lichtbündelquerschnitt groß im Verhältnis zur Wellenlänge des Lichtes, so können Beugungsund Interferenzerscheinungen vernachlässigt werden. Bei den hier auszuführenden Experimenten mit optischen Linsen kommt nur die Lichtbrechung zum Tragen. Auch wenn die Grundlage der Lichtbrechung nur aus dem Wellencharakter des Lichtes verständlich wird 1, kann das an optischen Linsen gebrochene Licht vereinfacht als Abknicken von Lichtstrahlen behandelt werden. Die Lichtstrahlen stehen senkrecht auf den Wellenfronten und folgen dem Superpositionsprinzip, d.h. sie können sich gegenseitig durchdringen, ohne sich zu stören. Sie breiten sich in homogenen Medien geradlinig aus, werden aber an Grenzflächen zwischen Medien mit verschiedenen Brechungsindizes (siehe unten) gemäß dem Snelliusschen Brechungsgesetz 1 gebrochen. Ihr Strahlengang ist umkehrbar. Optische Erscheinungen, die sich ohne Berücksichtigung der Wellennatur des Lichtes exakt mithilfe der Gesetze der Geometrie beschreiben lassen, nennt man geometrische Optik. 2.1 Begriffe: Der Quotient n = c 0 /c aus der Phasengeschwindigkeit des Lichtes im Vakuum c 0 und der Phasengeschwindigkeit des Lichtes innerhalb des Linsenmaterials c wird Brechungsindex (Mehrzahl: Brechungsindizes) oder Brechzahl genannt. Der Brechungsindex ist eine dimensionslose physikalische Größe (d.h. ohne Einheit). Je größer der Brechungsindex n, desto langsamer breitet sich das Licht in dem Medium aus und desto stärker werden die Lichtstrahlen beim Übergang in das Medium gebrochen. Brechungsindizes sind wellenlängenabhängig und können für verschiedene Glasarten im Bereich von n = 1, 4 bis 2,2 liegen [4]. Als Linsen bezeichnet man ganz allgemein Bauelemente bzw. experimentelle Aufbauten, mit denen Strahlung fokussiert oder abgelenkt werden kann. In der geometrischen Optik handelt es sich bei Linsen um transparente 1 Zum Verständnis der Brechung von Licht an Oberflächen und Prismen sind die Animationen und Erläuterungen von Leifi sehr nützlich, siehe Referenzen [1, 2, 3].

2 (d.h. lichtdurchlässige) Körper, deren Material einen höheren Brechungsindex aufweist als das umgebende Medium (in der Regel Luft). Ein Lichtstrahl wird beim Durchgang durch eine Linse zweimal gebrochen, einmal beim Eintritt in die Linse und einmal beim Austritt. Die Ein- und Austrittsflächen von Linsen haben meistens die Form von Kugelflächen. Derart geschliffene Linsen werden sphärische Linsen genannt. Man unterscheidet zwischen Sammel- und Zerstreuungslinsen. Bei sogenannten Sammellinsen wird ein parallel zur optischen Achse einfallendes Lichtbündel in einem hinter der Linse liegenden Brennpunkt gesammelt. Eine Zerstreuungslinse hingegen zerstreut das Licht so, als ob es aus einem vor der Linse liegenden Brennpunkt käme. Sammellinsen sind in der Linsenmitte dicker als am Rand, Zerstreuungslinsen sind am Rand dicker als in der Linsenmitte. Sammellinsen werden auch als Konvexlinsen bezeichnet, Zerstreuungslinsen als Konkavlinsen. Des Weiteren unterscheidet man zwischen dicken und dünnen Linsen. Für eine dünne Linse wird bei den theoretischen Überlegungen die endlich dicke reale Linse durch eine Ebene ersetzt, die sogenannte Hauptebene. Dadurch werden die zwei Brechungen an den Grenzflächen bei Eintritt- und Austritt des Lichtstrahls zu einem einzigen Brechvorgang an dieser Hauptebene zusammengefasst. Das Konzept der dünnen Linse ist eine Idealisierung. Es ist eine gute Näherung, solange die Dicke der Linse an der breitesten Stelle klein im Vergleich zu ihrem Durchmesser ist. Als optische Achse bezeichnet man in der geometrischen Optik die Symmetrieachse der optischen Bauelemente. Sie entspricht meist der geraden Verbindungslinie der Krümmungsmittelpunkte der brechenden oder spiegelnden Flächen der zentrierten Linsen oder Spiegel. Wenn im Folgenden der Begriff Bild verwendet wird, so ist immer ein scharfes Bild gemeint. Bilder, die auf einem Schirm abgebildet werden können, die man aber nicht direkt mit dem Auge sehen kann, werden reelle Bilder genannt. Bilder die man direkt mit dem Auge sehen kann (wie z.b. bei einer Lupe), die sich aber nicht auf einem Schirm abbilden lassen, werden virtuelle Bilder genannt. 2.2 Optische Linsen Die Wirkungsweise und die Gestalt dünner Sammellinsen werden verständlich, wenn man sich die Linsen, wie in Abbildung 1 dargestellt, als aneinandergereihte Prismen vorstellt 2. Das Prisma in der Mitte der Linse ist von zwei planparallelen Flächen begrenzt, so dass ein senkrecht einfallender Lichtstrahl entlang der optischen Achse ungebrochen hindurch tritt. Die Prismen außerhalb der optischen Achse haben zueinander geneigte Flächen, so dass ein Lichtstrahl, der parallel zur optischen Achse einfällt, unter einem nicht-senkrechten Winkel auf die Prismafläche trifft und daher gebrochen wird. Wenn die Winkelveränderung der aufeinanderfolgenden Prismen richtig abgestimmt ist, dann gelingt es, dass alle parallel zur optischen Achse einfallenden Strahlen hinter der Linse in einem Punkt F, dem sogenannten Brennpunkt, treffen. Abb. 1: Strahlengang durch eine Sammellinse für parallel zur optischen Achse einfallende Lichtstrahlen; F : Brennpunkt, f: Brennweite Die Entfernung des Brennpunktes F von der Hauptebene der Linse wird als Brennweite f bezeichnet. Wenn die Entfernung y der Parallelstrahlen von der optischen Achse relativ klein bleibt, spricht man von achsennahen 2 Die Strahlen einer gewöhnlichen Lichtquelle verlaufen in alle Raumrichtungen. Erst wenn eine Lichtquelle weit entfernt ist, kann man von parallelen Lichtstrahlen sprechen. Die Lichtstrahlen, die von der Sonne auf der Erde ankommen, sind etwa parallel. Um parallele Strahlen (z.b. mit einem Scheinwerfer oder einer Taschenlampe) zu erzeugen, werden Fokussieroptiken verwendet. Laserlicht wird durch den speziellen Prozess der sogenannten stimulierten Emission erzeugt und ist inhärent parallel. Seite 2 von 13

3 Strahlen. Diese Strahlen lassen sich in guter Näherung mit sphärischen Linsen auf einen Punkt fokussieren 3. Der Zusammenhang zwischen den Radien der Kugelflächen und der Brennweite einer Linse wird für achsennahe Strahlen durch die sogenannte Linsenmachergleichung 1 f ( 1 = (n 1) + 1 ) r 1 r 2 (1) beschrieben. Dabei ist n der Brechungsindex des Linsenmaterials. Linsen für die Verwendung im sichtbaren Spektralbereich werden aus optischen Gläsern mit Brechungsindzes von etwa n = 1, 5 hergestellt. Die Vorzeichen der Linsenradien r 1 und r 2 der beiden Kugelflächen sind in Abbildung 2 definiert. Abb. 2: Definition der Vorzeichen der Radien für konvexe und konkave Flächen Bei einer Zerstreuungslinse sind die gedachten Teilprismen andersherum angeordnet (siehe Abbildung 3). Auf Grund dieser Anordnung werden die Strahlen, die parallel zur optischen Achse einfallen, hinter der Linse divergieren (auseinanderstreben). Wenn die Winkeländerung der aufeinanderfolgenden Prismen richtig abgestimmt ist, dann divergieren die Strahlen derart, dass sie radial von einem Punkt F, der vor der Linse liegt, fortstreben. Die Entfernung dieses Abb. 3: Strahlengang durch eine Zerstreuungslinse für parallel zur optischen Achse Brennpunktes von der Symmetrielinie der Zerstreuungslinse gibt die Brennweite an, deren Zahlenwert negativ ist. Der einfallende Lichtstrahlen; F : Brennpunkt, Zusammenhang zwischen der Brennweite und den Radien f: Brennweite wird auch für Zerstreuungslinsen durch die Linsenmachergleichung (Gleichung 1) beschrieben. Auf Grund der konkaven Gestalt liefert die Gleichung einen negativen Wert für die Brennweite f. Auch für Zerstreuungslinsen sind sphärische Flächen des Linsenglaskörpers für achsennahe Strahlen in erster Näherung geeignet. 2.3 Abbildungen mit Linsen Mithilfe optischer Linsen lassen sich selbstleuchtende oder angestrahlte leuchtende Gegenstände abbilden. Die oben dargestellten Eigenschaften der sphärischen Linsen liefern drei wichtige Regeln für die Konstruktion und Berechnung der Strahlengänge für achsennahe Strahlen: 1. Parallelstrahlen werden zu Brennpunktstrahlen und umgekehrt, d.h. Lichtstrahlen, die parallel zur optischen Achse auf die Linse treffen, laufen durch den Brennpunkt (siehe Abbildung 4a). Umgekehrt gilt dann auch, dass Strahlen, die vom Brennpunkt ausgehend auf eine Linse treffen, hinter der Linse parallel zur optischen Achse verlaufen. 2. Ein Strahl, der den Mittelpunkt einer dünnen Linse trifft, wird als Hauptstrahl bezeichnet (siehe Abbildung 4b). Er geht ungebrochen hindurch, weil die Linsenmitte von zwei parallelen Flächen begrenzt wird. (Die geringfügige Parallelverschiebung wird zunächst vernachlässigt, siehe aber Abschnitt 2.2.) 3. Untereinander parallele Strahlen, die nicht parallel zur optischen Achse verlaufen, treffen sich in einem Punkt auf der Brennebene (siehe Abbildung 4b). Diese Ebene verläuft senkrecht zur optischen Achse, ihr Mit- 3 Für achsferne Strahlen kommt es bei rein sphärischen Linsenflächen zu einem Abbildungsfehler (sogenannte sphärische Aberration), der bewirkt, dass die Strahlen nicht mehr in einem Punkt zusammenlaufen. Die Abbildung wird dann unscharf. Zur Verminderung dieser Linsenfehler können anders gekrümmte Linsenflächen eingesetzt werden, sogenannte asphärische Linsen. Seite 3 von 13

4 a) b) Abb. 4: Brennpunkt und Brennebene paralleler Strahlen telpunkt ist der Brennpunkt. Der Treffpunkt auf der Brennebene wird durch den zugehörigen Hauptstrahl definiert. Mithilfe dieser Regeln lassen sich Strahlengänge für Abbildung mit Linsen konstruieren. Ein selbstleuchtender oder angestrahlter Gegenstand G sendet Lichtstrahlen in alle Richtungen aus. In Abbildung 5 ist der selbstleuchtende Gegenstand als Pfeil dargestellt. Von der Spitze dieses Gegenstandes (Punkt 1) trifft das grau dargestellte Strahlenbündel die Linse und tritt gebrochen hindurch. Durch die Linse werden alle diese Strahlen gebrochen und treffen sich wieder in einem Punkt (Punkt 3 in Abbildung 5). Für eine Sammellinse liegt dieser Punkt jenseits der Linse. Um die Lage dieses Punktes zu bestimmen, wählt man Strahlen, deren Verlauf man einfach konstruieren kann: den Hauptstrahl, den Parallelstrahl und/oder den Brennpunktstrahl. Die Konstruktion erfolgt nach den oben beschriebenen Regeln. Das scharfe Bild B des Gegenstands G entsteht an der Stelle, an der sich die Strahlen treffen. Abb. 5: Abbildung mit einer Sammellinse: Konstruktion von Bild B des Gegenstands G mithilfe von Haupt- und Brennpunktstrahlen. Die Vergrößerung bzw. Verkleinerung der Abbildung ist durch das Verhältnis von Bildgröße B zu Gegenstandsgröße G gegeben, dem sogenannten Abbildungsmaßstab M = B/G. Aus elementaren Überlegungen zur Geometrie (Strahlensatz) in Abbildung 5 folgt: Seite 4 von 13

5 M = B G = b g (2) Dabei ist b die Bildweite und g die Gegenstandsweite. Für den Brennpunktstrahl (Verbindung von Punkt 2 und 3 in Abbildung 5) gilt analog: M = B G = (b f) f (3) Gleichsetzen dieser zwei Gleichung und Umformung liefert die sogenannte Abbildungsgleichung: 1 f = 1 g + 1 b (4) Die Abbildungsgleichung setzt die Bildweite b zur Gegenstandsweite g und zur Brennweite f in Beziehung und ist eine der wichtigsten Gleichungen der geometrischen Optik. Die Vorzeichen für die hier verwendetet Größen sind wie folgt definiert: 4 Die Gegenstandsweite g und die Gegenstandsgröße G sind immer positiv. Eine positive Brennweite f bezeichnet eine Konvexlinse, eine negative Brennweite f eine Konkavlinse. Die Bildweite b ist so definiert, dass sich der Gegenstand und das Bild bei positiven Werten auf den gegenüberliegenden Seiten der Linse befinden, während sie bei negativen Werten auf der gleichen Seite sind. Bilder, die auf der gegenüberliegenden Seite der Linse entstehen, sind immer reelle Bilder. kurz: b positiv reelles Bild Bilder, die auf der Seite des Gegenstands entstehen, sind immer virtuelle Bilder. kurz: b negativ virtuelles Bild Eine positive Bildgröße B beschreibt ein auf dem Kopf stehendes Bild, eine negative Bildgröße B ein aufrecht stehendes Bild. Aus diesen Formeln (2) und (4) lassen sich verschiedene (für diesen Laborversuch mehr oder weniger relevanten) Aussagen für einfache Abbildungen mit nur einer Linse ableiten: für Konvexlinsen (Brennweite f > 0): b/g = B/G = Wenn b negativ ist, dann ist auch B negativ und umgekehrt. = Bei Abbildungen mit einer Konvexlinse stehen reelle Bilder immer auf dem Kopf, virtuelle Bilder stehen immer aufrecht. g = f b = = Wenn der Gegenstand in den Brennpunkt gestellt wird, entsteht kein Bild bzw. ein Bild im Unendlichen. g > f b > 0 = Wenn die Gegenstandsweite größer ist als die Brennweite, dann (und nur dann) entsteht ein reelles Bild. g < f b < 0 = Wenn die Gegenstandsweite kleiner ist als die Brennweite, dann (und nur dann) entsteht ein virtuelles Bild. 4 Hinweis: Die Vorzeichen, wie sie hier verwendet werden, finden sich in vielen Lehrbüchern, allerdings gibt es eine DIN-Norm zur geometrischen Optik [5], in der die Vorzeichen teilweise anders definiert sind. Seite 5 von 13

6 B = G b = g g = 2f = b = Ein gleich großes reelles (und auf dem Kopf stehendes) Bild entsteht dann (und nur dann), wenn die Gegenstandsweite gleich der doppelten Brennweite ist. 0 < B < G 0 < b < g g > 2f = Ein verkleinertes reelles (und auf dem Kopf stehendes) Bild entsteht dann (und nur dann), wenn die Gegenstandsweite größer als die doppelten Brennweite ist. B > G b > g f < g < 2f = Ein vergrößertes reelles (und auf dem Kopf stehendes) Bild entsteht dann (und nur dann), wenn die Gegenstandsweite zwischen der einfachen und der doppelten Brennweite liegt. Wenn g < f, dann ist 1 f 1 g immer kleiner als 1 g = Virtuelle Bilder sind immer vergrößert. für Konkavlinsen (Brennweite f < 0): aus f < 0 und g > 0 folgt b < 0 und b < g und B < G = Mit Konkavlinsen können nur virtuelle Bilder erzeugt werden. Diese virtuellen Bilder sind immer verkleinert und liegen zwischen dem Gegenstand und der Linse. Für Konvexlinsen kann die Distanz d zwischen Gegenstand und Schirm, auf dem das Bild entsteht, in Abhängigkeit vom gewünschten Abbildungsmaßstab M und der Brennweite f der Linse berechnet werden: d = g + b = (2 + M + 1 M ) f (5) Das Minimum von (2 + M + 1/M) liegt bei M = 1. Daraus ergibt sich der kleinste Abstand von Gegenstand und Schirm zu d min = 4 f (6) Eine reele Abbildung kann also nur entstehen, wenn der Abstand zwischen Schirm und Gegenstand mindestens das Vierfache der Brennweite beträgt. 2.4 Bessel-Verfahren Wenn man in Gleichung 5 den Abbildungsmaßstab M durch seinen Kehrwert 1/M ersetzt, ändert sich am Zahlenwert für die Distanz d nichts. Daher sind bei festgehaltenem Abstand d (Gegenstand Schirm) grundsätzlich zwei Abbildungen möglich, eine vergrößerte und eine verkleinerte. Diesen Sachverhalt kann man für die Messung der Brennweite ausnutzen. Die Messvorschrift dafür trägt die Bezeichnung Bessel- Verfahren. Um zwischen den zwei möglichen Abbildungen zu wechseln, muss nur die Position der Linse verändert werden, wie in Abbildung 6 dargestellt. Hinsichtlich der Entfernung von der Linse vertauschen Bild und Gegenstand sozusagen ihre Rollen. Die Bildweite b 2 ist genauso groß wie die Gegenstandsweite g 1 und umgekehrt. Zum Wechsel muss die Linse um Abb. 6: Erläuterung zum Bessel-Verfahren Seite 6 von 13

7 die Strecke e verschoben werden. Daher gilt: und d = 2g 1 + e = g 1 = (d e)/2 b 1 = g 1 + e = b 1 = (d + e)/2 Einsetzen in die Abbildungsgleichung 4 ergibt 1 f = 2 d e + 2 d + e = 4d d 2 e 2 Die Brennweite errechnet sich beim Bessel-Verfahren also aus dem Kehrwert dieser Gleichung: f = d2 e 2 4d (7) Der wesentliche Vorteil dieses Verfahrens besteht darin, dass die absolute Position der Linse nicht bekannt sein muss, da lediglich die Verschiebung der Linse e gemessen werden muss. Das ist insbesondere dann wichtig, wenn bei Linsensystemen die genaue Lage der Hauptebene nicht bekannt ist. 2.5 Linsensysteme Wenn zwei Linsen zu einem System verbunden werden, wird jeder Strahl viermal gebrochen und es ergeben sich zwei neue Hauptebenen des Linsensystems: Der in Abbildung 7 von rechts in die Zerstreuungslinse eintretende Parallelstrahl 1 tritt auf der anderen Seite des Systems als gebrochener Strahl 2 wieder aus. Der gedachte Schnittpunkt von ein- und austretendem Strahl definiert die erste Hauptebene H 1. Die Gesamtbrennweite f G ist der Abstand dieser Hauptebene vom Schnittpunkt F 1 mit der optischen Achse. Abb. 7: Strahlengänge im Linsensystem Ein von links kommender Parallelstrahl 3 tritt als gebrochener Strahl 4 aus. Der gedachte Schnittpunkt zwischen ein- und austretendem Strahl definiert die Lage der zweiten Hauptebene H 2. Die Brennweite f G ist wiederum der Abstand der Hauptebene vom Schnittpunkt des austretenden Strahls mit der optischen Achse. Die beiden Brennweiten sind gleich groß und unabhängig von der Richtung des Strahlenganges. Die Berechnung der Gesamtbrennweite f G erfolgt mit den Konstruktionsregeln für dünne Linsen. Als Ergebnis erhält man eine Abhängigkeit der Gesamtbrennweite f G von den Brennweiten f 1 und f 2 der Einzellinsen sowie vom Abstand a der beiden Linsen: Seite 7 von 13

8 f g = f 1 f 2 f 1 + f 2 a (8) Hierbei ist zu beachten, dass Brennweiten für Sammellinsen positiv und für Zerstreuungslinsen negativ sind. Die bisherigen Überlegungen können auf beliebige Linsensysteme (viele Linsen, dicke Linsen) erweitert werden. Jedes optische System ist hinsichtlich seiner abbildenden Wirkung durch die Angabe der beiden Hauptebenen und der Brennweite eindeutig charakterisiert. Die für dünne Linsen angegebenen Konstruktionsvorschriften bleiben zwischen Gegenstand und zugehöriger Hauptebene und ebenso auf der Abb. 8: Parallelverschiebung der Strahlengänge im Bildseite erhalten. Die Schnittpunkte der Strahlen Linsensystem mit der 1. Hauptebene werden auf die 2. Hauptebene projiziert (d.h. wie in Abbildung 8 durch horizontale Striche verbunden). Auf diese Art wird die Parallelverschiebung des Hauptstrahls berücksichtigt. Oft wird der Abstand der Hauptebenen h vernachlässigt. Wegen der zunächst unbekannte Lage der Hauptebenen H 1 und H 2 eines Linsensystems ist für solche Systeme das Bessel-Verfahren für die Bestimmung der Brennweiten vorteilhaft. 3 Versuchsaufbau 3.1 Optische Bank Für die Versuchsdurchführung steht eine optische Bank zur Verfügung, auf der sich ein selbstleuchtender Gegenstand (7-Segmentanzeige), eine Linsenhalterung und ein Schirm befinden (s. Abbildung 9). Alle drei Elemente sind auf sogenannten Reitern montiert und können auf der Bank verschoben und arretiert werden. Mit Hilfe eines weißen Strichs auf den Reitern können die Position des Gegenstands x G, der Linse bzw. des Linsensystem x L und des Schirms x S auf der Millimeter-Skala der optischen Bank abgelesen werden. Eine Sammellinse und eine Zerstreuungslinse in geeigneten Fassungen liegen bereit. Für die Auswertung benötigten Sie die Abstände der Elemente auf der optischen Bank. Diese Abstände lassen sich wie folgt berechnen: g = x L x G b = x S x L (9) d = x S x G Abb. 9: Versuchsaufbau e = x L2 x L1 (10) 3.2 Sphärometer Für die Bestimmung der Krümmungsradien der Linsen steht ein Sphärometer zur Verfügung. Dieses Gerät hat drei feste Tastspitzen, die an den Eckpunkten eines gleichseitigen Dreiecks angeordnet sind (s. Abbildung 10). Im Mittelpunkt dieses Dreiecks befindet sich der Messstift eines Höhenmessgerätes. Wird das Gerät auf eine Seite 8 von 13

9 Kugelfläche aufgesetzt, dann definieren die drei Tastspitzen eine Ebene in dieser Kugel, und der Messstift registriert die Höhe h der Kugelkappe über dieser Ebene. Aus dem Abstand s der Tastspitzen vom Messstift und der Höhe h kann mit dem Satz des Pythagoras der Kugelradius berechnet werden: r = h2 + s 2 2h (11) Der Abstand s der Tastspitzen vom Messstift wird vom Hersteller angegeben und liegt bei den vorliegenden Sphärometern bei Abb. 10: Sphärometer s = (15 ± 0, 1) mm. 3.3 Messfehler Positionsbestimmung auf der optischen Bank Bei der Abschätzung des systematischen Fehlers der Positionsbestimmung der Elemente auf der optischen Bank tritt neben dem systematischen Fehler des Stahlmaßstabs auch ein Beitrag auf, der dadurch zustande kommt, dass die Markierung am Reiter nicht notwendigerweise mit der genauen Position des jeweiligen Elementes übereinstimmt. Dieser Beitrag überwiegt beim systematischen Fehler und kann mit u x, sys = 2 mm abgeschätzt werden. Die zufälligen Fehler bei der Positionsbestimmung ergeben sich entweder aus den Ablesefehlern, wenn die Positionen nur einmal gemessen werden, oder aus den statistischen Fehlern bei Mehrfachmessungen. Die Gesamtfehler bei der Bestimmung der Position des Gegenstands x G, der Linse x L und des Schirms x S setzten sich dann als Summe von systematischem und zufälligem Fehler zusammen Abstandsbestimmung im Linsensystem Auch bei der Abschätzung des systematischen Fehlers des Abstands a der beiden Linsen ist zu beachten, dass die Position des Rändelringes nicht notwendig mit der genauen Position der jeweiligen Linse übereinstimmt. Dieser Beitrag kann mit u a, sys = 1 mm abgeschätzt werden. Der zufällige Fehler ergibt sich aus dem Ablesefehler des Messschiebers Sphärometer Der systematische Fehler des Sphärometers beträgt u h, sys = 0, 005 mm L wobei L die gemessene Länge in mm ist (gemäß systematischem Fehler für Feinmessschrauben). Der zufällige Fehler ergibt sich aus dem Ablesefehler des Sphärometers. 4 Versuchsdurchführung 4.1 Bestimmung der Brennweite f 1 der Sammellinse Setzen Sie den leuchtenden Gegenstand an das eine und den Schirm an das andere Ende der optischen Bank und die Sammellinse in den Strahlengang dazwischen. Fixieren Sie den Gegenstand mithilfe der Feststellschraube. Seite 9 von 13

10 Verschieben Sie die Linse und den Schirm derart, dass ein scharfes Bild auf dem Schirm entsteht. Beachten Sie, dass ein scharfes Bild nur möglich ist, wenn d min > 4 f ist (s. Gleichung 6). Verändern Sie die Einstellung beider Elemente, so dass das Bild etwa anderthalb mal größer ist als der Gegenstand (M 1, 5). 5 Fixieren Sie nun mithilfe der Feststellschrauben den Gegenstand und die Linse auf der optischen Bank. Lesen Sie die Werte für die Positionen des Gegenstandes x G, der Linse x L und des Schirms x S ab und notieren sie diese Werte. Um den subjektiven Einfluss bei der Bewertung der Bildschärfe zu minimieren, soll dieser Vorgang nun mindestens sechs Mal wiederholt werden. Dazu sollen der Gegenstand und die Linse unverändert auf ihren Positionen bleiben und nur der Schirm verschoben werden 6. Verschieben Sie den Schirm so, dass das Bild völlig unscharf wird. Anschließend verschieben Sie den Schirm erneut derart, dass wieder ein scharfes Bild erscheint. Lesen Sie jeweils die Position des Schirms x S ab und notieren Sie den Wert. Wiederholen Sie diesen Vorgang, bis Sie mindestens sechs Werte für x S gemessen haben. Bestimmen Sie den Ablesefehler für die Positionsmessungen. 4.2 Messung der Linsenradien zur Bestimmung des Brechungsindex n des Linsenglases Setzen Sie das Sphärometer auf die ebene Glasplatte. Falls die Messuhr einen von Null abweichenden Wert angibt, müssen Sie den Nullpunkt der Messuhr durch Verdrehen der äußeren Skala kalibrieren. Machen Sie sich mit dem Wertebereich des Sphärometers vertraut und überprüfen Sie, welcher Länge ein Skalenteil entspricht und welche Länge bei einmaliger Umdrehung der Messuhr gemessen wird. Setzen Sie das Sphärometer auf eine Seite der bisher verwendeten Konvexlinse und notieren Sie den Ausschlag h 1 der Messuhr. Wiederholen Sie diese Messung für die andere Seite der Linse (h 2 ). Bestimmen Sie den Ablesefehler für h. 4.3 Bestimmung der Brennweite f G des Linsensystems mit dem BESSEL-Verfahren zur Bestimmung der Brennweite f 2 der Zerstreuungslinse Anmerkung: Wie bereits beschrieben (Abschnitt 2.3) ist es nicht möglich, mit einer Zerstreuungslinse ein reelles Bild auf einem Schirm abzubilden. Daher ist es auch nicht möglich, die Brennweite einer Zerstreuungslinse mit der unter 4.1 beschriebenen Methode zu bestimmen. Um die Brennweite dennoch über die Abbildungseigenschaften der Linse bestimmen zu können 7, kann man aus der zu untersuchenden Zerstreuungslinse und einer Sammellinse mit bekannter Brennweite ein Linsensystem bilden. Kennt man die Brennweite des Linsensystems, die Brennweite der Sammellinse und den Abstand beider Linsen, so lässt sich daraus nach Gleichung 8 die gesuchte Brennweite bestimmen. Damit diese Methode anwendbar ist, muss die Gesamtbrennweite des Linsensystems positiv sein, d.h. das gesamte Linsensystem muss wie eine Sammellinse wirken. Ein System aus einer Konvex- und einer Konkavlinse 5 Die Frage, wo das Bild scharf ist, lässt viel Platz für subjektives Ermessen. Die Wahl des Abbildungsmaßstabs von M 1, 5 ist nur eine Empfehlung, da dann der Bereich, in dem das Bild scharf erscheint, relativ gut zu identifizieren ist. Sie dürfen aber auch einen anderen Abbildungsmaßstab wählen. 6 Selbstverständlich ändert sich auch nichts an dem Prinzip, wenn Sie auch die Linse und/oder den Gegenstand mit verschieben. Der Vorschlag, die Linse und den Gegenstand fest auf ihren Positionen zu lassen, soll Ihnen nur das Vorgehen erleichtern und bietet die Möglichkeit, sich bei der Auswertung an die vorgegebenen Schritte zu halten. Sie dürfen aber auch gerne von diesem Verfahren abweichen. 7 Wie oben erwähnt, könnte die Brennweite auch aus dem Brechungsindex und der geometrischen Form der Linse bestimmt werden. Seite 10 von 13

11 kann nur dann eine positive Gesamtbrennweite haben, wenn die Brennweite der Konvexlinse kleiner ist als der Betrag der Brennweite der Konkavlinse (s. Formel 8). Versuchsdurchführung: Konstruieren Sie ein Linsensystem, indem Sie die Konkavlinse auf die bisher verwendete Konvexlinse aufstecken. Die Reihenfolge der beiden Linsen spielt keine Rolle. Bestimmen Sie den Abstand a der Symmetrieebenen der beiden Linsen, indem Sie den Abstand der Rändelringe der beiden Linsenfassungen mithilfe des Messschiebers ausmessen. Beachten Sie, dass Sie im Prinzip von der Mitte des einen Rändelringes bis zur Mitte des zweiten Rändelringes messen müssten. Da sich die Mitte nur ungenau abschätzen lässt, ist es empfehlenswert a) entweder den Innenabstand der Rändelringe + 1 Dicke eines Rändelrings b) oder Außenabstand der Rändelringe - 1 Dicke eines Rändelrings c) oder Mittelwert von Innenabstand und Außenabstand zu messen. Notieren Sie die Werte zur Bestimmung des Linsenabstands. Notieren Sie auch die dazugehörigen Ablesefehler. Setzen Sie das Linsensystem in den Strahlengang und verschieben Sie das System und den Schirm solange, bis Sie ein etwa anderthalbfach vergrößertes scharfes Bild erhalten (M 1, 5). Beachten Sie wieder, dass für d min < 4 f keine scharfe Abbildung möglich ist. Fixieren Sie Gegenstand und Schirm mithilfe der Feststellschrauben und notieren Sie deren Positionen x G und x S. Notieren Sie die Position des Linsensystems x L, 1 für das vergrößerte Bild. Verschieben Sie das Linsensystem in Richtung Schirm, bis Sie das verkleinerte scharfe Bild erhalten. Notieren Sie die Position des Linsensystem x L, 2 für das verkleinerte Bild. Wiederholen Sie die Prozedur so oft, bis Sie für x L, 1 und x L, 2 jeweils mindestens sechs Messwerte aufgenommen haben. 5 Auswertung Hinweis: Die Fehlerrechnung nimmt einen großen Teil Ihrer Auswertung ein. Sie müssen Längenmessfehler bestimmen, statistische Fehler im Zusammenhang mit Mittelwertbildung berechnen und Fehlerfortpflanzung anwenden. 5.1 Brennweite f 1 der Sammellinse Berechnen Sie aus den aufgenommenen n Messwerten den Mittelwert ˆx S und den dazugehörigen statistischen Fehler. Berücksichtigen Sie auch den systematischen Fehler. Berechnen Sie aus den Positionen des Gegenstandes x G, der Linse x L und dem Mittelwert der Position des Schirms ˆx S die Gegenstandsweite g und die Bildweite b (Gleichung 9) und daraus wiederum die Brennweite f 1 (Gleichung 4). Berechnen Sie nach den Regeln der Fehlerfortpflanzung die Fehler der Gegenstandsweite g, der Bildweite b und der Brennweite f 1 und geben Sie die Ergebnisse sinnvoll gerundet mit absolutem und relativem Fehler an. Vergleichen Sie Ihren Wert für die Brennweite f 1 mit den Herstellerabgaben der Linse. Seite 11 von 13

12 5.2 Bestimmung des Brechungsindex n des Linsenglases Berechnen Sie aus Ihren Messwerten die Krümmungsradien (Gleichung 11) der Konvexlinse mit Fehlerangabe. Berechnen Sie den Brechungsindex n des Linsenglases aus den Krümmungsradien und der unter 5.1 bestimmten Brennweite f 1 (Gleichung 1). Berechnen Sie nach den Regeln der Fehlerfortpflanzung den Fehler der Krümmungsradien und des Brechungsindex. Geben Sie die Ergebnisse sinnvoll gerundet mit absolutem und relativem Fehler an. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis für den Brechungsindex mit dem Literaturwert. 5.3 Brennweite f G des Linsensystems nach dem BESSEL-Verfahren und Brennweite f 2 der Zerstreuungslinse Brennweite f G des Linsensystems nach dem BESSEL-Verfahren Ermitteln Sie für das Linsensystem die Distanz d zwischen Gegenstand und Schirm (Gleichung 10) und den dazugehörigen Fehler. Berechnen Sie aus den n gemessenen Positionen des Linsensystems für die vergrößerte Abbildung den Mittelwert dieser Position ˆx L1 und den dazugehörigen statistischen Fehler. Berechnen Sie anschließend den Gesamtfehler der Position, der sich aus dem statistischen und dem systematischen Fehler zusammensetzt. Berechnen Sie analog wie oben auch für die verkleinerte Abbildung aus den n gemessenen Positionen des Linsensystems den Mittelwert der Position ˆx L2 und den dazugehörigen Fehler. Berechnen Sie aus diesen beiden Mittelwerten die Verschiebung e und den dazugehörigen Fehler. Berechnen Sie mittels Gleichung 7 die Gesamtbrennweite f G des Linsensystems. Berechnen Sie nach den Regeln der Fehlerfortpflanzung den Fehler der Gesamtbrennweite f G. Geben Sie die Ergebnisse sinnvoll gerundet mit absolutem und relativem Fehler an Brennweite f 2 der Zerstreuungslinse Berechnen Sie mit Ihren bisherigen Ergebnissen für die Brennweiten f 1 und f G sowie Ihrem Messwert für den Linsenabstand a die Brennweite f 2 der Konkavlinse (Gleichung 8). Berechnen Sie nach den Regeln der Fehlerfortpflanzung den Fehler von f 2. Geben Sie f 2 sinnvoll gerundet mit absolutem und relativem Fehler an. Vergleichen Sie Ihren Wert für die Brennweite f 2 mit den Herstellerangaben der Linse. Seite 12 von 13

13 Literatur [1] D. C. Giancoli, Physik. Lehr- und Übungsbuch, Pearson Studium (2010) ISBN: [2] LEIFI-Physik: Mechanische Wellen, HUYGENS sches Prinzip, Joachim Herz Stiftung, Hamburg, (abgerufen am ) [3] LEIFI-Physik: Lichtbrechung, Joachim Herz Stiftung, Hamburg, (abgerufen am ) [4] M. N. Polyanskiy, Refractive index database, (abgerufen am ) [5] DIN 1335: Geometrische Optik - Bezeichnungen und Definitionen, Ausgabedatum , Deutsches Institut für Normung e.v. Fragenkatalog Diese Fragen sollten Sie für das Labortestat beantworten können: 1. Was versteht man unter Konvex- und Konkavlinsen? 2. Was lässt sich über den weiteren Weg von Lichtstrahlen sagen, die parallel zur optischen Achse auf eine Sammellinse fallen? 3. Welche Vorzeichen haben die Brennweiten für Konvex- bzw. Konkavlinsen? 4. Wie kann man die Brennweite einer Sammellinse bestimmen? 5. Wie lauten die drei Regeln für die Konstruktion von Strahlengängen durch Linsen? 6. Wie ist der Abbildungsmaßstab definiert? 7. Wie groß muss der Abstand zwischen Schirm und Gegenstand mindestens sein, damit eine reelle Abbildung auf dem Schirm entstehen kann? 8. Wie viele verschiedene scharfe Bilder können bei festgehaltenem Abstand zwischen Schirm und Gegenstand entstehen (wenn der Abstand zwischen Schirm und Gegenstand den Mindestabstand zum Entstehen reeller Abbildungen überschreitet)? Wodurch unterscheiden sich diese Bilder? 9. Wie geht man bei dem Bessel-Verfahren zur Brennweitenbestimmung vor? Welches optische Bauelement wird dabei verschoben? Was ist der Vorteil des Bessel-Verfahrens? 10. Was ist ein Sphärometer? Was wird mit dem Sphärometer gemessen? 11. Wie ist der Brechungsindex definiert? S. Kröger, A. Bartelt, C. Becker und das Physikteam Hochschule für Technik und Wirtschaft Fachbereich 1: Ingenieurwissenschaften - Energie und Information Wilhelminenhofstraße 75A D Berlin Seite 13 von 13