x a 2n + + a mn

Transkript

1 Lineare Gleichungssysteme(LGS Es sei a i j R und i R für alle (i = 1,, m und ( j = 1,, n. Dann heißt a 11 + a a 1n = 1 + a a 2n = 2 + a m2 + + a mn = m ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unekannten,,, Die reellen Zahlen a i j heißen Koeffizienten des Systems. Die reellen Zahlen i heißen Asolutglieder des Systems. Wenn alle Asolutglieder i gleich Null sind, dann heißt das lineare Gleichungssystem homogen, sonst inhomogen. Beispiele: y = 8 y = 3, L = {( 4 1 } y = y = 24, L = y = y = 15, L = {( 2,5 0,5 ; R } Bemerkung: Die folgende Situationen können ei der Suche nach Lösungen eines Gleichungssystems auftreten: LGS Inhomogen Homogen lösar unlösar lösar eindeutig mehrdeutig eindeutig mehrdeutig M. Komasi 1

2 Matrizendarstellung eines linearen Gleichungssystems Mit der Matrizendarstellung kann ein LGS vorteilhaft gelöst werden. Das lineare Gleichungssystem lässt sich als Matrizengleichung in der Form schreien. A = a 11 + a a 1 n = 1 + a a 2 n = 2 + a m2 + + a mn = m a11 a12 a1n a 22 a 2n a m2 a m n (1 n = (1 m 2 a11 Koeffizientenmatri A a12 a1 n a 22 a 2 n n a m2 a m Unekantenvektor 1 n Inhomogenität 1 m 2 Erweiterte Koeffizientenmatri A a11 a12 a1n 1 a 22 a 2n m 2 a m2 a m n Beispiel: 1 Das inhomogene lineare Gleichungssystem = = = 9 lässt sich in Matridarstellung schreien als: A = , = (1 3 2, = ( A = ( = ( M. Komasi 2

3 Das Gaußsche Eliminationsverfahren Die Gleichungen werden zuerst so umgeformt, dass alle Unekannten links vom Gleichheitszeichen stehen und das asolute Glied rechts. a 11 + a a 1 n = 1 + a a 2 n = 2 + a m2 + + a mn = m Dann wird das Gleichungssystem in die Stufenform geracht. Stufenform heißt, dass pro Zeile mindestens eine Unekannt weniger auftritt, also mindestens eine Unekannte eliminiert wird, indem die Zeile so umgeformt wird, dass der Koeffizient der Unekannte Null ist. c 11 + c c 1 n = d 1 c c 2 n = d 2 c mn = d m Zum Erreichen der Stufenform werden elementare Zeilenumformungen enutzt. Eine Zeile mit einer estimmten Zahl multiplizieren oder durch sie teilen. Ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren zw. davon sutrahieren. Zeilen vertauschen Daraus kann man die Unekannten der Reihe nach eginnend mit aus der letzten, 1 aus der vorletzten usw., schließlich aus der 1. Gleichung gegeenenfalls erechnen. Dieses verfahren heißt das Gaußsches Eliminationsverfahren. Üer die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems a Inhomogenes lineares Gleichungssystem A = Das System hat entweder genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen oder keine Lösung Homogenes lineares Gleichungssystem A = 0 Das System hat entweder genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen, die noch von mindestens einem Parameter ahängen. M. Komasi 3

4 Rang Um den Rang einer Matri zu estimmen, formt man diese mittels des gaußschen Eliminationsverfahrens in eine äquivalente Matri in Stufenform um. Die Anzahl der Zeilen, die ungleich Null sind, entspricht dann dem Rang der Matri. Pivotelement Als Pivotelement einer Matri in Stufenform ezeichnet man das erste Element ungleich Null in einer Zeile. Anzahl der Lösungen Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatri A mit Hilfe elementare Zeilenumformung in eine Matri mit Trapezform üergeführt. Ein lineares Gleichungssystem ist dann lösar, wenn der Rang der Koeffizientenmatri A mit dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatri A üereinstimmt. 1 Rang A = Rang A das LGS hat mindestens eine Lösung Rang A Anzahl der Spalten in A das LGS hat unendlich viele Lösungen Rang A = Anzahl der Spalten in A das LGS hat genau eine Lösung 2 Rang A Rang A das LGS hat keine Lösung Beispiele: = = = 3 Wir stellen die erweiterte Koeffizientenmatri auf EKM: Unter den Zeilen der 1. EKM suchen wir eine elieige Zeile aus, ei der in der ersten Position eine Zahl ungleich Null steht. Diese Zahl heißt Pivotelement. In unserem Beispiel ist das die Zeile I mit dem Pivotelement 1. Diese Zeile heißt Pivotzeile. Wir tragen die Pivotzeile als erste Zeile in der 2. EKM ein. Alle ürigen Zeilen von 1. EKM formen wir mit Hilfe der Pivotzeile I so um, dass in der Spalte unter dem Pivotelement (Pivotspalte nur Nullen stehen und tragen sie anschließend in 2. EKM ein. Jetzt wird so umgeformt, dass a 2 1 und a 31 Null werden, indem man geeignete Vielfache der ersten Gleichung zur zweiten und dritten Gleichung addiert. M. Komasi 4

5 Zur zweiten Zeile wird das 1 fache Zeile addiert. und zur dritten Zeile das 5 fache von der ersten 2. EKM: I + II in II -5I + III in III suchen wir wieder eine Zeile, ei der in der ersten Position eine Zahl ungleich Null (Pivotelement steht. In unserem Beispiel ist das die Zeile II mit dem Pivotelement 2. Diese Zeile (Pivotzeile tragen wir als zweite Zeile in der 3. EKM ein. Alle ürigen Zeilen des 2. EKM formen wir mit Hilfe der Pivotzeile II so um, dass in der Spalte (Pivotspalte unter dem Pivotelement nur Nullen stehen und tragen sie anschließend ins 3. Taleau ein. Damit a 3 2 Null wird, wird 8 fache der zweiten Zeile zur dritten Zeile addiert. 3. EKM: 8 II + III in III Ende: Der Algorithmus ist eendet, wenn nach Eintragen aller Pivotzeilen und Pivotspalten nur noch eine Zeile ürig leien würde Steht in der letzten Zeile der restlichen Matri dann eine Zahl ungleich Null, so ist diese Zahl ein Pivotelement. In unserem Beispiel ist die Zahl 6 ein Pivotelement. Die Matri A ist in Stufenform. Pivotelemente von A sind: a 11 = 1 ; a 22 = 2 ; a 33 = 6. Rang A = 3, Rang A = 3, Anzahl der Spalten von A = 3 Rang A = Rang A = Anzahl der Spalten von A = 3 das LGS hat genau eine Lösung Gestaffeltes System: = = = 18,, 3 haen jeweils ein Pivotelement. Zur Bestimmung der Lösung, lösen wir jede Zeile nach ihrem Pivotelement auf: Aus Zeile III ergit sich: 6 3 = 18 3 = 3 Aus Zeile II ergit sich: 2 3 = 5 = 4 Aus Zeile I ergit sich: 6 3 = 18 = 1 Inhomogenes LGS hat genau eine Lösung ( = 3 = ( 1 4 {(, L = } M. Komasi 5

6 = = = 2 Wir stellen die erweiterte Koeffizientenmatri auf EKM: Jetzt wird so umgeformt, dass a 2 1 und a 3 1 Null werden, indem man geeignete Vielfache der ersten Gleichung zur zweiten und dritten Gleichung addiert. Zur zweiten Zeile wird das 2 fache und zur dritten Zeile das 3 fache von der ersten Zeile addiert. 2. EKM: I + II in II I + III in III Damit a EKM: Null wird, wird zweiten Zeile mit dritten Zeile addiert. II + III in III Die Matri A ist in Stufenform. Pivotelemente von A sind: a 11 = 1 ; a 22 = 4 Rang A = 2, Rang A = 3 Rang A Rang A Inhomogenes LGS hat keine Lösung Die letzte Zeile edeutet: = 40 (Widerspruch = = = 7 1. EKM: -8I + II in II 2I + III in III II + III in III Die Matri A ist in Stufenform. Pivotelemente von A sind: a 11 = 3 ; a 22 = 2 M. Komasi 6

7 Rang A = 2, Rang A = 2, Anzahl der Spalten von A = 3 Rang A = Rang A und Rang A < Anzahl der Spalten von A Inhomogenes LGS hat unendlich viele Lösungen. Gestaffeltes System: = = 1 Kein Pivot efindet sich in den Spalten 3; d.h. 3 ist elieig wählar. 3 = λ Aus Zeile II ergit sich: = 1 = λ Aus Zeile I ergit sich: = 3 = λ (5 ( λ = = λ mit λ R λ { ( λ( 5 5 R} 6 6 L = 1 + 3, λ M. Komasi 7