Stochastik A. Prof. Dr. Barbara Gentz

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1 Stochastik A Prof. Dr. Barbara Getz Zusammefassug. Diese Mitschrift basiert auf Frau Prof. Getz Vorlesug Stochastik A aus dem Witersemester 2010/2011, welche sich i weite Teile a [Mee03] orietiert. Wer Fehler fidet oder Ergäzuge für sivoll hält, der ist eigelade, mir eie Mail a mmoll@math.ui-bielefeld.de zu sede. Ihaltsverzeichis 1. Was ist ei Zufallsexperimet? 1 2. Allgemeie Defiitioe ud Recheregel 2 3. Uremodelle 6 4. Bedigte Wahrscheilichkeit 9 5. Uabhägigkeit vo Ereigisse ud Biomialverteilug Produktexperimete 17 Literatur Was ist ei Zufallsexperimet? Würfel/Müzwurf Ziehe vo bute Kugel aus eiem Sack Kartespiele Lose ziehe Lotto spiele Zugag über relative Häufigkeite Azahl der Ausschlussexemplare eier Produktio Lebesdauer vo elektrische Geräte (etweder i Tage, Woche, Jahre (diskret) oder i [0, ) (kotiuierlich)) Beispiel 1.1 (Werfe zweier (fairer) Würfel). Gesucht ist die Wahrscheilichkeit, dass die Augesumme durch 3 teilbar ist. Die zutreffede Augesumme stamme 1

2 2 PROF. DR. BARBARA GENTZ aus der Mege A = {3, 6, 9, 12}. Wie setze sich die Augesumme zusamme? 3 = = (1.1) 6 = = = = = (1.2) 9 = = = = (1.3) 12 = (1.4) Jede eizele Kombiatiosmöglichkeit aus (1.1) bis (1.4) besitzt die relative Häufigkeit Isgesamt gibt es also 12 Möglichkeite die Elemete der Mege A durch das Werfe zweier Würfel zu erhalte. Dies ergibt eie relative Häufigkeit vo = 1 3. Uterscheidet ma higege icht zwische Kombiatioe, welche sich lediglich i der Reihefolge der Summade (Würfel) uterscheide, so erhält ma die Augesumme 3 aus dem Paar {1, 2} i geau 2 Fälle, die Augesumme 6 aus {1, 5}, {2, 4} ud {3, 3} i jeweils 2 beziehugsweise 1 Fall. Die 9 erhält ma aus {4, 5} ud {3, 6} i jeweils 2 Fälle ud zuletzt die 12 aus dem Paar {6, 6} i geau eiem Fall. Isgesamt gibt es hier also 7 Möglichkeite, die Elemete aus A zu erzeuge ud geau = 21 mögliche Ergebisse isgesamt. Dies ergibt ebeso die relative Häufigkeit 7 21 = 1 3. Dass die relative Häufigkeite i beide Fälle übereistimme ist jedoch Zufall ud im Allgemeie falsch! Zusammefassed otiere wir Ω 1 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3),..., (6, 6)}, wobei die erste Koordiate eies Elemets aus Ω 1 die Augezahl des erste Würfels ud etspreched die zweite Koordiate die Augezahl des zweite Würfels darstellt. Die Wahrscheilichkeit eies geordete Tupels (x, y) Ω 1 ist Dagege sei Ω 2 = {{1, 1}, {1, 2}, {1, 3},..., {1, 6}, {2, 2}, {2, 3},..., {6, 6}}. Es werde zwei uterschiedliche Würfel gleichzeitig geworfe ud {x, x} Ω 2 hat die Wahrscheilichkeit 1 36, aber {x, y} Ω 2 mit x y hat die Wahrscheilichkeit Hiweis. Das Arbeite mit Ω 2 ist schwieriger! 2. Allgemeie Defiitioe ud Recheregel Eie edliche, icht leere Mege Ω heißt Ereigisraum (Ergebismege, Stichproberaum etc.). Die Elemete sid die mögliche Ergebisse des Experimets. Ei Elemet ω Ω heißt Elemetarereigis (Ergebis, Stichprobe, Realisierug). Eie Teilmege A Ω heißt Ereigis. Für A, B Ω gelte folgede Regel für das Bilde euer Ereigisse: A B heißt A ud B trete ei A B heißt A oder B trete ei A B = heißt A ud B sid uvereibar A = heißt A ist umögliches Ereigis A = Ω heißt A ist sicheres Ereigis Gesucht sid sivolle Zuorduge vo Wahrscheilichkeite zu de Ereigisse. Jedem A P(Ω) muss eie Wahrscheilichkeit zugeordet werde.

3 STOCHASTIK A 3 Defiitio 2.1 (Wahrscheilichkeitsverteilug). Eie Abbildug P P(Ω) [0, 1] heißt Wahrscheilichkeitsverteilug oder Wahrscheilichkeitsmaß, we folgede Bediguge gelte: (a) P[Ω] = 1 (b) P[A] 0 für alle A Ω (c) P[A B] = P[A] + P[B] für alle A, B Ω mit A B = Was passiert, falls A B? Beispiel 2.2 (Eimal würfel). Es ist Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Wir defiiere ei Wahrscheilichkeitsmaß auf Ω wie folgt: P[A] = A Ω. Ma prüft leicht ach, dass alle Bediguge aus Defiitio 2.1 erfüllt sid. Sei A = {2, 4, 6} ud B = {4, 5, 6}, da ist A B = {4, 6} ud es gilt P[A B] = A B Ω Hier folgt also P[A B] P[A] + P[B]. = 4 6, P[A] = 3 6, P[B] = 3 6. P[A] heißt die Wahrscheilichkeit des Ereigisses A ud (Ω, P) heißt Wahrscheilichkeitsraum für das zu modellierede Experimet. Wir habe die Freiheit (Ω, P) zu wähle. Lemma 2.3 (Recheregel). Es seie A, B, A i P[Ω] für 1 i. Da gilt: (a) P[A c ] = 1 P[A] (b) Aus A B folgt P[A] P[B] (c) P[B A] = P[B] P[A B] (d) Für alle A, B Ω mit A B = gilt P [ A i ] = P[A i ]. (e) Es gilt allgemei für Teilmege A i Ω (f) Für A, B Ω gilt P [ A i ] P[A i ]. P[A B] = P[A] + P[B] P[A B]. Beweis. (a) Es gilt Ω = A (Ω A) ud A (Ω A) =. Aus Defiitio 2.1 folgt 1 = P[Ω] = P[A] + P[Ω A]. (b) Wie i (a) schreibe wir B = (B A) A ud daraus folgt P[B] = P[B A] + P[A] P[A]

4 4 PROF. DR. BARBARA GENTZ (c) Es gilt B = (B A) (A B) ud daraus folgt P[B] = P[B A] + P[A B]. (d) Per Iduktio (ur für de Fall = 3, der allgemeie Fall verläuft aalog). Zu zeige ist die Aussage A 1,..., A paarweise disjukt A 1 A 2, A 3,..., A paarweise disjukt. Wir zeige dies ur für = 3. Für A 1, A 2, A 3 paarweise disjukt gilt (e) Es gilt (A 1 A 2 ) A 3 = (A 1 A 2 ) (A 2 A 3 ) = =. P[A B] = P[A] + P[B A] = P[A] + P[B (A B)] = P[A] + P[B] P[A B]. (f) Die Aussage folgt aus dem im Folgede beschriebee Ei-/Ausschluss- Prizip. Lemma 2.4 (Ei-/Auschluss-Prizip). Es gilt für A i Ω Beweis. P [ A i ] = A i 1 i<j P[A i A j ] + P[A i A j A k ] 1 i<j<k P[A 1... A ] Wie obe führe wir de Beweis ur für = 3. Es gilt P[A B C] = P[A] + P[D] P[A D] = P[A] + (P[B] + P[C] P[B C]) P [(A B) (A C)] = P[A] + P[B] + P[C] P[B C] (P[A B] + P[A C] P [(A B) (A C)]) = P[A] + P[B] + P[C] P[B C] (P[A B] + P[A C] P [A B C]) Folgerug. Für alle A Ω gilt P[A] = ω A P[{ω}]. Das heißt, die Zuordug ω P[{ω}] legt die Abbildug P P(Ω) [0, 1] eideutig fest. Beispiel 2.5. Eimaliges würfel mit eiem (faire) Würfel. ω Ω P({ω}) 1 6 Da ist für A Ω = {1,..., 6} die Wahrscheilichkeit vo A gegebe durch P[A] = P[{ω}] = 1 A A = ω A 6 Ω. Defiitio 2.6 (Laplace-Experimet/Gleichverteilug). We alle Elemetarereigisse w Ω gleichwahrscheilich sid, da ist P[{ω}] = 1 Ω, de 1 = P[Ω] = P[{ω}] = p 0 Ω, w Ω

5 STOCHASTIK A 5 sowie P[A] = A Ω = Azahl guter Ausgäge Azahl möglicher Ausgäge. I diesem Fall heißt P die Gleichverteilug. Beispiel 2.7 (Briefwechsel zwische Pascal ud Fermat, 1654). Gegebe sei folgede Situatio: Zwei Spieler Beide Spieler brige deselbe Eisatz Beide Spieler habe die Wahrscheilichkeit 1 2 eie Rude zu gewie Gewier ist der Spieler, welcher zuerst zeh mal gewoe hat. Dieser Spieler erhält de gesamte Eisatz Es wurde bereits 15 Rude gespielt ud Spieler A hat davo 8 ud Spieler B hat 7 Rude gewoe. Das Spiel soll abgebroche ud der Eisatz gerecht verteilt werde. Es biete sich mehrere Möglichkeite. Drei davo sid (1) Spieler A bekommt 8 15 des Eisatzes. Kritik: Die Wahrscheilichkeit, dass Spieler A das Spiel erfolgreich zu Ede geführt hätte, ist größer als für Spieler B ud sicher größer als (2) Betrachte die fiktive Verlägerug des Spiels ud liste alle mögliche Gewikombiatioe für A ud B auf. A gewit B gewit AA ABA ABBA BBB ABBB BAA BABA BABB BBAA BBAB Hier bekäme Spieler A folglich 6 10 des Eisatzes. Kritik: Die Wahrscheilichkeit der aufgelistete Ereigisse ist icht gleichverteilt. (3) Verlägere das Spiel och eimal. Nach vier Rude ist das Spiel spätestes etschiede. A gewit B gewit AAAA ABAA ABBA BBBA ABBB AAAB ABAB BABA BBBB BABB AABA BAAA BBAA BBAB AABB BAAB Hier sid alle Fälle gleichwahrscheilich ud A erhält des Eisatzes. Formal schreibe wir Ω = {A, B} 4 = {(A, A, A, A), (A, A, A, B),...} mit Ω = 2 4 = 16 ud P der Gleichverteilug. Ei Ereigis C Ω ist vo der Form C = {ω Ω i, j mit i j ud ω i = ω j = A}. Da bedeutet ω C, dass Spieler A gewit.

6 6 PROF. DR. BARBARA GENTZ 3. Uremodelle Gegebe sei eie Ure mit N Kugel, aus welcher acheiader Kugel gezoge werde. Wir uterscheide vier Fälle: geordet/ugeordet (Reihefolge des Ziehes relevat?) mit/ohe Zurücklege (Ka eie Kugel mehrfach gezoge werde?) 3.1. Geordetes Ziehe mit Zurücklege. Sei mit Ω 1 = N. Ω 1 = {ω = (ω 1,..., ω ) ω i {1,..., N} i = 1,..., } = {1,..., N} Beispiel 3.1. (1) Sei A das Alphabet mit 26 Buchstabe. Wie viele Wörter der Läge k köe wir bilde? Atwort: 26 k. (2) Es sitze Persoe i eier Keipe a der Theke ud bestelle jeweils ei Bier. Hierzu stehe N Biersorte zur Auswahl. Wieviele Abfolge vo Biersorte sid möglich? Atwort: N Geordetes Ziehe ohe Zurücklege. Sei Ω 2 = {ω = (ω 1,..., ω ) ω {1,..., N} mit ω i ω j i j}. Hierzu beötige wir N ud es gilt Ω 2 = N(N 1)... (N + 1) (N). Die Mege Ω 2 besteht aus alle geordete Teilmege vo {1,..., N} der Größe. Beispiel 3.2. I eiem Cafe bestelle k 8 Persoe Tee/Kaffee mit/ohe Milch mit/ohe Zucker Dabei bestellt Perso i das Geträk ω i für 1 i 8. Es gibt also (N) k mögliche Abfolge vo Geträke, wobei hier N = 8 ist. Beispiel 3.3. I eiem Bücherregal befide sich i beliebiger Reihefolge 4 Mathebücher, 5 Sprachkurse ud 2 Kustbücher. Wie hoch ist die Wahrscheilichkeit, dass die Bücher ach Gebiet geordet sid? Ω 2 = {ω = (ω 1,..., ω 11 ) {1,..., 11} 11 ω i ω j i j} Dabei seie 1,..., 4 die Mathebücher, 5,..., 9 die Sprachkurse ud 10, 11 die Kustbücher. Bemerkug 3.4. Für = N ist Ω 2 die Mege aller Permutatioe vo {1,..., N}. Ist P die Gleichverteilug auf Ω 2, so gilt für alle ω Ω 2 : P[{ω}] = 1 Ω 2 = 1 11!. Sei A das Ereigis, dass die Bücher aus Beispiel 3.3 ach Gebiete geordet stehe, da gilt P[A] = A Ω 2 4! 5! 2! 3! =. 11! =

7 STOCHASTIK A 7 Beispiel 3.5. Es befide sich k Gäste auf eier Party ud jeder Gast stößt mit jedem adere Gast a. Wie oft klige die Gläser? Atwort: k(k 1) = ( k 2 2 ) 3.3. Ugeordetes Ziehe ohe Zurücklege. Es sei Ω 3 = {{ω 1,..., ω } ω i {1,..., N} mit ω i ω j i j}. Da ist Ω 3 die Mege der -Elemetige Teilmeeg vo {1,..., N} ud es gilt Ω 3 = ( N ). Beachte, dass ( N ) = ( N N ) = N!!(N )!. Es ist dabei egal, ob wir Kugel wähle, die wir betrachte oder N Kugel, die wir wegwerfe. Beispiel 3.6. Wie hoch ist die Wahrscheilichkeit, dass beim Skat (jeder der drei Spieler erhält 10 vo 32 Karte) Spieler A geau 3 Asse bekommt? Es sei Ω = {{ω 1,..., ω 10 } {1,..., 32} {ω 1,..., ω 10 } = 10 ud ω i ω j i j}. Da ist Ω = ( 32 ), 10 P die Gleichverteilug ud die Karte 1,..., 4 seie die Asse. Weiter sei C das Ereigis, dass Spieler A geau drei Asse erhält, also C = {ω Ω ω {1,..., 4} = 3} = {ω Ω i, j, k mit i j k so dass ω i, ω j, ω k {1,..., 4} ud ω l {1,..., 4} für l {i, j, k}}. Da gilt C = ( 4 3 ) (28 ) 7 ud daraus folgt P[C] = C Ω = Die Wahrscheilichkeit, dass ei (irgedei!) Spieler geau drei Asse hat, ist 3 P[C]. Hiweis. Die Wahrscheilichkeit, dass ei Spieler geau zwei Asse hat, ist icht so eifach zu bestimme! 3.4. Ugeordetes Ziehe mit Zurücklege. Was bedeutet das? Sei zum Beispiel N = 10, = 7 ud ω = {1, 10, 9, 7, 7, 2, 7}, da ist ω eie 7-elemetige Multimege. Wir idetifiziere ω mit dem geordete Tupel (1, 2, 7, 7, 7, 9, 10), das bedeutet, wir betrachte allgemei die bijektive Zuordug ω = {ω 1,..., ω } ω = ( ω 1,..., ω ) mit ω i {1,..., N} für 1 i ud ω 1 ω 2... ω. Sei darüberhiaus Ω 4 = {( ω 1,..., ω ) ω i {1,..., N} mit ω 1... ω } Wir ehme eie weitere bijektive Zuordug vor ud zwar setze wir ω i = ω i +(i 1) ud wir defiiere Ω 4 = {(ω 1,..., ω ) {1, 2,..., N + ( 1)} ω 1 < ω 2 <... < ω },

8 8 PROF. DR. BARBARA GENTZ wobei Ω 4 = Ω 4 = ( N+( 1) ). Beispiel 3.7 (Spatze auf Stromleituge). Gegebe seie zwei uuterscheidbare Spatze ud vier Stromleituge. Wieviele Möglichkeite gibt es, zwei uuterscheidbare Spatze auf vier Stromleituge zu verteile? Hierzu ziehe wir zweimal ugeordet aus de vier Stromleituge, weil die Spatze uuterscheidbar sid. Folglich ist = 2, N = 4 ud es gibt Verteilugsmöglichkeite. 4 + (2 1) ( ) = ( ) = 10 Ziehe vo Kugel mit ohe aus N Kugel Zurücklege Zurücklege geordet N (N) uterscheidbar ugeordet ( +N 1 (N) uuterscheidbar mit ohe Verteile vo Murmel Mehrfachbelegug Mehrfachbelegug auf N Zelle Beispiel 3.8 (Geburtstagszwillige). Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass vo Persoe midestes zwei am gleiche Tag Geburtstag habe? Aahme: Jeder Tag aus 1,..., 365 sei gleichwahrscheilich, da ist Ω 1 = {ω = (ω 1,..., ω ) ω i {1,..., 365}} = {1,..., 365}. Dabei sei ω i der Geburtstag der i-te Perso. Die gute Ausgäge (zwei Persoe habe a dem gleiche Tag Geburtstag) otiere wir wie folgt: Da gilt A = {ω Ω 1 i j mit ω i = ω j }. P[A] = A Ω 1 = 1 P[Ac ], wobei A c = Ω 2 = {w = (ω 1,..., ω ) {1,..., 365} ω i ω j i j}. Daraus folgt P[A] = 1 Ω 2 Ω 1 = 1 (365) 365 ud weiter für allgemeies N = 1 1 = 1 N(N 1)... (N + 1) N k=0 1 = 1 k=0 (1 k N ) exp (log(1 k 1 N )) = 1 exp ( log(1 k k=0 N )) = 1 exp ( 1 1 N ( ( 1) k)) = 1 exp ( k=0 2N ).

9 STOCHASTIK A 9 Beispiel 3.9 (Lotto 6 aus 49). Es werde = 6 aus N = 49 Kugel ohe Zurücklege gezoge. (1) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass die sechste gezogee Kugel die 49 ist? Hier müsse wir mit Ω 2 arbeite. (2) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit für sechs Richtige? Verwede Ω 2 oder Ω 3. Seie {ω 1,..., ω 6 } die sechs Gewizahle. 1. Asatz. Sei Ω 2 = {(ω 1,..., ω 6 ) {1,..., 49} 6 ω i = ω j i j}. Da gilt Ω 2 = (49) 6 ud das Ereigis A = {(ω 1,..., ω 6 ) Ω 2 {ω 1,..., ω 6 } = {ˆω 1,..., ˆω 6 }} ist die Mege aller Permutatioe der Gewizahle ud es folgt P[A] = A Ω 2 = 6! 6! 43! = (49) 6 49! 2. Asatz. Sei = 1 ( 49 7, ) 6 Ω 3 = {{ω 1,..., ω 6 } ω i {1,..., 49} ud ω i ω j i j} Eie eielemetige Teilmege B Ω 3 ist vo der Form B = {{ˆω 1,..., ˆω 6 }} ud es gilt P[B] = B Ω 3 = 1 ( 49 6 ). (3) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit für geau drei Richtige (weiter mit Ω 3 ud der Gleichverteilug)? Es sei da gilt B 3 = {ω Ω 3 ω {ˆω 1,..., ˆω 6 } = 3}, P[B 3 ] = (6 3 )(43 3 ) ( 49 6 ) (Hypergeometrische Verteilug) 4. Bedigte Wahrscheilichkeit Beispiel 4.1 (Eimal würfel). (1) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit eie 6 zu würfel? Atwort: 1 6. (2) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit eie 6 zu würfel, we wir bereits wisse, dass die Augezahl durch 3 teilbar ist? Hierzu sei Ω = {1,..., 6} ud A = {6} ud B = {3, 6}. Defiitio 4.2 (Bedigte Wahrscheilichkeit). Die bedigte Wahrscheilichkeit vo A gegebe B für A, B Ω mit P[B] > 0 ist defiiert durch P[A B] = P[A B]. P[B]

10 10 PROF. DR. BARBARA GENTZ Falls P die Gleichverteilug ist, so ist überdies P[A B] = A B / B A B = Ω Ω B Lemma 4.3 (Recheregel). Für festes B mit P[B] > 0 ist (B, Q) ei Wahrscheilichkeitsraum, wobei Q P(B) [0, 1] ud Q[A] = P[A B] für alle A B. Die Abbildug Q, defiiert durch Q[A] = P[A B] für alle A Ω, defiiert ei Wahrscheilichkeitsmaß auf Ω. Hiweis. Die Zuordug A P[A B] für A Ω erfüllt die Defiitio eies Wahrscheilichkeitsmaßes P [(A 1 A 2 ) B] P[B] = P [(A 1 B) (A 2 B)] P[B] = P[A 1 B] + P[A 2 B]. P[B] Bemerkug 4.4. Sowohl P[A B] P[A] als auch P[A B] P[A] sid möglich. Sei dazu Ω = {1,..., 6} mit Gleichverteilug ud A 1 = {6}, A 2 = {1, 2, 3, 4} ud B = {3, 6}, da gilt P[A 1 B] = 1 2 > 1 6 = P[A 1] P[A 2 B] = 1 2 < 2 3 = P[A 2]. Beispiel 4.5 (Familie mit zwei Kider). Sei Ω = {(J, J), (J, M), (M, J), (M, M)} mit Gleichverteilug. (1) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass eie zufällig gewählte Familie midestes eie Juge hat? Sei dazu A = {(J, J), (J, M), (M, J)} = {(M, M)} c mit P[A] = A Ω = 3 4. (2) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass die Familie zwei Juge hat, we bereits gegebe ist, dass sie midestes eie Juge hat? Sei dazu C = {(J, J)} mit P[C A] = C A A = C A = 1 3. Beispiel 4.6. Wir betrachte eie Familie, vo der wir wisse, dass sie zwei Kider hat. Ei Juge öffet die Tür. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass das adere Kid ebefalls ei Juge ist? Sei dazu Ω = {(J, J), (J, M), (M, J), (M, M), (J, J ), (J, M ), (M, J ), (M, M )} mit Gleichverteilug. Wir betrachte das Ereigis D = {(J, J), (J, M), (J, J ), (M, J )}, was bedeutet, dass ei Juge die Tür öffet. Bezeiche E = {(J, J), (J, J )} das Ereigis, dass das jeweils adere Kid ebefalls ei Juge ist, da folgt P[E D] = 1 2.

11 STOCHASTIK A 11 Aus Defiitio 4.2 folgt P[A B] = P[A B] P[B] ud weiter per Iduktio P[A 1 A 2... A ] = P[A 1 ] P[A 2 A 1 ]... P[A A 1... A 1 ]. Beispiel 4.7. Wie hoch ist die Wahrscheilichkeit beim Skat, dass jeder der drei Spieler geau ei Ass bekommt? Dazu sei Ω = {ω = (ω 1,..., ω 32 ) ω i {1,..., 32} ud ω i ω j i j}. Dabei seie 1,..., 4 die Asse, das heißt ω i {1,..., 4} bedeutet, a der Stelle i ist (ach dem Mische) ei Ass. Weiter sei P die Gleichverteilug. Spieler 1 erhält die Karte ω 1,..., ω 10. Spieler 2 erhält die Karte ω 11,..., ω 20. Spieler 3 erhält die Karte ω 21,..., ω 30. Der Skat erhält die Karte ω 31 ud ω 32. Für 1 i 3 sei A i das Ereigis, dass Spieler i geau ei Ass erhält ud A 4 sei das Ereigis, dass der Skat geau ei Ass erhält. Daraus folgt A 1 = {ω Ω j {1,..., 10} mit ω j {1,..., 4} i j ud ω i {1,..., 4}} ud A 2, A 3 sid aalog defiiert. Weiter ist A 4 = {ω Ω ω 31 {1,..., 4} oder ω 32 {1,..., 4} aber icht beide} ud A = A 1 A 2 A 3 A 4. Da gilt für die Wahrscheilichkeit vo A P[A] = P[A 1 ] P[A 2 A 1 ] P[A 3 A 1 A 2 ] P[A 4 A 1 A 2 A 3 ] (4.1) ud für die Wahrscheilichkeite auf der rechte Seite vo (4.1) gilt P[A 1 ] = (4 1 )(28 9 ) ( ), P[A ( A 1 ] = )(19 9 ) ( ), P[A ( A 1 A 2 ] = )(10 9 ) ( ). Defiitio 4.8 (Partitio). Seie B 1,..., B Ω. Da heißt {B 1,..., B } eie Partitio vo Ω, falls (1) Ω = B i ud (2) die Teilmege B i paarweise disjukt sid. Satz 4.9 (Totale Wahrscheilichkeit). Sei Ω ei Ereigisraum, {B 1,..., B } eie Partitio vo Ω mit P[B i ] > 0 für alle 1 i, da gilt für alle A Ω Beweis. folgt wege Defiitio 4.2. P[A] = P[A B i ] P[B i ]. Sei A = A B i mit paarweise disjukte Mege {A B i } i. Da P[A] = P [ A B i ] = P[A B i ] = P[A B i ] P[B i ] Beispiel Herr Zimperlich hasst es, ass zu werde. Falls Rege vorhergesagt wird, immt Herr Zimperlich mit eier Wahrscheilichkeit vo 90% de Schirm mit.

12 12 PROF. DR. BARBARA GENTZ Falls kei Rege vorhergesagt wird, immt er mit eier Wahrscheilichkeit vo 30% trotzdem de Schirm mit. A 60% aller Tage wird Rege vorhergesagt. (1) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass Herr Zimperlich ohe Schirm das Haus verlässt? Sei dazu R das Ereigis, dass Rege vorhergesagt wird mit der Wahrscheilichkeit P[R] = 6 10 = 3 5 ud S das Ereigis, dass Herr Zimperlich de Schirm mitimmt. Da gilt P[S R] = 9 10 ud P[S Rc ] = Gesucht: P[S c ] = 1 P[S]. Mit Satz 4.9 berechet sich die Wahrscheilichkeit vo S zu P[S] = P[S R] P[R] + P[S R c ] P[R c ] = (1 P[R]) 10 = = (2) Sie sehe Herr Zimperlich mit Schirm. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass Rege vorhergesagt wurde? P[R S] P[R S] = = P[S] = = 9 11 P[S R] P[R] P[S] Satz 4.11 (Bayes). Sei Ω ei Ereigisraum ud {B 1,..., B } eie Partitio vo Ω mit P[B i ] > 0 für alle 1 i. Da gilt für alle A Ω mit P[A] > 0 ud für jedes i P[B i A] = P[A B i ] P[B i ] j=1 P[A B j] P[B j ]. 5. Uabhägigkeit vo Ereigisse ud Biomialverteilug Beispiel 5.1. Zweimal würfel. Die Ereigisse 1 im erste Wurf ud 6 im zweite Wurf sollte uabhägig sei. Defiitio 5.2 (Uabhägigkeit). Zwei Ereigisse A, B Ω heiße (stochastisch) uabhägig, we P[A B] = P[A] P[B]. Satz 5.3. Seie A, B Ω mit P[B] > 0. Da sid A ud B geau da uabhägig, we P[A B] = P[A]. Bemerkug 5.4. (1) Zweimal würfel mit Gleichverteilug auf Ω = {1,..., 6} 2. Ereigisse, die ur Aussage über de erste Wurf mache, sid automatisch uabhägig vo Ereigisse, die ur Aussage über de zweite Wurf mache. (2) Umgekehrt: Das Hitereiaderausführe vo Experimete die uabhägig sei solle, ka modelliert werde durch (Ω 1, P 1 ) ud (Ω 2, P 2 ) mit Ω = Ω 2 Ω 2 ud P[{(ω 1, ω 2 )}] = P 1 [{ω 1 }] P 2 [{ω 2 }]. (3) Seie A, B Ω disjukt, da ist P[A B] = P[ ] = 0 ud es gilt

13 (a) Sid A ud B uabhägig, da ist STOCHASTIK A 13 0 = P[A B] = P[A] P[B] P[A] = 0 oder P[B] = 0 (b) Im Allgemeie gilt uabhägig disjukt!! (4) Eie Teilmege A Ω ka uabhägig vo sich selbst sei, de aus P[A] = P[A A] = P[A] P[A] folgt P[A] {0, 1} ud A = Ω beziehugsweise A =. (5) Es gilt A, B uabhägig A, B c uabhägig A c, B c uabhägig, de zum Beispiel ist P[A B c ] = P[A] P[A B] = P[A] P[A] P[B] = P[A] (1 P[B]) = P[A] P[B c ]. Beispiel 5.5. Uabhägigkeit ka auch vorliege, we die Art wie A realisiert wird, vo B abhägt. Werfe wir zum Beispiel zwei faire Würfel ud bezeiche A das Ereigis, dass die Augesumme gerade ist ud B das Ereigis, dass der zweite Wurf eie gerade Zahl ist. Da ist Ω = {1,..., 6} 2 ud Da ist P[A] = 1 2 = P[B] ud A = {ω Ω ω 1 + ω 2 {2, 4,..., 12}}, B = {ω Ω ω 2 {2, 4, 6}}. P[A B] = P[{(2, 2), (4, 2), (6, 2), (2, 4),...}] = 1 = P[A] P[B]. 4 Falls die Würfel icht fair sid, so gilt im Allgemeie P[A B] = P[A] P[B]. Sei q die Wahrscheilichkeit, dass wir im erste Wurf eie gerade Zahl werfe ud sei q auch die Wahrscheilichkeit, im zweite Wurf eie gerade Zahl zu bekomme, wobei die Würfe uabhägig seie. Es gilt P[A] = q 2 + (1 q) 2 P[B] = q Sid A, B Ω uabhägig, da gilt P[A B] = q 2. P[A B] = P[A] P[B] q 2 = (q 2 + (1 q) 2 ) q q = 0 oder q = q 2 + (1 q) 2 q = 0 oder q = 1 oder q = 1 2.

14 14 PROF. DR. BARBARA GENTZ 5.1. Uabhägigkeit vo mehrere Ereigisse. Defiitio 5.6. Sei (Ω, P) ei Wahrscheilichkeitsraum ud A i Ω für i I ud eie beliebige Idexmege I. Die Ereigisse {A i } i I heiße (stochastisch) uabhägig (bezüglich P), falls gilt: Für alle J I edlich mit J ist P[ i J A i ] = P[A i ]. i J Bemerkug 5.7. (1) I = 2 direkte Verallgemeierug der Uabhägigkeit zweier Ereigisse (2) Dreimaliger Müzwurf: Da ist Ω = {0, 1} 3, P[{ω}] = 1 Ω für alle ω Ω ud für alle 1 i 3 ist Es ist zu überprüfe, ob A i = {ω = (ω 1, ω 2, ω 3 ) Ω ω i = 1}. P[A 1 A 2 ] = P[A 1 ] P[A 2 ] P[A 1 A 3 ] = P[A 1 ] P[A 3 ] P[A 2 A 3 ] = P[A 2 ] P[A 3 ] P[A 1 A 2 A 3 ] = P[A 1 ] P[A 2 ] P[A 3 ] gilt. (3) Im Modell Ω = {0, 1}, P[{ω}] = 1 Ω für alle ω Ω sid isgesamt 2 (+1) Idetitäte zu überprüfe. (4) paarweise Uabhägigkeit Uabhägigkeit!! Beispiel 5.8. Zweimal würfel. Sei also Ω = {1,..., 6} 2, P[{ω}] = 1 Ω für alle ω Ω ud seie A = {ω Ω ω 1 = 1} B = {ω Ω ω 2 = 1} C = {ω Ω ω 1 + ω 2 = 7}. Da sid A, B, C paarweise uabhägig, also gilt P[X Y ] = P[X] P[Y ] für alle X, Y {A, B, B}, aber es ist (5) Beachte, dass P[A B C] = 0 1 = P[A] P[B] P[C] 63 P [ i I A i ] = P[A i ] Uabhägigkeit i I

15 STOCHASTIK A 15 Beispiel 5.9. Dreimaliger Müzwurf. Sei dazu Ω = {0, 1} 3, P[{ω}] = 1 Ω für alle ω Ω mit Dabei ist A = {ω Ω ω 1 + ω 2 + ω 3 2} B = {ω Ω ω 1 = 1} C = {ω Ω ω 1 = ω 2 }. P[A B C] = P[{(1, 1, 1)}] = 1 8 P[A] P[B] P[C] = = 1 8 aber P[A B] = P[(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1)] = = P[A] P[B]. 4 Satz Sei (Ω, P) ei Wahrscheilichkeitsraum ud I eie Idexmege, da gelte folgede Aussage: (1) Jede Teilfamilie uabhägiger Ereigisse ist wieder uabhägig. Weiter ist eie Familie vo Ereigisse geau da uabhägig, we jede edliche Teilfamilie uabhägig ist. (2) Sei {A i } i I eie Familie uabhägiger Ereigisse ud B ei Ereigis mit P[B] = {0, 1}. Da ist auch {A i } i I B uabhägig. (3) Sid A, B, C Ω uabhägige Ereigisse, da sid auch A, B C uabhägig. (4) Sei {A i } i I eie uabhägige Familie vo Ereigisse, da ist die Familie {B i } i I mit B i {A i, A c i,, Ω} für alle i I ebefalls uabhägig. (5) Ist I edlich, so ist die Familie vo Ereigisse {A i } i I geau da uabhägig, we für alle Familie {B i } i I mit B i {A i, A c i } gilt: i I P[B i ] = P [ B i ]. i I Beweis. (1) Ergibt sich umittelbar aus Defiitio 5.6. (2) Falls P[B] = 0, so gilt für J I beliebig P [ i J A i B] P[B] = 0 = P[A i ] P[B]. i J Falls P[B] = 1, da gilt für alle C Ω P[C B] = P[C] + P[B] P[B C] P[B C] = P[C].

16 16 PROF. DR. BARBARA GENTZ Also folgt (3) Es gilt P [ i J A i B] = P [ i J A i ] = i J P[A (B C)] = P[(A B) (A C)] P[A i ] = P[A i ] P[B]. i J = P[A B] + P[A C] P[(A B) (A C)] = P[A] P[B] + P[A] P[C] P[A] P[B] P[C] = P[A] (P[B] + P[C] P[B] P[C]) = P[A] P[B C]. Allgemeier gilt auch: Ist I abzählbar ud edlich, {A i } i I eie uabhägige Familie vo Ereigisse ud {I j } k j=1 mit k N eie Partitio vo I, da ist auch k A i i I j uabhägig. (4) Es geügt (wege (2)), B i {A, A c } zu prüfe. 1. Schritt: Der Fall B i = A i für alle i I ist klar. 2. Schritt: Es existiere i, j I mit B j = A c j ud B i = A i für alle i I {j} ud ohe Eischräkug sei 1 J ud j = 1. Da gilt j=1 P B j = P j J A j j J {i} = P A j j J {i} = P A j j J {i} A 1 A j j J {i} = P A j P j J {i} A j j J {i} = P[Ω] j J {i} P[A j ] P[A 1 ] j J {i} P[A j ] = (P[Ω] P[A 1 ]) P[A j ] j J {i} = P[A c 1] P[A j ]. j J {i} Iteratio dieses Argumets liefert die Behauptug.

17 STOCHASTIK A 17 (5) ist klar wege (4). Die Umkehrug leite wir exemplarisch für de Fall = 4 ud J = {1, 2, 4} her. Zu zeige ist i diesem Fall P A i = P[A i ]. i {1,2,4} i {1,2,4} Wir wisse bereits, dass P[A 1 A 2 A 3 A 4 ] = P[A 1 ] P[A 2 ] P[A 3 ] P[A 4 ] (5.1) P[A 1 A 2 A c 3 A 4 ] = P[A 1 ] P[A 2 ] P[A c 3] P[A 4 ] (5.2) gilt. Additio vo (5.1) ud (5.2) ergibt soda P[A 1 A 2 (A 3 A c 3) A 4 ] = P[A 1 ] P[A 2 ] P[A 4 ] (P[A 3 ] + P[A c 3]), woraus durch Iteratio sofort die Behauptug folgt. 6. Produktexperimete Gegebe sei eie Familie ((Ω, P i )) vo edliche, diskrete Wahrscheilichkeitsräume. Der zugehörige Produktraum (Ω, P) ist defiiert als Ω = Ω 1 Ω 2 Ω = {ω = (ω 1,..., ω ) ω i Ω i, i {1,..., }} mit Ω = Ω i ud P[{ω}] = P i [{ω 1 }]. (6.1) Beispiel 6.1 (Müzwurf ud Würfel). Sei Ω 1 = {W, Z}, Ω 2 = {1,..., 6} ud Ω = Ω 1 Ω 2, da ist P[{ω}] = P 1 [{ω 1 }] P 2 [{ω 2 }] = 1 12 Bemerkug 6.2. (1) Die Fuktio P i (6.1) ist ei Wahrscheilichkeitsmaß auf Ω. Beweis. Die Nicht-Negativität ud die Additivität sid klar. Zur Normiertheit gilt P[{ω}] = ω Ω ω 1 Ω 1 ω 2 Ω 2 ω Ω P i [{ω i }] = P[{ω 1 }] P[{ω 2 }]... P[{ω }] ω 1 Ω 1 ω 2 Ω 2 ω Ω = 1. (2) Gegebe sei eie Familie vo Ereigisse {A i } mit A i Ω i für alle 1 i. Da folgt aus P[A j ] = P[Ω 1 Ω j 1 A j Ω j+1 Ω ] = P 1 [Ω 1 ]... P j 1 [Ω j 1 ] P j [A j ] P j+1 [Ω j+1 ]... P [Ω ] = P j [A j ]

18 18 PROF. DR. BARBARA GENTZ die Idetität P[A 1 A 2 A ] = P i [A i ]. Beispiel 6.3 (-fache Produktexperimete). Sei ( Ω, P) ei Wahrscheilichkeitsraum, da gilt Ω 1 = = Ω = Ω P 1 = = P = P ud ( Ω, P ) = (Ω, P ). { Ω 1 Ω = Ω P 1 P = P (3) Sei (Ω, P) das Produktexperimet zu ((Ω, P)), da schreibe wir (Ω, P) = (Ω i, P i ). (4) Spezialfall zum -fache Produktexperimet: (Ω, P) ist ei Beroulli Experimet, das heißt Ω = {0, 1} ud P[1] = p [0, 1]. Wir betrachte de -fache Produktraum zu (Ω = {0, 1}, P), das heißt (Ω, P) = (Ω, P ). Wie groß ist die Wahrscheilichkeit für geau 0 k Eise im Experimet (Ω, P )? P [{ω Ω ω 1 + ω ω = k}] = P [{ω}] ω Ω i ω i =k = ω Ω i ω i =k P[{ω i }] = P[1] i ω i (1 P[1]) i ω i ω Ω i ω i =k = p k (1 p) k ω Ω i ω i =k = p k (1 p) k 1 ω Ω i ω i =k = ( k ) pk (1 p) k Defiitio 6.4 (Biomialverteilug). Sei (Ω, P) ei Wahrscheilichkeitsraum. Wir ee P auf Ω = {0,..., } die Biomialverteilug zu de Parameter ud p, falls für alle k Ω gilt P[k] = ( k ) pk (1 p) k.

19 STOCHASTIK A 19 Literatur [Mee03] Roaldus W. Meester, A atural itroductio to probability theory, Birkhäuser, Basel [u.a.], 2003 (eg).