Die Phasenkonstante ) 2. Loslassen nach Auslenkung. Anstoßen in Ruhelage: -0,500,00 5,00 10,00 15,00 2,00 1,50 1,00 0,50 0,00.

Transkript

1 Die Phasenkonstante Auslenkung 2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 0,00-0,500,00 5,00 10,00 15,00-1,00-1,50-2,00-2,50 Zeit Loslassen nach Auslenkung. y y0 sin( t ) 2 2 Auslenkung 2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 0,00-0,500,00 5,00 10,00 15,00-1,00-1,50-2,00-2,50 Zeit Anstoßen in Ruhelage: φ = 0 y = y 0 sin(ωt)

2 Auslenkung 2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 0,00-0,500,00 5,00 10,00 15,00-1,00-1,50-2,00-2,50 Zeit Auslenken und Anstoßen: y y0 sin( t ) 4 4 Die Phasenkonstante gibt die anfängliche Auslenkung durch einen Winkel an. Unterscheiden sich zwei Schwingungen in ihrer Phasenkonstante, so spricht man vom Phasenunterschied Δφ = φ 1 - φ 2

3 Überlagerung von Schwingungen Schwingung 1 x1( t ) x sin t x 1 (t) T 1 x 01 t Schwingung 2 x ( t ) x t 2 sin 02 2 x 2 (t) 2 T2 x 02 t Überlagerung: x ( t ) x1( t ) x2( t ) x(t) t

4 Erste Sinus Kurve, T=1,05 [s] 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 f(t) 0, ,5-1,0-1,5 f=0,95 [Hz] -2,0-2,5 t

5 f(t) Zweite Sinus Kurve, T=1,00 [s] 2,5 2,0 B ### ### f(t) 1,5 1,0 0,5 0, ,5-1,0-1,5 f=1,00 [Hz] -2,0-2,5 t t

6 Überlagerung beider Sinus Kurven f(t) 2,5 2,0 1,5 f=1,00 [Hz] 1,0 0,5 f(t) 0, t ,5-1,0-1,5 f=0,95 [Hz] -2,0-2,5 t Eine Schwebung entsteht bei Überlagerung zweier Schwingungen ähnlicher Frequenz

7 Summe der Amplituden beider Sinus-Kurven f(t) f(t) 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0, ,5-1,0-1,5-2,0-2,5 t Die Amplitude der Schwebung ist die Summe der Amplituden der beitragenden Schwingungen

8 Addition von Schwingungen Addition kollinearer Schwingungen gleicher Frequenz Versuch: Zwei gleiche Stimmgabeln werden angestoßen. Mit Mikrophon und Oszillograph veranschaulichen. Ergebnis: Manchmal wird der Ton lauter, manchmal leiser. Mathematische Beschreibung: 1. Schwingung: y 1 = y 01 sin(ωt) 2. Schwingung: y 2 = y 02 sin(ωt + φ) φ... Phasenverschiebung

9 Sonderfälle: a) φ = 0 Gleichphasigkeit: y = y 1 + y 2 = (y 01 + y 02 ).sin(ωt) Elongation Überlagerung von Schwingungen Schwingung1 Schwingung2 Überlagerung Die resultierende Schwingung besitzt die größtmögliche Amplitude Konstruktive Interferenz Zeit

10 b) φ = π y = y 1 + y 2 = y 01 sin(t) + y 02 sin(ωt+π) = y 01 sin(ω t) - y 02 sin(ωt) = (y 01 - y 02 ) sin(ω t) 15 Überlagerung von Schwingungen Die resultierende Schwingung besitzt kleinstmögliche Amplitude. Elongation Schwingung1 Schwingung2 Überlagerung bei y 01 = y 02 resultierende Amplitude 0. ist die Zeit Destruktive Interferenz. 10. Schwingungen

11 Die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen gleicher Frequenz und gleicher Schwingungsrichtung ergibt stets wieder eine harmonische Schwingung, deren Amplitude von den Amplituden der Einzelschwingungen und von ihrer Phasendifferenz abhängt.

12 Lissajous Figuren: ungleiche Frequenzen y sin( 2 0 t ) x sin( 1 0 t )

13 Lissajoussche Figuren Sie entstehen, wenn zwei aufeinander normal stehende Schwingungen mit rationalem Frequenzverhältnis überlagert werden. Versuch: Zwei Blattfedern, auf denen sich je ein Spiegel befindet werden normal zueinander befestigt und mit einem Laser angeleuchtet. Das reflektierte Signal wird an die Wand projiziert. Laserstrahl Spiegel Schirm 10. Schwingungen

14 Mathematische Beschreibung: x - Schwingung: x = x 0 sin(ω 1 t) y - Schwingung: y = y 0 sin(ω 2 t+φ) φ... Phasenverschiebung Sonderfälle: 1. ω 1 = ω 2 = ω ; x 0 ; y 0 ; φ = 0 y y x 0 x 0 y y x 0 0 x Gerade 2. ω 1 = ω 2 = ω ; x 0 = y 0 ; φ = π/2 x - Schwingung: y - Schwingung: x = r.sin(ωt) y = r.sin(ωt + π/2) = r.cos(ωt) Kreis x 0 y 0 Ellipse 10. Schwingungen

15 3. ω 1 = 2ω ω 2 = ω ; x 0 ; y 0 ; φ = 0 x - Schwingung: y - Schwingung: x = x 0 sin(2ωt) y = y 0 sin(ωt) Betrachte auch den Fall = φ = π/2 Faustformel: Berührungspunkte vertikal : Berührungspunkte horizontal = f x : f y 10. Schwingungen

16 Gedämpfte Schwingung Eine harmonische Schwingung hat eine konstante Amplitude und sollte unaufhörlich sein. Reale Schwingungen verhalten sich nicht so. Versuch: Pendel wird in Schwingung versetzt. Das Weg-Zeit Diagramm wird mit dem Computer aufgezeichnet. Die Amplitude der gedämpften Schwingung nimmt mit der Zeit ab. Die Schwingungsdauer der gedämpften Schwingung ist etwas größer als bei der ungedämpften Schwingung.

17 Mathematische Beschreibung: y = y 0.e -δt sin(ωt) δ... Dämpfungsfaktor e - δt... Dämpfungsglied Gedämpfte Schwingung Elongation [cm] 10,00 8,00 6,00 4,00 2,00 0,00 0,00-2,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00-4,00-6,00-8,00 Gedämpfte Schw. Harmonische Schw. Dämpfungsglied 1 Dämpfungsglied 2-10,00 Zeit [s] 10. Schwingungen

18 Erzwungene Schwingungen

19 Aufbau Ein zu harmonischen Schwingungen fähiges System mit Eigenfrequenz 0 Ein antreibendes System mit Frequenz Beide Systeme sind über eine Feder gekoppelt

20 Zwei über eine Feder gekoppelte Oszillatoren: Antrieb (rot) und angetriebener Oszillator (blau)

21 Antriebsfrequenz kleiner als Oszillatorfrequenz Antriebsfrequenz kleiner als Oszillatorfrequenz: Kopplungsfeder wird wenig beansprucht Praktisch gleichphasige Auslenkungen

22 Antriebsfrequenz höher als Oszillatorfrequenz Antriebsfrequenz höher als Oszillatorfrequenz: Kopplungsfeder wird stark beansprucht Auslenkung in Gegenphase

23 Antriebsfrequenz gleich Oszillatorfrequenz: Führt Ohne Dämpfung zur Resonanz-Katastrophe Antriebsfrequenz gleich als Oszillatorfrequenz: Jede Schwingung überträgt Energie vom Antrieb in den angetriebenen Oszillator Phasenverschiebung π/2, Auslenkung wächst mit jeder Periode an

24 Um die Dämpfung zu vermeiden z. B. bei Uhren verwendet man Rückkopplungseinrichtungen. Sie führen die in Reibung umgewandelte Energie wieder zu, dass die Amplitude konstant bleibt. Beispiel: Pendeluhr

25 Pendeluhr Anker Steigrad Gewicht Pendel 10. Schwingungen

26 Rückkopplungsmechanismen Pendeluhr, Taschenuhr Atmung CO 2 -Gehalt des Blutes Selbststeuerung bei der Dampfmaschine

27 Resonanz Resonanz, falls Antriebsfrequenz gleich Eigenfrequenz Die Amplitude wächst bei jeder Schwingung und führt ohne Dämpfung zur Resonanzkatastrophe Unabhängig von der Dämpfung springt die Phase an der Resonanzstelle

28 Resonanzkurven 2 Dämpfung: klein mittel groß f Schwingungen

29 Die Amplitude der Blattfeder hängt von der Frequenz des Erregers ab. Ist die Frequenz des Erregers gleich der Eigenfrequenz der Blattfeder spricht man von Resonanz. Die Resonanzkurve ist um so höher, je geringer die Dämpfung ist. Im schlimmsten Fall (ungedämpft) Resonanzkatastrophe. Tacoma Narrows Bridge Gebäudeschwingungen, Rotierende Maschinenteile, Resonanz von Tragflügeln, Resonanzkörper

30 Tacoma Narrows Bridge Tacoma Narrows Bridge 7. November 1940 heute

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32 Film Resonanz der Tacoma Narrow Bridge Quelle im Internet z. B. : ma.html

33 Versuche Schwebung bei Tönen Schwebung elektromagnetischer Wellen Schwebung am Doppelpendel (-> Chaostheorie)

34 Stoßdämpfer

35 4Amplitude 2 0,0 0 0,5 Antriebsfrequenz/Eigenfrequenz 1,0 1,5 2,0 1,4 0,2 0,0 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 Dämpfung Amplitude einer erzwungenen Schwingung in Abhängigkeit von dem Verhältnis zwischen Antriebs- und Eigenfrequenz und der Dämpfung. Die Resonanzkurve wird mit abnehmender Dämpfung schärfer

36 Phase zwischen Antrieb und Oszillator ,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,0 Antriebsfrequenz/Eigenfrequenz Dämpfung Phase zwischen Antrieb und Schwingung des Systems in Abhängigkeit von dem Verhältnis zwischen Antriebs- und Eigenfrequenz und der Dämpfung.

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