1. Eine rechtstotale Funktion heißt surjektive Funktion oder Surjektion. 2. Eine linkseindeutige Funktion heißt injektive Funktion oder Injektion

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1 Transitiv-reflexive Hülle Definition 24. Sei R M M eine Relation. Dann ist die transitiv-reflexive Hülle R von R definiert als die kleinste Menge mit folgenden Eigenschaften: 1. a M : (a, a) R 2. R R 3. a, b, c : ((a, b) R (b, c) R ) (a, c) R Statt von trans.-ref. Hülle spricht man auch von transitiv-reflexiver Fortsetzung. Für a, b R gilt dann entweder a = b, oder n, a 1,..., a n : a = a 1, a 1 Ra 2, a 2 Ra 3,..., a n 1 Ra n = b transitiv kann man auch mechanisch als transitionsschritt interpretieren, z.b. bei der Interpretation von Programmen, oder bei der Syntaxanalyse im Übersetzungsprozess im Compilerbau. Definition 25. Eine Relation R über A B heißt linkstotal, wenn gilt: a A b B : arb rechtsstotal, wenn gilt: b B a A : arb linkseindeutig, wenn gilt: a, b, c : (arb crb) a = c rechtseindeutig, wenn gilt: a, b, c : (arb arc) b = c Funktionen Definition 26. B. 1. Eine rechtseindeutige Relation f A B heißt partielle Funktion oder Abbildung von A nach 2. Eine linkstotale partielle Funktion (also rechtseindeutige Relation) f A B heißt (totale) Funktion von A nach B. 3. Statt (a, b) f M N schreibt man bei Funktionen üblicherweise f : M N, b = f(a) oder a f(a) bzw. a b Funktionen sind also linkstotale und rechtseindeutige Relationen. Definition Eine rechtstotale Funktion heißt surjektive Funktion oder Surjektion 2. Eine linkseindeutige Funktion heißt injektive Funktion oder Injektion 3. Eine surjektive und injektive Funktion heißt bijektive Funktion oder auch Bijektion. Definition Zu f : N M ist f(n) := {m M n N : m = f(n)} das Bild von N unter f, und f 1 (M) := {n N f(n) M} das Urbild von M bzgl. f. 2. Zu f : N M ist für alle m M f 1 (m) := {n N f(n) = m} das Urbild von m unter f. 3. Bei injektiven Funktionen ist das Urbild eindeutig, man identifiziert das eine Element dann mit der Menge und spricht bei f 1 von Umkehrfunktion. 12

2 Bijektive Funktionen Mengen M, N mit einer bijektiven Abbildung f : M N sind in gewisser Weise gleich, man kann sie elementweise miteinander identifizieren, und Strukturen der einen Seite auf die anderer übertragen. Definition 29. Zwei Mengen M, N sind gleich mächtig (haben gleiche Kardinalität), in Zeichen M = N, wenn es eine Bijektion zwischen ihnen gibt. Theorem 30. Es gibt keine bijektive Abbildung zwischen einer Menge M und ihrer Potenzmenge 2 M. Beweis. Angenommen f : M > 2 M wäre so eine Bijektive Abbildung, und sei C := {y M y / f(y)} Es ist sicher C 2 M. Dann hat C unter f ein Urbild x := f 1 (C) in M. x kann nun entweder in C liegen. oder nicht. Wir können also zwei Fälle annehmen: 1. Wenn x C, dann ist x / f(x) = C - Widerspruch! 2. Ist anderernfalls x / C, dann ist x f(x) = C - Widerspruch! Unendliche Mengen Unendliche Mengen Es gilt N =, Q =, R = und Z =... Aber: Ist R = N? Es gibt offenbar unterschiedliche Unendlichkeiten. Das folgt auch schon aus dem Satz, das es keine Bijektion zwischen einer Menge und ihrer Potenzmenge gibt. Tatsächlich gilt z.b. N = Z = {n 2 n N} =...(=: ℵ 0 ). Theorem 31. N = Q Beweis. (Cantors 1. Diagonalargument) Man schreibt alle möglichen Brüche auf, indem man mit 1/1 bginnend horizontal immer dem Zähler um 1 erhöht, vertikal den Nenner. Das Schema kann man diagonal abzählen, und indem man kürzbare Brüche auslässt, erhält man eine Bijektion: (Grafik aus Wikipedia, 4/2011) Aber es gilt eben N R (=: ℵ) - die überabzählbar unendlichen Mengen Genauer gilt sogar: Theorem 32. Das offene Einheitsintervall der reellen Zahlen [0, 1( ist überabzählbar 13

3 Beweis. (Cantors 2. Diagonalargument) Angenommen, das Intervall [0, 1( sei abzählbar. Dann ich alle Elemete in einer Folge z 1 = 0, a 11 a 12 a 13 a z 2 = 0, a 21 a 22 a 23 a z 3 = 0, a 31 a 32 a 33 a z 4 = 0, a in der üblichen Dezimaldarstellung aufzählen. Wir konstruieren nun eine neue Zahl x = 0, x 1 x 2 x 3... aus den Diagonalelementen, und zwar so: Für i = { 1, 2,... ist 4 falls aii = 5, x i := 5 sonst Dann ist unsere konstruierte Zahl x offenbar im Intervall [0, 1( enthalten, aber nicht in der Folge z 1, z 2,..., denn sonst wäre ja für einen Index j der Wert x j = a jj, und das ist per Konstruktion ja nicht der Fall. Wir haben also einen Widerspruch zur Annahme erhalten, und bewiesen, das [0, 1( überabzählbar ist. Cantors Kontinuumshypothese Theorem 33. Es gibt keine Menge, deren Mächtigkeit zwischen der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen und der Mächtigkeit der reellen Zahlen liegt. Diese These ist das 1. Problem auf David Hilberts Liste der 23 wichtigsten ungelösten Probleme von ( Inzwischen ist klar, das sie unter ZFC nicht beweisbar ist, d.h. sowohl die Annahme der Kontinuumshypothese wie auch deren Verneinung führen im üblichen Axiomensystem der Mathematik nicht zu Widersprüchen. Berechenbarkeit - Das Wortproblem Welche Probleme können überhaupt gelöst werden? Man kann alle Probleme so medellieren: Die Probleme sind (universelle) Maschinen, die Lösungen sind Eingaben dazu. Man redet dann statt von korrekten Lösungen auch von (Wörtern der) Sprache, die die Maschinen akzeptieren: Lösungen L := {l l löst das Problem P }. Wenn man eine effiziente Maschine angeben kann, die entscheiden kann, ob eine Lösung zu L gehört, ist das Problem entscheidbar. 1.3 Algebraische Grundlagen Algebra Wir finden bzw. erschaffen Struktur auf dem, was wir bislang definiert haben: Eine Algebra ist etwas, womit man rechnen kann. Algebraische Zahlen sind die Nullstellen algebraischen Gleichungen, Logik kann man in der booleschen Algebra rechnen. Definition 34. Eine (universelle) Algebra ist ein Tupel A = (S, f 1,...f n ) aus einer Trägermenge S und n Operationen f 1,..., f n. Eine (m-stellige) Operation f ist dabei eine Funktion f : S m S. Man beachte, das die Operationen abgeschlossen sind! Nullstellige Operationen sind Konstanten. Beispiele: (N, max, min) ist eine Algebra mit zwei zweistelligen Operationen. Zeichenketten über einem Alphabet mit der Operation aneianderhängen ((Σ, concat)) ist eine Algebra ({w, f},,, ) ist eine boolesche Algebra 14

4 Algebra - Neutrales und Nullelement Definition 35. Gibt es in einer Algebra (S, ) mit binärer Operation 1. ein r S mit x S : x r = x, nennt man r rechtneutrales Element 2. ein l S mit x S : l x = x, nennt man l linksneutrales Element Theorem 36. Gibt es in einer Algebra (S, ) ein rechtsneutrales Element r und ein linksneutrales Element l, so gilt r = l Beweis. l = l r = r Man spricht in Analogie zur Multiplikation dann auch von Einselement und schreibt 1 oder e. Algebra - Inverses und Nullelement Definition 37. In einer Algebra (S, ) heißt für ein Element x ein Element y mit y x = e Linksinverses zu x. (Rechtsinverses, Inverses entsprechend) Definition 38. In einer Algebra (S, ) heißt ein Element mit x S : 0 x = 0 linkes Nullelement. (rechtes Nullelement, Nullelement entsprechend) Homomorphismus Definition 39. Die Signatur einer Algebra (S, f 1,..., f n ) ist die Liste der Stelligkeiten der Operationen f 1,..., f n Definition 40. Für zwei Algebren (S, f 1,..., f k ) und (M, g 1,..., g k ) mit gleicher Signatur heißt eine Abbildung h : S M (Algebra-)Homomorphismus, wenn für i = 1,...k und alle s l S gilt g i (h(s 1 ),..., h(s n )) = h(f i (s 1,..., s n )), also h f i = g i h. Isomorphismus Definition 41. Ist mit den Benennungen der letzen Definition h bijektiv, so nennt man h einen Algebra-Isomorphismus und die beiden Algebren isomorph. Beispiel Die boolesche Algebra ({t, f},,, ) ist isomorph zur Algebra ({1, 0}, max, min, m 1 ) mit der Operation m 1 (x) = 1 x, mit h(t) := 1, h(f) := ({t, f},,, ) ist auch isomorph zur Algebra ({U, },,, ) für eine beliebige nichtleere Menge U, mit h(t) := U, h(f) := Assoziativ Definition 43. In einer Algebra (S, ) mit eine binären Verküpfung nennt man diese assoziativ, wenn gilt a, b, c : a (b c) = (a b) c. Theorem 44. Gibt es ein einer Algebra (S, ) mit assoziativer Operation zur einem a S ein Rechtsinverses l und ein Linksinverses r, so gilt l = r. Insbesondere ist das Inverse eindeutig bestimmt. Beweis. l = l e = l (a r) = (l a) r = e r = r Halbgruppe,Monoid,abelsch Definition Eine Algebra mit assoziativem binärem Operator heißt Halbgruppe 2. Eine Halbgruppe mit neutralem Element nennt man Monoid 3. Ein Monoid, bei dem für jedes Element ein Inverses existiert, heißt Gruppe 4. Eine Gruppe (ein Monoid, eine Halbgruppe) (S, ) nennt man abelsch, wenn gilt a, b S : a b = b a. 15

5 Boolesche Algebra Definition 46. Eine Algebra (B,,, ) mit den binären Operationen und und der unären Operation nennt man boolesche Algebra, wenn gilt: 1. (B, ) ist ein ablesches Monoid mit neutralem El. 0, 2. (B, ) ist ein abelsches Monoid mit neutralem El. 1, 3. Für die Operation gilt a B: a ( a) = 1 und a ( a) = 0 4. Es gilt a, b, c B : a (b c) = (a b) (a c) und a (b c) = (a b) (a c) Die Trägermenge einer boolschen Algebra kann also durchaus mehr als zwei Elemente enthalten! Wichtiges Beispiel ist dafür die Potenzmengenalgebra (2 U,,, ) zu einer Menge U. In booleschen Algebren gelten die im Kapitel Mengenlehre / Logik aufgestellten Rechenregeln. In einer booleschen Algebra wie oben ist a b : a b = a für a, b B eine Halbordnung (Bew: Übungen). führt über Atome u.a. zum Darstellungssatz durch Atome Ring, Körper Nimmt man eine weitere Operation dazu, kommt man zu mehr Struktur: Definition Ein Ring ist eine Algebra (R, +, ) mit zwei Operationen + und, so das (R, +) eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0 ist, (R, ) eine Halbgruppe, und die folgenden Distributivgesetze gelten: a, b, c R : a (b + c) = a b + a c und a, b, c R : (a + b) c = a c + b c 2. Ein Körper ist ein Ring wie oben. bei dem zusätzlich (R {0}, ) eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 1 ist Körper kann man bauen, indem man die Nullstellen bestimmter Polynome über Ringen hinzunimmt und dann vervollständigt. Auch endliche Körper sind sehr interessant. 2 Zählen und Zufall Kombinatorik Nach den eher ziemlich abstrakten Grundlagen kommen wir nun zu Werkzeugen, die recht konkret für die Modellierung von Zähl-Problemen dienen. Man will also wissen, wie oft gewisse Objekte oder Ereingnisse auftreten. Meist passt zu diesen Fragestellungen ein Urnenmodell. Kombinatorik Was können wir mit einer Urne und unterscheidbaren (nummerierten) Kugeln modellieren? Man kann die Kugeln nach dem Ziehen zurücklegen, oder nicht die Reihenfolge der Ziehung kann eine Rolle spielen, oder nicht Kombinatorik - Beispiele Ziehen von zwei Karten aus einem Kartenstapel von verschiedenen Karten bei MauMau Ziehen ohne Zurücklegen, Reihenfolge unwichtig Kombinatorik - Beispiele Lotto 6 aus 49 Ziehen ohne Zurücklegen, Reihenfolge unwichtig 16