Affine Hülle. x x 1 ist lineare Kombination der Vektoren x 2 x 1,x 3 x 1,...,x k x 1. Tatsächlich, in diesem Fall ist λ 1 = 1 λ 2 λ 3...

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1 Affine Hülle Wiederholung. Der Vektor x K n ist eine lineare Kombination der Vektoren x,...,x k K n, wenn es Zahlen λ,...,λ k K gibt mit x = λ x λ k x k. Def. Gibt es solche Zahlen λ,...,λ k K mit λ λ k =, so ist der Punkt x K n eine affine Kombination der Punkte x,...,x k K n. Eine affine Kombination ist also eine Linearkombination, sodass die Summe der Koeffizienten gleich ist (hat in jedem Körper Sinn, da in jedem Körper wohldefiniert ist, als neutrales Element der Gruppe (K = K \ {0}, )). Bemerkung. Dies ist äquivalent zu x x ist lineare Kombination der Vektoren x 2 x,x 3 x,...,x k x. Tatsächlich, in diesem Fall ist λ = λ 2 λ 3... λ k, und x = λ x + λ 2 x λ k x k = x + ( λ 2... λ k )x + λ 2 x λ k x k = x + λ 2 (x 2 x ) + λ 3 (x 3 x ) λ k (x k x )

2 Wiederholung. Für A K n ist die lineare Hülle Span(A) die Menge aller (endlichen) linearen Kombinationen von Elementen von A. Span(A) ist zugleich der kleinste lineare Untervektorraum von K n, der A enthält, und die Schnittmenge von allen linearen Untervektorräumen von K n, die A enthalten (LA I). Def. Für A K n ist die affine Hülle Aff (A) die Menge aller (endlichen) affinen Kombinationen von Elementen von A. Lineare Hülle von A und B: eine Ebene, die A, B und Null-Nunkt 0 enthält. Affine Hülle von A und B: die Gerade durch A und B A B A B 0 0

3 Lemma. Sei A = {x,...,x k } K n. Dann gilt: Aff (A) ist ein affiner Unterraum über dem Untervektorraum span(x 2 x,x 3 x,...,x k x ). (Wiederhol. aff. Raum über U ist die Menge {a 0 + u u U}.) Ferner gilt: Enthält ein affiner Unterraum U alle Punkte x,...,x k, so gilt Aff (A) U. Bemerkung. Die letzte Aussage des Lemmas kann man wie folgt umformulieren: Aff (A) ist der kleinste affine Unterraum von K n, der A enthält (vergl. die analoge Aussage über Untervektorräume aus LA I). Bemerkung. Wir sehen, dass die Dimension von Aff (A) höchstens k = #A = #{x 2 x,x 3 x,...,x k x } ist. Beweis. Z.z.: (i) Aff (A) {x + v v span(x 2 x,x 3 x,...,x k x )}, d.h., Jedes x Aff (A) kann man als x + v darstellen, wobei v span(x 2 x,x 3 x,...,x k x ). (ii) Aff (A) {x + v v span(x 2 x,x 3 x,...,x k x )}, d.h., für jedes v span(x 2 x,x 3 x,...,x k x ) gilt: x + v Aff (A). (iii) Für jeden affinen Unterraum U mit A U gilt: Aff (A) U.

4 Beweis von (i): Aff (A) {x + v v span(x 2 x, x 3 x,..., x k x )} Wir haben diese Aussage praktisch in der Bemerkung nach der Definition der affinen Hülle gezeigt. Angenommen x = λ x λ k x k wobei λ λ k =. Dann ist λ = λ 2 λ 3... λ k, und x = λ x + λ 2 x λ k x k = x + ( λ 2... λ k )x + λ 2 x λ k x k = x + λ 2 (x 2 x ) + λ 3 (x 3 x ) λ k (x k x ) Dann ist x x eine lineare Kombination der Vektoren x 2 x,x 3 x,...,x k x, also ein Element (z.b. v) von span(x 2 x,x 3 x,...,x k x ). Also, x = x + v.

5 Beweis von (ii): Aff (A) {x + v v span(x 2 x, x 3 x 3,..., x k x )} Z.z.: für jedes v = λ 2 (x 2 x ) + λ 3 (x 3 x ) λ k (x k x ) liegt x + v in Aff (A). x + v = x + λ 2 (x 2 x ) + λ 3 (x 3 x ) λ k (x k x ) = ( λ 2 λ 3... λ k ) }{{} λ x + (λ 2 + λ λ k )x + λ 2 (x 2 x ) + λ 3 (x 3 x ) λ k (x k x ) = λ x +λ 2 (x +(x 2 x ))+λ 3 (x +(x 3 x ))+...+λ k (x +(x k x )) = λ x + λ 2 x λ k x k. Da die Summe der Koeffizienten λ,...,λ k gleich ( λ 2 λ 3... λ k ) + λ 2 + λ λ k = ist, ist x + v eine affine Kombination von x,...,x k.

6 Beweis (iii): Ist A U, so ist Aff (A) U Wied. Lemma 8. Sei U K n affiner Unterraum über dem Untervektorraum V U, d.h., U = {a 0 +v v V U }. Sei a U ein beliebiger Punkt. Dann gilt: U = {a + v, wobei v V U }. Wegen Lemma 8 können wir obda annehmen, dass U = {x + u u V U }. Dann sind alle Punkte x 2,...,x k A gleich x 2 = x + u 2, x 3 = x + u 3,..., x k = x + u k wobei u 2,...,u k V U. Dann sind (x 2 x ), (x 3 x ),...,(x k x ) V U. Dann ist span(x 2 x,x 3 x,...,x k x ) V U. ( ) Dann gilt Aff (A) (i) {x + v v span(x 2 x,x 3 x,...,x k x )} ( ) {x + v v V U } = U.

7 Lemma. Sei A = {x,..., x k }. Dann gilt: Aff (A) ist ein affiner Raum über dem Untervektorraum span(x 2 x, x 3 x,..., x k x ). Ferner gilt: Enthält ein affiner Unterraum U alle Punkte x,..., x k, so gilt Aff (A) U. Folgerung. Jeden affinen Unterraum von K n kann man als affine Hülle einer endlichen Teilmenge darstellen. Beweis. In der Tat, sei U = {x + v v V }. Wir nehmen eine Basis (v 2,...,v k ) V (endlich, weil dim(k n ) endlich ist). Sei x i := x + v i, Lem. i = 2,...,k Dann ist Aff (x,...,x k ) = {x + v v span(x 2 x,x 3 x,...,x k x )} = {x + v v V }.

8 Def. Sei M eine Teilmenge des affinen Raums K n. Sie heißt affin abgeschlossen, falls M mit je zwei Punkten a b auch die Gerade L(a,b) := {a + λ(b a) wobei λ K} durch a und b enthält. Bemerkung. Die Menge L(a,b) := {a + λ(b a) wobei λ K} ist tatsächlich die Gerade durch a und b: Sie ist eine Gerade (= -dim affiner Raum), weil sie die Form {a + v v span(b a)} hat. Sie enthält die Punkte a (entspricht λ = 0) und b (entspricht λ = ). Bsp. Ein affiner Unterraum ist eine affin abgeschlossene Teilmenge. In der Tat, sei U ein affiner Raum sodass a,b U. Nach Lemma 8 können wir obda den Punkt a als den Punkt unseres affinen Unterraums U nehmen. Dann besteht der Unterraum aus Punkten der Form a + v wobei v in einem Untervektorraum V U liegen. Liegt b im affinen Unterraum, so liegt b a im Untervektorraum V U. Dann liegen alle Punkte der Geraden L(a,b) := {a + λ(b a) wobei λ K} in U.

9 Bsp. einer affin abgeschlossenen Teilmenge, die kein Unterraum ist: Man betrachte K = Z 2 und den affinen Raum (Z 2 ) 2. O Nach Definition besteht die Gerade, die die Punkte a,b enthält aus allen Punkten der Form a + λ(b a). Da λ {0,} = Z 2, besteht die ganze Gerade nur aus 2 Punkten a und b. Deswegen ist jede Menge in (Z 2 ) 2 affin abgeschlossen. Aber die Menge (Z 2 ) 2 \ {(0,0)} ist kein Unterraum (weil die Vektoren 0 = 0, 0 = 0 linear unabhängig sind; also jeder diese Punkte enthaltende affine Unterraum mit (Z 2 ) 2 zusammenfallen muss. )

10 Def Wiederh. Sei M eine Teilmenge des K affinen Raums K n. Sie heißt affin abgeschlossen, falls M mit je zwei Punkten a b auch die Gerade L(a,b) := {a + λ(b a) wobei λ K} durch a und b enthält. Satz Angenommen, in dem Körper K gilt: + 0. Dann gilt: Eine affin abgeschlossene Teilmenge M des affinen Raums K n ist ein affiner Unterraum. Bemerkung. Es gibt Körper, so dass + = 0. Z.B. ist in Z 2 + = 0. Das erklärt auch, warum wir für das Beispiel auf der vorherigen Folie einen affinen Raum über Z 2 gewählt haben. Konvention. Sei K ein Körper. Das neutrale Element der multiplikativen Gruppe (K := K \ {0}, ) bezeichnen wir mit. Wir werden Element + mit 2 bezeichnen; + + mit 3 usw. Bsp: in Z 2 ist 2 = 0; 3 =. In Z 3 ist 2 = 2, 3 = 0, 4 = usw. Bsp: in Q, R, C gilt k = k. Falls ein Element ist, werden wir das inverse Element }{{} k Stück mit k bezeichnen. Bsp: In Z 2 ist 2 nicht definiert, da 2 = 0. In Z 2 ist 3 = In Z 3 ist 2 = 2, weil 2 2 = (= 4 mod 3). Bsp: in Q, R, C gilt k = k.

11 2 + 2 = Wie in der Konvention: 2 ist das Element von K so dass Distributionsgesetz 2 = 2 ( + ) = 2 2 =. ( + ) =. }{{} 2

12 Def Sei M eine Teilmenge des K affinen Raums K n. Sie heißt affin abgeschlossen, falls M mit je zwei Punkten a b auch die Gerade L(a,b) := {a + λ(b a) wobei λ K} durch a und b enthält. Satz. Angenommen, in dem Körper K gilt: + 0. Dann gilt: Eine affin abgeschlossene Teilmenge M des affinen Raums K n (über K- Vektorraum V) ist ein (affiner) Unterraum. Beweis. Angenommen, M ist affin abgeschlossen und a 0 M. Z.z.: U := {a a 0 wobei a M } ist ein Unterraum. (Da M := {a 0 + u wobei u U}, ist dann M ein affiner Unterraum). Z.z:. (i) Ist v U, so ist λv U. (ii) Sind v,w U, so ist v + w U. Wir zeigen (i). Es gilt: 0 = a 0 a 0 U. Sei v U, v 0, d.h. v = a a 0 für a M, a a 0. Dann liegen alle Punkte der Geraden L(a 0,a) := {a 0 + λ(a a 0 ) wobei λ K} in M, also λ(a a 0 ) U. Wir zeigen (ii). Seien v = a a 0 U, w = b a 0 U mit a,b M. Gilt v = w, so folgt nach (i) v + w = 2v U. Wir können also annehmen, dass v w und damit a b. Nach Voraussetzungen gilt dann L(a,b) M. Wegen b a = a 0 a + (b a 0 ) = (a a 0 ) + (b a 0 ) = w v gilt dann L(a,b) = {a + λ(w v) wobei λ K} = {a 0 + ( λ)v + λw wobei λ K}. Für λ = 2 erhalten wir a 0 + ( 2 )v + 2 w = a (v + w) M, also 2 (v + w) U. Nach (i) folgt 2 2 (v + w) U.

13 4 äquivalente Definitionen eines affinen Unterraums von K n Wir betrachten den affinen Raum K n. Ursprüngliche Definition 0. Ein Affiner Unterraum ist eine Teilmenge U der Form {a 0 + v, wobei v V U }, wobei V U ein Untervektorraumvon V ist. Def a. Die affine Hülle Aff (A) von einer (endlichen) Teilmenge von K n heißt ein affiner Unterraum. Equivalenz von Definitionen 0 und a: Lemma Def. b Ein affiner Unterraum ist die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems Ax = b (unter der Annahme, dass das System mind. eine Lösung hat). Äquivalenz von Definitionen 0 und b: Eine Richtung: Lemma 8. Andere Richtung: Hausaufgabe. Def. c Ein affiner Unterraum ist eine affin abgeschlossene nichtleere Teilmenge von K n Äquivalenz von Definitionen 0 und c: Satz Man bemerke: Definition c benötigt nur Geraden

14 Affine Abbildungen und Affinitäten Def. Seien K n und K m zwei affine Räume. Die Abbildungen der Form F f,w (v) := T w f (v) := f (v) + w, wobei f eine lineare Abbildung und T w eine Parallelverschiebung ist, heißen affine Abbildungen. Ist m = n und f eine Bijektion ( also ein (linearer) Isomorphismus), so heißt F eine Affinität. Dasselbe in Koordinaten: Sei A eine m n Matrix über K und w K m. Dann sind die affinen Abbildungen die Abbildungen der Form F A,w : K n K m, F A,w (x) := Ax + w. Ist m = n und A nichtausgeartet, so ist F A,w eine Affinität. Bild von adobe.com

15 Def. Sei M eine Teilmenge des affinen Raums K n. Sie heißt affin abgeschlossen, falls M mit je zwei Punkten a b auch die Gerade L(a,b) := {a + λ(b a) wobei λ K} durch a und b enthält. Bemerkung. Die Menge L(a,b) := {a + λ(b a) wobei λ K} ist tatsächlich die Gerade durch a und b: Sie ist eine Gerade (= -dim affiner Raum), weil sie die Form {a + v v span(b a)} hat. Sie enthält die Punkte a (entspricht λ = 0) und b (entspricht λ = ). Bsp. Ein affiner Unterraum ist eine affin abgeschlossene Teilmenge. In der Tat, sei U ein affiner Raum sodass a,b U. Nach Lemma 8 können wir obda den Punkt a als den Punkt unseres affinen Unterraums U nehmen. Dann besteht der Unterraum aus Punkten der Form a + v wobei v in einem Untervektorraum V U liegen. Liegt b im affinen Unterraum, so liegt b a im Untervektorraum V U. Dann liegen alle Punkte der Geraden L(a,b) := {a + λ(b a) wobei λ K} in U.

16 Bsp. einer affin abgeschlossenen Teilmenge, die kein Unterraum ist: Man betrachte K = Z 2 und den affinen Raum (Z 2 ) 2. O Nach Definition besteht die Gerade, die die Punkte a,b enthält aus allen Punkten der Form a + λ(b a). Da λ {0,} = Z 2, besteht die ganze Gerade nur aus 2 Punkten a und b. Deswegen ist jede Menge in (Z 2 ) 2 affin abgeschlossen. Aber die Menge (Z 2 ) 2 \ {(0,0)} ist kein Unterraum (weil die Vektoren 0 = 0, 0 = 0 linear unabhängig sind; also jeder, diese Punkte enthaltende, affine Unterraum mit (Z 2 ) 2 zusammenfallen muss. )

17 Def Wiederh. Sei M eine Teilmenge des K affinen Raums K n. Sie heißt affin abgeschlossen, falls M mit je zwei Punkten a b auch die Gerade L(a,b) := {a + λ(b a) wobei λ K} durch a und b enthält. Satz Angenommen, in dem Körper K gilt: + 0. Dann gilt: Eine affin abgeschlossene Teilmenge M des affinen Raums K n ist ein affiner Unterraum. Bemerkung. Es gibt Körper so dass + = 0. Z.B. ist in Z 2 + = 0. Das erklärt auch warum wir für das Beispiel auf der vorherigen Folie einen affinen Raum über Z 2 gewählt haben. Konvention. Sei K ein Körper. Das neutrale Element der multiplikativen Gruppe (K := K \ {0}, ) bezeichnen wir mit. Wir werden Element + mit 2 bezeichnen; + + mit 3 usw. Bsp: in Z 2 ist 2 = 0; 3 =. In Z 3 ist 2 = 2, 3 = 0, 4 = usw. Bsp: in Q, R, C gilt k = k. Falls ein Element ist, werden wir das inverse Element }{{} k Stück mit k bezeichnen. Bsp: In Z 2 ist 2 nicht definiert, da 2 = 0. In Z 2 ist 3 = In Z 3 ist 2 = 2, weil 2 2 = (= 4 mod 3). Bsp: in Q, R, C gilt k = k.

18 2 + 2 = Wie in der Konvention: 2 ist das Element von K so dass Distributionsgesetz 2 = 2 ( + ) = 2 2 =. ( + ) =. }{{} 2

19 Def Sei M eine Teilmenge des K affinen Raums K n. Sie heißt affin abgeschlossen, falls M mit je zwei Punkten a b auch die Gerade L(a,b) := {a + λ(b a) wobei λ K} durch a und b enthält. Satz. Angenommen, in dem Körper K gilt: + 0. Dann gilt: Eine affin abgeschlossene Teilmenge M des affinen Raums K n (über K- Vektorraum V) ist ein (affiner) Unterraum. Beweis. Angenommen, M ist affin abgeschlossen und a 0 M. Z.z.: U := {a a 0 wobei a M } ist ein Unterraum. (Da M := {a 0 + u wobei u U}, ist dann M ein affiner Unterraum). Z.z:. (i) Ist v U, so ist λv U. (ii) Sind v,w U, so ist v + w U. Wir zeigen (i). Es gilt: 0 = a 0 a 0 U. Sei v U, v 0, d.h. v = a a 0 für a M, a a 0. Dann liegen alle Punkte der Geraden L(a 0,a) := {a 0 + λ(a a 0 ) wobei λ K} in M, also λ(a a 0 ) U. Wir zeigen (ii). Seien v = a a 0 U, w = b a 0 U mit a,b M. Gilt v = w, so folgt nach (i) v + w = 2v U. Wir können also annehmen, dass v w und damit a b. Nach Voraussetzungen gilt dann L(a,b) M. Wegen b a = a 0 a + (b a 0 ) = (a a 0 ) + (b a 0 ) = w v gilt dann L(a,b) = {a + λ(w v) wobei λ K} = {a 0 + ( λ)v + λw wobei λ K}. Für λ = 2 erhalten wir a 0 + ( 2 )v + 2 w = a (v + w) M, also 2 (v + w) U. Nach (i) folgt 2 2 (v + w) U.

20 4 äquivalente Definitionen des affinen Unterraums K n Sei K n der affine Raum. Ursprüngliche Definition 0. Affiner Unterraum ist eine Teilmenge U = der Form {a 0 + v, wobei v V U }, wobei V U ein Untervektorraumvon V ist. Def a. Affine Hülle Aff (A) von einer (endlichen) Teilmenge von K n heißt ein affiner Unterraum. Equivalenz von Definitionen 0 und a: Lemma Def. b Affiner Unterraum ist Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystem Ax = b (unter der Annahme, dass das System mind. eine Lösung hat). Äquivalenz von Definitionen 0 und b: eine Richtung: Lemma 8; andere Richtung: Hausaufgabe Def. c Affiner Unterraum ist eine affin abgeschlossene nichtleere Teilmenge von K n Äquivalenz von Definitionen 0 und c: Satz Man bemerke: Definition c benötigt nur Geraden