FORMELSAMMLUNG. re-wi. A. Ableitungsformeln und Integralformeln. Funktion ƒ(x) Ableitung ƒ'(x) Stammfunktion F(x) = 1 1. B. Ableitungsregeln.

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1 FORMELSAMMLUNG A. Ableitugsformel ud Itegralformel Futio ƒ( Ableitug ƒ'( Stammfutio F( IR, ( IN) + + l ( ) + ( + ) + ( + ) r r, (r R \ {}) r r r + si os os os si si ta + (ta l os ot [ + (ot ] l si e e e l B. Ableitugsregel. l ƒ( ƒ'(. Fatorregel ( R ).. (. Summeregel + ( + h'(. Produteregel. (. +. h'( 4. Quotieteregel h ( ) ( h'( g ( ) [ h ( )] 5. Ketteregel ) (). h'(

2 C. Epoetialfutio ud Logarithmusfutio Zwishe Epoetialfutio ud Logarithmusfutio besteht der folgede Zusammehag: f( a y a log y f * (y) a R + ; R ; y R +. Die Logarithmusfutio: f * (y) a log y ist die Umehrfutio der Epoetialfutio: f( a. Ei Beispiel: f ( ud die Umehrfutio: f * (y) log y: 8 y f ( log y f *(y) log y y log y log y log ( ) log8 8 I. Grudlage: Wihtige Formel für: a, y, r, s > ; R beliebig. a > (für alle R) 4. a a 7. a. a log y R (ur für y R + ) 5. a log a 8. a log a. a log R 6. a y 9. II. Grudformel: log y. a log (r s) a log r + a log s. a log ( s ) a log s. a log ( r s ) a log r a log s 4. a log rs s a log r. a loa ). III. Die Base ud e + ( + ),78 IV. Ableituge ( Abürzuge: lg log ud l e log ) ( a R + \ {}). lg y y 6. e l y y. [ e ]' e. l ) 7. l(e ). [ l y ]' y. a lg a 8. a e l a. [ a ]' l a a 4. a y lg y lg a 9. a y l y l a 4. [ a log y ]' l a y 5. a log y lg y lg a. a log y l y l a

3 D. Allgemeie Regel für ueigetlihe Grezwerte Im Folgede werde Grezwertregel aufgeführt, die für alle füf Grezwertfälle: () f( () f( () f( (4) l - f( (5) r - f( i gleiher Weise gelte. Wir shreibe u eiheitlih für alle Fälle urz: f(.. Regel: a) Voraussetzuge: () R () ± Kurzform*: Behauptug: [ + ] ± [ + (+ ) + ] [ + () ] b) Voraussetzuge: () ± () ± Kurzform: Behauptug: [ + ] ± [ (+ ) + (+ ) + ] [ () + () ] Ausahme: Die Beziehug: (+ ) + () ist iht defiiert. Lösugsmögliheite: Durh Termumformuge, Auslammer usw. auf beate Regel ( z.b. auh de l Hospital) zurüführe.. Regel: a) Voraussetzuge: () R \ {} () ± Kurzform: Behauptug: [ ] ± [ (+ ) + für > ] [ () für > ] [ (+ ) für < ] [ () + für < ] b) Voraussetzuge: () ± () ± Kurzform: Behauptug: [ ] ± [ (+ ) (+ ) + ] [ (+ ) () ] [ () (+ ) ] [ () () + ] Ausahme: Die folgede Beziehuge (+ ) ud () sid iht defiiert. Lösugsmögliheite: Durh Termumformuge, Auslammer usw. auf beate Regel ( z.b. auh de l Hospital) zurüführe. *) Bemerug: Die folgede Kurzforme stelle eie algebraishe Terme dar; es sid lediglih eiprägsame, symbolishe Merregel. Sie werde daher auh i eige Klammer geshriebe.

4 . Regel: a) Voraussetzuge: () R \ {} Kurzform: () ± [ + für ] Behauptug: [ für ] b) Voraussetzuge: () ± Kurzform: () R \ {} + [ + für > ] Behauptug: + ± [ für < ] [ für > ] [ + für < ] ) Voraussetzuge: () oder ± () Kurzform: ± Behauptug: + [ + ; + für ] (Ohe Betragstrihe: Vorzeihe beahte!) Ausahme: ± Die folgede Beziehuge ud sid iht defiiert. ± Lösugsmögliheite: die Regel vo de l Hospital awede. 4. Regel: a) Voraussetzuge: () [, [ Kurzform: + () + [ für < ] Behauptug: g ( [ Beahte: + für < ] b) Voraussetzuge: () ], [ Kurzform: + () + [ + für < ] Behauptug: g ( + [ Beahte: + für < ] ) Voraussetzuge: () + Kurzform: () + [ ( + ) + ] Behauptug: g ( + [ Beahte: ( + ) ] ± Ausahme: Die folgede Beziehuge:, ( + ) ud + sid iht defiiert. Lösugsmögliheite: Umforme (e-futio!) ud die Regel vo de l Hospital awede. 4

5 E. Die Grezwertregel vo de l Hospital Im Folgede seie f, g ud h Futioe mit der Bedigug: f(, R.. Regel vo de l Hospital Kurzform: [ ] für Voraussetzuge: () ) ) () ( ) ud h'( ) eistiere () Behauptug: ( h' ( R eistiert h' ( ( Beispiel: l ) (. Regel vo de l Hospital Kurzform: [ ] für Voraussetzuge: () () ( h' ( R eistiert Behauptug: ( h' ( Beispiel: arta π / / ( + + ) / ( ). Regel vo de l Hospital Kurzform: [ Voraussetzuge: () ± () Behauptug: ( h' ( ] für ± R eistiert h' ( ( Beispiel: l 4. Regel vo de l Hospital Kurzform: [ Voraussetzuge: () ± () Behauptug: h' ( ] für ± ( R eistiert ( h' ( Beispiel: e e 5

6 F. Formel der Stohasti A m m... m A A! ( )! Allgemeies Zählprizip, auf jeder Stufe gibt es m Mögliheite. Azahl der geordete -Tupel aus eier -elemetige Mege mit Wiederholug Azahl der -Permutatioe aus eier -elemetige Mege ohe Wiederholug A! ( )!! Azahl der -Kombiatioe, d.h. der -elemetige Teilmege aus eier -elemetige Mege ohe Wiederholug! P(E) Hypergeometrishe Verteilug Aus eier Gesamtheit vo: + + Dige werde + + herausgegriffe. P( X ) p q Beroulli-Kette -Stufiger Beroulliversuh, Ausgäge p: Erfolgswahrsheiliheit, q: p Mißerfolgswahrsheiliheit X: Azahl der Erfolge µ X E(X) a p Beroulli: m X p Erwartugswert m X der Zufallsgröße X a, a,..., a : Werte der Zufallsgröße X p P(X a ), p P(X a ),..., p P(X a ), Wahrsheiliheite a µ X V(X) ( ) Beroulli: V(X) p q s p q ; s p p q Variaz V(X) der Zufallsgröße X a, a,..., a : Werte der Zufallsgröße X p P(X a ), p P(X a ),..., p P(X a ), Wahrsheiliheite m X : Erwartugswert ud s X : Stadardabweihug. s -Umgebug: U s (m) P ( {X / m s X m + s} ),955 s -Umgebug: U (p) σ P ( {X / p s X p + s } ),955 Kofidezitervalle: p s p p ( p) ( p) Notwediger Stihprobeumfag bei vorgegebeer Stihprobedifferez d zu p: p s d p ( p) d 4 p ( p) d 4 p ( p) d 4 p ( p) 6