2. Trägheitstensor. Prof. Dr. Wandinger 3. Kinetik des starren Körpers Dynamik
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- Ralph Maier
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1 2. Trägheitstensor Der Drall hängt ab von der Verteilung der Masse und der Geschwindigkeit über den örper. Die Geschwindigkeitsverteilung ergibt sich aus der Überlagerung einer Translation und einer Rotation. Der Trägheitstensor stellt den Zusammenhang her zwischen dem Drall und dem Vektor der Winkelgeschwindigkeit. Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
2 2.1 Herleitung 2.2 Satz von Steiner 2.3 inetische Energie 2.4 Hauptachsen 2. Trägheitstensor Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
3 2.1 Herleitung Der Drall ist definiert durch v P =v B r BP Mit folgt: L B = Der erste Summand verschwindet, wenn der Bezugspunkt B in den Schwerpunkt S gelegt wird, oder wenn die Geschwindigkeit v B des Bezugspunktes verschwindet. r BP dm v B =m r BS v B L B = r BP v P dm r BP r BP dm r BP r BP dm Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
4 2.1 Herleitung Im folgenden wird vorausgesetzt, dass eine der beiden Bedingungen erfüllt ist. Mit der allgemein gültigen Beziehung folgt für das Integral: a b c =b a c c a b r BP r BP dm= [ r BP r BP r BP r BP ]dm Die Richtung des Drallvektors stimmt also im allgemeinen nicht mit der Richtung des Vektors der Winkelgeschwindigkeit überein. Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
5 2.1 Herleitung Auswertung in körperfesten oordinaten: ζ ω P r BP = b b b r BP = b b b b ζ B b η η b ξ ξ Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
6 Erster Summand: r BP r BP dm= = Zweiter Summand: = 2.1 Herleitung dm dm b dm b r BP r BP dm= dm b r BP dm 2 dm b 2 dm b 2 dm b Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
7 2.1 Herleitung Drall: L B =L B b L B b L B b = [ [ 2 2 dm dm dm dm ] b 2 2 dm dm ] b [ dm dm 2 2 dm ] b Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
8 2.1 Herleitung Massenträgheitsmomente: J B = J B = J B = 2 2 dm 2 2 dm 2 2 dm Deviationsmomente: J B =J B = J B =J B = J B =J B = dm dm dm Die Deviationsmomente werden auch als Zentrifugalmomente bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
9 2.1 Herleitung Massenträgheitsmomente und Deviationsmomente sind omponenten des Trägheitstensors. Der Trägheitstensor wird durch die Matrix =[ J B J B J B ] J B J B J B J B J B J B J B dargestellt. Mit dem Trägheitstensor gilt für den Drall: [ LB J B J B J B J B J B J B ][ ] J B J B J B L B L B ]=[ L B =J B Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
10 Zusammenfassung: 2.1 Herleitung Für den Drall bezüglich des Schwerpunktes S gilt: L = S r SP v P dm= r SP r SP dm = [ r SP r SP r SP r SP ]dm=j S Für den Drall bezüglich des ortsfesten Punktes B gilt: L B = = r BP v P dm= r BP r BP dm [ r BP r BP r BP r BP ]dm=j B Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
11 2.1 Herleitung Beispiel: Gegeben: ζ Quader mit antenlängen a, b, c Gesucht: S η Trägheitstensor bezüglich Schwerpunkt S c ξ b a Dichte ρ = const. Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
12 Massenträgheitsmomente: J S = b/2 =a b/2 2 2 dm= V [ c /2 b/2 =a b/2 =a 2 b Herleitung 2 2 dv c /2 ] 2 2 d d =a b/2 b /2 [ 2 1 =c /2 3 3] = c d /2 2 c 2 c 2 3 d =a [ c 2 =b/2 3 8 c3 ] = b/2 c 1 12 c3 b = abc 1 12 b 2 c 2 = 1 12 m b 2 c 2 Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
13 2.1 Herleitung Entsprechend folgt: Deviationsmomente: J S = 1 12 m a 2 c 2, J S = 1 12 m a 2 b 2 J S = a/ 2 = c a/ 2 a/2 dm= a/2 [ b/2 b/2 [ b /2 b/2 c /2 c /2 d ] d d ] a/ 2 d d = c [ 1 =b/2 a/ 2 2 2] = b/2 d a /2 = c a/2 [ 1 2 b2 4 b2 4 ] d =0 Entsprechend folgt: J S =0, J S =0 Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
14 Aufgabenstellung: 2.2 Satz von Steiner Gegeben ist der Trägheitstensor bezüglich des Schwerpunktes S Gesucht ist der Trägheitstensor bezüglich des Punktes B ξ ζ b ζ b ξ S r SP b η r SB η P r BP B r BP =r SP r SB Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
15 2.2 Satz von Steiner Lösung: Der Trägheitstensor bezüglich Punkt B ist definiert durch J B = Für den Integranden gilt: r BP r BP dm r BP r BP = r SP r SB [ r SP r SB ] = r SP r SB r SP r SB =r SP r SP r SB r SP r SP r SB r SB r SB Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
16 2.2 Satz von Steiner Mit r SP r SP dm=j S und r SP dm=0 (Schwerpunkt) folgt der Satz von Steiner: J B =J S m r SB r SB Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
17 2.2 Satz von Steiner In omponenten: Für das doppelte Vektorprodukt gilt r SB r SB = r SB r SB r SB r SB Vektor r SB ist der Vektor vom Schwerpunkt S zum Bezugspunkt B. Seine omponenten sind r SB = B b B b B b Damit folgt wie bei der Herleitung des Trägheitstensors: r SB r SB =[ 2 B B2 B B B B ] b [ B B 2 B B2 B B ] b [ B B B B 2 B B2 ] b Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
18 2.2 Satz von Steiner Ergebnis: J B = J S m 2 B B2 J B = J S m 2 B B2 J B = J S m 2 B B2 J B = J S m B B J B = J S m B B J B = J S m B B Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
19 2.2 Satz von Steiner Beispiel: Gegeben: ζ Quader mit antenlängen a, b, c Trägheitstensor bezüglich Schwerpunkt S S η Gesucht: c r SB a Trägheitstensor bezüglich Punkt B ξ b B Dichte ρ = const. Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
20 2.2 Satz von Steiner Vektor vom Schwerpunkt S zum Bezugspunkt B: r SB = a 2 b b 2 b c 2 b B = a 2, B= b 2, B= c 2 Massenträgheitsmomente: J B = 1 12 b 2 c 2 m 1 4 b 2 c 2 m= 1 3 b 2 c 2 m J B = 1 12 a2 c 2 m 1 4 a2 c 2 m= 1 3 a2 c 2 m J B = 1 12 a2 b 2 m 1 4 a2 b 2 m= 1 3 a2 b 2 m Deviationsmomente: J B = 1 4 a b m, J B = 1 4 bc m, J B = 1 4 ac m Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
21 2.2 Satz von Steiner Anwendung: Zusammengesetzte örper Massenträgheitsmomente und Deviationsmomente bezüglich des Schwerpunktes sind für elementare örper tabelliert. Daraus lassen sich die Massenträgheitsmomente und Deviationsmomente des zusammengesetzten örpers für einen beliebigen Bezugspunkt berechnen. Vorgehen: 1. Umrechnung der Massenträgheits- und Deviationsmomente der elementaren örper auf den gemeinsamen Bezugspunkt 2. Addition der umgerechneten Massenträgheits- und Deviationsmomente Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
22 2.2 Satz von Steiner Beispiel: Gegeben: a = b = d = 2cm ζ e c = e = 4cm m 1 = m 2 = 3kg Gesucht: Trägheitstensor bezüglich Punkt B ξ c d B m 1 a m 2 b η Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
23 ξ B η B ζ B 2.2 Satz von Steiner örper 1 örper cm -1-2 cm -2-5 cm J Sξ 5 5 kgcm 2 J Sη 5 2 kgcm 2 J Sζ 2 5 kgcm 2 m(η B2 + ζ B2 ) kgcm 2 m(ξ B2 + ζ B2 ) kgcm 2 m(ξ B2 + η B2 ) 6 15 kgcm 2 Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
24 2.2 Satz von Steiner örper 1 örper 2 Gesamt J Bξ kgcm 2 J Bη kgcm 2 J Bζ kgcm 2 J Bξη kgcm 2 J Bηζ kgcm 2 J Bξζ kgcm 2 Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
25 2.3 inetische Energie Betrachtet wird ein örper, dessen Schwerpunkt sich mit der Geschwindigkeit v S bewegt. Gleichzeitig dreht sich der örper mit der Winkelgeschwindigkeit ω um eine Achse, die durch den Schwerpunkt geht. Ein beliebiger Punkt auf dem örper hat dann die Geschwindigkeit v P =v S r SP. Die kinetische Energie ist die Summe der kinetischen Energien aller Massenelemente. Für infinitesimale Massenelemente wird die Summe zu einem Integral. Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
26 2.3 inetische Energie Daher gilt: E kin = 1 2 v P v P dm Mit v P v P = v S r SP v S r SP =v S v S 2 v S r SP r SP r SP folgt: E kin = 1 2 m v 2 S v S r SP dm 1 2 r SP r SP dm Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
27 2.3 inetische Energie Der erste Summand auf der rechten Seite ist die kinetische Energie infolge der Geschwindigkeit v S des Schwerpunktes. Der zweite Summand ist wegen gleich Null. r SP dm=r SS =0 Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
28 2.3 inetische Energie Auswertung des dritten Summanden: Mit der Lagrangeschen Identität folgt: a b c d = a c b d b c a d [ r SP r SP r SP r SP ]dm r SP r SP dm= = [ r SP r SP r SP r SP ]dm= J S Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
29 2.3 inetische Energie Ergebnis: Für die kinetische Energie des starren örpers gilt: Folgerung: E kin = 1 2 m v 2 S 1 2 J S Da die kinetische Energie immer positiv ist und jede Drehung des örpers mit einer kinetischen Energie verbunden ist, gilt: J S 0 Der Trägheitstensor ist positiv definit. Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
30 2.4 Hauptachsen Die folgenden Eigenschaften des Trägheitstensors sind bereits bekannt: Der Trägheitstensor ist symmetrisch: J S =J S, J S =J S, J S =J S Der Trägheitstensor ist positiv definit: Frage: J S 0 Gibt es Richtungen, für die der Drallvektor die gleiche Richtung wie die Drehachse hat? Für diese Richtungen muss also gelten: Dabei ist J ein Skalar. J S =J Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
31 2.4 Hauptachsen Antwort: Mit dem Einheitstensor, dargestellt durch die Matrix I =[ ] muss gelten: J S J I =0 Nichttriviale Lösungen für ω existieren nur, wenn die Determinante dieses homogenen Gleichungssystems verschwindet: det J S J I =0 Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
32 2.4 Hauptachsen Das ist ein Polynom dritten Grades in J, das drei Lösungen J 1, J 2 und J 3 hat. Die Lösungen heißen Hauptträgheitsmomente. Dazu gehören drei Vektoren ω 1, ω 2 und ω 3. Sie werden als Eigenvektoren bezeichnet. Eigenschaften der Eigenvektoren: Ist ω k ein Eigenvektor, dann folgt für den Vektor αω k J S k = J S k =J k d.h. der Vektor αω k ist ebenfalls ein Eigenvektor. Ein Eigenvektor definiert also nur eine Richtung. Seine Länge kann frei gewählt werden. Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
33 2.4 Hauptachsen Seien J j und J k zwei verschiedene Hauptträgheitsmomente. Dann gilt: j k und J j J k J S j =J j j J S k =J k k k J S j =J j k j j J S k =J k j k Subtraktion der beiden rechts stehenden Gleichungen ergibt k J S j j J S k = J j J k j k Aus der Symmetrie des Trägheitstensors folgt: j J S k = k J S j Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
34 Wegen gilt also: 2.4 Hauptachsen Die drei Eigenvektoren ω 1, ω 2 und ω 3 sind paarweise orthogonal. J j J k Hauptachsensystem: j k =0 für j k Die körperfesten oordinatenrichtungen können so gewählt werden, dass sie mit den durch die Eigenvektoren vorgegebenen Richtungen zusammenfallen: b =b 1 1, b =b 2 2, b =b 3 3 Dieses oordinatensystem wird als Hauptachsensystem bezeichnet. Die drei oordinatenachsen werden als Hauptachsen bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
35 2.4 Hauptachsen Im Hauptachsensystem gilt für den Trägheitstensor: =[ J J S J J 3] Da der Trägheitstensor positiv definit ist, sind alle Hauptträgheitsmomente positiv: J k =b k J S b k 0, k=1,2, 3 Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
36 2.4 Hauptachsen Symmetrische örper: Hat ein örper eine Symmetrieebene, so kann eine Hauptachse sofort angegeben werden. Symmetrie bezüglich ηζ - Ebene: ζ dm dm η ξ Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
37 2.4 Hauptachsen Zu jedem Massenelement an der Stelle (ξ, η, ζ) gibt es ein entprechendes Massenelement an der Stelle (-ξ, η, ζ). Also gilt: J = Entsprechend folgt für Symmetrie bezüglich der ξη - Ebene J = dm=0, J = dm=0 und für Symmetrie bezüglich der ξζ - Ebene: J = dm=0, J = dm=0 dm=0, J = dm=0 Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
38 2.4 Hauptachsen Symmetrieebene Trägheitstensor Hauptachse ξη ηζ ξζ [ J [ J [ J J 0 J J 0 ] 0 0 J J J 0 J J ] 0 J ] 0 J 0 J 0 J ζ-achse ξ-achse η-achse Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
39 2.4 Hauptachsen Rotationssymmetrische örper: Bei einem rotationssymmetrischen örper ist die Rotationsachse eine Hauptachse. In der Ebene senkrecht zur Rotationsachse ist jede Achse eine Hauptachse. Es können zwei senkrechte Hauptachsen beliebig gewählt werden. Die Massenträgheitsmomente bezüglich der beiden zur Symmetrieachse senkrechten Hauptachsen sind gleich groß. Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
40 2.4 Hauptachsen ugelsymmetrische örper: Bei einem kugelsymmetrischen örper sind alle Achsen Hauptachsen. Es können drei senkrechte Hauptachsen beliebig gewählt werden. Alle drei Hauptträgheitsmomente sind gleich groß. Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
41 2.4 Hauptachsen Berechnung der Hauptträgheitsmomente: Die Hauptträgheitsmomente sind die Lösungen der kubischen Gleichung p J =det J S J I = J 3 a J 2 b J c=0 Für die oeffizienten gilt: a=j S J S J S =sp J S 2 b=j S 2 J S c=det J S 2 J S J S J S J S J S J S J S Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
42 2.4 Hauptachsen Die erste Nullstelle kann mit Hilfe des Verfahrens von Newton-Raphson bestimmt werden: Wahl eines Startwertes Iteration für k = 1, 2, 3,... : J 0 mit J k 1 =J k p J k p ' J k p ' J = dp dj = 3 J 2 2a J b Die anderen beiden Nullstellen können auf die gleiche Weise gewonnen werden, indem die Iteration mit anderen Startwerten gestartet wird. Alternativ kann aus dem kubischen Polynom durch Polynomdivision eine quadratische Gleichung für die fehlenden beiden Nullstellen gewonnen werden, wenn die erste Nullstelle bekannt ist. Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
43 2.4 Hauptachsen Startwerte für die Iteration können mit Hilfe des Satzes von der Trennung der Eigenwerte ermittelt werden: J 1 J 2 =[ p J =det J S J I =0 mit J J S J S ] S J S J S dann gilt: J 1 J 1 J 2 J 2 J 3 Zur Berechnung von J 2 kann z.b. Sind und Nullstellen des quadratischen Polynoms J 0 = 1 2 J 1 J 2 = 1 2 J S J S als Startwert gewählt werden. Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
44 2.4 Hauptachsen Beispiel: Gegeben ist der Trägheitstensor =[ J S ] Gesucht sind die Hauptträgheitsmomente und die Hauptachsen. Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
45 2.4 Hauptachsen oeffizienten des charakteristischen Polynoms: a=450, b= 64475, c= Iteration zur Bestimmung von J 2 : Startwert: J 0 = =150 Iteration 1: Iteration 2: p 150 =5750, p ' 150 =3025 J 1 = =148,10 p 148,10 =6,8680, p ' 148,10 =3014,2 J 2 =148,10 6, ,2 =148,0977 Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
46 2.4 Hauptachsen Iteration 3: p 148,0997 =2, Ergebnis: J 2 =148,10 Polynomdivision: J 3 450,00 J J : J 148,10 = J 2 301,9 J 19763,61 J 3 148,10 J 2 301,90 J ,00 J 301,90 J ,39 J 19764,61 J , ,61 J ,6 9,4 0 Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
47 2.4 Hauptachsen Berechnung von J 1 und J 3 : J 1/ 3 =150,95± 150, ,61=150,95± 3022,2925 J 1 =95,97, J 3 =205,93 Hauptachse zu J 1 : J S J 1 I b 1 =0 [ , ,97 10 b ,97][b1 b 1 ]=[ 0 0 [ 4,03 0] 20 5 b ,03 10 b ,03][ 1 b 1 ]=[ 0 0 0] Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
48 2.4 Hauptachsen Da die Determinante dieses Gleichungssystems Null ist, ist z.b. die 3. Gleichung eine ombination der ersten beiden Gleichungen. Die Hauptachsenrichtung kann aus den ersten beiden Gleichungen ermittelt werden: 4,03 b 1 20 b 1 5 b 1 = b 1 104,03 b 1 10 b 1 = ,94 b 1 64,03 b 1 = 0 b 1 = 64,03 11,94 b 1 = 5,3626 b 1 Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
49 2.4 Hauptachsen Aus der zweiten Gleichung folgt: b 1 = b 1 104,03b 1 =0,3223b 1 b 1η wird so gewählt, dass b 1 die Länge 1 hat: b 1 =b 1 5, , =5,4646 b 1 =1 b 1 =0,183 Für die anderen beiden omponenten folgt dann: b 1 = 0,981, b 1 =0,059 Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
50 2.4 Hauptachsen Die Berechnung der Hauptachsen zu J 2 und J 3 erfolgt auf die gleiche Weise. Ergebnis: b 1 = 0,981 b 0,183 b 0,059 b b 2 = 0,020 b 0,197 b 0,980 b b 3 = 0,191 b 0,963 b 0,189 b Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik
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