Das Trägheitsmoment und der Satz von Steiner

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Victor Sommer
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1 Übungen zu Theoretische Physik I - echanik im Sommersemester 3 Batt 9 vom Abgabe:.7. Aufgabe 38 Punkte Das Trägheitsmoment und der Satz von Steiner Berechnen Sie das Trägheitsmoment eines Zyinders um seine Symmetrieachse. Der Zyinder habe den Radius R und die asse. Benutzen Sie dann den Satz von Steiner um das Trägheitsmoment um eine Achse zu berechnen weche parae zur Symmetrieachse in einem Abstand r veräuft. Das Trägheitsmoment entang der Symmetrieachse beträgt I A = ρ x + y = ρ R r 3 dr Das Trägheitsmoment entang der zweiten Achse beträgt π = I B = I A + r = R + r R 4 πr 4 π = R Aufgabe 39 Punkte Zwei Kugen und der Satz von Steiner Nehmen Sie zwei Kugen mit identischem Radius R und geicher homogener Dichteverteiung ρ, weche am Punkt T zusammengekebt sind. Berechnen Sie den gesamten Trägheitstensor reativ zum Schwerpunkt der beiden Kugen am Punkt T. Der Trägheitstensor einer einzenen Kuge reativ zu ihrem Schwerpunkt is aufgrund der Kugesymmetrie Θ ik = I δ ik

2 mit dem Trägheitsmoment I = 5 R Dabei is die asse einer einzenen Kuge. Nun benutzen wir den Satz von Steiner um den Trägheitstensor einer einznen Kuge reativ zum Punkt T zu berechnen. T ist um den Vektor R =, R, entang der x Achse verschoben. Θ = Θ 33 = I + R δ ik R R = I + R Θ = I + R δ ik R R = I Ae nicht-diagonaen Eemente verschwinden. Für das Gesamtsystem addieren wir nurnoch die beiden Tensoren. Aufgabe 4 Dünne Scheibe Berechnen Sie den Trägheitstensor für eine dünne, homogene Scheibe mit Radius R und asse. Nehmen Sie dabei an, dass sich der Drehpunkt in der itte der Scheibe befindet und dass die z-achse mit der Symmetrieachse der Scheibe übereinstimmt. Die asseverteiung der Scheibe ist gegeben durch { ρ x, y, z = πr δ z wenn x + y R sonst Dabei ist die Deta-Distribution durch fogenden Zusammenhang definiert δzfz = f Θ ij = δij x x i x j dm = δij x x i x j ρ x d 3 x V Θ zz = Θ xx = π π = 4 R R R + + Θ yy = Θ xx aus Symmetriegründen Θ xy = Θ yx = Θ xz = Θ zx = π π π R R R πr δ z r + z zz = π πr R πr δ z r + z r cos ϕ = πr Θ yz = Θ zy = 4 R Θ = 4 R R δ z r sin ϕ r cos ϕ = πr δ z r cos ϕ z = πr δ z r sin ϕ z = πr r 3 dr = π R 4 πr 4 = R π sin ϕ R r 3 dr = π R 4 πr 4

3 Aufgabe 4 Rotierender, gewinketer Stab Ein dünner homogener Stab der Länge und der Gesamtmasse m ist bei seiner itte C um einen Winke Φ = 3π/4 abgewinket. Der Stab drehe sich mit konstanter Winkegeschwindigkeit ω um die vertikae Achse siehe Abbidung. Ein Ende des Stabes ist in einem Lager befestigt A. an nehme an, dass sich der Drehpunkt im Ursprung des Koordinatensystems befinde und dass ω = ω e z. Wähen Sie die e y Achse so, dass sich der Stab im körperfesten System kompett in der e y, e z Ebene befindet. a Bestimmen Sie die fogenden drei Komponenten des Trägheitstensors Θ xz, Θ yz, und Θ zz. Führen Sie dazu fogende Parametrisierung ein z = t, x = y = unterhab von C, z = t, x =, y = t oberhab von C t [, [ unterhab von C, t [, + / [ oberhab von C benutzen Sie dann Wegintegrae um die Komponenten zu berechnen. b Auf den Stab wirkt ein Drehmoment N reativ zu dem Lager A. Bestimmen Sie dies as eine Funktion der Θ ij. Benutzen Sie dazu die Vektoridentität a b c = b a c c a b zum Vereinfachen der Rechnung. Sie müssen keine konkreten Werte für die Θ ij einsetzen. c Bestimmen Sie das Drehmoment weches auf das Lager A wirkt. Benutzen Sie dazu die vektoriee Form der Euergeichungen und transformieren Sie nicht in das System der Hauptachsen. Sie können die Aufgabe ösen ohne den Trägheitstensor expizit anzugeben. a Agemein git: Θ ij = Körper assevertieung: ρ r ds = m ds, δij r x i x j dm = Stab δij r x i x j ρ r ds ds ist ein Längeneement des Stabes it der gegebenen Parametrisierung ergibt sich für das Längeneement: ds = dt unterhab von C, ds = dt oberhab von C. Integrieren nach t gibt +/ / Θ zz = m dt t = m dt t = m Θ yz = Θ zy = m +/ dt t t = [ ] +/ m 3 t3 t = [ m ] [ + = m + 3 ] 4 Θ xz = Θ zx = 3

4 b Für das Drehmoment git N = r F rd 3 r und für die Dichte der Zentripetakraft erät man F r = ρ r ω ω r = ρ r ω r ω ρ r ω r. 3 Durch Einsetzen fogt N = ρ r ω r r ω d 3 r 4 it ω = ω e z ergibt sich N = ω ρ r z r e z d 3 r 5 = ω ρ r zy d 3 r ω ω Θ yz ρ r zx d 3 r = ω Θ xz = ω Θ yz e x 6 c Der Drehpunkt des Stabes befindet sich in A, das heisst der Drehpunkt ist im IS in Ruhe L = Θ ω = d Θ ω = d Θ ω + ω Θ ω dt dt IS KS d Θ ω d = da dt dt ω = = ω Θ ω KS x Θ xz ω Θ yz ω [ y = Θ yz ω = Θ xz ω = ω m + 3 ] 4 z ω Θ zz ω Aufgabe 4 Trägheitstensor und kinetische Energie Betrachten Sie einen homogenen, rechteckigen Stab mit den Dimensionen x, y, z und der asse. Nehmen Sie an, dass der Stab im körperfesten Bezugssystem parae zu den kartesischen Koordinatenachsen e x, e y, e z in fogender Form ausgerichtet ist x x, y y, z z, 7 a Berechnen Sie ae Komponenten des Trägheitstensors Θ ij durch expizite Integration. b Betrachten Sie die Drehung des Stabes um den Ursprung x =,, eines Inertiasystems mit der Winkegeschwindigkeit ω = ω, ω, ω. Dabei sei das Inertiasystem so gewäht, dass es zu einem bestimmten Zeitpunkt t mit dem körperfesten System übereinstimmt und der Ursprung des körperfesten Systems bei der Drehung fest im Inertiasystem beibt. Berechnen Sie die kinetische Energie bei dieser Drehung. a Wir erhaten für den Trägheitstensor Θ ij = δij x x i x j dm = Für einen homogenen Stab git ρ = V δij x x i x j ρ x d 3 x 8 x y z 9 4

5 Daraus erhaten wir x Θ xx = ρ Θ yy = ρ Θ zz = ρ x x y Θ xy = Θ yx = ρ Θ xz = Θ zx = ρ Θ yz = Θ zy = ρ y y x x x z z z y y y y + z = 3 x + z = 3 x + y = 3 z z z y + z x + z x + y xy = 4 x y 3 xz = 4 x z 4 yz = 4 y z 5 b T = ω Θ ω mit 3 y + z 4 x y 4 x z Θ = 4 x y 3 x + z 4 y z 4 x z 4 6 y z 3 x + y = ω 3 x + 3 y + 3 z x y x y x y 7 5

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