8.1 Lösung der Laplace-Gleichung durch Separation der Variablen

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1 8 Methoen zur Lösung er Lapace-Geichung Gesucht: Lösung er Lapace-Geichung für gegebene Ranbeingungen. Strategie: φ = 0. Ermitte ie Symmetrien er Ranbeingungen. Diese bestimmen as geeignete Koorinatensystem. 2. Drücke en Lapace-Operator in iesen Koorinaten aus. 3. Löse ie Lapace-Geichung unter en gegebenen Ranbeingungen. Zu.: Rechteck-Symmetrie: axiae Symmetrie & transationsinvarianz entang er z-achse: axiae Symmetrie: sphärische Symmetrie: kartesisch zyinrisch sphärisch sphärisch 8. Lösung er Lapace-Geichung urch Separation er Variaben Iee: Transformiere ie partiee Differentiageichung in ein System von gewöhnichen Differentiageichungen Die Symmetrie er Ranbeingungen egt ie Wah er Koorinaten fest. Die agemeine Form es Lapace-Operators autet = i f i q). q i q i Die Methoe er Separation er Variaben ist anwenbar, wenn er Lapace-Operator von er spezieen Form = f i q i ) q i i q i ist. In iesem Fa sucht man ie Lösung er Lapace-Geichung in er Form φq) = Xq ) Y q 2 ) Zq 3 ). Die Lapace-Geichung autet ann φ = XY Z = 0 [ ) f q ) Xq ) X q q + ) f 2 q 2 ) Y q 2 ) Y q 2 q 2 + ) ] f 3 q 3 ) Zq 3 ) Z q 3 q 3 Jeer er Terme in er Summe hängt nur von einer er rei Variaben ab. Daher mußjeer einzene Term konstant sein,.h. ) f q ) Xq ) = C X q q

2 mit Y Z ) f 2 q 2 ) Y q 2 ) = C 2 q 2 q 2 ) f 3 q 3 ) Zq 3 ) = C 3 q 3 q 3 C + C 2 + C 3 = 0. Damit ist ie partiee Differentiageichung in rei gewöhniche Differentiageichungen überführt woren, ie mit Stanarmethoen geöst weren können. 8.2 Lapace-Geichung in Kugekoorinaten Lapace-Operator in Kugekoorinaten: = r 2 r 2 ) + r r r 2 sin ϑ ϑ sin ϑ ) + ϑ r 2 sin 2 ϑ ϕ 2 Wir betrachten zuerst ein System mit azimuthaer Symmetrie Rotationssymmetrie um ie z-achse). In iesem Fa hängt as Potentia nicht von ϕ ab. Wir suchen eine Lösung in er Form Separation er Variaben): φr, ϑ) = fr)p ϑ). Dann iefert φ φ r 2 f ) + f r r sin ϑ r un ϑ sin unabhängige Variaben. ϑ sin ϑ P ) = 0 ϑ Jeer Term in er obigen Summe muß für sich konstant sein. Wähe C r = C ϑ = + ). 2 r 2 f ) r r sin ϑ ϑ sin ϑ P ) ϑ = + )f = + )P Wir betrachten zuerst ie Differentiageichnung für P : Annahme: P ϑ) = P cos ϑ) = P x) sin ϑ ϑ = x In er neuen Variabe x autet ie Differentiageichung für P : [ x x2 ) ] + + ) P x) = 0 x für x. Die Lösungen ieser Differentiageichung sin ie Legenre Poynome P mit positiven ganzzahigen Werten von. Nicht-ganzzahige oer negative Werte von führen zu Lösungen, ie bei x = 0 oer x =.h. ϑ = π oer ϑ = 0) ivergieren.

3 Eigenschaften er Legenre Poynome:. P ) = 2. Parität: P x) = ) P x) 3. erzeugene Funktion: P x) t = 2xt + t 2 t < ) Hieraus erhät man P x) as -te Abeitung er erzeugenen Funktion an er Stee t = 0.) 4. Roriguez Forme P x) = ) 2 x 2 )! x 5. Rekursions Forme P 0 x) =, P x) = x 2n + ) x P n x) = n + )P n+ x) + np n x) 6. Orthogonaität xp x)p m x) = δ m Nun kann man ie Differentiageichung für en raiaen Antei ösen: r 2 f ) = + )f. r r Lösungen sin rationae Funktionen er Form: f r) = A r + B r +. Die agemeine Lösung er Lapace-Geichung bei axiaer Symmetrie er Ranbeingungen autet aso: φr, ϑ) = ) A r + B r + P cos ϑ). Die Koeffizienten A un B sin urch ie Ranbeingungen festgeegt. Spezie: Wenn ein Ran im Unenichen iegt aber keine Laungen im Unenichen): A = 0 for > 0. Wenn er Koorinatenursprung r = 0) innerhab es betrachteten Voumens iegt: B = 0 for a. Nebenbemerkung: Die Terme mit b 0 führen bei r = 0 zu δ-distributionen un ihren Abeitungen. Sie weren uns später wieer bei Lösungen er Poisson-Geichung mit Laungsverteiungen im Enichen begegnen.)

4 Beispie: Metaische Kuge im homogenen eektrischen Fe z R y metaische Kuge Raius R Laung Q = 0 x paziert in einem homogenen eektrischen Fe E = E 0 e z Dies ist ein Probem mit gemischten Ranbeingungen:. Ranbeingung im Enichen: φ =const, wenn r = R 2. Ranbeingung im Unenichen: E = E 0 e z when r R Umwanung in Dirichet-Ranbeingungen: V E 0 r cos ϑ, wenn r R Agemeine Lösung für ieses Probem: φr, ϑ) = Beingung ): für ae ϑ: φr, ϑ) = const = 0 φr, ϑ) = A R + [ A r + B ] r + P cos ϑ) B R + = 0 [ ] A r R2+ r + P cos ϑ) Beingung 2): r R: φr, ϑ) A r P cos ϑ) = E 0 r cos ϑ Beachte: a) P cos ϑ) = cos ϑ un b) ie {P } bien ein VONS A = 0 for A = E 0 Das Potentia ergibt sich aher zu [ ] φr, ϑ) = E 0 r R3 r 2 cos ϑ. Infuenz erzeugt auf er Oberfäche er Kuge eine inhomogene Laungsverteiung, φ σ = ɛ 0 φ n = ɛ 0 R r = 3ɛ 0 E 0 cos ϑ. r=r

5 Das gesamte Potentia äßt sich as Überagerung zweier Teipotentiae schreiben: φr) = φ hom + φ σ, wobei as Potentia es homogenen eektrischen Fees urch φ hom r) = E 0 r cos ϑ gegeben ist, un as Potentia er inuzierten Oberfächenaung E 0 r cos ϑ = φ hom r R) φ σ r) = R E 3 0 r cos ϑ = φ 2 ipo r R). Im Innern er Kuge kompensiert as Potentia er Oberfächenaungen as externe homogene Fe. Im Außenraum er Kuge r R) erzeugt ie Oberfächenaung ein Dipofe er Form φ ipo = E 0 R 3 r 2 = 4πɛ 0 pr r 3. Das äußere Fe inuziert auf er Kuge ein Dipomoment p = 4πɛ 0 E 0 R 3 e z.