Übungen zu Experimentalphysik 1 für MSE

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1 Physik-Department LS für Funktionelle Materialien WS 2014/15 Übungen zu Experimentalphysik 1 für MSE Prof. Dr. Peter Müller-Buschbaum, Dr. Volker Körstgens, Daniel Moseguí González, Pascal Neibecker, Nitin Saxena, Johannes Schlipf Vorlesung , Übungen und Blatt 9 1. Wetterballon Ein Wetterballon mit einer Gesamtmasse (ohne Gas) von m 0 = 1,0 kg kann ein maximales Volumen von V max = 10 m 3 erreichen bevor das Material reißt. Er wird am Boden mit Wasserstoffgas (M H = 2,0 g/mol) gefüllt. Verwenden Sie die barometrische Höhenformel für eine isotherme Atmosphäre mit T = 0 C, p 0 = 1013 hpa und eine mittlere Molmasse für die Luft von M L = 29 g/mol. Betrachten Sie beide Gase als ideal. Das Volumen der Nutzlast kann vernachlässigt werden. a) Berechnen Sie sowohl für Wasserstoff als auch für Luft die Massendichte auf Höhe des Erdbodens. (Hinweis: Verwenden Sie ein Molvolumen von 22,4 l/mol) Das Molvolumen unter gegebenen Bedingungen lässt sich aus dem Idealen Gas - Gesetz herleiten: pv = nrt Einsetzen von n = 1 ergibt und anschließendes Auflösen nach V führt zu: = RT p Pa m3 8,3145 K = 273 K 1, Pa = 22, m 3 Die Massendichten lassen sich nun aus den Molmassen und dem Molvolumen berechnen: ρ = M V m ol Es ergeben sich schließlich folgende Werte: ρ H = ρ L = 2 g/mol 22, = 0,09 kg/m3 m3 29 g/mol 22, = 1,29 kg/m3 m3 b) Welches Volumen V 0 muss der Ballon am Boden mindestens haben, damit er steigen kann? Um Steigen zu konnen muss die Gewichtskraft der verdrängten Luft mindestens die Summe der Gewichtskräfte aus Leermasse und Wasserstoffgas kompensieren: V B ρ L g = V B ρ H g + m 0 g

2 Auflösen nach dem Ballonvolumen ergibt: V B = m 0 1,0 kg = = 0,83 m3 (ρ L ρ H ) 1,2 kg/m3 Nehmen Sie im Folgenden ein Volumen von V 0 = 1,0 m 3 Wasserstoffgas am Boden an. c) Berechnen Sie Volumen V B und Steigkraft F B des Ballons als Funktion der Höhe. Für eine isotherme Atmosphäre (T = const) gilt: p(h)v(h) = p(0)v(0) Der Druck in der Höhe h ist durch die barometrische Höhenformel gegeben: ( p(h) = p(0) exp ρ ) L(0)gh p(0) Somit ergibt sich für das Volumen einer konstanten Teilchenzahl in Abhängigkeit der Höhe: V(h) = p(0)v(0) ( ) ρl (0)gh = V(0) exp p(h) p(0) Wir definieren die Konstante h 0 : h 0 = p(0) ρ L (0)g = 1, Pa 1,29 kg/m 3 = 8,00 km 9,81 m/s2 Das Volumen des Ballons als Funktion der Höhe lässt sich somit wie folgt schreiben: ( ) h V(h) = V(0) exp Die Steigkraft ergibt sich als Differenz der Auftriebskraft und der Gewichtskraft (der Leermasse und des Wasserstoffs): F S (h) = F A (h) F G (h) = ρ L (h)v(h)g (m B + ρ H (h)v(h))g Für die Dichten von Luft und Wasserstoff als Funktion der Höhe ergibt sich: ) ρ L (h) = ρ L (0) exp ( hh0 h 0 ) ρ H (h) = ρ H (0) exp ( hh0 Durch Einsetzen der höhenabhängigen Gasdichten und des höhenabhängigen Ballonvolumens erhält man für die Steigkraft: F S (h) = [V(0)(ρ L (0) ρ H (0)) m B ]g F S (h) = (m L m H m B )g Es ergibt sich somit eine Steigkraft, die unabhängig von der Höhe des Ballons ist 2

3 d) In welcher Höhe h max erreicht der Ballon sein maximal mögliches Volumen? Die maximale Höhe h max erreicht der Ballon dann, wenn er sich bis auf sein maximal mögliches Volumen V max ausgedehnt hat. ( ) hmax V max = V(0) exp Auflösen nach der Höhe h max und anschließendes Einsetzen der Größen führt zu: ( ) Vmax h max = h 0 ln = 18 km V 0 h 0 3

4 2. Blutkapillaren Das menschliche Blut strömt aus dem Herzen in die Aorta. Diese verzweigt sich weiter in die großen Arterien, Arteriolen und schließlich in viele kleine Kapillaren. Anschließend fließt das Blut durch die Venen zum Herzen zurück. Die Aorta hat einen typischen Durchmesser von d A = 2,5 cm und transportiert einen Blutfluss von V = 5 dm 3 /min. Eine typische Kapillare hat einen Durchmesser von d K = m und das Blut fließt darin mit einer Geschwindigkeit von ca. v K = 0,5 mm/s. a) Bestimmen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit v A, mit der das Blut durch die Aorta fließt. V = A l = Avt = d2 π 4 vt = V = d2 π 4 v v A = 4 πd 2 V = 0,17 m/s b) Schätzen Sie anhand der Angaben ab, wie viele Kapillaren es im menschlichen Körper gibt! A A ist die Querschnittsfläche der Aorta und A K die aller Kapillaren, durch die Blut fließt: A K = NπrK 2 = Nπd2 K /4, wobei N die Zahl der Kapillaren ist. Die Kontinuitätsgleichung liefert v A A A = v K A K = v A πd 2 A /4 = v K Nπd 2 K /4 N = v Ad 2 A v K d 2 K = 5, = 5,9 Milliarden 4

5 3. Feuerwehrübung Feuerwehrleute der Werkfeuerwehr der TU München halten einen um ϕ = 90 gebogenen Schlauch. Das Ende des Schlauchs verläuft zunächst horizontal. Das Wetter ist sonnig und der Luftdruck beträgt p L = 970 hpa. Das Wasser trete in einem Strahl mit der Geschwindigkeit v = 20,0 m/s und dem Durchmesser d = 3,00 cm aus der Düse aus. Der Schlauch habe einen Durchmesser von D = 10,0 cm. Die Masse eines Wassermoleküls beträgt m W = 18 u. Für die gesamte Aufgabe vernachlässigen wir Reibungsverluste. a) Wie groß ist die Masse an Wasser m 1 (Dichte ρ W = 1000 kg/m 3 ), die in einer Sekunde aus dem Schlauch austritt? ṁ 1 = ρ V = ρ A v = 1000 kg m 3 (0,015 m)2 π 20 m s = 14,1 kg s b) Wie hoch ist der Gesamtdruck p, der im Schlauch kurz vor der Austrittsöffnung herrscht. Bernoulli: p ges = p L ρv2 = Pa = 2, Pa 1000 kg m 3 (20 m s )2 c) Wie groß ist der horizontale Impuls p h des pro Sekunde ausgespritzten Wassers? p h = m 1 v = 14,1 kg 20 m s = 282 Ns d) Bevor das Wasser die Krümmung erreicht, hat es einen nach oben gerichteten Impuls. Nach der Krümmung ist der Impuls nach rechts gerichtet. Wir betrachten nun ein einzelnes Wassermolekül im Schlauch. Zeichnen Sie ein Impuls-Diagramm mit den Impulsvektoren vor und nach ( p 1 bzw. p 2 ) dem Passieren der Schlauchkrümmung sowie mit der Impulsänderung p. In welche Richtung zur Horizontalen muss die Kraft FW auf das Wassermolekül wirken? Bestimmen Sie den Betrag dieser Kraft F W. 5

6 Geschwindigkeit des Wassermoleküls ändert sich nicht: p ist 45 C nach unten gerichtet. p 1 = m v Kontinuitätsgleichung: A Düse v = A Schlauch v W v W = d2 π4 4D 2 π v = 3 cm2 10 cm 2 20 m s = 1,8 m s p 1 = m v = 18 1, kg 1,8 m s = 5, Ns p = 2 p 1 = 7, Ns t = m W ṁ 1 F = p t = 7, Ns m 1 m W T = 35,9 N = 7, Ns 14,1 kg 18 1, kg 1 s e) Für die Praxis ist es wichtig, wie hoch man mit dem Feuerwehrschlauch spritzen kann, wenn der Winkel ϕ geeignet variiert wird. Bestimmen Sie die maximale Höhe H, die das Wasser unter gegebenen Bedingungen nach dem Austritt aus der Düse erreichen kann. Maximale Höhe: senkrecht nach oben φ = 180 C Kinetische Energie bei Austritt = potentielle Energie: 1 2 mv2 = mgh h = v2 2g = (20 m s )2 2 9,81 m s 2 = 20,4 m 6

7 4. Fahrbares Wasserfass Auf einem ruhenden Wagen steht ein zylindrisches Gefäß, das bis zu einer Höhe h = 1,00 m mit Wasser gefüllt ist (ρ W = 1,00 kg/dm 3 ). Im Gefäß sind an gegenüberliegenden Seiten zwei gleiche Ventile mit Öffnungen von je A = 1,00 cm 2 Querschnittsfläche angebracht. Diese Flächen seien viel kleiner als die Oberfläche des Wassers im Fass. Ein Ventil befindet sich in der Höhe h 1 = 0,800 m, das andere in der Höhe h 2 = 0,250 m. Der Boden des Fasses befindet sich im Abstand d = 0,200 m über dem Boden. Nehmen Sie an, dass sich das gesamte System vor dem Öffnen der beiden Ventile in Ruhe befindet. a) Berechnen Sie den Druck p 0 am Gefäßboden. Der Luftdruck betrage p L = 1,01 bar. Bodendruck = Luftdruck + Schweredruck p 0 = p L + ρ g h = 1,01 bar kg/m 3 9,81 m/s 2 1 m = 1, Pa = 1,11 bar Beide Ventile werden nun gleichzeitig geöffnet. b) Leiten Sie die Ausdrücke für die Ausströmgeschwindigkeiten v 1 und v 2 in Abhängigkeit der gegebenen Größen her und berechnen Sie v 1 und v 2. Bernoulli-Gleichung mit Bezugspunkten Ausfluss 1 und Wasseroberfläche 0 1 / 2 ρ v ρ g h 1 = 1 2 / 2 ρ v }{{} 0 +ρ g h 0 1 / ρ 2 v2 1 + ρ g h 1 = 1 / ρ 2 v 0 }{{} 2 + ρ g h 0 Oberfläche Wasser A = v 0 v 1 = v 1 = 2 g(h h 1 ) = 1,98 m/s = v 2 = 2 g(h h 2 ) = 3,84 m/s c) Leiten Sie her, mit welcher Kraft F der Wagen festgehalten werden muss, wenn Reibungseffekte keine Rolle spielen und bestimmen Sie den Zahlenwert. Schub des ausströmenden Wassers: F = d konst. dt (m v) = ṁ {}}{ v = ρ V v = ρ V {}}{ A v v = ρ A v 2 F 1 = ρ A v 2 1 = 0,39 N F 2 = ρ A v 2 2 = 1,47 N nach rechts nach links = F = 1,08 N ex Um den Wagen fest zu halten, muss eine Kraft von 1,08 N nach links wirken. 7

8 d) Leiten Sie den formelmäßigen Zusammenhang zwischen den angegebenen Größen und den horizontalen Entfernungen s 1 und s 2 ab, die zwischen den jeweiligen Ausströmöffnungen und dem Ort liegen, an denen die Wasserstrahlen auf den Boden treffen. Berechnen Sie die Zahlenwerte für s 1 und s 2. Horizontaler Wurf: x-komponente: v x = konst., a x = 0: s 1 (t) = x v 1 t / 2 a t 2 = v 1 t y-komponente: v y0 = 0, a y = g, y 0 = d + h 1 : y 1 (t) = d + h 1 + v 0 y0 t 1 / 2 g t 2 Auftreffen am Boden: y 1 (t) = 0 d + h 1 = 1 / 2 g t 2 = t = Einsetzen in s 1 : 2 d+h 1 g s 1 (Auftreffen) = v 1 2 d + h 1 g = 0,89 m Analog für s 2 : s 2 (Auftreffen) = v 2 2 d + h 2 g = 1,16 m (jeweils von der Austrittsöffnung gemessen) 8

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