Newton-Verfahren zur optimalen Steuerung nichtlinearer elliptischer Randwertaufgaben

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1 Newton-Verfahren zur optimalen Steuerung nichtlinearer elliptischer Randwertaufgaben Patrick Knapp Berichtseminar zur Bachelorarbeit Universität Konstanz

2 Einleitung Aufgabenstellung min J(y, u) := 1 2 u.d.n: Ω y y d 2 dx } {{ } =:J 1 (y) k(x) y(x) + a(x)y(x) + y 3 (x) = + γ 2 u 2 2 }{{} =:J 2 (u) m u i b i (x) i=1 für x Ω y(x) = 0 für x Ω

3 Einleitung Aufgabenstellung min J(y, u) := 1 2 u.d.n: Ω y y d 2 dx } {{ } =:J 1 (y) k(x) y(x) + a(x)y(x) + y 3 (x) = + γ 2 u 2 2 }{{} =:J 2 (u) m u i b i (x) i=1 für x Ω y(x) = 0 für x Ω Zustand y : Ω R Steuerung u = (u 1,..., u m ) T R m

4 Einleitung Aufgabenstellung min J(y, u) := 1 2 u.d.n: Ω y y d 2 dx } {{ } =:J 1 (y) k(x) y(x) + a(x)y(x) + y 3 (x) = + γ 2 u 2 2 }{{} =:J 2 (u) m u i b i (x) i=1 für x Ω y(x) = 0 für x Ω Zustand y : Ω R Steuerung u = (u 1,..., u m ) T R m Ω = (ω 0, ω 1 ) 2 R 2 y d : Ω R k : Ω R + a : Ω R 0 control shapes b i : Ω R b i = χ Ωi (x)

5 Einleitung Gliederung Diskretisierung des Problems Vorbereitungen zur Optimierung Optimierung und Numerischen Ergebnisse

6 Diskretisierung der Differentialgleichung

7 Diskretisierung der Differentialgleichung Diskretisierung mit Finite-Differenzen-Methode

8 Diskretisierung der Differentialgleichung Diskretisierung mit Finite-Differenzen-Methode Gitter Ω h = {(ω 0 + ih, ω 0 + jh) i, j {0,..., l + 1}}

9 Diskretisierung der Differentialgleichung Diskretisierung mit Finite-Differenzen-Methode Gitter Ω h = {(ω 0 + ih, ω 0 + jh) i, j {0,..., l + 1}} äussere Gitterpunkte Ω A h := {x Ω h Ω} y(x) = 0

10 Diskretisierung der Differentialgleichung Diskretisierung mit Finite-Differenzen-Methode Gitter Ω h = {(ω 0 + ih, ω 0 + jh) i, j {0,..., l + 1}} äussere Gitterpunkte Ω A h := {x Ω h Ω} y(x) = 0 innere Gitterpunkte Ω I h := {x Ω h \ Ω} k(x) y(x) + a(x)y(x) + y 3 (x) = m u i b i (x) i=1

11 Diskretisierung der Differentialgleichung Diskretisierung mit Finite-Differenzen-Methode Gitter Ω h = {(ω 0 + ih, ω 0 + jh) i, j {0,..., l + 1}} äussere Gitterpunkte Ω A h := {x Ω h Ω} y(x) = 0 innere Gitterpunkte Ω I h := {x Ω h \ Ω} k(x) y(x) + a(x)y(x) + y 3 (x) = m u i b i (x) i=1 Gittervektor x := (x 1,..., x n ) T

12 Diskretisierung der Differentialgleichung Taylor-Formel für f C 4 ([s h, s + h], R) f (s ± h) = f (s) ± hf (s) + h2 2 f (s) ± h3 6 f (3) (s) + O(h 4 ) f (s) = 1 h 2 [f (s h) + f (s + h) 2f (s)] + O(h2 )

13 Diskretisierung der Differentialgleichung Taylor-Formel für f C 4 ([s h, s + h], R) f (s ± h) = f (s) ± hf (s) + h2 2 f (s) ± h3 6 f (3) (s) + O(h 4 ) f (s) = 1 h 2 [f (s h) + f (s + h) 2f (s)] + O(h2 ) y(x) = y(x 1, x 2 ) = 2 y(x x1 2 1, x 2 ) + 2 y(x x2 2 1, x 2 ) = 1 h 2 [y(x 1 h, x 2 ) + y(x 1 + h, x 2 ) + y(x 1, x 2 h) +y(x 1, x 2 + h) 4y(x 1, x 2 )] + O(h 2 )

14 Diskretisierung der Differentialgleichung Approximation[ der Differenzialgleichung ] m 4 u i b i (x j ) = h 2 k j + a j y j 1 [ h 2 k j i=1 y [2] j + y [0] j + y [3] j + y [1] j } {{ } linear in y j + y 3 j }{{} nichtlinear ]

15 Diskretisierung der Differentialgleichung Approximation[ der Differenzialgleichung ] m 4 u i b i (x j ) = h 2 k j + a j y j 1 [ h 2 k j i=1 y [2] j + y [0] j + y [3] j + y [1] j } {{ } linear in y j + y 3 j }{{} nichtlinear Gleichungssystem Bu = Ay + H(y) ]

16 Diskretisierung der Differentialgleichung Approximation[ der Differenzialgleichung ] m 4 u i b i (x j ) = h 2 k j + a j y j 1 [ h 2 k j i=1 y [2] j + y [0] j + y [3] j + y [1] j } {{ } linear in y j + y 3 j }{{} nichtlinear Gleichungssystem Bu = Ay + H(y) nichtlineares Gleichungssystem, lösen mit Newton-Verfahren ]

17 Diskretisierung des Zielfunktionals J(y, u) = 1 2 Ω y y d 2 dx } {{ } J 1 (y) + γ 2 u 2 2 }{{} J 2 (u)

18 Diskretisierung des Zielfunktionals J(y, u) = 1 2 Ω y y d 2 dx } {{ } J 1 (y) + γ 2 u 2 2 }{{} J 2 (u) zusammengesetzten Trapezregel für f C 2 ([ω 0, ω 1 ], R) ω 1 ω 1 ω 0 f (x)dx = 1 l f (ω 0) + 1 l 2 f (ω 1) + f (x j ) +O(h 2 ) ω 0 j=1

19 Diskretisierung des Zielfunktionals J(y, u) = 1 2 Ω y y d 2 dx } {{ } J 1 (y) + γ 2 u 2 2 }{{} J 2 (u) zusammengesetzten Trapezregel für f C 2 ([ω 0, ω 1 ], R) ω 1 ω 1 ω 0 f (x)dx = 1 l f (ω 0) + 1 l 2 f (ω 1) + f (x j ) +O(h 2 ) ω 0 j=1 J 1 (y) = 1 (ω 1 ω 0 ) 2 2 (l + 1) }{{ 2 r + (y y d ) T (y y d ) + O(h 2 ) }{{}} innere Gitterpunkte =:λ

20 Diskretisierung des Zielfunktionals J(y, u) = 1 2 Ω y y d 2 dx } {{ } J 1 (y) + γ 2 u 2 2 }{{} J 2 (u) zusammengesetzten Trapezregel für f C 2 ([ω 0, ω 1 ], R) ω 1 ω 1 ω 0 f (x)dx = 1 l f (ω 0) + 1 l 2 f (ω 1) + f (x j ) +O(h 2 ) ω 0 j=1 J 1 (y) = 1 (ω 1 ω 0 ) 2 2 (l + 1) }{{ 2 r + (y y d ) T (y y d ) + O(h 2 ) }{{}} innere Gitterpunkte =:λ J(y, u) = λ [ 2 r + (y yd ) T (y y d ) ] + γ 2 ut u

21 Vorbereitungen zur Optimierung Reduktion des Problems e(y, u) := Ay + H(y) Bu

22 Vorbereitungen zur Optimierung Reduktion des Problems e(y, u) := Ay + H(y) Bu u y(u) mit e(y(u), u) = 0

23 Vorbereitungen zur Optimierung Reduktion des Problems e(y, u) := Ay + H(y) Bu u y(u) mit e(y(u), u) = 0 definieren Funktion f : R n R zu festem u R m f (y) := 1 2 y T Ãy + 1 n 1 yj 4 y T Bu 4 k j j=1

24 Vorbereitungen zur Optimierung Reduktion des Problems e(y, u) := Ay + H(y) Bu u y(u) mit e(y(u), u) = 0 definieren Funktion f : R n R zu festem u R m f (y) := 1 2 y T Ãy + 1 n 1 yj 4 y T Bu 4 k j j=1 f (y) = Ãy + H(y) Bu = e(y, u) im Minimum gilt e(y, u) = f (y) = 0

25 Vorbereitungen zur Optimierung Reduktion des Problems e(y, u) := Ay + H(y) Bu u y(u) mit e(y(u), u) = 0 definieren Funktion f : R n R zu festem u R m f (y) := 1 2 y T Ãy + 1 n 1 yj 4 y T Bu 4 k j j=1 f (y) = Ãy + H(y) Bu = e(y, u) im Minimum gilt e(y, u) = f (y) = 0 2 f (y) = Ã + H (y) f ist gleichmäßig konvex

26 Vorbereitungen zur Optimierung Reduktion des Problems e(y, u) := Ay + H(y) Bu u y(u) mit e(y(u), u) = 0 definieren Funktion f : R n R zu festem u R m f (y) := 1 2 y T Ãy + 1 n 1 yj 4 y T Bu 4 k j j=1 f (y) = Ãy + H(y) Bu = e(y, u) im Minimum gilt e(y, u) = f (y) = 0 2 f (y) = Ã + H (y) f ist gleichmäßig konvex min f (y) hat genau eine Lösung u y(u) mit e(y(u), u) = 0 ist eindeutig

27 Vorbereitungen zur Optimierung Reduktion des Problems e(y, u) := Ay + H(y) Bu u y(u) mit e(y(u), u) = 0 definieren Funktion f : R n R zu festem u R m f (y) := 1 2 y T Ãy + 1 n 1 yj 4 y T Bu 4 k j f (y) = Ãy + H(y) Bu = e(y, u) im Minimum gilt e(y, u) = f (y) = 0 2 f (y) = Ã + H (y) f ist gleichmäßig konvex min f (y) hat genau eine Lösung u y(u) mit e(y(u), u) = 0 ist eindeutig reduziertes Problem min Ĵ(u) mit Ĵ(u) := J(y(u), u) = λ [ ] r + (y(u) y d ) T (y(u) y d ) + γ 2 2 ut u j=1

28 Vorbereitungen zur Optimierung Berechnung der Ableitungen Richtungsableitung Ĵ (u)u δ = y J(y(u), u), y (u)u δ R n + u J(y(u), u), u δ R m

29 Vorbereitungen zur Optimierung Berechnung der Ableitungen Richtungsableitung Ĵ (u)u δ = y J(y(u), u), y (u)u δ R n + u J(y(u), u), u δ R m Ableiten der Nebenbedingung e y (y(u), u)y (u)u δ + e u (y(u), u)u δ = 0

30 Vorbereitungen zur Optimierung Berechnung der Ableitungen Richtungsableitung Ĵ (u)u δ = y J(y(u), u), y (u)u δ R n + u J(y(u), u), u δ R m Ableiten der Nebenbedingung e y (y(u), u)y (u)u δ + e u (y(u), u)u δ = 0 reduzierter Gradient Ĵ(u) = u J(y(u), u) + e u (y(u), u) T p duale Gleichung e y (y(u), u) T p = y J(y(u), u)

31 Vorbereitungen zur Optimierung Berechnung der Ableitungen zweite Richtungsableitung Ĵ (u)(u δ, v δ ) = [Q T ( yy J(y(u), u) + n i=1 + uu J(y(u), u)u δ, v δ R m e y (y(u), u)q = e u (y(u), u) [p] i yy [e(y(u), u)] i ) Q]u δ, v δ R m

32 Vorbereitungen zur Optimierung Berechnung der Ableitungen zweite Richtungsableitung Ĵ (u)(u δ, v δ ) = [Q T ( yy J(y(u), u) + n i=1 + uu J(y(u), u)u δ, v δ R m e y (y(u), u)q = e u (y(u), u) Lagrangefunktion z := (y, u) L(z, p) := J(z) + p T e(z) [p] i yy [e(y(u), u)] i ) Q]u δ, v δ R m

33 Vorbereitungen zur Optimierung Berechnung der Ableitungen zweite Richtungsableitung Ĵ (u)(u δ, v δ ) = [Q T ( yy J(y(u), u) + n i=1 + uu J(y(u), u)u δ, v δ R m e y (y(u), u)q = e u (y(u), u) Lagrangefunktion z := (y, u) L(z, p) := J(z) + p T e(z) [p] i yy [e(y(u), u)] i ) Q]u δ, v δ R m yy J(z) + n [p] i yy [e(z)] i 0 i=1 zz L(z, p) = 0 uu J(z)

34 Vorbereitungen zur Optimierung Berechnung der Ableitungen ( Q T (y, u) := I m T (z)v δ Kern(e (z)) ) ( ey (y, u) = 1 e u (y, u) I m ) R (n+m) m

35 Vorbereitungen zur Optimierung Berechnung der Ableitungen ( Q T (y, u) := I m T (z)v δ Kern(e (z)) ) ( ey (y, u) = 1 e u (y, u) I m ) R (n+m) m Ĵ (u) = T (y(u), u) T zz L(y(u), u, p) T (y(u), u)

36 Vorbereitungen zur Optimierung Berechnung der Ableitungen ( Q T (y, u) := I m T (z)v δ Kern(e (z)) ) ( ey (y, u) = 1 e u (y, u) I m ) R (n+m) m Ĵ (u) = T (y(u), u) T zz L(y(u), u, p) T (y(u), u) zz L(z, p) = yy J(z) + η n [p] i yy [e(z)] i 0 i=1 0 uu J(z)

37 Optimierung und Numerischen Ergebnisse

38 Optimierung und Numerischen Ergebnisse

39 Optimierung und Numerischen Ergebnisse

40 Optimierung und Numerischen Ergebnisse