Formale Systeme. Prädikatenlogik 2. Stufe. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2009/2010 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK

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1 Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2009/2010 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK KIT University of the State of Baden-Württemberg and National Large-scale Research Center of the Helmholtz Association

2 Syntax der Logische Zeichen: Wie in der PL1: (, ),. =,,,,,,,. Variable: Var = Ivar Mvar (disjunkt) Ivar: Individuenvariable v 0, v 1,... Notation: x, y, z,... Mvar: Mengenvariable oder einstellige Prädikatvariable M 0, M 1,... Notation: X, Y, Z,... Signatur Σ = (F Σ, P Σ, α Σ ) wie in PL1 Terme Term Σ wie in PL1 Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 2/11

3 Syntax der Logische Zeichen: Wie in der PL1: (, ),. =,,,,,,,. Variable: Var = Ivar Mvar (disjunkt) Ivar: Individuenvariable v 0, v 1,... Notation: x, y, z,... Mvar: Mengenvariable oder einstellige Prädikatvariable M 0, M 1,... Notation: X, Y, Z,... Signatur Σ = (F Σ, P Σ, α Σ ) wie in PL1 Terme Term Σ wie in PL1 Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 2/11

4 Syntax der Logische Zeichen: Wie in der PL1: (, ),. =,,,,,,,. Variable: Var = Ivar Mvar (disjunkt) Ivar: Individuenvariable v 0, v 1,... Notation: x, y, z,... Mvar: Mengenvariable oder einstellige Prädikatvariable M 0, M 1,... Notation: X, Y, Z,... Signatur Σ = (F Σ, P Σ, α Σ ) wie in PL1 Terme Term Σ wie in PL1 Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 2/11

5 Syntax der (Forts.) atomare Formeln: s. = t für Terme s, t p(t 1,..., t n ) für p P Σ, α Σ (p) = n, t i Term Σ X(t) für Mengenvariable X und Terme t Formeln ForΣ 2 enthält genau alle atomaren Formeln 1, 0 mit A, B ForΣ 2, x Ivar, X Mvar auch: A, (A B), (A B), (A B), (A B), xa, xa, XA, XA Die Begriffe freie Variable, gebundene Variable, Substitution, kollisionsfreie Substitution, Präfix, Allabschluß, Existenzabschluß u.ä. werden entsprechend der PL1 gebildet. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 3/11

6 Syntax der (Forts.) atomare Formeln: s. = t für Terme s, t p(t 1,..., t n ) für p P Σ, α Σ (p) = n, t i Term Σ X(t) für Mengenvariable X und Terme t Formeln ForΣ 2 enthält genau alle atomaren Formeln 1, 0 mit A, B ForΣ 2, x Ivar, X Mvar auch: A, (A B), (A B), (A B), (A B), xa, xa, XA, XA Die Begriffe freie Variable, gebundene Variable, Substitution, kollisionsfreie Substitution, Präfix, Allabschluß, Existenzabschluß u.ä. werden entsprechend der PL1 gebildet. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 3/11

7 Syntax der (Forts.) atomare Formeln: s. = t für Terme s, t p(t 1,..., t n ) für p P Σ, α Σ (p) = n, t i Term Σ X(t) für Mengenvariable X und Terme t Formeln ForΣ 2 enthält genau alle atomaren Formeln 1, 0 mit A, B ForΣ 2, x Ivar, X Mvar auch: A, (A B), (A B), (A B), (A B), xa, xa, XA, XA Die Begriffe freie Variable, gebundene Variable, Substitution, kollisionsfreie Substitution, Präfix, Allabschluß, Existenzabschluß u.ä. werden entsprechend der PL1 gebildet. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 3/11

8 Syntax der (Forts.) atomare Formeln: s. = t für Terme s, t p(t 1,..., t n ) für p P Σ, α Σ (p) = n, t i Term Σ X(t) für Mengenvariable X und Terme t Formeln ForΣ 2 enthält genau alle atomaren Formeln 1, 0 mit A, B ForΣ 2, x Ivar, X Mvar auch: A, (A B), (A B), (A B), (A B), xa, xa, XA, XA Die Begriffe freie Variable, gebundene Variable, Substitution, kollisionsfreie Substitution, Präfix, Allabschluß, Existenzabschluß u.ä. werden entsprechend der PL1 gebildet. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 3/11

9 Semantik der Prädikatenlogik 2. Stufe Zu einer Interpretation D = (D, I) sind Belegungen β : Ivar D und γ : Mvar P(D) zu betrachten (P(D): Potenzmenge von D). Auswertung von Formeln: val D,β,γ (X(t)) = W val D,β,γ (t) γ(x) val D,β,γ ( XA) = W für jedes M D gilt val D,β,γ M (A) = W X val D,β,γ ( XA) = W es gibt ein M D mit val D,β,γ M X (A) = W Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 4/11

10 Semantik der Prädikatenlogik 2. Stufe Zu einer Interpretation D = (D, I) sind Belegungen β : Ivar D und γ : Mvar P(D) zu betrachten (P(D): Potenzmenge von D). Auswertung von Formeln: val D,β,γ (X(t)) = W val D,β,γ (t) γ(x) val D,β,γ ( XA) = W für jedes M D gilt val D,β,γ M (A) = W X val D,β,γ ( XA) = W es gibt ein M D mit val D,β,γ M X (A) = W Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 4/11

11 Semantik der Prädikatenlogik 2. Stufe Zu einer Interpretation D = (D, I) sind Belegungen β : Ivar D und γ : Mvar P(D) zu betrachten (P(D): Potenzmenge von D). Auswertung von Formeln: val D,β,γ (X(t)) = W val D,β,γ (t) γ(x) val D,β,γ ( XA) = W für jedes M D gilt val D,β,γ M (A) = W X val D,β,γ ( XA) = W es gibt ein M D mit val D,β,γ M X (A) = W Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 4/11

12 Semantik der Prädikatenlogik 2. Stufe Zu einer Interpretation D = (D, I) sind Belegungen β : Ivar D und γ : Mvar P(D) zu betrachten (P(D): Potenzmenge von D). Auswertung von Formeln: val D,β,γ (X(t)) = W val D,β,γ (t) γ(x) val D,β,γ ( XA) = W für jedes M D gilt val D,β,γ M (A) = W X val D,β,γ ( XA) = W es gibt ein M D mit val D,β,γ M X (A) = W Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 4/11

13 Semantik der Prädikatenlogik 2. Stufe Zu einer Interpretation D = (D, I) sind Belegungen β : Ivar D und γ : Mvar P(D) zu betrachten (P(D): Potenzmenge von D). Auswertung von Formeln: val D,β,γ (X(t)) = W val D,β,γ (t) γ(x) val D,β,γ ( XA) = W für jedes M D gilt val D,β,γ M (A) = W X val D,β,γ ( XA) = W es gibt ein M D mit val D,β,γ M X (A) = W Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 4/11

14 Modellbegriff (D, I) heißt Modell von A : val D,I,β,γ (A) = W für alle β, γ. (D, I) ist Modell einer Formelmenge M : (D, I) ist Modell jeder Formel in M. M = A : Jedes Modell von M ist Modell von A A allgemeingültig : = A A erfüllbar : A ist nicht allgemeingültig. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 5/11

15 Modellbegriff (D, I) heißt Modell von A : val D,I,β,γ (A) = W für alle β, γ. (D, I) ist Modell einer Formelmenge M : (D, I) ist Modell jeder Formel in M. M = A : Jedes Modell von M ist Modell von A A allgemeingültig : = A A erfüllbar : A ist nicht allgemeingültig. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 5/11

16 Modellbegriff (D, I) heißt Modell von A : val D,I,β,γ (A) = W für alle β, γ. (D, I) ist Modell einer Formelmenge M : (D, I) ist Modell jeder Formel in M. M = A : Jedes Modell von M ist Modell von A A allgemeingültig : = A A erfüllbar : A ist nicht allgemeingültig. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 5/11

17 Modellbegriff (D, I) heißt Modell von A : val D,I,β,γ (A) = W für alle β, γ. (D, I) ist Modell einer Formelmenge M : (D, I) ist Modell jeder Formel in M. M = A : Jedes Modell von M ist Modell von A A allgemeingültig : = A A erfüllbar : A ist nicht allgemeingültig. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 5/11

18 Modellbegriff (D, I) heißt Modell von A : val D,I,β,γ (A) = W für alle β, γ. (D, I) ist Modell einer Formelmenge M : (D, I) ist Modell jeder Formel in M. M = A : Jedes Modell von M ist Modell von A A allgemeingültig : = A A erfüllbar : A ist nicht allgemeingültig. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 5/11

19 Beispiele für PL2 Formeln X(X(x) X(y)) Charakterisiert die Gleichheit x. = y. X((X(0) y(x(y) X(s(y)))) yx(y)) Das Induktionsschema der Peanoschen Axiome als Formel. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 6/11

20 Beispiele für PL2 Formeln X(X(x) X(y)) Charakterisiert die Gleichheit x. = y. X((X(0) y(x(y) X(s(y)))) yx(y)) Das Induktionsschema der Peanoschen Axiome als Formel. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 6/11

21 Kompaktheit Theorem Die PL2 ist nicht kompakt. D. h.: Es gibt eine Formelmenge S, so daß jede endliche Teilmenge von S ein Modell hat S selbst aber nicht. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 7/11

22 Kompaktheit Beweis Vokabular Σ = {s, 0, c} S = { X((X(0) y(x(y) X(s(y)))) yx(y))} { (c =. s(... s( 0)...) n 0} }{{} n mal Aus (D, I) = D = X((X(0) y(x(y) X(s(y)))) yx(y)) folgt D = {s n (0) n 0}. Jede endliche Teilmenge der Ungleichungen {c s n (0) n 0} lässt sich noch erfüllen, die ganze Menge aber nicht mehr. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 8/11

23 Kompaktheit Beweis Vokabular Σ = {s, 0, c} S = { X((X(0) y(x(y) X(s(y)))) yx(y))} { (c =. s(... s( 0)...) n 0} }{{} n mal Aus (D, I) = D = X((X(0) y(x(y) X(s(y)))) yx(y)) folgt D = {s n (0) n 0}. Jede endliche Teilmenge der Ungleichungen {c s n (0) n 0} lässt sich noch erfüllen, die ganze Menge aber nicht mehr. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 8/11

24 Kompaktheit Beweis Vokabular Σ = {s, 0, c} S = { X((X(0) y(x(y) X(s(y)))) yx(y))} { (c =. s(... s( 0)...) n 0} }{{} n mal Aus (D, I) = D = X((X(0) y(x(y) X(s(y)))) yx(y)) folgt D = {s n (0) n 0}. Jede endliche Teilmenge der Ungleichungen {c s n (0) n 0} lässt sich noch erfüllen, die ganze Menge aber nicht mehr. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 8/11

25 Axiomatisierbarkeit Theorem Für die kann es keinen korrekten und vollständigen Kalkül geben. Beweis Der Begriff der Ableitbarkeit aus einem Kalkül K ist stets kompakt, d. h.: Aus S K A folgt stets E K A für eine endliche Teilmenge E S. Die Existenz eines korrekten und vollständigen Kalküls stünde also im Widerspruch zu dem Gegenbeispiel zur Kompaktheit von PL2. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 9/11

26 Endlichkeit Mit Quantoren über 2-stellige Relationen kann man auch die Endlichkeit des Grundbereichs durch eine Formel ohne nicht-logische Zeichen ausdrücken. Fin := U (( x yu(x, y) x y z(u(x, y) U(x, z) y =. z) x y z(u(x, z) U(y, z) x =. y)) y xu(x, y)) (D, I) = Fin D ist endlich Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /11

27 Endlichkeit Beweisidee (D, I) endlich Jede injektive Funktion F : D D ist auch surjektiv Für jede Relation R D D gilt: Wenn R der Graph einer injektiven Funktion ist, dann ist diese auch surjektiv. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /11