Eine Menge fasst also einige bereits vorhandene Objekte zu einem neuen Ganzen zusammen. Wir werden nur Mengen betrachten, deren Elemente allesamt

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1 Inhaltsverzeichnis Mengen und Aussagen Die Beweismethoden Funktionen Die reellen Zahlen Die komplexen Zahlen Reelle und komplexe Zahlenfolgen Reihen Lineare Gleichungssysteme Matrizen über R und C Determinanten Vektorräume Der Vektorraum K n Stetige Funktionen Differenzierbare Funktionen $Id: mengen.tex,v.6 20/02/08 22:30:56 hk Exp $ Vorlesung, Montag Mengen und Aussagen Der wichtigste Grundbegriff der Mathematik ist der Begriff einer Menge, und wir wollen damit beginnen die klassische, 878 von Cantor gegebene Definition, zu zitieren: Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens, welche die Elemente von M genannt werden, zu einem Ganzen. Eine Menge fasst also einige bereits vorhandene Objekte zu einem neuen Ganzen zusammen. Wir werden nur Mengen betrachten, deren Elemente allesamt mathematische Objekte sind, also beispielsweise Zahlen. Sind M eine Menge und x irgendein mathematisches Objekt, so schreiben wir x M für x ist ein Element von M und x / M für x ist kein Element von M. Wir listen jetzt einige Beispiele von Mengen auf:

2 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Montag Die Menge M, die die drei Elemente, 2, 3 hat, kann man als M = {, 2, 3} schreiben. Man setzt also die vorgesehenen Elemente der Menge in ein Paar geschweifter Klammern. 2. Es ist auch erlaubt in den geschweiften Klammern dasselbe Objekt mehrfach aufzulisten M = {,, 2, 3} = {, 2, 3}. Ein Objekt ist entweder Element einer Menge oder nicht, so etwas wie eine mehrfache Mitgliedschaft in einer Menge gibt es nicht. Im diesem Beispiel ist es natürlich nicht besonders sinnvoll die Eins zweimal hinzuschreiben, man ist sogar versucht so etwas ganz zu verbieten. Das wäre allerdings hochgradig unpraktisch. Nehmen wir einmal an, wir hätten drei reelle Zahlen a, b, c gegeben, von denen wir sonst nichts wissen. Es könnten also insbesondere Gleichheiten zwischen diesen Zahlen auftreten, etwa a = b c. Wollen wir dann die Menge M mit den Elementen a, b, c hinschreiben und bestünden bei {...} auf verschiedenen Objekten in den Klammern, so bräuchten wir eine Definition wie ist a = b = c, so sei M = {a}, ist a = b c, so sei M = {a, c},..., und so weiter bis alle Möglichkeiten für Gleichheiten zwischen a, b, c aufgelistet sind. Erlauben wir dagegen Wiederholungen bei {...}, wie wir es tun, so kann man einfach M = {a, b, c} schreiben. 3. Mengen können auch unendlich viele Elemente haben. Als ein Beispiel einer solchen Menge haben wir etwa die Menge aller natürlichen Zahlen. Für diese Menge gibt es ein nur für sie reserviertes Symbol N = {0,, 2, 3,...}. Man muss leider etwas aufpassen, da es auch eine alternative Definition gibt bei der die Null nicht zu den natürlichen Zahlen zählt, also N = {, 2, 3,...}. Braucht man dann doch einmal die Null dabei, so verwendet man N 0 für die natürlichen Zahlen mit Null. Welche der beiden Konventionen man verwendet, also mit oder ohne Null, ist eine Geschmacksfrage, in der Literatur und in Lehrbüchern ist beides anzutreffen. Wir wollen in dieser Vorlesung durchgängig die Variante mit eingeschlossener Null verwenden. 4. Auch einige andere Zahlbereiche haben wie die natürlichen Zahlen eine Standardbezeichnung, diese sind: Z die ganzen Zahlen..., 2,, 0,, 2,..., Q die rationalen Zahlen, also Brüche ganzer Zahlen, R die reellen Zahlen, die wir in 4 behandeln werden, und C die komplexen Zahlen, die in 5 eingeführt werden. 2

3 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Montag Als nächstes Beispiel wollen wir die Menge M aller geraden natürlichen Zahlen hinschreiben. Eine naheliegende Schreibweise hierfür ist M = {0, 2, 4, 6, 8,...}. Eine derartige Pünktchen-Schreibweise muss man aber sehr sparsam verwenden, es muss wirklich unmissverständlich und ohne jeden Spielraum klar sein wofür die Auslassungspunkte stehen. Beispielsweise kann man bei der Menge N = {, 7, 289,...} bestenfalls raten was damit gemeint sein soll, und so etwas geht auch nicht als sinnvolle Mengenbeschreibung durch. Eine pünktchenfreie alternative Beschreibung der Menge M der geraden Zahlen kann man durch Parametrisierung der Elemente erhalten. Eine gerade natürliche Zahl ist ja definitionsgemäß eine Zahl die man als 2 n für eine andere natürliche Zahl n schreiben kann, und durchläuft n die natürlichen Zahlen, so durchläuft 2 n die geraden Zahlen. Dies führt auf die Schreibweise M = {2n n N}. 6. Die Schreibweise des vorigen Beispiels kann man jetzt auch auf kompliziertere Situationen ausdehnen. Als ein Beispiel wollen wir einmal die Menge M aller natürlichen Zahlen hinschreiben, die sich als eine Summe von zwei Quadraten schreiben lassen. Diese Zahlen haben die Form a+b wobei a, b zwei Quadratzahlen sind. Die Quadratzahlen kann man ihrerseits wieder als a 2 mit a N erhalten, und es ergibt sich M = {a 2 + b 2 a, b N} als eine einfache Art die Menge M anzugeben. 7. Bisher haben wir in all unseren Beispielen immer Zahlen als Elemente einer Menge verwendet. Allgemeine Mengen dürfen aber auch kompliziertere Elemente haben, etwa Punkte, Geraden, Kreise oder auch andere Mengen. Ein Beispiel hierfür ist M = {{, 2}, {3, 4}, 5}. Dies ist eine Menge mit drei Elementen, und nicht etwa mit fünf, und diese drei Elemente sind M = {{, 2}, {3, 4}, 5 }, }{{}}{{}}{{} 2 3 also die Menge {, 2} mit den beiden Elementen und 2, dann die Menge {3, 4} und schließlich die Zahl Ein letztes Beispiel ist die Menge M = {{}}. Dies ist eine Menge mit einem einzelnen Element, aber dieses Element ist nicht die Zahl Eins, sonderm die Menge {}, deren einziges Element ist. 3

4 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Montag Nachdem wir jetzt einige Beispiele von Mengen kennen, wollen wir eine erste wichtige Definition einführen: Definition. (Teilmengen einer Menge) Eine Menge M heißt Teilmenge einer Menge N, wenn jedes Element von M auch ein Element von N ist. In diesem Fall schreiben wir M N. Ist eine Menge M keine Teilmenge einer Menge N, so wird dies mit dem Symbol M N notiert. Die Schreibweise M N für die Teilmengenbeziehung wird leider nicht einheitlich von allen Autoren verwendet, oftmals finden Sie auch M N anstelle von M N. Einige Beispiele von Teilmengen sind:. Es ist {, 2} {, 2, 3} denn die beiden Elemente und 2 der linken Menge sind auch Elemente der rechten Menge. 2. Es ist auch {, 2, 3} {, 2, 3}. Allgemein ist jede Menge eine Teilmenge von sich selbst. Will man dies nicht haben, so spricht man von einer echten Teilmenge, d.h. eine Menge M ist eine echte Teilmenge der Menge N wenn M N und M N ist, und wir schreiben M N für M ist eine echte Teilmenge von N. Oftmals wird anstelle von M N aber auch die alternative Schreibweise M N verwendet, was etwas unglücklich ist da dies von anderen wieder als die normale Teilmengenbeziehung interpretiert wird. Die beiden Symbole und sind unmißverständlich, während je nach Autor Teilmenge oder echte Teilmenge bedeuten kann. Das ist verwirrend, aber es ist leider so. 3. Dagegen ist {, {2}} {, 2, 3}, denn die einelementige Menge {2} ist zwar ein Element der linken aber kein Element der rechten Menge. Wir wollen auch noch eine weitere Anmerkung zu Definition bringen. Dass wir diese als Definition bezeichnet und numeriert haben, die Cantorsche Definition einer Menge aber nicht, ist kein Versehen sondern gewollt. Letztere ist nämlich keine Definition im mathematischen Sinne. Im normalen Sprachgebrauch gibt es verschiedene Sorten von Definitionen, und die einfachste Art einer Definition ist die Verabredung einer Abkürzung. Dass beispielsweise LS7 für Leipnitz Straße 7 stehen soll ist eine rein willkürliche Abkürzung. Will man dagegen definieren was ein Auto ist, so gibt es ja nach intendierten Verwendungszweck verschiedene Definitionen. Ob man zum Beispiel ein Auto mit drei Rädern aber ohne Motor als Auto bezeichnen will hängt davon ab worum es gerade geht. Eine Definition beschreibt hier ein real vorhandenes 4

5 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Montag Objekt und dient nur dazu die gerade relevanten Aspekte dieses Objekts zu benennen. In der Mathematik sind alle Definitionen Verabredungen von Abkürzungen. Der Begriff einer Teilmenge ist nicht strikt nötig, anstelle von M N könnte man genauso gut jedes Element von M ist auch ein Element von N sagen. Bevor das Wort Teilmenge definiert wurde gab es keinen Teilmengenbegriff, Autos dagegen gibt es völlig egal ob man eine Definition von Auto hat oder nicht. Mathematische Definitionen führen also immer einen neuen Begriff in Termen bereits vorhandener Begriffe ein. Die Cantorsche Mengendefinition ist nicht von dieser Art, da sie ihrerseits auf weitere noch nicht definierte Begriffe, wie Objekte unserer Anschauung, Zusammenfassung und so weiter, verweist. So etwas ist leider auch nötig, mit mathematischen Definitionen alleine kommt man nicht aus. Wenn jeder neue Begriff nur in Termen bereits vorhandener Begriffe eingeführt werden kann, so braucht man irgendetwas mit dem alles anfangen kann. Hierfür verwendet man sogenannte Grundbegriffe, diese denken wir uns als vorgegeben und nicht weiter hinterfragbar. Für diese Grundbegriffe gibt man dann üblicherweise eine Beschreibung an, die erklären soll was man sich unter dem Grundbegriff vorzustellen hat. Der Mengenbegriff ist solch ein Grundbegriff und die Cantorsche Mengendefinition ist seine Erklärung. Welche Begriffe als Grundbegriffe verwendet werden und welche definiert werden, ist letzten Endes eine rein willkürliche Entscheidung. Es ist beispielsweise möglich den Begriff einer Funktion als Grundbegriff zu verwenden, und Mengen dann in Termen von Funktionen zu definieren. Es hat sich aber ein üblicher Satz an Grundbegriffen durchgesetzt, zu denen unter anderem die Mengen gehören. Wir kommen jetzt zu unserem Thema zurück, und wollen einen weiteren der wichtigsten Begriffe der Mengenlehre einführen, die sogenannte leere Menge. Definition.2 (Die leere Menge) Die leere Menge ist die Menge die keine Elemente hat, geschrieben als. Natürlich ist die leere Menge für sich genommen keine interessante Menge, ihre Wichtigkeit besteht darin das sie sehr häufig vorkommt. Während die Physik sehr großzügig mit fest vergebenen Namen ist, beispielsweise ist v fest für die Geschwindigkeit reserviert, gibt es in der Mathematik nur sehr wenige reservierte Namen, selbst ein Symbol wie π steht nicht immer für die Kreiszahl, sondern kann je nach Kontext auch was ganz anderes bedeuten. Einer dieser vergebenen Namen ist das Symbol für die leere Menge, ein anderer ist N für die Menge der natürlichen Zahlen. Beispiele für die leere Menge kann man schlecht machen, da es ja nur eine einzige solche gibt, wir wollen hier aber einmal zwei mit der leeren Menge in Zusammenhang stehende Situationen besprechen, die erfahrungsgemäß regelmäßig zu Verwirrungen führen.. Das erste Problem ist ob { } = gilt? Dies wird erstaunlich häufig von Anfängern als wahr angesehen, ist aber in Wahrheit falsch. Die Menge { } ist nicht die leere Menge, denn sie hat ja ein Element, nämlich selbst. 2. Die zweite Frage ist, ob etwa {, 2, 3} gilt? Erinnern wir uns an die Teilmengendefinition, so bedeutet {, 2, 3} das jedes Element der leeren Menge auch 5

6 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag ein Element von {, 2, 3} ist, und so merkwürdig es einem auch vorkommt, dies ist wahr. Es gibt ja kein Element der leeren Menge für das das falsch sein könnte. Mit derselben Begründung ist auch M für überhaupt jede Menge M. Insbesondere. Mit Mengen kann man rechnen, es gibt eine Vielzahl von Operationen die aus zwei gegebenen Mengen eine neue Menge machen. Die drei wichtigsten dieser Rechenoperationen wollen wir zum Abschluß dieser Sitzung einführen: Definition.3: Seien M, N zwei Mengen.. Die Vereinigung von M und N, geschrieben als M N, ist die Menge all derjenigen Objekte die Element von M oder von N sind. 2. Der Durchschnitt von M und N, geschrieben als M N, ist die Menge all derjenigen Objekte die Element von M und von N sind. 3. Die Differenzmenge von M und N, geschrieben als M\N, ist die Menge aller Elemente von M, die nicht zugleich Element von N sind. Zu Beispielen kommen wir in der nächsten Sitzung, jetzt wollen wir nur noch ein paar Kommentare zu dieser Definition bringen. Das Wort seien ist außerhab der Mathematik recht ungebräuchlich. Der Satz Seien M, N zwei Mengen bedeutet Wir geben uns zwei beliebige Mengen vor und nennen diese M und N. Weiter bedeutet das Wort oder in der Mathematik immer das einschließende oder, bei A oder B ist also auch erlaubt das A und B beide zutreffen. Schließlich wird anstelle der Schreibweise M\N für die Differenzmenge von einigen Autoren auch das Symbol M N verwendet. Vorlesung 2, Freitag In der letzten Sitzung hatten wir den Begriff einer Menge eingeführt und einige Rechenoperationen für Mengen definiert Vereinigung M N Alle x in M oder N Durchschnitt M N Alle x in M und N Komplement M\N Alle x in M nicht in N 6

7 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag Wir wollen jetzt einige Eigenschaften unserer bisher eingeführten Begriffe festhalten, und beginnen mit einem Satz über die Teilmengenbeziehung. Wir verwenden das etwas kürzere Wort Inklusion als das übliche Synonym für Teilmengenbeziehung. Lemma. (Grundeigenschaften der Inklusion) Seien A, B, C drei Mengen. Dann gelten: (a) Die Inklusion ist transitiv, d.h. sind A B und B C, so ist auch A C. (b) Es ist A B A A B. (c) Genau dann ist A = B wenn A B und B A gelten. Beweis: (a) Für jedes Element x A gilt wegen A B zunächst auch x B und wegen B C ist schließlich x C. Dies zeigt A C. (b) Jedes Element des Durchschnitts A B ist definitionsgemäß auch ein Element von A, es gilt also A B A. Ebenso ist jedes Element von A auch ein Element von A B und wir haben A A B. (c) Wir müssen zeigen das aus A = B die beiden Bedingungen A B und B A folgen, und dass umgekehrt aus A B und B A auch A = B folgt. = Dies ist klar. = Die Bedingung A B bedeutet das jedes Element von A ein Element von B ist und B A sagt das umgekehrt jedes Element von B auch ein Element von A ist. Damit haben A und B genau dieselben Elemente, und sind somit dieselbe Menge. Inhaltlich sind alle Aussagen des Lemmas von vornherein klar C B A A B C A B A A B und wir wollen dieses Lemma hauptsächlich als Anlass für einige Bemerkungen verwenden. Die Aussagen der Mathematik werden als sogenannte Sätze formuliert und in einem aufgeschriebenen Text werden sie dann oftmals numeriert und in irgendeiner Form hervorgehoben dargestellt. Dabei ist der Name Satz hier ein Oberbegriff, je nach Bedeutung der Aussage werden verschiedene Namen verwendet. In der Literatur finden Sie die folgenden Bezeichnungen: Satz Aussage mit einer mitteilenswerten, eigenständigen Bedeutung. 7

8 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag Hauptsatz Ein besonders wichtiger Satz. Theorem Je nach Autor entweder ein Synonym für Satz oder für Hauptsatz. Lemma Wie ein Satz aber mit Bedeutung hauptsächlich innerhalb der Theorie. Proposition Je nach Autor entweder ein Synonym für Satz oder für Lemma. Korollar Eine unmittelbare Folgerung aus einem Satz oder Lemma, oftmals ein besonders hervorgehobener Spezialfall. Wir werden die Namen Satz, Lemma und Korollar verwenden. Einfache Aussagen werden oftmals nicht extra als Satz formuliert sondern nur im laufenden Text erwähnt, die Aussagen in Lemma wären ein Kandidat für solch eine Behandlung. Besonders selbstverständliche Aussagen werden sogar nirgends festgehalten, beispielsweise werden wir so etwas wie A B = B A für Mengen A, B verwenden auch ohne es irgendwo explizit zu benennen. Wir kommen jetzt zum Inhalt von Lemma, und wollen zunächst die Verwendung von Variablen erläutern. Im normalen Sprachgebrauch ist eine Variable eine Größe deren Wert sich im Laufe der Zeit ändert, aber in der Mathematik wird das Wort Variable in einem etwas anderen Sinne verwendet. Nehmen wir etwa die Variablen A, B, C im Lemma. Diese wurden mit Seien A, B, C drei Mengen eingeführt, und dies meint das wir uns drei Mengen nehmen und diesen die Namen A, B, C geben. Diese Mengen ändern sich dann im folgenden nicht, die Werte von A, B, C sind nicht etwas variables und es ist beispielsweise völlig sinnlos so etwas wie Sei A := {, 2, 3} sagen zu wollen. Variablen in der Mathematik sind nur Namen für mathematische Objekte und keine sich ändernden Größen, die Namensgebung Variable kommt daher das etwa unsere Variablen A, B, C Namen für völlig beliebige Mengen sind, die Variabilität liegt in den potentiell möglichen Werten für A, B, C aber eben nicht im gewählten Wert selbst. Dagegen ist etwa die leere Menge keine Variable, da diese eine ganz spezifische Menge bezeichnet. Es gibt einige, wenige Ausnahmen zum oben gesagten. Beispielsweise ist in der Mengenbeschreibung {2x x N} das Symbol x eine echte Variable, man spricht hier auch von einer formalen Variablen. Derartige Variablen treten immer nur in gebundener Form auf, beispielsweise gibt es das x nur innerhalb der beiden geschweiften Klammern, Ausdrücke wie etwa 2x {2x x N} haben keinerlei Sinn, da es außerhalb der Klammern eben kein x gibt. Eine andere vertraute Situation in der formale Variablen vorkommen, ist die Integrationsvariable beim bestimmten Integral b f(x) dx, das x kommt hier nur im Integral a gebunden vor, Formeln wie x 2 = 0 x dx sind weder wahr noch falsch sondern nur unsinnig. 8

9 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag Kommen wir zum Beweis des Lemmas. Mathematik ist keine empirische Wissenschaft, mathematische Aussagen können nicht durch Beobachtungen oder Daten belegt werden. Das einzige Kriterium zur Wahrheit mathematischer Aussagen ist der Beweis. Ein Beweis ist dabei mehr als nur eine überzeugende Begründung des behaupteten Sachverhalts, sondern eine wirklich vollständige, logische Herleitung. Beweise im mathematischen Sinne sind für reale Objekte und Tatsachen nicht möglich, dass sie in der Mathematik durchgeführt werden können, liegt letztlich daran das alle Begriffe exakt definiert sind. Beweise sind für die Mathematik keine optionale Zugabe, sondern das was Mathematik ausmacht. Das heißt natürlich nicht, das wir in dieser Vorlesung alles vollständig beweisen werden, hierfür wird die zur Verfügung stehende Zeit leider nicht ausreichen. Wir schauen uns jetzt den Beweis von Teil (a) des Lemmas an. Vorausgesetzt sind einmal die für alle Teile des Lemma gültige Voraussetzung Seien A, B, C drei Mengen und weiter A B sowie B C. Zu zeigen ist, dass auch A C gilt. Das einzige zur Verfügung stehende Hilfsmittel ist die Definition der Teilmengenbeziehung, und A C bedeutet, dass jedes Element von A auch ein Element von C ist. Wir müssen uns also ein Element x von A nehmen und einsehen das dieses auch ein Element von C ist. Da A eine Teilmenge von B ist, ist zunächst x B und da B auch eine Teilmenge von C ist, ist x auch ein Element von C. Damit ist dann A C bewiesen. Der Beweis von Teil (b) folgt denselben Prinzipien, und soll hier nicht wiederholt werden. Der letzte Teil (c) des Lemmas bietet ein neues Detail. Die Formulierung Genau dann ist A = B wenn A B und B A gelten, bedeutet das zum einen aus A = B die Aussage A B und B A folgt und zum anderen, umgekehrt aus A B und B A auch A = B folgt. In dieser Formulierung sind also zwei Behauptungen versteckt, und diese werden dann auch beide bewiesen. In dem mit = gekennzeichneten Teil wird die Implikation von links nach rechts bewiesen, d.h. das aus A = B auch A B und B A folgen. In diesem konkreten Beispiel ist hier nichts zu tun, da wir bereits bemerkt hatten das jede Menge eine Teilmenge von sich selbst ist. Im zweiten Beweisteil mit = wird dann die andere Implikation, also von rechts nach links bewiesen. Dies soll an allgemeinen Bemerkungen erst einmal genügen. Man kann jetzt fortfahren und diverse Lemmata über das Rechnen mit Mengen beweisen, etwa Formeln wie A B = B A, (A B) C = A (B C) und vieles mehr. Wir wollen hier nur eine solche Formel vorstellen, da diese eine der häufigeren Fehlerquellen ist. Lemma.2 (De Morgansche Regeln für Mengen) Seien A, B, C drei Mengen. Dann gelten die beiden Gleichungen A\(B C) = (A\B) (A\C) und A\(B C) = (A\B) (A\C). Beweis: Dies ist eine Übungsaufgabe. 9

10 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag Sie sollten sich dies ruhig einmal klarmachen, auch wenn es keine Aufgabe auf einem der Übungsblätter ist. Damit haben wir erst einmal genug über Mengen gesagt, und kommen jetzt zum zweiten Thema dieses Kapitels, der sogenannten Aussagenlogik. Unter einer Aussage verstehen wir einen sprachlichen Ausdruck der einen eindeutigen Wahrheitsgehalt hat, also entweder wahr oder falsch ist. Streng genommen sind wir hier eigentlich nur an mathematischen Aussagen interessiert, dies meint Aussagen die nur von mathematischen Objekten handeln. In der Logik betrachtet man auch allgemeinere Aussagen, dies führt aber schnell zu zusätzlichen Komplikationen, die für uns keine Rolle spielen. Beispiele derartiger (mathematischer) Aussagen sind: = = 44 (Dies ist zwar falsch, aber trotzdem eine Aussage). Die 5-te Nachkommastelle von π ist 9. Alle diese Ausdrücke sind definitiv, und ohne jeden Verhandlungsspielraum jeweils wahr oder falsch. In einer Hinsicht sind wir dagegen recht großzügig, es ist nicht nötig zu wissen ob eine mathematische Aussage nun wahr oder falsch ist, es kommt nur darauf an, daß sie eines von beiden ist. Beispiele solcher zweifelsfrei mathematischen Aussagen, deren Wahrheitsgehalt wir zur Zeit nicht kennen sind: Die te Nachkommastelle von π ist eine 7. Es gibt beliebig große natürliche Zahlen n so, dass unter den ersten n Nachkommastellen von π die 7 genauso oft wie die 3 vorkommt. Diese beiden Aussagen sind sicherlich entweder wahr oder falsch. Bei der ersten Aussage ist es eher unwahrscheinlich das irgendjemand diese Dezimalstelle von π einmal ausgerechnet hat. Im Prinzip kann man durchaus entscheiden ob die Aussage wahr oder falsch ist, es gibt sogar einen Algorithmus der beliebige Dezimalstellen von π berechnen kann ohne dabei die vorhergehenden Stellen berechnen zu müssen. Auch die zweite Aussage ist entweder wahr oder falsch, wir wissen nur nicht was zutrifft, wir können uns sogar ziemlich sicher sein, das man das nie wissen wird. Trotzdem handelt es sich um eine mathematische Aussage in unserem Sinn, denn entweder wahr oder falsch ist sie allemal, auch wenn wir nicht wissen welche dieser beiden Möglichkeiten nun zutrifft. Es gibt verschiedene Konstruktionen aus bereits gegebenen Aussagen A, B neue Aussagen zusammenzusetzen. Diese werden gelegentlich als aussagenlogische Junktoren bezeichnet. Der einfachste dieser Junktoren ist die Verneinung. Ist A eine Aussage, so ist die Verneinung von A die Aussage A, die genau dann wahr ist wenn A falsch ist. Ebenfalls ohne Überraschungen ist die Konjuktion, oder simpler die und, Aussage. Bei dieser sind zwei Aussagen A, B gegeben, und man bildet die neue Aussage A B, gesprochen als A und B, die genau dann wahr ist wenn beide Aussagen A und B wahr sind. 0

11 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag Diese Festlegungen sollten nicht besonders überraschend sein. Der nächste unserer Junktoren wird nun die Disjunktion, beziehungsweise oder Aussage, sein. Hier gibt es ein kleines Detail zu beachten, die Bedeutung der Disjunktion weicht gelegentlich etwas von der sonst üblichen Verwendung dieses Wortes ab. Sind A, B wieder zwei Aussagen, so ist die Disjunktion A B, gesprochen als A oder B, genau dann wahr wenn eine der beiden Aussagen A, B wahr ist. Hierbei ist immer der Fall erlaubt, dass sogar beide Aussagen A, B wahr sind. Wir hatten bereits früher bemerkt, dass diese Verwendung des Wortes oder etwas von der Umgangssprache abweicht. Der Deutlichkeit halber können wir Konjunktion und Disjunktion in Form sogenanter Wahrheitstabellen beschreiben. Die Tabellen für Konjunktion und Disjunktion haben dabei die folgende Form: A A A B: B 0 A B: B In diesen Tabellen schreiben wir 0 für falsch und für wahr. Dies soll nicht etwa bedeuten, dass die Zahlen 0 und irgendetwas mit wahr und falsch zu tun haben, es handelt sich nur um Symbole für diese Begriffe. Alternativ könnten wir auch f und w anstelle von 0 und schreiben. Mit den logischen Junktoren kann man rechnen. Wir wollen hier eine der Rechenregeln für logische Junktoren hervorheben, die sogenannten de Morganschen Regeln für Aussagen. Diese behandeln die Verneinung von und beziehungsweise von oder aussagen. Da es sich hier um logische Tatsachen und nicht um mathematischen Aussagen handelt, wollen wir diese Formeln nicht als mathematische Sätze bezeichnen. Die de Morganschen Regeln besagen (A B) = ( A) ( B) und (A B) = ( A) ( B) für alle Aussagen A und B. Wir wollen uns die de Morgansche Regel für die Disjunktion einmal klarmachen, die andere Regel kann man sich dann analog überlegen. Die einzige Möglichkeit das die Disjunktion A B falsch ist, ist wenn A und B gleichzeitig beide falsch sind, wenn also ( A) ( B) wahr ist. Dies bedeutet (A B) = ( A) ( B). Als eine alternative Begründung kann man sich auch die Wahrheitstafeln anschauen (A B) : ( A) ( B) : Wir kommen jetzt zu einem weiteren logischen Junktor, der auch schon komplizierter ist, der sogenannten Implikation. Sind A, B zwei Aussagen, so ist die Aussage A B, gesprochen als aus A folgt B oder A impliziert B, wahr wenn mit A auch B stets wahr ist. In Form einer Wahrheitstafel soll diese Festlegung gerade

12 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag A B: A B bedeuten. Beachte das die Implikation A B insbesondere immer dann wahr ist wenn die Voraussetzung A der Implikation falsch ist. Anders gesagt soll aus einer falschen Aussage jede beliebige andere Aussage folgen. Dies erscheint zunächst als eine etwas merkwürdige Festlegung, aber dieser Eindruck sollte bei näherer Betrachtung verfliegen. Umgangssprachlich würde man eine Aussage der Form Wenn morgen das Hörsaalgebäude einstürzt, so fällt die Vorlesung aus, als wahr betrachten unabhängig davon ob das Gebäude morgen noch steht, selbst dann wenn die Vorlesung trotz eines in bestem Zustand befindlichen Hörsaals ausfällt. Ein weiterer Grund für die angegebene Interpretation der Implikation, der für die Mathematik auch erheblich schwerwiegender ist, sind Aussagen in denen Variablen vorkommen. Steht x beispielsweise für eine reelle Zahl, so sollte die Aussage x 2 = 4 = 2 x 2 immer wahr sein, unabhängig davon welchen konkreten Wert x jetzt hat, also auch wenn etwa x = 3 oder x = 0 ist. Um eine Implikation A B zu beweisen, kann man immer annehmen das die Aussage A wahr ist, denn andernfalls gilt die Implikation sowieso. Als ein Beispiel denken wir uns zwei reelle Zahlen x, y gegeben, und wollen die Implikation x 2 = y 2 = x = y x = y beweisen. Dann können wir wie gesagt annehmen, dass überhaupt x 2 = y 2 gilt, und es folgt (x + y) (x y) = x 2 y 2 = 0, also x + y = 0 oder x y = 0 da ein Produkt nur Null sein kann, wenn einer der Faktoren Null ist. Dies ergibt weiter x = y oder x = y. Was ist jetzt die Verneinung der Implikation A B? Diese ist genau dann wahr wenn A B falsch ist, und hierfür gibt es nur eine einzige Möglichkeit, A muss wahr sein und B muss falsch sein. Als Formel bedeutet dies (A B) = A ( B). Verwenden wir jetzt noch die offensichtliche Tatsache, dass für jede Aussage X stets X = X ist, so erhalten wir mit den de Morganschen Regeln A B = (A B) = (A ( B)) = ( A) ( B) = ( A) B. Insbesondere scheint die Implikation damit auf derselben inhaltlichen Stufe wie und und oder zu stehen, was Sie zumindest irritieren sollte. Dieser Eindruck täuscht auch in gewisser Weise, denn der hier verwendete Implikationsbegriff ist rein formaler Natur. 2

13 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Montag Es kommt für die Wahrheit von A B nur auf den Wahrheitswert der Aussagen A und B an, nicht aber auf die inhaltliche Bedeutung dieser Aussagen. Diesen Implikationsbegriff sollte man nicht mit dem inhaltlichen Folgerungsbegriff verwechseln, dass also eine Aussage B durch logisches Schließen aus einer Aussage A folgt. Bei letzterem kommt es tatsächlich auf die Bedeutung von A und B an. Um eine Implikation zu beweisen, verwendet man dagegen in aller Regel eine inhaltliche Argumentation, wie bereits bemerkt wird A als wahr angenommen und dann auf B geschlossen. Wir führen jetzt eine weitere Schreibweise für mathematische Aussagen ein. Diese haben sehr oft die Form Für alle Elemente x eine gegebenen Menge M gilt eine Aussage A(x), eine sogenannte Allaussage, oder Es gibt ein Element x der Menge M für das A(x) gilt, eine sogenannte Existenzaussage. Man schreibt (x M) : A(x) für Für alle x M gilt A(x). Das Symbol ist ein sogenannter Allquantor. Entsprechend schreibt sich eine Existenzaussage als (x M) : A(x) für Es existiert ein x M mit A(x), und hier nennt man einen Existenzquantor. Beispielsweise übersetzt sich die Aussage Für jede reelle Zahl x existiert eine natürliche Zahl n, die echt größer als x ist als Formel in (x R) (n N) : n > x. Ein solcher Ausdruck mit mehreren Quantoren ist dabei immer von links nach rechts zu lesen, ein Ändern der Quantorenreihenfolge ändert auch die Bedeutung der Aussage. Beispielsweise bedeutet (n N) (x R) : n > x, dass es eine natürliche Zahl n gibt, die echt größer als überhaupt alle reellen Zahlen ist, was natürlich falsch ist. Quantoren desselben Typs kann man vertauschen, und daher werden sie meist in zusammengefasster Form notiert, man schreibt beispielsweise (x, y R) : y > x > 0 y 2 > x 2 für (x R) (y R) : y > x > 0 y 2 > x 2. Vorlesung 3, Montag Wir haben jetzt Allaussagen (x M) : A(x) und Existenzaussagen (x M) : A(x) eingeführt. Diese scheinen sich zwar formal recht ähnlich zu sein, inhaltlich unterscheiden sie sich jedoch grundlegend voneinander. Um eine Allaussage (x M) : A(x) zu beweisen, muss man sich ein beliebiges Element x M der zugrundeliegenden Menge 3

14 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Montag M vorgeben und für jedes solche die Aussage A(x) beweisen. Es reicht nicht dies für einzelne x M zu tun. Als ein Beispiel nehmen wir einmal M = N\{0, } = {2, 3, 4,...} und A(n) = ggt(n 5 5, (n + ) 5 5) = letzteres für jedes n N. Probieren wir etwa n = 2 so sind n 5 5 = 27 und (n+) 5 5 = 238 und wir haben ggt(n 5 5, (n + ) 5 5) =. Verwenden wir dann einen Computer, so kann man leicht etwa alle Werte 2 n durchprobieren und die beiden Zahlen n 5 5 und (n + ) 5 5 stellen sich immer als teilerfremd heraus. Als ein Beweis der Aussage (n M) : A(n) reicht das aber nicht aus, selbst eine so große Zahl von Beispielen hat keine Beweiskraft. Andererseits reicht ein einzelnes Gegenbeispiel aus die Allaussage zu widerlegen, und nehmen wir etwa n = , so ist ggt(n 5 5, (n + ) 5 5) = >. Ganz anders sieht dies bei einer Existenzaussage aus. Um eine Aussage (x M) : A(x) zu beweisen, muss man nur ein einziges x M finden für welches die Aussage A(x) gilt. Idealerweise geschieht dies durch möglichst direkte Angabe solch eines x, aber dies ist nicht zwingend verlangt, es gibt Beispiele bei denen man die Existenz eines x einsehen kann, ohne die geringste Idee zu haben wie man ein solches x konkret beschaffen kann. Von Bedeutung sind oftmals auch die Verneinungen von All- und Existenzaussagen. Überlegen wir uns zunächst wann eine Allaussage (x M) : A(x) falsch ist. Wie im obigen Beispiel reicht hierfür ein einzelnes x M aus so, dass A(x) falsch ist. In anderen Worten ist die Verneinung einer Allaussage eine Existenzaussage, nämlich (x M) : A(x) = (x M) : A(x). Entsprechend ist eine Existenzaussage (x M) : A(x) falsch, wenn wir eben kein Element x von M finden können für das A(x) wahr ist, d.h. wenn die Verneinung A(x) für jedes Element x von M wahr ist. Die Verneinung einer Existenzaussage wird damit eine Allaussage (x M) : A(x) = (x M) : A(x). Bei Verneinung drehen sich also All- und Existenzquantoren um, d.h. Allquantoren werden zu Existenzquantoren und Existenzquantoren werden zu Allquantoren. Sind beispielsweise M, N zwei Mengen und A(x, y) eine Aussage über Elemente x M und y N, so wird (x M) (y N) : A(x, y) = (x M) : (y N) : A(x, y) = (x M) (y N) : A(x, y). Entsprechend kann man in allen solchen Fällen vorgehen, zum Verneinen werden alle Quantoren umgedreht und die innere Aussage verneint. 4

15 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Montag Zum Abschluß wollen wir noch einen Zusammenhang zwischen Aussagen und Mengen beschreiben. Neben den bisher beschriebenen Methoden zur Bildung von Mengen gibt es noch eine weitere Konstruktionsmethode bei der aus einer gegebenen Menge durch eine Bedingung an die Elemente dieser Menge eine Teilmenge ausgewählt wird. Als ein Beispiel nehmen wir einmal die Menge P der Primzahlen. Primzahlen n sind spezielle natürliche Zahlen n N, und zwar diejenigen die nicht Eins sind und keinen von und n verschiedenen Teiler besitzen. Letzteres ist eine Bedingung A(n) an die Elemente von N, und man schreibt P = {n N n und es gibt keinen Teiler m von n mit < m < n}. }{{} A(n) Allgemein schreibt man {x M A(x)} = { Menge aller Element x M, die die Bedingung A(x) an Elemente von M erfüllen. Beachte das es hier nur erlaubt ist, eine Teilmenge aus einer bereits vorhandenen Grundmenge M auszuwählen. Man ist versucht auch freie Mengenbildungen also {x A(x)} für die Menge überhaupt aller mathematischen Objekte x, die die Bedingung A(x) erfüllen, zuzulassen. Diese harmlos aussehende Schreibweise führt aber sofort in verheerende Widersprüche. Der bekannteste solche Widerspruch ist die sogenannte Russelsche Antinomie. Bei dieser versucht man die Menge R := {x x ist eine Menge mit x / x} zu bilden. Es gibt dann zwei Möglichkeiten, entweder ist R ein Element von R oder nicht, und wir wollen beide Möglichkeiten einmal durchgehen. Ist R R, so ist R nach Definition von R eine Menge die sich nicht selbst als Element enthält, also haben wir R / R. Dies geht natürlich nicht, und damit scheidet diese Möglichkeit aus. Daher muss wohl R / R gelten. Aber dann ist R ja eine Menge die sich nicht selbst als Element enthält, und dies bedeutet wiederum R R, und auch diese Möglichkeit scheidet aus. So etwas wie die Menge R darf also nicht existieren, und tatsächlich haben wir die obige Mengenbildung durch das Bestehen auf einer vorgegebenen Grundmenge auch ausgeschlossen. Natürlich könnte es trotzdem einen komplizierteren Widerspruch geben, der nur unsere erlaubten Mengenbildungen verwendet, aber ein solcher ist bislang nicht aufgetaucht. Auch die Operationen des Schneidens, Vereinigens und Komplementbildens von Mengen lassen sich alternativ über die Bildung von Teilmengen durch Auswahlbedingungen beschreiben. Beispielsweise ist für je zwei Mengen A, B A B = {x A x B} = {x B x A} = {x x A x B}. Der letzte dieser drei Ausdrücke sieht dabei wie die eben gerade verbotene freie Mengenbildung aus. In diesem speziellen Fall kann man sie aber doch erlauben, da durch die 5

16 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Montag Bedingung A(x) = x A x B ja implizit eine Grundmenge gegeben ist. Ebenso sind A B = {x x A x B}, A\B = {x A x / B}. In diesem Sinne entspricht das Schneiden von Mengen der und Verknüpfung von Aussagen, und das Vereinigen entspricht der oder Verknüpfung. $Id: beweise.tex,v.4 20/02/09 08:43:53 hk Exp $ 2 Die Beweismethoden Es gibt drei verschiedene Beweismethoden, der direkte Beweis, der indirekte Beweis und die sogenannte vollständige Induktion. Die ersten beiden Methoden sind sehr allgemeiner Natur während die vollständige Induktion auf Aussagen eines speziellen Typs beschränkt ist. Diese drei Methoden sind nur die prinzipiellen Grundmethoden. Beweise komplizierterer Aussagen setzen sich in der Regel aus vielen kleinen Teilbeweisen zusammen, die dann ihrerseits jeweils eine der Grundmethoden verwenden. Wir beginnen mit dem einfachsten der drei Grundtypen, dem direkten Beweis. Zu zeigen ist eine Implikation A B, wobei A die Voraussetzungen sind und B die Behauptung ist. Bei einem direkten Beweis gibt man eine logische Folgerungskette an, die bei den Vorausetzungen A beginnt und mit der Behauptung B endet. Als ein Beispiel für einen direkten Beweis, wollen wir die folgende Behauptung verwenden: Für alle x, y R mit x, y 0 ist xy x + y. 2 Die Voraussetzungen A und die Behauptung B sind hier A = x, y R x, y 0, B = xy x + y. 2 Wir wollen an diesem Beispiel auch gleich einen der typischen Anfängerfehler vorführen, und geben daher zunächst einen fehlerhaften Beweis an: ab a + b 2 = ( ) 2 a + b (a + b)2 ab = 2 4 = 4ab a 2 + 2ab + b 2 = a 2 2ab + b 2 0 = (a b) 2 0 ist wahr. = a2 + 2ab + b 2 4 (quadrieren) 6

17 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Montag Leider ist das kein Beweis, und zwar weder ein Beweis unserer Behauptung noch von irgend etwas. Für einen direkten Beweis müsste man von der Voraussetzung ausgehend auf die Behauptung schließen, aber hier sind wir anstelle dessen von der Behauptung ausgegangen und haben gezeigt das aus dieser eine wahre Aussage folgt. Dies besagt aber nichts, denn aus einer falschen Aussage folgt ebenso eine wahre Aussage. Die eigentliche Rechnung ist aber schon in gewissen Sinne in Ordnung, sie ist nur falsch organisiert. Was eigentlich gemeint ist, ist dass die letzte Aussage (a b) 2 0 wahr ist, und aus dieser folgt dann a 2 2ab b 2 0 und aus dieser folgt weiter (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 4ab, also (a + b) 2 /4 ab, und das Ziehen der Wurzel ergibt schließlich (a + b)/2 (ab). Die korrekte Schlußrichtung ist hier also von unten nach oben, wir müssen den falschen Beweis nur umdrehen um den korrekten Beweis zu erhalten. Die korrigierte Version ist somit wie folgt. Es gilt a 2 2ab + b 2 = (a b) 2 0, und Addition mit 4ab liefert (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 = a 2 2ab + b 2 + 4ab 4ab, also (a + b) 2 /4 4. Die Monotonie der Wurzel liefert schließlich die Behauptung (a + b)/2 ab. Damit haben wir einen direkten Beweis unserer Behauptung angegeben. In diesem Beispiel sehen wir auch, dass die logische Reihenfolge in einem Beweis von der Reihenfolge der eigentlichen Überlegungen abweichen kann, auch wenn dies nicht immer so extrem wie in diesem Beispiel ist. Wir hatten früher schon bemerkt, dass ein Beweis nicht nur die Korrektheit einer Aussage belegen soll, sondern diese auch erklären soll. Dagegen ist es nicht die Aufgabe eines Beweises zu dokumentieren wie man auf den Beweis oder die Aussage kommt. Soviel zum direkten Beweis. Wir kommen jetzt zur zweiten Beweismethode, dem indirekten Beweis oder Widerspruchsbeweis. Auch bei diesen ist eine Aussage A B zu beweisen. Wie immer beim Beweis einer Implikation nehmen wir an, dass die Aussage A gilt, und bei einem Widerspruchsbeweis nehmen wir weiter an, dass die Aussage B falsch ist. Dann wird aus der Aussage A ( B) ein Widerspruch hergeleitet, d.h. wir finden eine Aussage C von der wir zeigen können das sowohl C als auch die Verneinung C wahr sind. Da dies nicht möglich ist, muss die Annahme das B falsch ist selbst falsch gewesen sein, d.h. B ist wahr. Das Urbeispiel eines Widerspruchsbeweises ist der Beweis der Irrationalität von 2. Die zu beweisende Aussage ist hier B : 2 / Q. Nehmen wir also an B wäre falsch, d.h. es ist 2 Q. Da rationale Zahlen definitionsgemäß Brüche ganzer Zahlen sind, und da 2 > 0 ist, gibt es dann natürliche Zahlen p, q N mit p, q und 2 = p/q. Durch Auskürzen kann man weiter annehmen das p und q keine gemeinsamen Teiler haben. Dies ist dann unsere Aussage C : p und q haben keine gemeinsamen Teiler mit der wir einen Widerspruch erhalten werden. Hierzu rechnen wir 2 = ( ) p = = p2 q q, 2 7

18 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Montag und somit ist auch p 2 = 2q 2. Damit ist p 2 ein Vielfaches von 2, also gerade. Andererseits sind Produkte ungerader Zahlen wieder ungerade, und damit muss p selbst gerade sein, da sonst p 2 ungerade wäre. Damit erhalten wir die natürliche Zahl r := p 2 N mit p = 2r. Setzen wir dies in unsere Gleichung ein, so folgt 2q 2 = p 2 = (2r) 2 = 4r 2, also auch q 2 = 2r 2. Genau wie bei p muss q damit gerade sein. Somit ist 2 aber ein gemeinsamer Teiler von p und q, wir haben also C. Dies ist ein Widerspruch, und somit ist 2 tatsächlich irrational. Während der direkte und der indirekte Beweis auf ganz allgemeine Aussagen anwendbar sind, ist die dritte, jetzt zu diskutierende, Beweismethode nur für eine spezielle Sorte von Aussagen verwendbar. Die vollständige Induktion ist ein Beweisverfahren, um Aussagen über alle natürlichen Zahlen zu beweisen, genauer geht es um Allaussagen der Form (n N) : A(n), wobei A(n) eine Aussage über natürliche Zahlen n ist. Ein Beispiel einer solchen Aussage ist n(n + ) A(n) : n = 2 für n N. Dabei interpretieren wir die bei n = 0 auftretende leere Summe als Null. Ein Induktionsbeweis erfolgt in zwei Schritten:. Induktionsanfang: Zeige das die Aussage A(0) gilt. 2. Induktionsschritt: Hier ist zu zeigen, dass aus A(n) für n N auch A(n + ) folgt, d.h es ist die Allaussage (n N) : A(n) A(n + ) zu beweisen. Den Induktionsschritt unterteilt man meistens in zwei Teile: (a) Induktionsannahme: Sei n N mit A(n) gegeben. (b) Induktionsschritt: Zeige, dass auch A(n + ) gilt. Haben wir Induktionsanfang und Induktionsschritt erfolgreich durchgeführt, so besagt das Prinzip der vollständigen Induktion, dass die Aussage A(n) für jedes n N wahr ist. Ein häufiges Mißverständnis besteht darin zu glauben, dass man beim Induktionsschritt bereits weiss das A(n) wahr ist. Dies ist aber nicht der Fall, alles was gezeigt wird ist die Implikation A(n) A(n + ) und wie immer beim Beweis einer Implikation kann man annehmen das die Voraussetzung der Implikation, also A(n), wahr ist denn andernfalls ist die Implikation sowieso wahr. Als ein Beispiel wollen wir die Formel + + n = n(n + ) 2 8

19 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Montag für alle n N per vollständiger Induktion beweisen. Dies bedeutet die Gültigkeit von (n N) : A(n) mit der Aussage für n N. A(n) : n = n(n + ) 2 Induktionsanfang: Der Induktionsanfang ist was sicherlich wahr ist. A(0) : 0 = 0 (0 + ), 2 Induktionsannahme: Sei n N mit + + n = n(n+) 2. Induktionsschritt: Wir müssen einsehen das auch A(n + ), also + + (n + ) = wahr ist. Mit der Induktionsannahme ergibt sich + + (n + ) = ( + + n) + (n + ) = und der Induktionsschritt ist durchgeführt. = (n + )(n + 2) 2 n(n + ) + (n + ) 2 n(n + ) + 2(n + ) 2 = (n + )(n + 2), 2 Per vollständiger Induktion ist damit A(n) für alle n N bewiesen. Überlegen wir uns kurz warum ein Induktionsbeweis funktioniert. Im Induktionsanfang wird A(0) nachgewiesen und im Induktionsschritt wird weiter A(n) A(n + ) für alle n N gezeigt. Mit n = 0 wissen wir insbesondere A(0) A(0 + ) = A(), d.h. A(0) und die Implikation A(0) A() sind wahr und somit ist auch A() wahr. Mit n = haben wir dann auch A() A( + ) = A(2) und da wir A() bereits eingesehen haben, ist auch A(2) wahr. So fortfahrend sind dann auch A(3), A(4),..., und immer so weiter, wahr. Da wir so bei jeder natürlichen Zahl n N vorbeikommen ist A(n) für jedes n N wahr. Dies sollte Sie von der Gültigkeit der Methode der vollständigen Induktion überzeugen. Es ist allerdings kein exaktes Argument für diese, da wir das Problem in dem harmlos aussehenden und so weiter versteckt haben. Bevor wir mit der vollständigen Induktion fortfahren, wollen wir noch eine nützliche Abkürzung einführen, das sogenannte Summenzeichen. Man schreibt beispielsweise für n N n k = n. k= 9

20 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Montag Das große Sigma ist hier das Summenzeichen und k der sogenannte Summationsindex. Das Summenzeichen n k= a k wird so interpretiert das k die Werte von bis n durchläuft, für jedes solche k die Zahl a k gebildet wird und alle diese Zahlen aufsummiert werden. Beispielsweise sind 6 k 2 = = = 86 oder k=3 4 k= k = = Oftmals läßt man den Summationsindex auch über eine kompliziertere Menge laufen, die dann in der Regel unterhalb des Summenzeichens beschrieben wird, beispielsweise k 0 k Primzahl k = = Der Summationsindex ist eine der letztes Mal erwähnten formalen Variablen, insbesondere gibt es ihn nur innerhalb der Summe und nicht außerhalb. Bei komplexeren Summen dürfen auch mehrere Summationsindizes gleichzeitig verwendet werden, beispielsweise i<j 3 i + j = = = Hier durchlaufen die Summationsindizes i, j die möglichen Werte (i, j) = (, 2), (, 3) und (2, 3). Sind a,..., a n, b,..., b n und c beliebige Zahlen, so gelten offenbar n (a k + b k ) = k= n a k + k= n (ca k ) = c k= n a k. k= n b k und Entsprechende Formeln gelten dann natürlich auch für die Summation über kompliziertere Indexbereiche. Wir wollen jetzt auch noch eine kleine Variante der vollständigen Induktion besprechen, bei der eine Aussage A(n) nicht unbedingt für alle n N bewiesen wird sondern für alle n ab einem Startwert n 0 N. Zu beweisen ist also die Allaussage k= (n N, n n 0 ) : A(n), und für eine vollständige Induktion müssen die folgenden drei Bestandteile durchgeführt werden: Induktionsanfang: Die Aussage A(n 0 ) ist wahr. Induktionsannahme: Sei n N mit n n 0 und A(n). 20

21 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Montag Induktionsschritt: Zeige das dann auch A(n + ) gilt. Beachte das wir in der Induktionsannahme zusätzlich zu A(n) auch noch annehmen das n n 0 ist, dies kann durchaus wesentlich sein. Haben wir die obigen drei Schritte durchgeführt, so besagt das Prinzip der vollständigen Induktion, dass die Aussage A(n) für alle n N mit n n 0 gilt. Als ein Beispiel wollen wir die Aussage 2 n > n 2 für n N untersuchen. Diese ist nicht für jedes n N wahr, für die kleinen Werte von n haben wir n 2 n n und somit versuchen wir unser Glück mit dem Startwert n 0 = 5. Wir wollen also 2 n > n 2 für alle n N mit n 5 beweisen. Unsere Aussage A(n) ist hier A(n) : 2 n > n 2. Wir führen die vollständige Induktion durch Induktionsanfang: Es ist 2 5 = 32 > 25 = 5 2, also gilt A(5). Induktionsannahme: Sei n N mit n 5 und 2 n > n 2 gegeben. Induktionsschritt: Da insbesondere n 3 ist haben wir dann Es folgt n 2 = n n 3n = 2n + n > 2n +. 2 n+ = 2 2 n > 2n 2 = n 2 + n 2 > n 2 + 2n + = (n + ) 2, und wir haben auch A(n + ) eingesehen. Per vollständiger Induktion ist damit 2 n > n 2 für alle n N mit n 5 bewiesen. In den allermeisten Fällen ist der Induktionsanfang wie in diesen Beispielen eine recht banale Angelegenheit. Trotzdem ist er unverzichtbar, der Induktionsschluß kann auch bei falschen Aussagen funktionieren. Nehmen wir einmal die offensichtlich unsinnige Aussage n > n + als unser A(n). Ist dann n N mit A(n), also n > n +, so folgt durch Addition mit Eins auch n + > (n + ) +, also A(n + ). Der Induktionsschluß ist hier also problemlos möglich, der Anfang natürlich nicht. Dies ist kein seltenes Phänomen, nehmen Sie einmal an die Aussage A(n) ist für jedes n N falsch. Da aus falschem alles folgt, gilt dann A(n) A(n + ) für jedes n N, der Induktionsschluß funktioniert also immer wenn die Aussage A(n) niemals richtig ist. $Id: funktion.tex,v.9 20/08/7 :00:32 hk Exp $ 2

22 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag Funktionen Vorlesung 4, Freitag Dieses Kapitel ist das letzte der vorbereitenden, allgemeinen Kapitel und wir wollen uns mit dem Funktionsbegriff beschäftigen. Während wir bisher fast nur logische Konzepte oder mathematische Grundbegriffe besprochen haben, werden wir Funktionen wirklich exakt definieren können, wie wir sehen werden wird der Funktionsbegriff auf den Mengenbegriff zurückgeführt. Als Vorbereitung hierzu erinnern wir zunächst an die aus der Schule vertraute Definition einer Funktion. Dort hatte man zwei Variablen x, y wobei der Wert einer der beiden Variablen von der anderen abhing. Normalerweise verwendet man y als diese abhängige Variable und bezeichnet y als eine Funktion von x, symbolisch oft geschrieben als y = f(x). Dabei muss jedem Wert von x genau ein Wert von y entsprechen, in anderen Worten y y x (x,y)=(x,f(x)) hängt y über eine eindeutige Zuordnungsvorschrift von x ab. Typischerweise war diese Zuordnungsvorschrift dabei einfach eine Formel in der x als freie Variable vorkommt. Graphisch konnte man sich die Funktion dann durch ihren Funktionsgraphen veranschaulichen, d.h. man trägt auf der horizontalen Achse die x-werte ab und auf der vertikalen das zugehörige y = f(x). Die Menge all der Punkte auf diesem Graphen liefert dann eine Teilmenge beziehungsweise graph(f) = {(x, f(x)) x dom(f)} graph(f) = {(x, y) x dom(f), y = f(x)} der Ebene, wobei dom(f) die Menge all derjenigen Werte von x ist für die y = f(x) definiert ist, der sogenannte Definitionsbereich der Funktion. Beachte das wir den Punkt P der Ebene mit x-koordinate a und y-koordinate b einfach als P = (a, b) schreiben, in der Schule populäre Schreibweisen wie P (a b) werden in der Mathematik nicht verwendet. Durch den Graphen einer Funktion f ist die Funktion vollständig festgelegt, um den Funktionswert y = f(x) zu ermitteln bilden wir die vertikale Gerade durch (x, 0) und diese schneidet den Graphen im Punkt (x, y). Wie bereits bemerkt ist die Zuordnungsvorschrift oftmals einfach eine Formel in x, beispielsweise y = x 2 + oder y = sin x. In der Schule wurde dann leider der Unterschied zwischen der definierenden Formel und der Funktion verwischt, eine Funktion ist keine 22 x

23 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag Formel, Formeln können nur umgekehrt zur Definition von Funktionen verwendet werden. Tatsächlich reichen derartige Funktionen nicht aus, man braucht zumindest noch solche Funktionen die in mehreren Stücken definiert sind, etwa f(x) H(x) y = f(x) = x=0 x=/2 x= x { 2x, 0 x 2, 2 2x, 2 x y = H(x) = { 0, x < 0,, x 0. Die Funktion H(x) ist die sogenannte Heaviside-Funktion und tritt gelegentlich bei der Behandlung von Einschaltvorgängen auf. In Anwendungssituationen tauchen dann noch weitere Funktionsarten auf, beispielsweise Funktionen die nicht durch irgendeine Formel gegeben sind sondern von einigen Meßergebnissen gebildet werden. Derartige Funktionen sind dann zunächst nur in endlich vielen Punkten definiert, es können ja nur endlich viele Messungen wirklich durchgeführt werden, und will man die Funktion auch in anderen Punkten auswerten so geschieht dies durch eine für die konkrete Situation geeignete Form von Interpolation. Wieder andere Funktionen sind durch das Ein/Ausgabeverhalten irgendwelcher realer Apperaturen definiert, und manche entstehen sogar indem einfach ihr Graph hingemalt wird. Wie sie sehen, deckt dieser reale Funktionsbegriff eine Vielfalt verschiedenartiger Situationen ab. Der nun einzuführende mathematische Funktionsbegriff soll all diese verschiedenen Funktionstypen umfassen und zugleich eine exakte mathematische Definition sein. Dies wird möglich indem der eigentliche Zuordnungsvorgang völlig ignoriert wird. Man betrachtet nur noch den fertigen Funktionsgraph und verwendet diesen zur Definition einer Funktion. Wenn Sie so wollen, nimmt man die Idee, das Funktionen durch Hinmalen des Graphen definiert werden können, ernst. Es tritt zuvor nur noch eine kleine zusätzliche Schwierigkeit auf. Bisher haben wir nur Funktionen betrachtet die reelle Argumente und reelle Werte haben und der Graph war dann eine Menge von Punkten der Ebene. Mit reellwertigen Funktionen einer reellen Variable kommt man aber nicht aus, beispielsweise ordnet ein elektrisches Feld ja jedem Punkt des betrachteten Raumgebiets einen Vektor zu, die beschreibende Funktion hat also dreidimensionale Punkte als Argumente und dreidimensionale Vektoren als Werte. Auch so etwas soll mit unserem Funktionsbegriff erfasst werden, wir wollen sogar erlauben das die Argumente x aus einer völlig beliebigen Menge M kommen und die Werte y = f(x) aus einer ebenfalls völlig beliebigen Menge N sind. Als Ersatz für die Ebene nehmen wir das wie folgt definierte Produkt der Mengen M und N. Definition 3. (Cartesisches Produkt von Mengen) Seien M und N zwei Mengen. Das cartesische Produkt von M und N ist dann die Menge M N := {(x, y) x M, y N}. 23