1.3 Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte des Schaubildes der Funktion f mit f( x) x 6x 13

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1 Musteraufgaben ab 08 Pflichtteil Aufgabe Seite / BEISPIEL A. Geben Sie Lage und Art der Nullstellen der Funktion f mit f( x) ( x ) ( x ) ; x IR an.. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente in P( f ()) an das Schaubild der Funktion f mit f( x) sin( x) x ; x IR.. Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte des Schaubildes der Funktion f mit f( x) x 6x ; x IR.. Gegeben sind die Abbildungen A, B und C. Sie zeigen die Schaubilder einer Funktion h, der Ableitungsfunktion h von h und einer weiteren Funktion k. Begründen Sie, welche Abbildung zum Schaubild von h, h und k gehört. A B C.5 Das Schaubild einer Polynomfunktion. Grades hat den Hochpunkt H(0 ), den Tiefpunkt T( ) und an der Stelle die Steigung. Bestimmen Sie ein lineares Gleichungssystem, mit dessen Hilfe sich der Term dieser Funktion bestimmen lässt. (Das Berechnen der Lösungen des LGS ist nicht erforderlich.) 5 u.6 Bestimmen Sie u 0 so, dass x dx,. 0 x 5.7 Gegeben ist die Funktion f mit fx ( ) e ; x IR, ihr Schaubild ist K f. Bestimmen Sie die Koordinaten der Achsenschnittpunkte von K f. Skizzieren Sie K f. 5.8 Das Schaubild der Funktion f mit f( x) sin( x) ; x IR wird um den Faktor 5 in y-richtung gestreckt und um nach rechts verschoben. Geben Sie den zugehörigen Funktionsterm an. 0

2 Musteraufgaben ab 08 Pflichtteil Aufgabe Seite / BEISPIEL A L Ö S U N G S V O R S C H L A G. Die Nullstellen liegen bei x und x. x ist eine doppelte Nullstelle, das heißt das Schaubild berührt die x-achse, x ist eine einfache Nullstelle, das heißt das Schaubild schneidet die x-achse.. f (),5 ; f( x) cos( x) 8 ; f (), die Tangente hat die Gleichung y x.. f ( x) x x ; f( x) x ; f( x) 8x f ( x) 0 x, ; f( x, ) 0 f ( ), also W, ( ). Das Schaubild in B hat bei x einen Sattelpunkt und bei x einen Tiefpunkt. Somit hat das Schaubild der Ableitung hiervon bei x eine doppelte Nullstelle und bei x eine einfache Nullstelle. Dies trifft auf A und C zu. Da das Schaubild in B für x 0 fällt, kann nur A die Ableitung darstellen. Damit: B zeigt das Schaubild von h, A das von h und C das von k..5 Ansatz: f(x) ax bx cx dx e ; f( x) ax bx cx d f(0) f (0) 0 f() f () 0 f ( ) e d 0 a b c d e a b c d 0 a b c d 5.6 u 0 u x dx, x, u, u 0 0 0

3 Musteraufgaben ab 08 Pflichtteil Aufgabe Seite / BEISPIEL A L Ö S U N G S V O R S C H L A G Schnittpunkt mit y-achse: x 0, y f (0) e, also S y(0 ) x 5 5 Schnittpunkt mit x-achse: f( x) 0 e 0 x ln( ), also 6 N ( ln( 5 ) 0) 6 Skizze: K f 5.8 f ( x) 5sin( x ) 0

4 Musteraufgaben ab 08 Pflichtteil Aufgabe Seite / BEISPIEL B. Berechnen Sie die Lösungen der Gleichung x 7x 0.. Gegeben sind die Funktionen f und g mit fx ( ) e x und gx ( ) e x ; x IR. Zeigen Sie, dass sich die Schaubilder der Funktionen f und g genau einmal schneiden.. Das Schaubild einer trigonometrischen Funktion hat die benachbarten Hochpunkte H ( ) und H ( ) sowie eine Amplitude von. Geben Sie die Koordinaten des dazwischen liegenden Tiefpunktes und eines Wendepunktes an. x. Bestimmen Sie die Stammfunktion von g( x) e x ; x IR, deren Schaubild die y-achse bei 6 schneidet..5 Berechnen Sie den Wert des Integrals sin( x) dx..6 In der nebenstehenden Abbildung schließen das zur y-achse symmetrische Schaubild K g der Funktion g und die x-achse eine Fläche ein. K g In diese wird ein achsenparalleles Rechteck einbeschrieben. Geben Sie eine Zielfunktion an, mit deren Hilfe das Rechteck mit maximalem Flächeninhalt bestimmt werden kann..7 Das Schaubild K g aus.6 ist das Schaubild der Ableitungsfunktion der Funktion h, es gilt also h g. Treffen Sie Aussagen über die Lage und Anzahl der Wendestellen von h..8 Bestimmen Sie die Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems: x y z 6 x z y z 5 0

5 Musteraufgaben ab 08 Pflichtteil Aufgabe Seite / BEISPIEL B L Ö S U N G S V O R S C H L A G. Substitution a x führt zu a 7a a, Resubstitution ergibt die Lösungen. Gemeinsame : f( x) g( x ) x x x x x x e e e e 0 e (e ) 0 x, und x, Einzige Lösung ist x ln.. Tiefpunkt T( ), Wendepunkt z. B. W( ). x x Stammfunktion von g( x) e x : G( x) e x x C Punktprobe mit (0 6) : 6 C 6,5 x G( x) e x x 6,5.5 sin( x) dx cos( x) cos( ) ( cos( )).6 Skizze (n. v.) Zielfunktion: A( u) u ( g( u )) (für u 0 ) u g(u).7 h hat drei Extremstellen, somit hat h drei Wendestellen, nämlich eine auf der y-achse und zwei, die symmetrisch zur y-achse liegen..8 Lösung des LGS: z. B. Addition aller drei Gleichungen ergibt x. Somit ist x, z 9 und y 5 0

6 Musteraufgaben ab 08 Aufgabe Seite /. Das Schaubild einer Funktion. Grades berührt die x-achse bei x und verläuft durch den Ursprung. Weiterhin liegt der Punkt A ( 6) auf dem Schaubild der Funktion. Bestimmen Sie den Funktionsterm der Funktion. 5 Gegeben ist die Funktion f mit f( x) x x x ; x IR. Ihr Schaubild ist K f.. Bestimmen Sie die Koordinaten des Hoch- und des Tiefpunktes von K f. Zeichnen Sie K f in ein geeignetes Koordinatensystem. 8. Berechnen Sie f ( x) dx und interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch. 5 Gegeben sind die Funktionen g mit g ( x) x und h( x) e x IR. Die Schaubilder heißen K und K. g h x ;. Skizzieren Sie die Schaubilder Kg und K h..5 K h soll in y-richtung so verschoben werden, dass K g den verschobenen Graphen auf der y-achse schneidet. Bestimmen Sie den neuen Funktionsterm..6 Die Kurve K g und die Gerade mit der Gleichung y 7 begrenzen eine Fläche. In diese Fläche soll ein zur y-achse symmetrisches Dreieck mit den Eckpunkten S(0 7) und P( u g( u )) mit 0u einbeschrieben werden. Skizzieren Sie diesen Sachverhalt für u. Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt dieses Dreiecks für u maximal wird. 7 0

7 Musteraufgaben ab 08 Aufgabe Seite / L Ö S U N G S V O R S C H L A G.. Möglichkeit: Produktansatz f ( x) a x( x ) wegen doppelter Nullstelle bei x und einfacher Nullstelle bei x 0 Punktprobe mit ( 6 A ) : a 6 a Funktionsterm: f( x) x x x. Möglichkeit: Allgemeiner Ansatz f( x) a x b x c x d f ( x) a x b x c Punkt O (0 0) : f ( 0) 0 d 0 6 Punkt A ( ): f ( ) 6 a b c d 6 a b c 6 Punkt N ( 0) : f ( ) 0 7a 9b c d 0 7a 9b c 0 Berührung: f '( ) 0 7a 6b c 0 7a 6b c 0 Matrixschreibweise: c ; b ; a f( x) x x x 5. f( x) x x x f( x) x x f( x) x Extrempunkte: f( x) 0 x x x x 0, f ( ) 0, T( 0) (, f ( ) 0, H ) 8. f ( x) dx ( x x x) dx x x x 7 7 ( 8 ) 0 Die Flächenstücke oberhalb und unterhalb der x-achse sind gleich groß und heben sich im Integral somit auf. 5

8 Musteraufgaben ab 08 Aufgabe Seite /. Schaubilder siehe rechts.5 x h( x) e ; g( x) x Die neue Funktion muss an der Stelle x 0 den selben Funktionswert haben wie g, d. h. h( 0) d g(0). 0 d 0 e d d Neuer Funktionsterm: x e.6 Zielgröße: A aha Nebenbedingungen: a u f( u) 7 h a A a Zielfunktion: ( u) ah u ( f( u) 7) Extremwert: u ( u ) u u A( u) u 0 u, da u 0 Randwerte: A ( 0) A() 0 Für u wird der Flächeninhalt des Dreiecks maximal. 7 0

9 Musteraufgaben ab 08 Seite / Aufgabe. Gegeben ist die Funktion f mit ( ) sin( ) für ; 8 f x a k x b x. Ihr Schaubild K f ist im folgenden Koordinatensystem dargestellt. Ermitteln Sie passende Werte für a, k und b anhand der Abbildung.. Zusätzlich ist die Funktion g mit g x gegeben. Ihr Schaubild sei K g. cos x für x 0; Geben Sie die Koordinaten der Extrempunkte und der Wendepunkte von K g an.. Bestimmen Sie für die nachfolgenden Problemstellungen jeweils einen passenden Funktionsterm:.. Der Temperaturverlauf an einem Sommertag soll durch eine trigonometrische Funktion beschrieben werden. Um Uhr erreicht die Temperatur den höchsten Wert von 8 C. Die tiefste Temperatur des Tages betrug 8 C um Uhr... Eine Saunakabine kühlt exponentiell ausgehend von einer Temperatur von 60 C ab. Nach 0 Minuten hat die Kabine noch eine Temperatur von 0 C. Die Umgebungstemperatur beträgt C. 5 Nachfolgend ist die Funktion h gegeben durch Ihr Schaubild sei K h. x hx e für x IR. Weisen Sie nach, dass K h keine Extrempunkte und keine Wendepunkte hat, und geben Sie die Gleichung der Asymptote von K h an..5 Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an K h im Punkt P h..6 K h und die Koordinatenachsen schließen eine Fläche ein. Berechnen Sie deren Inhalt. 7 0

10 Musterprüfung ab 08 Seite / Aufgabe L Ö S U N G S V O R S C H L A G. abgelesen: Periodenlänge 5 mit p k k 5 5 y 5 y HP und y TP 5 HP ytp a yhp ytp 5 b. g x cos x Amplitude: Verschiebung in Richtung der y-achse: um nach oben Periode: p b 0,5 Das Schaubild eines negativen Kosinus weist auf der y-achse einem TP auf: 0 T T und damit auch Nach der halben Periode muss ein Hochpunkt liegen: 5 H Die Wendepunkte finden sich auf Höhe der Verschiebung in Richtung der y-achse und liegen beim Kosinus nach einem Viertel und nach drei Viertel der W W Periodenlänge:.. Trigonometrische Funktion ; z. B. x = 0 bei Uhr ; Amplitude: Verschiebung y-achse: ; Periodenlänge h also: b Damit: z. B.: f x 0 cos x 8.. Exponentialfunktion mit Ansatz: f x ae kt b Umgebungstemperatur = C ; Asymptote: y b. hx k0 f 0 ae b 60 mit b folgt daraus: a 56 bzw. Vorfaktor a = Maximaltemperatur - Umgebungstemperatur k0 9 Vorfaktor k im Exponent: 56 e 0 k ln 0,0 0 0,0 x Damit: z. B.: fx 56 e 5 x e x hx e 0 keine Extrema x h x e 0 keine Wendepunkte 8 Asymptote: Existiert nur für x und lautet: y

11 Musterprüfung ab 08 Seite / Aufgabe.5 P h : h Tangentensteigung: L Ö S U N G S V O R S C H L A G e e h e e P e : e e b b t x e x Achsenabschnitt: Tangente im Punkt P:.6 Skizze der zu berechnenden Fläche (nicht verlangt): x h x e 0 x ln,77 Nullstelle von h: 0 x x e dx e x ln ln 0 ln e 0 e ln ln ln 0 da A unterhalb der x-achse liegt gilt: A ln,55 (Das bestimmte Integral kann auch mit der Dezimalzahl als Untergrenze ermittelt werden). 5 0

12 Musteraufgaben ab 08 Aufgabe Seite /. Gegeben ist das Schaubild Kf einer Funktion f und das Schaubild Funktion h. f( x) 6sin( x); x 0; k. Der Term von f lautet Ergänzen Sie die x- und die y-achse so, dass die vorgegebene Kurve Schaubild von f darstellt. K h einer K f das. Ermitteln Sie die Periode, die Amplitude, die Nullstellen von f und den Wert von k. Skalieren Sie dann obiges Koordinatensystem.. Beschreiben Sie, wie K f aus dem Schaubild der Funktion g mit g( x) sin( x) hervorgeht.. In welchen Kurvenpunkten von Kf beträgt die Steigung 6?

13 Musteraufgaben ab 08 Aufgabe Seite / Der Term von h lautet h( x) x x x x ; x IR..5 Berechnen Sie die Gleichung der Tangente an K h an der Stelle x. Anton behauptet: Es gibt keine Tangenten an K h mit einer größeren Steigung als die Tangente an der Stelle x. Nehmen Sie zu dieser Behauptung Stellung. 5.6 Die Schaubilder von f und h schneiden sich an den Stellen x 0 und x und schließen eine Fläche ein. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche. 5 Welche der folgenden Aussagen sind falsch, welche richtig und welche sind nur bedingt richtig? Geben Sie für die falschen Aussagen ein Gegenbeispiel an. Geben Sie für die bedingt richtigen Aussagen eine Bedingung an, unter welcher sie richtig sind..7 a) Leitet man die Funktion f mit f( x) cos( b x) mehrmals ab, wird die Amplitude der Schaubilder der Ableitungsfunktionen immer größer. b) kx Die Funktionen f mit f( x) e ; x IR ist streng monoton wachsend. c) Eine Polynomfunktion ungeraden Grades hat mindestens eine Nullstelle. d) Eine Polynomfunktion. Grades, deren Schaubild symmetrisch zur y-achse ist, hat auf der y-achse eine Wendestelle. 8 0

14 Musteraufgaben ab 08 Aufgabe Seite / L Ö S U N G S V O R S C H L A G. Achsen: (incl. Skalierung für.). Periode:, Amplitude: 6 Nullstellen: fx ( ) 0 liefert x 0; x ; x ; x ; x5. Damit ist k.. Das Schaubild von g wird mit dem Faktor 6 in y-richtung gestreckt und mit dem Faktor in x-richtung gestreckt.. f( x) 6, also 6 cos( x) 6 ; man erhält x und x. Damit sind P ( 0) und P ( 0) die gesuchten Kurvenpunkte..5 Die Tangentengleichung lautet y 8x 6, da h() 8 und h() 0. Anton hat nicht recht: da h() 0, ist x nicht die Stelle mit der größten Steigung zwischen den beiden Extrempunkten. Alternativ könnte man eine beliebige andere Stelle testen, z. B. h(0) 8..6 Man berechnet ( f( x) h( x)) dx (6sin( x) x x x x)) dx. 0 0 Mit Hilfe der Stammfunktion erhält man cos( x) x 6x x x, a) Bedingt richtig für b b) Bedingt richtig für k 0 c) Richtig d) Falsch: f( x) x 8 0

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