Aufgaben zum Aufstellen von Funktionen aus gegebenen Bedingungen

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1 Augaben zum Austellen von Funktionen aus gegebenen Bedingungen 1. Die Parabel Gp ist der Graph der quadratischen Funktion p(. Diese Parabel schneidet die x-achse im Punkt N(6/0). Ihr Scheitelpunkt S(/yS) liegt au dem Graphen der Funktion ( 1 9 x x. Bestimmen Sie den Funktionsterm p(. (Abitur 1996 AII). Die Parabel Gp ist der Graph der quadratischen Funktion p(. Diese Parabel schneidet den Graphen von ( 1 (x x 9x ) an den Stellen x1 = 1 und x = und besitzt an der Stelle x = eine zur Geraden mit der Gleichung y = -x parallele Tangente. Bestimmen Sie den Funktionsterm p(. (Abitur 1997 AII). Die Parabel Gp ist der Graph der quadratischen Funktion p(. Diese Parabel verläut symmetrisch zur y-achse, schneidet die x-achse im Punkt N(/0) und die Ordinate ihres Scheitelpunktes hat den Wert ys = -. Bestimmen Sie den Funktionsterm p(. (Abitur 1998 A II). Der Graph Gg der reellen Funktion g( mit g( ( x ax bx c) schneidet die x-achse an der Stelle x0 = und hat den relativen Tiepunkt T(/-5). Bestimmen Sie den Funktionsterm g(. (Abitur 000 A I) 5. Die Parabel Gp ist der Graph der quadratischen Funktion p(. Die Funktion p hat bei x0 = - eine Nullstelle. Ihr Graph Gp schneidet den Graphen 1 der Funktion ( x x au der y-achse und hat in diesem Schnittpunkt die Steigung 1 m. Bestimmen Sie den Funktionsterm p(. (Abitur 001 A I) 6. Die Parabel Gp ist der Graph der quadratischen Funktion p(. Diese Parabel geht durch den Punkt P(-/9) und berührt den Graphen der Funktion ( x x 5 im Punkt Q(/y). 7 Bestimmen Sie den Funktionsterm p(. (Abitur 00 A I) 1

2 7.0 Einem Betrieb entstehen bei der Herstellung einer Ware Gesamtkosten, die von der Menge des hergestellten Produkts (kurz: Produktmenge abhängen. Beispiel: Die Herstellung von Mengeneinheiten (ME) kosten 0 Geldeinheiten (GE) (Zur Vereinachung werden ür die Berechnungen sämtliche Einheiten weggelassen). Um die Problematik mathematisch erassen zu können, wird angenommen, dass die Gesamtkosten durch eine ganzrationale Funktion k dritten Grades beschrieben werden kann, deren Graph Gk durch die Punkte A(0;), B(1;), C(;9) und D(;0) verläut. Für die Deinitionsmenge der Funktion k gilt: Dk = [0;7]. 7.1 Ermitteln Sie den Funktionsterm k(. (Teilergebnis: k ( x 9x 7x ) 7. Zeigen Sie, dass die Funktion k au ihrer gesamten Deinitionsmenge echt monoton zunimmt. Welche Bedeutung hat dieses Ergebnis ür die Gesamtkosten? 7. Bestimmen Sie den Punkt P des Graphen Gk, ür den Gk die geringste Steigung besitzt. Beschreiben Sie kurz, um welchen besonderen Punkt des Graphen es sich bei P handelt. 7. Zeichnen Sie den Graphen Gk bezüglich Dk = [0;7] mit Hile bisheriger Angaben bzw. Ergebnisse und einer geeigneten Wertetabelle in ein rechtwinkliges Koordinatensystem. Maßstab au der x-achse: 1 cm 1 Mengeneinheit ( ME) Maßstab au der y-achse: 1 cm 10 Geldeinheiten ( GE) (Abitur 000 AII) 8. Die reelle Funktion ( 8 x ist die zweite Ableitung der Funktion. Der Graph der Funktion wird mit G bezeichnet. Gegeben ist außerdem die reelle Funktion p( 1 1 x 5. Der Graph dieser Funktion ist die Parabel Gp. 6 Der Graph G schneidet die Parabel Gp im Punkt A(;yA). Die Steigung der Tangente an G im Punkt A wird m genannt, die Steigung der Tangente Gp im selben Punkt mp. Es gilt nun: m m p 1. Berechnen Sie den Funktionsterm der Funktion. (Abitur 00 AI) 9.0 Der Graph einer ganzrationalen Funktion h dritten Grades hat den Wendepunkt W(0/5) und verläut durch den Punkt P(1/8). Die Wendetangente enthält den Punkt Q(-1,5/0). (Abitur 006 AI) 9.1 Zeigen Sie, dass die Wendetangente die Steigung mt = hat. 9. Bestimmen Sie den Funktionsterm h(. 10. Eine ganzrationale Funktion r dritten Grades geht durch die Punkte B(-5/) und C(0/0). Außerdem liegt im Punkt T( 1/ 8 ) ein Tiepunkt vor. 5 Bestimmen Sie den Funktionsterm der Funktion r(. (Abitur 007 AI)

3 11. Gegeben ist die reelle Funktion h( ax bx x c mit reellen Konstanten a, b und c. Der Graph Gh dieser Funktion schneidet den Graphen der Funktion ( 1 8 (x ) au der y-achse und besitzt bei x0 = - einen Terrassenpunkt. Bestimmen Sie den Funktionsterm h(. (Abitur 007 AII) 1.0 In der untenstehenden Zeichnung ist der Graph einer gebrochenrationalen Funktion g : x g( mit D g R ; abgebildet. Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-achse. Alle weiteren Eigenschaten können der Zeichnung entnommen werden. (Abitur 00 AII 1NT) 1.1 Bestimmen Sie einen Funktionsterm g(, wenn Zähler und Nenner jeweils Polynome zweiten Grades sind. 1. Stellen Sie est, ob Zähler und Nenner von g( auch jeweils Polynome der Form ax bx (a R 0,b R) sein können und begründen Sie Ihre Aussage. 1.0 Die untere Abbildung zeigt den Graphen der 1. Ableitungsunktion g der Funktion g( ax bx cx. 1.1 Berechnen Sie mit Hile der Zeichnung den Funktionsterm g( der Funktion g. 1. Der Graph von g besitzt oensichtlich die Nullstelle x = 0. Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass es ür x > 0 eine weitere Nullstelle von g geben muss. 1. Begründen Sie ohne Rechnung mit Hile obiger Zeichnung, an welcher Stelle der Graph von g eine Wendestelle hat.

4 1. Von der ganzrationalen Funktion dritten Grades ist die zweite Ableitung ( x 9 gegeben. Der Graph G schneidet die x-achse an der Stelle x1 = -1 und die y-achse im Punkt P(0 / 5 ). Bestimmen Sie den Funktionsterm (. (Abitur 009 AI) 15.0 Untenstehende Zeichnung gibt den Graphen der Ableitungsunktion g einer ganzrationalen Funktion g dritten Grades an. (Abitur 009 AII) 15.1 Begründen Sie anhand der Zeichnung, an welcher Stelle (Abszisse) der Graph der Funktion g einen Hochpunkt, an welcher Stelle er einen Tiepunkt und an welcher Stelle er einen Wendepunkt besitzt. 15. Berechnen Sie mit Hile geeigneter aus der Zeichnung abgelesener Punktkoordinaten den Funktionsterm g ( und anschließend den Funktionsterm g( derjenigen Funktion g, deren Wendepunkt au der x-achse liegt Gegeben ist die Funktion ( x bx c. Der Punkt P(-/) liege au G. Die Steigung bei sei Gegeben sei die Funktion ( = ax + bx +. Die Steigung bei 1 sei. Der Punkt 0,5 / y ) sei ein Flachpunkt des Graphen. ( 0 Bestimmen Sie a und b und zeichnen Sie den Graphen. 18. sei eine Polynomunktion. Grades. G verläut durch (1/). W(/6) ist Wendepunkt des Graphen. Die Tangente am Kurvenpunkt mit der Abszisse verläut waagrecht. Bestimmen Sie den Funktionsterm.

5 19. Der Graph G einer Polynomunktion. Grades enthält den Punkt (0/-). Der Punkt (/y0) ist Wendepunkt und x + y = 6 ist Wendetangente an G. 0. Bestimmen Sie a, b und d so, dass (1/-1) Wendepunkt und y = -x + 11 Wendetangente des Graphen von mit ( = ax bx 18x + d wird. 1. In der Funktionsgleichung ( = ax + bx sind die Parameter a und b so zu bestimmen, dass die Kurve die Gerade mit der Gleichung 6x 5y + = 0 im Punkt P(/p) berührt. Bestimmen Sie das Extremum und die Schnittpunkte mit der x-achse.. Der Graph einer Funktion. Grades hat im Punkt A(/a) die Gerade y = 11x 7 als Tangente und im Punkt W(1/0) einen Wendepunkt. Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion, die Nullstellen, die Koordinaten der Hochund Tiepunkte und die Gleichung der Wendetangente.

6 Lösungen 1. Allgemeine Parabelgleichung: p( = ax + bx + c; Bedingungen: (I) N(6/0) G p 0 a 6 b 6 c 6a 6b c 0 (II) S(/ y S ) G p y S () S(/) a b c 9a b c (III) Scheitel ist Extrempunkt p () = 0 p ( = ax +b a b 0 6a b 0 (I) 6a 6b c 0 (II) 9a b c (III) 6a b 0 (I) (II) : (I ) 7a b (I ) (III) : 9a a 1 6 ( 1 ) b 0 b 9 ( 1 ) c c 0 p( 1 x x

7 . Allgemeine Parabelgleichung: p( = ax + bx + c; Bedingungen: (I) P 1 (1 / y) G p y (1) 1 ( ) 1 (1 9 ) P 1(1 / ) a 1 b 1 c a b c (II) P ( / y) G p y () 1 ( 9 ) 1 (6 8 6 ) 6 P ( / 6) 6 a b c 16a b c 6 (III) p ()=- p (=ax+b a b 6a b (I) a b c (II) 16a b c 6 (III) 6a b (II) (I ) :(II ) 1a b (II ) (III ) : a a 1 6 ( 1) b b 1 c c 6 p( x x 6. Allgemeine Parabelgleichung: p( = ax + bx + c; Bedingungen: ( I) ( II) p( p() 0 ( III) p(0) p( a b 0, c in ( II) : 9a 0 1 p( x a( x ax a 0 ) b( c ax bx 0 b c 0 bx bx bx c ax b 0 c a 9a b c 0 1 b 0 bx c c bx c

8 . g( 1 ( x ax bx c) g ( 1 ( x ax b) (I) g() 0 1 ( 8 a b c) 0 a b c 8 (II) g() 5 1 ( 6 16a b c) 5 16a b c (III) g () 0 1 ( 8 8a b) 0 8a b 8 (I) a b c 8 (II) 16a b c (III) 8a b 8 (II) (I) : (II ) 1a b 6 (III) (II ) : a 60 a b 8 b 7 15 ( 7) c 8 c 9 g( 1 ( x 15x 7x 9) 5. p( ax p ( ax b ( I) ( II) p( ) 0 p(0) bx c 16a b c 0 c 1 1 ( III) p (0) b c und b in ( I) 16a p( x x a 1 a 6

9 6. p( ax bx c p ( ax b (I) p( ) 9 9a b c 9 (II) p() 1 9a b c 1 (III) p () 0 6a b 0 (I) 9a b c 9 (II) 9a b c 1 (III) 6a b 0 (II) (I) : (II ) 6b 8 b 6 a 0 a ( ) c 9 c p( 9 x x 7.1 Für die Funktionsgleichung gilt allgemein: k( ax bx cx d Die gegebenen Eigenschaten ühren zu olgenden Gleichungen: (I) k(0) d (II) k(1) a b c (III) k() 9 8a b c 9 (IV) k() 0 7a 9b c 0 (II) a b c 19 (III) 8a b c 6 (IV) 7a 9b c 7 (III) (II) : (III ) 6a b 1 (IV) (II) : (IV ) a 6b 0 (IV ) (III ) : 6a 6 a b 1 b c 19 c 7 k( x 9x 7x

10 dk( dx 7. x 18x 7 x 18x 7 0 ( x ) 0 x Skizze: dk( 0 x : 0 Gk dx dk( x 7 : 0 Gk dx G ist streng monoton k steigt steigt zunehmend in [0;] [;7] k ist im gesamten Deinitionsbereich [0;7] streng monoton zunehmend; Bedeutung ür die Gesamtkosten: Mit zunehmender Produktmenge x nehmen die Gesamtkosten zu. 7. Berechnung der extremalen Steigung: d k( 6x 18 6x 18 0 d x x Skizze: 0 x : d k( 0 Steigungen nehmen ab d x x 7 : d k( 0 Steigungen nehmen zu d x minimale Steigung bei x = P(;0) Da bei x = die erste und zweite Ableitung Null sind, ist P ein Terrassenpunkt von Gk.

11 7. 8. ( 1 8 x x c ( 1 x x cx d (I) p() 9 1 c d 9 c d 8 (II) p ( 1 6 x p () 1 m p m m p 1 m () 1 c c 0 c 0 in (I) 0 d 8 d 8 ( 1 x x 8

12 9.1 Der Wendepunkt W(0/5) und der Punkt Q(-1,5/0) liegen au der Wendetangente 5 0 m t 0 ( 1,5) 9. h( ax bx cx d h ( ax bx c h ( 6ax b (I) h(0) 5 d 5 (II) h (0) c (III) h (0) 0 b 0 (IV ) h(1) 8 a b c d 8 a a 1 h( x x 5 10) r( ax bx cx d (I) r(0) 0 d 0 r ( ax bx c (II) r( 5) 15a 5b 5c d (III) r( 1) 8 8 a b c d 5 5 (IV ) r ( 1) 0 a b c 0 r( 5 x 6 5 x 1 5 x 11) h( ax bx x c h ( ax bx h ( 6ax b (I) h(0) c (II) h ( ) 0 1a b 0 (III) h ( ) 0 1a b 0 (II) (III) b 0 b b in (III) 1a 0 1a a 1 h( 1 x x x

13 1.1 g( ax bx c dx ex 1) Achsensymmetrie zur y - Achse : b = 0, e = 0 g( = ax c dx ) Tiepunkt (0/1) : g(0) = c 1 c g( = ax c dx c ) Waagrechte Asymptote y = -1: a d 1 a d g( = -dx c dx c ) Deinitionslücken bei x = - und x = : Nenner muss die Gestalt d (x - ) (x +) = d (x ) haben Mit z.b. d =1 olgt : g( = -x x g( ax bx cx dx x(ax b) x(cx d) Diese Funktion g( hätte bei x = 0 eine stetig behebbare Deinitionslücke, dies ist aber in der Zeichnung nicht vorgesehen. Zähler und Nenner können somit nicht Polynome der Gestalt ax bx sein. g( ax bx cx (I) g (0) c g ( ax bx c (II) g ( 6) 0 108a 1b c 0 (III) g () 0 1a b c 0 a 1 1 b 1 g( 1 1 x 1 x x

14 1. G g ist streng monoton allend in 0; Minimum bei x = und G g ist streng monoton steigend in ; Es gilt, dass x = 0 Nullstelle ist und danach G g ällt TP unterhalb der x - Achse. Da g( eine Funktion.Grades mit positivem Koeizienten vor x ist, gilt also ür x ÞÞÞÞ g( G g muss die x - Achse noch einmal schneiden, also eine weitere Nullstelle ür x > 0 1. x W ist Wendestelle von g, wenn x W eine Extremstelle von g ( ist x = - (Scheitelpunkt) 1. ( x 9 x a ( 1 x 9 x ax b P(0 / 5 ) b 5 Q( 1 / 0) 1 ( 1) 9 ( 1) a( 1) 5 0 a 5 ( 1 x 9 x 5 x Extrema: g ( = 0 x 1 x 1 Monotonieverhalten: G g sms in ]- ;-] sowie in [-1; [ G g sm in [-;-1] x 1 ist Hochpunkt und x =-1 ist Tiepunkt Bei x hat g eine Minimalstelle x ist Wendestelle von g g ( ax bx c S( / 1) P( 1 / 0) g ( a(x ) 1 P( 1 / 0) einsetzen: 0 a(( 1) ) 1 a 1 g ( (x ) 1 x x 1 x x g( 1 x x x d g( ) 0 d g( 1 x x x

15 1 ( ( x b ( /) G ( ) 16. x bx c P (I) (II) Steigung bei x = - ist 1 (-)=1 (I) - b + c = (II) + b = 1 1 b = - und c = 1 ( x x ( ax bx ( ax bx ( 1ax b (I) Steigung bei x = 1 ist (1) = (II) P 0,5 / y ) ist Flachpunkt ( 0,5 ) 0 ( 0 (I) a + b = (II) 6a + b = 0 a = -1 und b = ( x x

16 18. ( ax bx cx d ( ax bx c ( 6ax b G (1) = (I) P(1/) (II) W(/6) ist Wendepunkt () = 0 (III) W(/6) G () = 6 (IV) bei x = waagrechte Tangente () = 0 (I) a + b + c + d = (II) 18a + b = 0 (III) 7a + 9b + c + d = 6 (IV) 8a + 8b + c = 0 a = 1, b = -9, c = und d = -1 ( x 9x x 1 Prüung, ob bei W(/6) wirklich ein Wendepunkt vorliegt. 19. ( ax bx cx d ( ax bx c ( 6ax b G (0) = - (I) P(0/-) (II) Q(/y0) Wendepunkt () = 0 (III) x + y = 6 Wendetangente y = -x + 6 () = - (IV) Q(/y0) G Q(/0) G (Errechnen aus Wendetangente) () = 0 (I) d = - (II) 1a +b = 0 (III) 1a + b + c = - (IV) 8a + b + c + d = 0 a 1; b 6; c 9 ( x 6x 9x Prüung, ob P(/y0) Wendepunkt ist;

17 0. ( ax bx 18x d ( ax bx 18 ( 6ax b (I) (1/-1) Wendepunkt (1) = 0 (II) (1/-1) G (1) = -1 (III) y = -x +11 ist Wendetangente (1) = - (I) 6a b = 0 (II) a b 18 + d = -1 (III) a - b 18 = - a = ; b = 6 und d = 9 ( x 6x 18x 9 Prüung, ob (1/-1) Wendepunkt ist; 1. ( ax bx ( ax b (I) G berührt 6 6 y x x ( ) 5 (II) P(/p) (I) a + b = 5 6 G 16 (II) a + b = 5 1 a = y ist Tangente im Punkt P(/p) ( ) (p berechnen aus der Tangente) und b = y 1 x x 5 Extremum: bei x = 5 liegt ein Hochpunkt vor Schnittpunkte mit der x-achse: x1 = 0 und x = 10

18 . ( ax bx cx d ( ax bx c ( 6ax b (I) in A(/a) Gerade y = 11x 7 als Tangente () = 11 (II) A(/a) G () = 6 (aus Tangente berechnen!) (III) W(1/0) ist Wendepunkt (1) = 0 (IV) W(1/0) G (1) = 0 (I) 7a + 6b + c = 11 (II) 7a + 9b + c + d = 6 (III) 6a + b = 0 (IV) a + b + c + d = 0 a = 1; b = -; c = und d = 0 ( x x x Prüung, ob W(1/0) Wendepunkt; Nullstellen: x1 = 0; x = 1 und x = und HP ( 1 / ) 9 9 Extrema: TP ( 1 / ) Wendetangente: y = -x + 1

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