Aufgaben zu Kapitel 32

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1 Aufgaben zu Kapitel 3 Aufgaben zu Kapitel 3 Verständnisfragen Aufgabe 3. Zeigen Sie, dass die Summe der n-ten Einheitswurzeln für n immer null ergibt und interpretieren Sie dieses Ergebnis für n 3 geometrisch. Aufgabe 3. Zeigen Sie die Identität cos4ϕ) 8 cos 4 ϕ 8 cos ϕ + und leiten Sie eine analoge Identität für sin4ϕ) her. Aufgabe 3.3 Geben Sie jeweils zwei Gebiete G und G an, sodass. Vereinigung und Durchschnitt wieder Gebiete sind,. die Vereinigung ein Gebiet ist, nicht aber der Durchschnitt, 3. weder Vereinigung noch Durchschnitt Gebiete sind. Aufgabe 3.4 Man zeige, dass die Häufungspunktbedingung im Identitätssatz tatsächlich notwendig ist, dass also zwei holomorphe Funktionen, die auf einer unendlichen Menge M übereinstimmen, nicht gleich sein müssen, wenn M keinen Häufungspunkt hat. Aufgabe 3.5 Gibt es eine Funktion fz)mit der Eigenschaft ) f n n für n, 3, 4,..., die a) auf z <, b) auf ganz C holomorph ist? Aufgabe 3.6 Man ermittle ohne Rechnung den Konvergenzradius bei Entwicklung der jeweils angegebenen Funktion um den Punkt z in eine Potenzreihe: z a) fz) z i)z+) um z b) fz) Log z) um z + i c) fz) / sin z ) um z π + i Aufgabe 3.7 Wo haben die folgenden Funktionen f, Df ) R Singularitäten und um welche Art handelt es sich jeweils soweit in unserem Schema klassifizierbar)? a) fz) z 8 + z, b) fz) cos, z c) fz) sin z z +. Rechenaufgaben Aufgabe 3.8 Wir setzen im Folgenden stets z x + iy. Schreiben Sie den Ausdruck x 3 + xy auf z und z sowie z z auf x und y um. Verifizieren Sie die Relation e iz cos z + i sin z für die komplexe Zahl z π + i. Berechnen Sie ) Re e z3 ) und Im e ) z3 ) für z x + iy und speziell für z 3 π + i 3 π. Berechnen Sie Log z k für die komplexen Zahlen z i, z + i und z 3 z z. Überprüfen Sie, ob die beiden Grenzwerte existieren und berechne Sie sie gegebenenfalls. G lim z z z + z G lim z z Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

2 Aufgaben zu Kapitel 3 Aufgabe 3.9 Man zeige, dass f, C C, fz) Im z für kein z C komplex differenzierbar ist, indem man a) die entsprechenden Grenzwerte bilde, b) die Cauchy-Riemann-Gleichungen überprüfe. Aufgabe 3. Man zeige anhand der Cauchy-Riemann-Gleichungen, dass die Funktionen f, g und h, C C mit fz) cos z gz) z + + i)z hz) e sin z auf ganz C holomorph sind. Aufgabe 3. Sind für die Funktion f, C C mit { z 5 fz) z 4 für z für z im Punkt z die Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllt? Ist f in z komplex differenzierbar? Aufgabe 3. Man zeige, dass die Funktion u, R R ux, y) x y) harmonisch ist und berechne die konjugiert harmonische Funktion v sowie f u + iv als Funktion von z x + iy. Die Integrationskonstante darf dabei null gesetzt werden.) Aufgabe 3.3 Man berechne die Integrale π e it + I e it dt + e it I t 3 + i + )t + i )t + i) dt t I 3 t + + i)t + i dt Aufgabe 3.4 Man parametrisiere die in Abbildung 3.7 dargestellten Kurven. Im z Im z + i Im z + i i Re z Re z Re z i Abbildung 3.7 Parametrisieren Sie diese Kurven. Aufgabe 3.5 Man berechne die Integrale I a,k z dz I b,k Re z dz C k C k I c,k e πz dz I d,k z 5 dz C k C k für k,, 3, 4, 5 entlang der in Abbildung 3.8 dargestellten Kurven: Aufgabe 3.6 Man berechne die Integrale: e a) I,k Ck z z dz entlang der positiv orientierten Kreise C : z 3und C : z. sin 3z b) I C z + π dz entlang des positiv orientierten Kreises C: z 5. Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

3 Aufgaben zu Kapitel 3 3 C Im z i C 3 C Re z + i Im z C 4 Re z C 5 Abbildung 3.8 Berechnen Sie die Integrale C k fz)dz für fz) z, fz) Re z, fz) e πz und fz) z 5 entlang dieser Kurven. e 3z c) I 3 C z πi dz entlang der positiv orientierten Kurve C: z + z + 6. Aufgabe 3.7 Man zeige + e ax bx dx π 4 a e b 4a e i Arg a für a,b C und Re a > durch Anwendung des Cauchy schen Integralsatzes auf den in Abbildung 3.9 gezeigten Integrationsweg. Im z Re z Abbildung 3.9 Durch Anwendung des Cauchy schen Integralsatzes auf den hier dargestellten Integrationsweg kann man Gauß-Integrale auf komplexe Argumente verallgemeinern. Aufgabe 3.8 Man berechne das reelle Integral für p N. π I cos x) p dx mit p N. Aufgabe 3.9 Man ermittle die Laurent-Reihenentwicklung der Funktion f, Ċ C, fz) sin z ) um z. Aufgabe 3. Man entwickle die Funktion f, fz) z iz in Laurent-Reihen um die Punkte z und z i jeweils zwei Bereiche). Aufgabe 3. Man berechne die Laurent-Reihenentwicklung der Funktion a) für z <, b) für < z < und c) für z >. Aufgabe 3. Man zerlege die Funktion f, fz) z )z ) fz) 4z z + 8 z 3 z + 4z 4 in Partialbrüche und ermittle die Residuen an den Polstellen. Hinweis: Eine Nullstelle des Nenners liegt bei z +). Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

4 4 Aufgaben zu Kapitel 3 Aufgabe 3.3 Man bestimme zu den folgenden Funktionen f, Df ) C jeweils die maximale Definitionsmenge und die Residuen der Funktionen an allen Singularitäten: a) fz) eπz z + b) fz) z 4 + z 3 c) fz) 4z 5z + 3 z 3 z + z Aufgabe 3.4 Man berechne mittels Residuensatz die Integrale über die Funktionen f und g mit e πz fz) z + i)z + i z gz) z + i )z i entlang der in Abbildung 3.3 dargestellten Kurven C bis C 3. Im z Im z Im z C C C 3 Re z Re z Re z Abbildung 3.3 Bestimmen Sie die Integrale der Funktionen f und g entlang der hier dargestellten Kurven C, C und C 3. Die Punkte markieren dabei komplexe Zahlen z Z bzw. z iz.) Aufgabe 3.5 Mittels Residuensatz berechne man die reellen Integrale: π I sin t dt π cos t I 5 4 cos t dt π cos 3t I cos t dt Aufgabe 3.6 Mittels Residuensatz berechne man die Integrale: + I a t 4 + dt + t I b t 6 + dt t sin t I c t + 4 dt Aufgabe 3.7 Bestimmen Sie mittels Residuensatz das Integral für a>b. π I dt a + b cos t Anwendungsprobleme Aufgabe 3.8 Zwei unendlich ausgedehnte geerdete Platten sind parallel im Abstand a angebracht, dazwischen ist Ladung q fixiert. Bestimmen Sie das Potenzial zwischen den Platten in Abhängigkeit vom Abstand b der Ladung zu einer der Platten. Hinweise: Die Abbildung w e πz a bildet den Streifen <z<ain die obere Halbebene Im w>ab. Die Erdung einer Platte kann man durch Anbringen einer Spiegelladung q an einer geeigneten Stelle erreichen.) Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

5 Hinweise zu Kapitel 3 5 Hinweise zu Kapitel 3 Verständnisfragen Aufgabe 3. Benutzen Sie, dass sich alle n Wurzeln als Potenzen der ersten darstellen lassen. Die Zählung beginnt bei der nullten.) Zeichnen Sie die Wurzeln als Vektoren in C und skizzieren Sie die Vektoraddition. Aufgabe 3. Benutzen Sie die Formel von Moivre 3. für n 4 und den trigonometrischen Satz von Pythagoras. Aufgabe 3.3 Wie auf Seite 96 dargestellt, ist es entscheidend, zu prüfen, ob Vereinigung bzw. Durchschnitt zusammenhängend sind. Aufgabe 3.4 Suchen Sie ein Gegen)beispiel. Aufgabe 3.5 Hier erlaubt der Identitätssatz für holomorphe Funktionen eine klare Aussage. Aufgabe 3.6 Bestimmen Sie den Abstand der Entwicklungsmitte zur nächsten Singularität. Aufgabe 3.7 Suchen Sie nach den Nullstellen der Nenner. Für einen Pol k-ter Ordnung ist die k-te Ableitung des Nenners an der entsprechenden Stelle ungleich null. Rechenaufgaben Aufgabe 3.8 Mit z x + iy, z x iy und x z + z, x z z kann man derartige Ausdrücke immer umschreiben. Bestimmte Kombinationen von z und z ergeben allerdings besonders einfache Ausdrücke, etwa z z x + y. Hier genügt simples Einsetzen. Benutzen Sie z x + iy und multiplizieren Sie die dritte Potenz aus. Wir haben einen Weg kennengelernt, den komplexen Logarithmus durch den reellen ln und das Argument ϕ Arg z auszudrücken. Drücken Sie im Limes z z die Differenz z z in der Form z r e iϕ aus und untersuchen Sie, ob der Ausdruck für r vonϕ unabhängig ist. Aufgabe 3.9 In a) genügt es, den Grenzwerte aus zwei unterschiedlichen Richtungen zu bilden, etwa entlang der x- und der y-achse. Für b) muss man u Re f und v Im f auf Gültigkeit der C-R-Gleichungen untersuchen. Aufgabe 3. Spalten Sie die Funktionen in Real- und Imaginärteil auf, differenzieren Sie jeden nach x Re z und y Im z. Mit diesen Ergebnissen sehen Sie sofort, ob die Bedingung der reellen Differenzierbarkeit sowie Gleichungen 3.3) erfüllt sind. Aufgabe 3. Man ermittle zuerst ux, ), vx, ), u, y) und u, y) und berechne daraus die partiellen Ableitungen. Aufgabe 3. Multiplizieren Sie aus und integrieren Sie die Cauchy-Riemann-Gleichungen. Aufgabe 3.3 Benutzen Sie für I die Euler sche Formel, um ein Integral über trigonometrische Funktionen zu erhalten. I ist als Polynom unmittelbar integrierbar, in I 3 ist eine Partialbruchzerlegung notwendig. Aufgabe 3.4 Geradenstücke von z A nach z B lassen sich mittels zt) z A +tz E z A ), t [, ] parametrisieren, Teile von Kreisen mittels zt) z + r e ±iϕ, wobei z der Mittelpunkt und r R > der Radius ist. Es ist nicht notwendig, eine durchgehende Parametrisierung zu finden. Aufgabe 3.5 Für die Integrale über z und Re z müssen wir die Parametrisierung der Kurven verwenden, bei e πz und z 5 genügt es wegen der Holomorphie des Integranden, eine Stammfunktion zu finden oder das Integral entlang einer der Kurven zu berechnen). Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

6 6 Hinweise zu Kapitel 3 Aufgabe 3.6 Bestimmen Sie die Lage der Pole der Integranden und skizzieren Sie die Kurven. Welche geometrische FIgur ist dadurch gegeben, dass die Summe der Abstände von zwei Punkten konstant ist?) Benutzen Sie die Cauchy sche Integralformel oder gegebenenfalls den Cauchy schen Integralsatz. Die Anwendung des Residuensatzes ist selbstverständlich ebenfalls möglich.) Aufgabe 3.7 Quadratische Ergänzung; Sie können selbstverständlich das bekannte Resultat + e x dx π benutzen. Suchen Sie nach einer geeigneten Abschätzung für die Integrale entlang der Wege, die parallel zur imaginären Achse verlaufen. Aufgabe 3.8 Den Kosinus mithilfe von komplexen Exponentialfunktionen aufschreiben, den binomischen Satz verwenden. In der Reihe liefert nur ein Integral einen Beitrag. Aufgabe 3.9 Benutzen Sie die Potenzreihenentwicklung des Sinus. Aufgabe 3. Benutzen Sie die Summenformel für geometrische Reihen wie in einem Beispiel auf Seite 4. Aufgabe 3. Beginnen Sie mit einer Partialbruchzerlegung. Auf jeden der beiden Terme können Sie die Summenformel für geometrische Reihen anwenden, in unterschiedlichen Bereichen allerdings auf unterschiedliche Weise. Aufgabe 3. Die Residuen sind die Koeffizienten der Partialbruchzerlegung. Aufgabe 3.3 Suchen Sie nach Nullstellen des Nenners. An Polen erster Ordnung können Sie Formel 3.8 benutzen. Aufgabe 3.4 Mit Kenntnis über Lage und Art der der Singularitäten der beiden Funktionen können Sie sofort die Residuen bestimmen. Jede der beiden Funktionen hat zwei Pole erster Ordnung.) Die Windungszahlen lassen sich durch Abzählen herausfinden Sie können die Kurven wie auf Seite gezeigt in einfachere Teilkurven zerlegen. Aufgabe 3.5 Benutzen Sie die Methode, die auf Seite vorgestellt wurde. Den Wert von I haben wir in früheren Kapiteln schon auf mehrere andere Arten bestimmt das erlaubt eine schnelle Kontrolle. Bei der Bestimmung von I 3 ist eine Identität von Seite 9 hilfreich. Aufgabe 3.6 I a und I b sind vom Typ, der auf Seite besprochen wurde, I c ergibt sich durch Betrachten des Imaginärteils von I c : t t +4 eit dt dieser Typ von Integralen wird direkt im Anschluss behandelt. Aufgabe 3.7 Für rationale Funktionen in Sinus und Kosinus haben wir auf Seite eine Methode vorgestellt, Integrale mithilfe der Residuen im Inneren des Einheitskreises zu bestimmen. Anwendungsprobleme Aufgabe 3.8 Ist eine Ladung q an w w angebracht, so bewirkt das Anbringen einer Spielladung q an w w, dass das Potenzial der reellen w-achse überall null ist. Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

7 Lösungen zu Kapitel 3 7 Lösungen zu Kapitel 3 Verständnisfragen Aufgabe 3. In Vektordarstellung bilden die Wurzeln ein regelmäßiges n-eck mit Seitenlänge. Aufgabe 3. sin4ϕ) 4 cos 3 ϕ sin ϕ 4 cos ϕ sin 3 ϕ Aufgabe 3.3 Eine Möglichkeit wäre: G ) D r ), G ) D r ); G ) {z Im z < }, G ) D,3 ); G 3) {z Re z< }, G 3) {z Re z>}. Aufgabe 3.4 Aufgabe 3.5 a) ja, b) nein Aufgabe 3.6 R a, R b 5, R c Aufgabe 3.7 a) Pol zweiter Ordnung an z, Pole erster Ordnung an den sechsten Wurzeln von. b) Pole erster Ordnung an z k+)π, k Z, eine in unserem Schema nicht klassifizierbare Singularität an z. c) Pole erster Ordnung an z ±i, wesentliche Singularität an z. Rechenaufgaben Aufgabe 3.8 Wir erhalten z z + z z ) und x 3 + xy + ix y + y 3 ) e z3 ) e π Log z i π, Log z ln + i π 4, Log z 3 ln + i 3π 4 G, G existiert nicht. Aufgabe 3.9 Aufgabe 3. Aufgabe 3. Die C-R-Gleichungen sind erfüllt, die Funktion ist in z aber nicht komplex differenzierbar. Aufgabe 3. vx,y) x y + y + C, fz) iz + z. Aufgabe 3.3 I π, I i, I 3 6ln π 4 + ln π 4 i Aufgabe 3.4 Aufgabe 3.5 I a,, I b,, I c, +e π π, I d, 3 ; vollständige Ergebnisse siehe Lösungsweg. Aufgabe 3.6 I, πie, I,, I πi, I 3 Aufgabe 3.7 Aufgabe 3.8 I π 4 p ) p p Aufgabe 3.9 sin z ) n n + )! z n+ n Aufgabe 3. Aufgabe 3. fz) ) n n+ z n für z <, fz) k zk k k+ z k für < z <, fz) ) k + k+ z k für z >. Aufgabe 3. Res f, ), Res f, i) Res f, i) Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

8 8 Lösungen zu Kapitel 3 Aufgabe 3.3 a) Res f, i) i, Res f, i) i b) Res f, ) 8, Res f, ) 8, Res f, 3i) i 8 3, Res f, 3i) i 8 3 c) Res f, ) 3, Res f, ) Aufgabe 3.4 C fz)dz C fz)dz π + e π ) + π + e π ) i, C 3 fz)dz π e π + π e π i, C gz) dz C gz) dz π + 4πi, C 3 gz) dz Aufgabe 3.5 I π, I π 3, I 3 π Aufgabe 3.6 I a π, I b π 3, I c π e Aufgabe 3.7 I π a b Anwendungsprobleme Aufgabe 3.8 Sitzt die Ladung an z ib und beschreiben wir die beiden Platten durch Im z und Im z a, so ist das Potenzial q Re e πz a e πbi a e πz a e πbi. a Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

9 Lösungswege zu Kapitel 3 9 Lösungswege zu Kapitel 3 Verständnisfragen Aufgabe 3. Alle n Wurzeln haben die Form ) w k e i π n k e i π k n k,,...k ), und wir erhalten für n ) n n ) w k e i π k e i π n n n. k k e i π n e i π n Setzt man in Vektordarstellung die Einheitswurzeln der Reihe nach aneinander, so erhält man ein Polygon, genauer ein regelmäßiges n-eck mit Seitenlänge. Dass die Summe der Wurzeln null ergibt, entspricht dem Umstand, dass das Polygon geschlossen ist. Aufgabe 3. Aus der Formel von Moivre erhalten wir Trennung von Real- und Imaginärteil ergibt cos4ϕ) + i sin4ϕ) cos 4 ϕ + 4i cos 3 ϕ sin ϕ 6 cos ϕ sin ϕ 4i cos ϕ sin 3 ϕ + sin 4 ϕ. cos4ϕ) cos 4 ϕ 6 cos ϕ sin ϕ + sin 4 ϕ, sin4ϕ) 4 cos 3 ϕ sin ϕ 4 cos ϕ sin 3 ϕ. Setzen wir nun in der ersten Gleichung so erhalten wir sin ϕ cos ϕ, cos4ϕ) cos 4 ϕ 6 cos +6 cos 4 ϕ + cos 4 ϕ cos ϕ + 8 cos 4 ϕ 8 cos ϕ +. Die Identität für sin4ϕ) lässt sich nicht mehr weiter vereinfachen, wenn wir Winkelfunktionen mit Argument ϕ verwenden wollen. Ansonsten könnten wir mit den Identitäten cosϕ) cos ϕ sin ϕ sinϕ) cos ϕ sin ϕ noch die Form erhalten. Diese folgt auch sofort aus sin4ϕ) cosϕ) sinϕ) e 4iϕ e iϕ) durch Auftrennen in Real- und Imaginärteil.) Aufgabe 3.3 Für alle drei Fälle kann man beliebig viele Möglichkeiten finden. Wir geben jeweils ein Beispiel an. Dabei benutzen wir die Bezeichnungen von Seite 96.. Die erste Bedingung ist leicht zu erfüllen, etwa mit zwei konzentrischen Kreisscheiben D r ) und D r ) mir r <r. Die Vereinigung der beiden Mengen ist D r ), der Durchschnitt ist D r ), beides sind natürlich Gebiete.. Der Streifen < Im z< und der Kreisring D,3 ) sind beide Gebiete, auch ihre Vereinigung ist ein solches. Der Durchschnitt ist aber nicht zusammenhängend und damit kein Gebiet. 3. Die beiden Halbebenen Re z> und Re z< sind beide Gebiete, ihre Vereinigung ist jedoch nicht zusammenhängend und damit kein Gebiet, ihr Durchschnitt ist leer und damit ebenfalls kein Gebiet. Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

10 Lösungswege zu Kapitel 3 Aufgabe 3.4 Ein Beispiel sind die Nullfunktion f und der Sinus, gz) sin z. Es gilt fz) gz) für z kπ, k Z, der Sinus verschwindet trotzdem nicht identisch. Aufgabe 3.5 Die Funktion f aus der Angabe und die Funktion g mit stimmen auf der Menge M gz) z {, 3, 4, } 5,... überein. Diese hat den Häufungspunkt z, nach dem Identitätssatz stimmen die beiden Funktionen im gemeinsamen Holomorphiegebiet überein. Die Funktion g ist auf jeden Fall in z < holomorph, wenn auch f dort holomorph ist, muss f g sein. Wäre f auf ganz C holomorph, so müsste sie in C \{} mit g übereinstimmen, im Punkt z aber ebenfalls definiert und holomorph sein. Das steht im Widerspruch zur Stetigkeit holomorpher Funktionen. Aufgabe 3.6 a) Hier hat die Funktion f Singularitäten in den Punkten z +iund z. Die erste hat von der Entwicklungsmitte z den Abstand R, und das ist gleichzeitig auch schon der Konvergenzradius der Potenzreihe. b) fz) Log z hat die einzige Singularität bei z. Für die Entwicklung um z +i erhält man den Konvergenzradius R + i + 5. c) fz) / sin z hat Singularitäten für z und für sin z, also z kπ. Jene Singularität, die z π + iam nächsten liegt, ist z π, der Konvergenzradius ist R π + i π i. Aufgabe 3.7 a) Mit der Faktorisierung z 8 + z z z 6 + ) erkennt man sofort, dass an z ein Pol zweiter Ordnung liegt und dass sechs weitere Pole erster Ordnung an z e i + k 6 π k,,..., 5 liegen. b) Der Ausdruck cos z hat sicher Singularitäten, wenn cos z ist, d. h. für z k + π z k + )π mit k Z. Diese Singularitäten sind Pole erster Ordnung, da cos ) z z sin z ist und die Nullstellen von Sinus und Kosinus nicht zusammenfallen. /f hat eine Nullstelle erster Ordnung, demnach hat f einen Pol erster Ordnung.) Diese Pole häufen sich um z, das ebenfalls eine Singularität ist, allerdings keine isolierte, und daher in unserem Schema nicht klassifizierbar. c) Für sin z z + liegen Pole erster Ordnung an z ±i. Einsetzen von u z in die Potenzreihendarstellung von sin u zeigt sofort, dass an z eine wesentliche Singularität liegt. Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

11 Lösungswege zu Kapitel 3 Rechenaufgaben Aufgabe 3.8 Wir erinnern wir uns an z z z x + y und erhalten: fx, y) x 3 + xy xx + y ) xz z z + z z z z z + z z ) : fz, z). Auch in die andere Richtung funktioniert natürlich das Umschreiben: Für fz, z) z z erhalten wir: Wir bestimmen fz, z) z z zz z x + iy)x + y ) x 3 + xy + ix y + y 3 ) : fx, y). e iπ+i) e +iπ e e iπ e cos π + i sin π) e cosπ + i) cos π cosh i sin π sinh e + e sinπ + i) sin π cosh + i cos π sinh Nun erhalten wir erwartungsgemäß i e e cos z + i sin z e + e e eiπ+i) + e e die Euler sche Formel ist verifiziert. An diesem Beispiel sieht man wieder, dass diese Formel für allgemein komplexe z keine Zerlegung in Real- und Imaginärteil darstellt. Allgemein erhält man Speziell für z 3 π + i 3 π ergibt sich z, Arg z π und Log z ln + i π i π z, Arg z π 4 und Log z ln + i π 4 z 3 z z, arg z 3 Arg z + Arg z 3π 4 Arg z 3 und Log z 3 ln + i 3π 4 z 3 x + iy) 3 x 3 + 3ix y 3xy iy 3 x 3 + 3xy + i 3x y y 3 ) e z3) e x3 3xy e i3x y y 3 ) e x3 3xy cos3x y y 3 ) + ie x3 3xy sin3x y y 3 )) ) Re e z3 ) e x3 3xy cos3x y y 3 ) ) Im e z3 ) e x3 3xy sin3x y y 3 ) e z3 ) e π cos π + i sin π) e π. Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

12 Lösungswege zu Kapitel 3 Der erste Fall ergibt: + z) G lim z + z + + z + z) lim z 3 + z + z lim z z 3 + z + reiϕ lim reiϕ, r 3 + reiϕ unabhängig davon, auf welchem Weg z gegen null geht. Das sieht man besonders, wenn man z r e iϕ setzt. Im Limes r kommt der Winkel ϕ nicht mehr vor. Im zweiten Fall erhalten wir Setzen wir nun z x R, so erhalten wir z G lim z z. x lim x x lim x x x. Setzen wir hingegen z i y mit y R, so erhalten wir i y lim y i x lim i x x i x. Die beiden Richtungsgrenzwerte sind nicht gleich, der Grenzwert existiert also nicht. Alternativ können wir auch hier z r e iϕ setzen und erhalten r e iϕ G lim r r e iϕ e iϕ, und dieser Ausdruck ist nicht von ϕ unabhängig. Aufgabe 3.9 a) Wir untersuchen zunächst für z x: Im z + z) Im z lim z z G Im x + iy + x) Im x + iy) lim x x lim x y y x. Für z i y hingegen erhält man G Die beiden Grenzwerte stimmen nicht überein. Im x + iy + i y) Im x + iy) lim y i y lim y y + y y i y i. b) Die beiden Funktionen u Re f y und v Im f sind zwar C R ), aber es ist u y also sind die Cauchy-Riemann-Gleichungen nicht erfüllt. v x, Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

13 Lösungswege zu Kapitel 3 3 Auf beide Arten zeigt sich mit unterschiedlichem Aufwand), dass fz) Im z nirgendwo komplex differenzierbar ist. Auch aus der Darstellung fz) Im z z z i sieht man sofort, dass f nicht komplex differenzierbar ist. Aufgabe 3. Zuerst überprüfen wir, ob Real- und Imaginärteil reell total differenzierbar sind, das gilt sicher, wenn sie stetige erste partielle Ableitungen haben. ux, y) Re fz) cos x cosh y C vx,y) Im fz) sin x sinh y C Nun testen wir die Cauchy-Riemann-Gleichungen: u v sin x cosh y x y u y Es handelt sich also tatsächlich um eine ganze Funktion. Es ist also ist weiter Beide Funktionen sind C R ) und es gilt: cos x sinh y v x gz) z + + i)z x + iy) + + i)x + iy) x y + x y + ixy + x y), ux, y) x y + x y vx,y) xy + x y, u x u y x + v y y v x Die Funktion ist also auf ganz C holomorph. Mit hz) e sin z e sin x cosh y i cos x sinh y e e sin x cosh y coscos x sinh y) + ie sin x cosh y sincos x sinh y) erhält man ux, y) e sin x cosh y coscos x sinh y) C vx,y) e sin x cosh y sincos x sinh y) C Mit intensivem Einsatz von Produkt- und Kettenregel erhält man u x esin x cosh y cos x cosh y coscos x sinh y) + e sin x cosh y sincos x sinh y)sin x sinh y v y u y esin x cosh y sin x sinh y coscos x sinh y) e sin x cosh y sincos x sinh y)cos x cosh y v x. Die Cauchy-Riemann-Gleichungen sind also erfüllt. Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

14 4 Lösungswege zu Kapitel 3 Aufgabe 3. Mit fz) x+iy)5 x +y ) für z ist fx,) x und f,y) iy, also erhält man ux, ) x, vx, ), u,y) und v,y) y. Für die partiellen Ableitungen ergibt das: u x x lim, x x u y lim, y y v x lim, x x v y y lim. y y Die Cauchy-Riemann-Gleichungen sind also in z erfüllt, aber für die Grenzwertdefinition der Ableitung erhält man fz) f) r 5 e 5iϕ lim lim z z r r 4 e iϕ e4iϕ, und dieser Ausdruck hängt offensichtlich vom Winkel ϕ ab. Das bedeutet, f ist in z nicht komplex differenzierbar. Die Bedingung der reellen Differenzierbarkeit muss demnach verletzt sein was man durch Auftrennen der Funktion in Real- und Imaginärteil auch explizit nachprüfen kann. Aufgabe 3. Ausmultiplizieren liefert ux, y) x xy. Damit erhalten wir u x y, u u, x y x, u y, also ist u u x + u y. Zur Bestimmung der konjugiert harmonischen Funktion integrieren wir die Cauchy-Riemann-Gleichungen: v y)dy y y + φx) v xdx x + ψy). Der Vergleich zeigt: vx,y) x y + y + C, wobei wir hier C setzen. Für die holomorphe Funktion f erhalten wir fz) ux, y) + ivx,y) x xy + ix iy + iy ix + ixy y ) + x + iy) iz + z. Aufgabe 3.3 Man hüte sich vor der verlockenden Substitution u e it, da man dabei die reelle Achse verlässt und entlang eines Halbkreises integrieren muss. Verlässlich ist dagegen die Aufspaltung: π e it + π cost) + i sint) + I e it dt dt + e it cost) π dt + i π tan t dt + π dt π cos t }{{}}{{} Wir erhalten I t 3 + i + )t + i )t + i) dt [ t 44 ] + i + ) t33 + i ) t + it i Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

15 Lösungswege zu Kapitel 3 5 Der Nenner des Integranden hat die Nullstellen t i und t. Partialbruchzerlegung liefert t t + + i)t + i i t + i + + i t +. Damit erhält das Integral den Wert dt dt I 3 i) + + i) t + i t + [ i) logt + i) + i) logt + ) ] 6ln π 4 + ln π 4 i Aufgabe 3.4 a) Diese Kurve lässt sich beispielsweise auf die folgende Art darstellen: C : zt) i + it, t [, ] C : zt) i + e it, t [π, ] C 3 : zt) + i it, t [, ] C 4 : zt) + e it, t [,π] Daneben gibt es natürlich noch viele andere Möglichkeiten der Parametrisierung, die allesamt richtig sind. b) Eine mögliche Parametrisierung ist C : zt) + i + 3 3i)t, t [, ] C : zt) i + e it, t [ π, ] C 3 : zt) i + e it, t [ π, ] c) Eine mögliche Parametrisierung ist C : zt) + it, t [, ] C : zt) e it, t [π, π ] C 3 : zt) i + e it, t [ π, ] C 4 : zt) + it, t [, ] C 5 : zt) e it, t [, 3π ] Aufgabe 3.5 Für die Integrale über z und Re z müssen wir jeweils eine Parametrisierung der Kurven finden, für e πz und z 5 können wir den Cauchy schen Integralsatz verwenden es genügt, eine Stammfunktion zu bestimmen. a) Parametrisierung der Kurven: C : zt) t t [, ] dz dt zt) it t [, ] dz idt C : zt) + + i)t t [, ] dz + i)dt C 3 : zt) e iπ t) t [, π ] dz ieit dt C 4 : zt) e it t [, π ] dz ieit dt zt) i t t [, ] dz dt C 5 : zt) e it t [, π] dz ie it dt zt) + it t [, ] dz idt I a, z dz t dt + it idt C t dt + t dt t + t + Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

16 6 Lösungswege zu Kapitel 3 I a, z dz + + i)t) + i) dt C + i) + i)t) dt + i) + i) ) i + + i i π/ I a,3 z dz e it ie it dt C 3 π π π i e it e it dt i dt i π π/ π/ π/ I a,4 z dz e it ie it dt + i t) dt) C 4 π/ i dt + i dt + t dt + i + π ) π I a,5 z dz e it ie it dt + it)idt C 5 π i dt i dt + t dt i + π) I b, Re z dz Re t dt + Re it)idt C t dt + dt t I b, Re z dz Re + + i)t)) + i) dt C + i) + t)dt + i) + ) + i π/ π I b,3 Re z dz Re e it ) ie it dt i cos t e it dt C 3 π π/ π e it + e it i e it dt i { π π } e it dt + dt π/ π/ π/ { } i e iπ e iπ + π i π 4 π/ e it + e it I b,4 Re z dz ie it dt + t) dt) C 4 i π/ e it dt + i π/ dt + t dt i π 4 π e it + e it I b,5 Re z dz ie it dt + )idt C 5 i e it dt i dt i t dt i + π ) π π Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

17 Lösungswege zu Kapitel 3 7 I c, I c, I c,3 e Ck πz dz eπz π eπz zi π z eiπ e π + e π π π I c,4 I c,5 eπz +i eπ + e π π π I d, I d, I d,3 z Ck 5 dz z6 6 z6 zi 6 z i6 ) I d,4 I d,5 z6 +i 8i 6 6 Aufgabe 3.6 a) Der Zähler e z des Integranden ist eine in ganz C holomorphe Funktion, wir können also die Cauchy sche Integralformel anwenden und erhalten mit Ind z 3 +) : e z I, z 3 z dz πi e Ind z 3 +) πie Für z ist der Integrand holomorph, und der Cauchy sche Integralsatz ergibt: e z I, dz. z z Das gleiche Ergebnis liefert wegen Ind z +) natürlich auch die Cauchy sche Integralformel. b) Der Pol des Integranden befindet sich bei z π, diese Stelle liegt innerhalb des Kreises. Die Cauchy sche Integralformel ergibt nun I πi sin 3π ) Ind C π ) πi πi c) Die Kurve C ist eine Ellipse mit den Brennpunkten in z und z. Diese Ellipse schneidet die die imaginäre Achse in den Punkten z ± 5 i, der Pol des Integranden liegt außerhalb dieser Kurve. Der Integrand ist in einem einfach zusammenhängenden Gebiet, das den Integrationsweg zur Gänze enthält, holomorph, damit ist I 3. Aufgabe 3.7 Mittels quadratischer Ergänzung erhalten wir ) + I : e a x + a b b x+ 4a + b 4a dx e b 4a + ) e a x+ a b Wir führen nun die Abkürzung α : Arg a ein und setzen z a x + b ) a e i α a dx e i α dz a Damit erhält das Integral die Gestalt I e b 4a : e b 4a a e i α a e i α e z dz C I, Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

18 8 Lösungswege zu Kapitel 3 wobei die Kurve C die durch zt) a t + b ), t R a parametrisierte Gerade ist. Diese Gerade schneidet die reelle Achse im Punkt z b a und die imaginäre in z i b a. Nun betrachten wir einen Integrationsweg wie in Abbildung 3.9 dargestellt, der aus einem Stück C der Geraden C, einem negativ orientierten Teil C 3 der reellen Achse und aus Stücken der Geraden C,Rez R und C 4,Rez R besteht. Der Integrand ist in ganz C holomorph, das Integral entlang des dargestellten Weges ist daher null. Wenn C e z dz für R konvergiert, dann gegen das Integral I, zudem kennen wir den Wert von R e z dz e x dx C 3 R für R. Wenn die Integrale von e z über C und C 4 verschwinden, erhalten wir I e z dz e x dx C I e z dz π. C und damit genau das gesuchte Ergebnis. Wir müssen also nachweisen, dass die fraglichen Integrale in der Tat verschwinden. Wir können den Integrationsweg C als zt) R + i t, t [, y max ] mit y max a b + R tan α parametrisieren, dz idt. Für das Integral erhalten wir ymax I : e z dz i e R+it) dt C ymax i e i Rt e t R dt ymax e t R dt lc ) max e t R dt C b a + R tan α ) e ) b R a +R tan α e R tan α ) e b 4a +R a b tan α b a + R tan α ) Für tan α < fällt der erste Faktor für R schneller als die anderen anwachsen, und das Integral konvergiert gegen null. Die Bedingung ist für Re a>stets erfüllt. Analog kann auch das Integral über C 3 abgeschätzt werden, und unser Resultat ist gezeigt. Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

19 Aufgabe 3.8 Es gilt cos x e ix + e ix), und wenn wir z e ix setzen, ergibt das cos x Damit erhält das Integral die Gestalt I z 4 p z + ) p dz z iz i p ) ) p 4 p z k p k dz z z k z k i p ) ) p p k 4 p k k z z zk dz z i p ) p 4 p z k p dz k k z i p ) p 4 p πi δ k p ), k k π p ) p 4 p δ k, p π ) p k 4 p p k Aufgabe 3.9 Es ist Setzen wir u z, so erhalten wir Aufgabe 3. Es gilt sin u Nun erhalten wir für Entwicklung um z : für < z < und n ) n n + )! un+ u u3 3! + u5 5!.... sin z ) n n + )! z n+ z 3! n fz) z 6 + 5! z iz z z i. fz) z i z iz iz n fz) z für z >. Entwicklung um z i liefert: z i z fz) z i z i z i i n i k i z z ) n i z n n ) i n z z n i) n+ n z z i z i + i i + z i i ) n z i) n i i i n ) n z i) n ) k+ z i) k i... z i) n z n+ Lösungswege zu Kapitel 3 9 ) z + z,dx dz iz. Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

20 Lösungswege zu Kapitel 3 für < z i < und fz) z i z z i z i) + z i i z i) i z i n i) n z i) n n k z i + i ) n z i)k i) k+ für z i >. Aufgabe 3. Wir setzen eine Partialbruchzerlegung an, Multiplikation mit dem gemeinsamen Nenner führt auf z )z ) A z + B z Az ) + Bz ). Die Polstellenmethode liefert z : A und z : B, z )z ) z + z. Jeden der beiden Terme können wir auf zwei Arten in eine Laurentreihe um z entwickeln: für z < und z z z n n z z ) n z z z n z n z k n k für z >. Analog erhalten wir für z < und z z n zn n+ z z ) n n z z z k z n k z k ) n z k n z n n k+ zk. für z >. Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

21 Lösungswege zu Kapitel 3 Im Bereich z < erhalten wir in < z < fz) n ) n+ z n fz) k z k k zk k+ und für z > Aufgabe 3. Polynomdivision liefert fz) k + ) k+ z k. z 3 z + 4z 4 z )z + 4). Multiplizieren wir den Ansatz 4z z + 8 z 3 z + 4z 4 A z + mit dem gemeinsamen Nenner, so erhalten wir mittels Polstellenmethode: z : A z i : B z i : C. B z + i + C z i Der zweite und der dritte Term in 4z z + 8 z 3 z + 4z 4 z + z + i + z i sind in einer Umgebung von z holomorph, damit kann nur der erste Teil zum Hauptteil der Laurentreihe beitragen, und wir lesen sofort Res f, ) ab. Analog erhalten wir Res f, i) Res f, i). Aufgabe 3.3 a) Wir erhalten b) Quadratische Ergänzung ergibt die Nullstellen dieses Ausdrucks liegen bei Res f, i) eπz z eiπ zi i i i Res f, i) eπz z e iπ z i i i i z 4 + z 3 z + ) 4, z ± ±, wobei alle Vorzeichenkombinationen zu nehmen sind. Res f, ) 4z 3 + 4z z 4z z + z 8 Res f, ) 4z z + z 8 Res f, 3i) 4z z + i z 3i 8 3 Res f, 3i) 4z z + i z 3i 8 3 Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

22 Lösungswege zu Kapitel 3 c) Für den Nenner erhalten wir und damit z 3 z + z zz z + ) zz ) Res f, ) 4z 5z + 3 3z 3 4z + z d Res f, ) lim z dz z ) 4z 5z + 3 zz ) d 4z 5z + 3 lim z dz z 8z 5z 4z 5z + 3) lim z z lim z 4z 3 z Aufgabe 3.4 Singularitäten von f liegen an Nullstellen des Nenners, also an den beiden Punkten z und z i. Es handelt sich jeweils um Pole erster Ordnung, wir erhalten also Res f, ) e πz z + i) eπ z i eπ + i) i) + i) eπ + i) e πz Res f, i) z + i) zi + i Die Windungszahlen ergeben sich durch Abzählen zu und wir erhalten mit dem Residuensatz eiπ i Ind C ), Ind C i), Ind C ), Ind C i), Ind C3 ), Ind C3 i), i i fz)dz πi { Ind C ) Res f, ) + Ind C i) Res f, i) } C { } πi eπ + i + i) + πi { e π + i) + + i) } πi { + e π + + e π ) i } π + e π ) + π + e π ) i fz)dz πi { Ind C ) Res f, ) + Ind C i) Res f, i) } C fz)dz π + e π ) + π + e π ) i C fz)dz πi { Ind C3 ) Res f, ) + Ind C3 i) Res f, i) } C 3 { } πi eπ + i + i) + πi { e π + e π i) } πi { + e π + + e π ) i } πe π + π e π i. Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

23 Lösungswege zu Kapitel 3 3 Entsprechend liegen für g zwei Pole erster Ordnung an z i und z, und wir erhalten für die Residuen z Res g, i) z + i ) i + i z i + i i 5 Res g, ) z z + i ) z 4 + i 8 4i i Die Windungszahlen sind und der Residuensatz ergibt nun Ind C i), Ind C ), Ind C i), Ind C ), Ind C3 i), Ind C3 ), gz) dz gz) dz C C i πi + 8 4i ) 5 5 C 3 gz) dz. πi i) π + 4πi. Aufgabe 3.5 Aus Symmetriegründen gilt Nun definieren wir fz): iz i 4i π sin t dt π sin t dt. z )) z 4iz z z + z 3 ). z + z ) Aus dieser Darstellung lässt sich unmittelbar Res f, ) ) ) 4i i ablesen, und wir erhalten Wir definieren f mittels fz) iz π sin t dt { πi } π i. z + z ) 5 z + z ) i + z ) z4 z + 4z ). Diese Funktion hat Pole erster Ordnung an z, z und z. Keiner davon liegt am Einheitskreis, der Residuensatz ist also anwendbar. Die Stelle z liegt außerhalb des Einheitskreises und ist für uns nicht relevant. An den anderen Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

24 4 Lösungswege zu Kapitel 3 Stellen erhalten wir die Residuen i + z ) Res f, ) lim z 4 z + 4z i 4, Res f, ) i + z ) 4 z + 4z + z + 8z) z i + z ) i + 4 ) z + 8z) z + 4) z 5i. Damit ergibt der Residuensatz Wir benutzen I πi i 4 5i ) π 3. cos3ϕ) 4 cos 3 ϕ 3 cos ϕ, zudem ist das der Integrand h gerade und π-periodisch, damit gilt π ht) dt π ht) dt π ht) dt. π Insgesamt erhält das Integral die Form I 3 π 4 cos 3 t 3 cos t 5 4 cos t dt. Bezeichnen wir den Integranden mit gcos t), so erhalten wir für f mit fz) iz g z + z )) unmittelbar fz) i + z 6 ) z 3 5z + z ). Diese Funktion hat einen Pol dritter Ordnung an z, einen Pol erster Ordnung an z und einen für uns irrelevanten) Pol erster Ordnung an z. Die Residuen ergeben sich zu Res f, )! lim d i + z 6 ) z dz 5z + z ) i 6, Res f, ) i + z 6 ) 3 z 5z + z ) + z z) 65i 48, und wir erhalten I 3 πi i 6 65i ) π 48 Aufgabe 3.6 a) Wir benutzen I a πi Im z k > Res ) z 4 +,z k. Pole des Integranden liegen bei z 4, davon befinden sich z e i π 4 und z e i 3π 4 in der oberen Halbebene. Die Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

25 Lösungswege zu Kapitel 3 5 Residuen erhalten wir zu und für das Integral ergibt sich b) Analog gilt hier Res Res ) z 4 +, ei π 4 4z 3 i π ze 4 4 e i 3π 4 4 e i 3π 4 i 4 ) z 4 +, ei π 4 4z 3 i 3π ze 4 4 e i 9π 4 4 e i π 4 i 4, I a πi i 4 + i ) 4 π. ) z I b πi Res z 6 +,z k. Im z k > 4 e i π 4 Pole des Integranden liegen bei z 6, davon befinden sich z e i π 6, z e i π und z e i 5π 6 in der oberen Halbenebene. z e i 3π 4 in der oberen Halbebene. Die Residuen erhalten wir zu ) z Res z 6 +, ei π 6 z 6z 5 i π 6 z 3 i π ze 6 ze 6 Res Res z z 6 +, ei π z z 6 +, ei 5π 6 6 e i π 6 e i π i 6 ) 6 z 3 i i π ze 6 ) 6 z 3 i i 5π ze 6 6 und für das Integral ergibt sich I b πi i 6 + i 6 i ) π 6 3. c) Wir betrachten das Integral I t c : t + 4 eit dt, I c Im I c Dieses Integral können wir sofort mittels Residuensatz bestimmen. Die einzige Singularität in der oberen Halbebene ist ein Pol erster Ordnung bei z i mit Residuum Res ) z z + 4 eiz, i z eiz z e. zi Der Residuensatz ergibt nun t t + 4 eit dt πi e iπ e, und wir erhalten sofort I c Im iπ e π e. Zudem erhalten wir aus Betrachtung des Realteils t cos t t + 4 dt. Das ist zwar aus Symmetriegründen ohnehin klar, gerade daher ist es aber eine gute Kontrolle für die Richtigkeit unserer Rechnung.) Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

26 6 Lösungswege zu Kapitel 3 Aufgabe 3.7 Auch hier liegt eine rationale Funktion in Sinus, und Kosinus vor, unser Schema ist unmittelbar anwendbar. Wir erhalten die Funktion f, fz) iz ) a + b z + z i b z + az b Die Nullstellen des Nenners liegen bei z, a b ± a b Davon liegt nur z a b + a b im Inneren des Einheitskreises. Für das Residuum von f an dieser Stelle erhalten wir mit Formel 3.8) Res f, z ) i i bz+ a z a a b + b a b und für das Integral I πi i a b π a b. Anwendungsprobleme Aufgabe 3.8 Wir setzen die Ladung nach z bi Die Transformation w e πz a führt die beiden Geraden Im z und Im z a nach Im w über, die Position der Ladung wird zu w e πbi a. Nun erzwingen wir ein verschwindendes Potenzial an Im w durch Anbringen einer Spiegelladung an w w und erhalten für das komplexe Potenzial gw) qlogw w ) + q logw w ) q log w w. w w Nach dem Verpflanzungsprinzip ist das gesuchte Potenzial nun q Re e πz a e πz a e πbi a e πbi a. Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8