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Christel Hofmeister
vor 6 Jahren
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1 Lösungen zu den Textaufgaben zur Integralrechnung Aufgabe Rechnung Ergebnis 1. Ein Bauernhof verkauft Eier. Die Anzahl der verkauften Eier pro Tag wird in den ersten 2 Tagen durch die Funktion f(x) = x 4 + 4x³ 5x² + 2x, x in Tagen mit x 2, f(x) in verkauften Eiern angegeben. a. Wie viele Eier werden bis zum Beginn des 18. Tages insgesamt verkauft? b. Wie viele Eier werden vom 2. bis zum 4. Tag insgesamt verkauft? c. Wie viele Eier werden im Durchschnitt in den ersten 2 Tagen verkauft? d. Wann sind insgesamt 4 Eier verkauft? 18 a. f(x)dx = [ 1 5 x5 + 1x x3 + 1x 2 18 = = 23846,4 4 b. f(x)dx= [ x5 + 1x x3 + 1x = ( ) = 7688,53 282,27 = 4868,26 2 c. 1 2 f(x)dx = 1 [ x5 + 1x x3 + 1x 2 2 = 1 [ ,7 = 1333,34 = 1 2 d. Gesucht ist eine Zahl a, sodass f(x)dx = 4: a f(x)dx = [ 1 5 x5 + 1x x3 + 1x 2 a = 1 5 a5 + 1a a3 + 1a 2 also: 1 5 a5 + 1a a3 + 1a 2 = a5 + 1a a3 + 1a 2 4 = a -1,74 D(f) v a 2,5 v a 23,6 D(f) a Bis zum 18. Tag werden Eier verkauft. Vom 2. bis zum 4. Tag werden 4868 Eier verkauft. In den ersten 2 Tagen werden im Durchschnitt 1333 Eier verkauft. Nach 2,5 Tagen sind 4 Eier verkauft.

2 2. Ein Auto fährt auf eine Autobahn. Die Funktion f(x) =,1 x³ 1,1 x² + 2,4x + 4 gibt die Geschwindigkeit des Fahrzeugs in km/h an, x in Sekunden mit x 15. a. Bestimmen Sie die mittlere Geschwindigkeit des Fahrzeugs zwischen s und 12s! b. Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion g(x), die die Geschwindigkeit in m/s (Meter/Sekunde) angibt c. Wie viele Meter ist das Auto in den ersten 15 Sekunden gefahren? d. Ab der 1. Sekunde hat das Auto die Autobahn erreicht. Berechnen Sie, ob es sich bei dem Auto um einen Porsche handelt, der in 5 Sekunden um 12km/h beschleunigen kann. a f(x)dx 12 = 1 12 [,25x4 +,36 x 3 + 1,2x x = 1 12 [, , , = ,6 = 44,8 b. km = 1m = 1 m/s h 36s 3,6 d. h. g(x) = 1 (,1 x³ 1,1 x² + 2,4x + 4) 3,6 15 c. g(x)dx = 1 3,6 [,25x4 +,36 x 3 + 1,2x x 1 = (,25 3, , , ) = 1 898,125 = 249,48 3,6 d. f(15) f(1) = = 112 Der Autofahrer fährt in den ersten 12 Sekunden im Schnitt 44,8km/h. g(x) = 1 (,1 x³ 1,1 x² + 3,6 2,4x + 4) In den ersten 15 Sekunden hat das Auto 249,48m zurückgelegt. Es handelt sich um einen Porsche, denn er beschleunigt um 122 km/h.

3 3. Die Funktion f(x) = e,4x gibt die Anzahl der Verkehrsunfälle in den ersten 25 Tagen des Jahres 216 in einer Kreisstadt an. a. Wie viele Verkehrsunfälle passieren in den ersten 2 Tagen insgesamt? b. Wie viele Verkehrsunfälle passieren im Durchschnitt in den ersten 25 Tagen? c. Wenn mehr als 5 Unfälle passieren, setzt die Polizei verstärkt auf Verkehrskontrollen. Wann ist dies der Fall? 2 a. f(x)dx = [ 1 2,4 e,4x 5 + 4x = (2,5 e, ) (2,5 e 5 ) 13,214,17 = 13,197 b f(x)dx = 1 [ ,4 e,4x 5 + 4x = 1 (2,5 25 e, ) (2,5 e 5 ) 1 25 (471,33 371,33) = 4 c. f(x) = 5 e,4x-5 + 4= 5 e,4x-5 = 46 ln(e,4x-5 ) = ln(46),4x 5 3,829,4x 8,829 x 22,7 Da f(x) streng monoton steigt gilt: f(x) > 5 für alle x > 22,7. In den ersten 2 Tagen passieren 13 Unfälle. In den ersten 25 Tagen passieren im Schnitt 4 Unfälle. Die Polizei muss ab dem 22. Tag kontrollieren.

4 4. Aus einem Stück Metall soll eine Form geschnitten werden, die durch die Funktionen f(x) = x² 6x + 11 und g(x) = x + 11 begrenzt werden, x und f(x) in dm. a. Berechnen Sie die Fläche des Metallstückes. b. Das Stück Metall soll von beiden Seiten mit einem Speziallack überzogen werden. Berechnen Sie, wie viel die Lackierung für 1 Teile kostet, wenn der Preis 2,1 /dm² beträgt. a. Berechnung der Schnittpunkte: f(x) = g(x) x² 6x + 11 = x + 11 x² 5x = x (x 5) = x = v x = 5 Berechnung der Fläche A: 5 A = [g(x) f(x)dx (Der Betrag ist überflüssig, wenn man vorher kontrolliert, ob f oder g größer ist.) 5 = [( x + 11) (x 2 6x + 11)dx 5 = ( x 2 + 5x)dx = [ x3 + 2,5x² = = 2,83 b. 2,83 2,1 2 1 = 875 Die Fläche beträgt 37,5 dm². Die Lackierung kostet 875.

5 5. Ein Kirchenfenster wird oben durch die Funktion f(x) = x² + 1x 17 begrenzt, x und f(x) in Metern. Berechnen Sie, wie viel m² Glas benötigt werden! 7 f(x)dx 3 = [ 1 3 x3 + 5x 2 17x 3 7 = ( ) ( ) = 35 3 ( 15) = 8 3 = 26,6 Man braucht 26,6 m² Glas. 6. Die Funktion f(x) =,4x³,72x + 2,86x zeigt die momentane Änderungsrate einer Tierpopulation an, x in Monaten, f(x) in Anzahl der Tiere. Zu Beginn der Überwachungsphase waren 4 Tiere vorhanden. a. Geben Sie ein Funktion an, die die Anzahl der Tiere zur Zeit t angibt! b. Berechnen Sie, wie viele Tiere es nach 5 Monaten gibt. a. Gesucht ist g(t): t g(t) = 4 + f(x)dx (Anfangspopulation + die dazu kommenden Tiere) = [,1x 4,36x 2 t + 1,42x + 4 =,1t 4,36t² + 1,42t + 4 b. g(5) = 16 g(t) =,1t 4,36t² + 1,42t + 4 Nach 5 Monaten gibt es 16 Tiere.

6 7. Die Zufluss/Abflussgeschwindigkeit von Wasser in einen See mit Talsperre wird modelliert durch die Funktion f(x) = 1x³ 15x² + 5x, x in Stunden, f(x) in m³/h. a. Wann läuft mehr Wasser in den See hinein als hinaus? b. Zu Beginn der Messung sind 6 Mio m³ Wasser im See. Berechnen Sie, wie viele m³ Wasser nach 6 Stunden im See sind! c. Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt wieder genau so viel Wasser im See ist wie zu Beginn der Messung! a. Gesucht: Nullstellen f(x) = 1x³ 15x² + 5x = x (1x² 15x + 5) = x = v x = 5 v x = 1 Untersuchung des Intervalls [;5: f(2) = 48 Untersuchung des Intervalls [5;1: f(6) = 24 6 b. A = 6 Mio + f(x)dx = 6 Mio + [25x 4 5x x² = 6Mio c. Gesucht ist eine Zahl a, so dass der Mittelwert der Funktion f(x) im Intervall [;a ist. a m = 1 f(x)dx a = 1 a [25x4 5x 3 a + 25x² = 1 a (25a4 5a a²) = 25a³ 5a ² + 25a 25a³ 5a ² + 25a = a (25a² 5a + 25) = a = v a = 1 In den ersten 5 Stunden und nach der 1. Stunde fließt Wasser dazu. Nach 6 Stunden sind m³ Wasser im See. Nach 1 Stunden ist wieder genau so viel Wasser im See wie zu Beginn der Messung.

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